第09讲 等差数列的前n项和（思维导图+2知识点+7大题型+过关检测）（寒假预习讲义）高二数学人教B版

第09讲 等差数列的前n项和 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 【题型01：等差数列前n项和的基本量计算】 【题型02：等差数列前n项和的比值问题】 【题型03：等差数列片段和的性质】 【题型04：等差数列的奇数项与偶数项和】 【题型05：等差数列前n项和的最值问题】 【题型06：求数列的前n项和】 【题型07：等差数列前n项和公式的实际应用及数学文化】 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：等差数列的前n项和公式 已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数 公式 等差数列前n项和的函数特点： 对于等差数列,如果是确定的,前项和. 若取,上式可写成. 当(即)时,是关于的二次函数式(常数项为0).数列的图象是抛物线上的一群孤立的点. 知识点二、等差数列的前n项和的性质及应用 1.等差数列前n项和的性质 （1）等差数列中,其前项和为,则中连续的项和构成的数列构成等差数列. （2）数列是等差数列(为常数) （3）等差数列奇偶项和的性质： ①若项数为,则. ② 2.等差数列前n项和的最值 （1）若,则数列的前面若干项为负数项(或0),所以将这些项相加即得的最小值. （2）若,则数列的前面若干项为正数项(或0),所以将这些项相加即得的最大值. 【题型01：等差数列前n项和的基本量计算】 1．已知等差数列的前n项和为，若，，则（   ） A． B． C．9 D．13 【答案】D 【详解】易知，可得； 又，所以. 故选：D 2．记等差数列的前n项和为，公差为d，若，则（   ） A．15 B．25 C．35 D．45 【答案】C 【详解】因为，， 所以， ，， 将上述式子代入已知条件得： ，解得， 所以. 故选：C. 3．已知为等差数列，其前n项和为则（   ） A．10 B．15 C．20 D．30 【答案】B 【详解】将转化为：， 展开得：， 合并同类项：， 化简得：，即. 前5项和，由等差数列性质知，， 故. 故选：B 4．已知等差数列的前项和为，，则 【答案】-1 【详解】设等差数列的首项为，公差为， ， ，化简得： ， ，化简得：， 联立组成方程组：，解得：. 故答案为：-1 5．等差数列的前项和为，若，则下列各量的值一定为定值的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设首项为，公差为， 因为，所以， 化简得，则，， 对于A，由已知得，则不一定为定值，故A错误， 对于B，由等差数列的求和公式得 ，则一定为定值，故B正确， 对于C，由已知得，则不一定为定值，故C错误， 对于D，由等差数列的求和公式得 ，则不一定为定值，故D错误. 故选：B 【题型02：等差数列前n项和的比值问题】 6．已知等差数列、的前项和分别为、，若，则＝（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为， 所以. 故选：D. 7．已知等差数列的前项和分别为，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据等差中项的性质， 可得， 再由等差数列的前n项和公式可得， 所以 ， 故选：D 8．已知等差数列 和 的前 项和分别为 、 ，若 ，则=（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】依题意得. 故选：A 9．已知与分别是等差数列与等差数列的前n项和，且，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4. 【答案】D 【详解】由等差数列的性质得， 所以， ， 故选：D 10．已知等差数列，的前n项和分别为和，若，则满足的正整数n的个数为 . 【答案】2 【详解】因为等差数列，的前n项和分别为和，， 所以可设，， 所以时，， 又满足上式，所以， 时，， 又满足上式，所以，， 则， 因为，所以是63的正因数， 即，3，7，9，21，63，又， 所以，15，即满足的正整数n有2个. 故答案为：2. 【题型03：等差数列片段和的性质】 11．已知等差数列的前项和，，，则 ． 【答案】24 【详解】因为数列为等差数列，则也为等差数列， 可得，即，解得. 故答案为：24. 12．已知等差数列的前项和为，且，则 ． 【答案】4 【详解】由等差数列前项和的性质可得：，，，成等差数列． 令，则，，，成等差数列． 由，设，得， 则，，， 所以，， 所以． 故答案为：. 13．已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A．154 B．164 C．186 D．196 【答案】C 【详解】由题知成等差数列， 所以，即，解得. 故选：C 14．一个等差数列的前10项和为30，前30项的和为10，则前40项的和为 ． 【答案】 【详解】解法一：易知数列，，，成等差数列，设其公差为d，则前3项和为，即，又，所以，所以，所以． 解法二：因为数列是等差数列，所以数列也是等差数列，点在一条直线上，即，，三点共线，于是，将，代入解得． 解法三：利用，可得． 解法四：当，时，．由于，，可得． 15．等差数列中，为其前项的和．若，，则 ． 【答案】 【详解】由等差数列的性质可知，数列成等差数列， 且公差， ∴，即， 则，则. 故答案为：72. 【题型04：等差数列的奇数项与偶数项和】 16．在等差数列中，已知，那么这个数列前100项的和等于（  ） A．170 B．145 C．120 D．80 【答案】B 【详解】因为， 所以 故选：B. 17．已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为290，所有偶数项的和为261.则此数列的项数为（    ） A．10 B．19 C．21 D．29 【答案】B 【详解】设项数为， 则， . 此数列共有19项. 故选：B 18．一个等差数列共有2n项，奇数项的和与偶数项的和分别为24和30，且末项比首项大10.5，则该数列的项数是（    ） A．4 B．8 C．12 D．20 【答案】B 【详解】根据等差数列的性质得：，， 解得：，故该数列的项数为. 故选：B 19．等差数列共有12项，所有的奇数项之和为132，所有的偶数项之和为120，则公差 ． 【答案】 【详解】由题意，①， ②， ②①可得，，即， 故答案为： 20．已知等差数列的项数为，其中奇数项之和为140，偶数项之和为120，则数列的项数是 . 【答案】 【详解】设等差数列的公差为， 因为等差数列的项奇数项之和为140，偶数项之和为120， 所以有， 故答案为： 21．设 是等差数列{}的前n项的和，若 则 . 【答案】 【详解】因为数列是等差数列，所以仍然是等差数列， 所以也是等差数列， 因为，， 则构成等差数列， 所以， 解得：， 所以， 所以，即 故答案为： 【题型05：等差数列前n项和的最值问题】 22．已知等差数列的前n项和为，公差为d，若，则的最大值为（   ） A． B．30 C． D．18 【答案】B 【详解】已知等差数列的前n项和为，公差为d，所以， 所以，． 又，即 亦即解得 所以， 根据二次函数的性质知当或6时，取得最大值30， 故选：B． 23．已知是等差数列的前项和，若，则使的最小整数（   ） A．22 B．23 C．24 D．25 【答案】C 【详解】等差数列的前项和为，由，且， 得，所以， 则数列的公差，所以数列是递增的等差数列， 且当时，，当时，， 又， 所以使成立的最小的为24， 故选：C． 24．已知公差为的等差数列的前项和为，若，，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为为等差数列，且， 所以 ， 又， 故，解得. 因为，所以，所以当时，取得最大值， 所以，又， 故，解得. 故选：C. 25．已知各项均不为零的等差数列的前n项和为，满足，，则的公差d的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题知，当且仅当时，取得最大值， 又，故只需，即可， 若数列公差为，即，，解得， 则的取值范围为. 故选：A 26．已知等差数列的首项为，前项和为，若，且，则的取值范围为 ． 【答案】 【详解】设等差数列的公差为， ， ， 数列是以为首项，为公差的等差数列， ，解得， 解得， 即的取值范围为． 故答案为：． 27．记为等差数列的前项和，且满足，. (1)求； (2)是否存在最值，如果存在，求出取得最值时的值？如果不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在；或时，取得最大值，无最小值 【分析】 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由题意得：，， 则，解得， 所以. （2）由， 函数开口向下，对称轴为， 而，则或6， 此时， 所以在或6时，取得最大值，无最小值. 28．记为等差数列的前项和，已知，． (1)求公差； (2)求，并求的最小值． 【答案】(1) (2)． 【分析】 【详解】（1）设的公差为，由题意得，即， 又，所以，故数列的公差． （2）由（1）得． 所以当时，取得最小值，最小值为． 因此，最小值为. 【题型06：求数列的前n项和】 29．数列的前30项的和为 . 【答案】 【详解】， ， . 故答案为： 30．在等差数列中，已知，. (1)求通项及前项和； (2)求数列的前n项和. 【答案】(1)， (2) 【分析】 【详解】（1）设等差数列的公差为， 则，解得； ， 则， ； （2）数列的前n项和， 由（1）知，当时，，所以， 当时， ； 综上，. 31．已知数列的前项和为，，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）因为数列的前项和为，，， 当时，由可得， 上述两个等式作差得， 即，所以， 所以数列是首项为，公差为的等差数列，故. （2）， 当且时，，且， 当且时，. 综上所述，. 32．已知是等差数列的前n项和，，． (1)求的通项公式； (2)求的最值； (3)求数列的前n项和． 【答案】(1)； (2)的最小值为，无最大值； (3). 【分析】 【详解】（1），，， ，； （2），， 对称轴为，故当时，取最小值， 且最小值为，无最大值； （3）当时，；当时，， 故当且时，；当且时，； 设数列的前n项和为， 当且时， 则， 当且时， . 故. 33．已知数列的前项和为，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）当时，， 当时， 两式相减得， 经检验，当时，，符合上式，所以； （2）设数列的前项和为， 由，则当时，，， 此时， 当时，， 所以； 综上所述，数列的前项和． 34．把正整数以下列方法分组，，其中从第二组起每组都比它的前一组多一个数，设表示第组中所有数的和，那么等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】第组共有个数，构成一个等差数列，公差为，首项比第组的最后一个数大，所以先求前组一共有多少个数. 因为第组有个数，所以前组一共有个数， 于是第组的第一个数为，这组一共有个数， 所以. 故选：B. 35．已知数列满足． (1)求的通项公式； (2)记，求数列的前n项和． 【答案】(1)； (2). 【分析】 【详解】（1）在数列中，， 当时，， 两式相减，得，则，当n＝1时，，即，满足上式， 所以的通项公式是. （2）由（1）知，， 令，得，则，记， 当时，，则； 当时，，则 ， 所以数列的前n项和. 【题型07：等差数列前n项和公式的实际应用及数学文化】 36．《张丘建算经》是中国古代的数学著作，书中有一道题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织的布量相同），第一天织5尺布，现一月（按30天计）共织360尺布”，则第30天织布（    ） A．7尺 B．14尺 C．21尺 D．19尺 【答案】D 【详解】由题意该女每天织布数量构成首项为的等差数列，设公差为， 则， 解得， 所以第30天织布（尺）． 故选：D． 37．《算法统宗》是我国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用．在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，如“九儿问甲歌”：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．在这个问题中，这位公公的长儿的年龄为（    ） A．23岁 B．32岁 C．35岁 D．38岁 【答案】C 【详解】设第n个儿子的年龄为岁，由题可知是等差数列，设其公差为d，前n项和为， 易得，则 ， 解得， 即这位公公的长儿的年龄为35岁． 故选：C. 38．《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次为小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种，这十二个节气，其日影长依次成等差数列，若小寒、雨水、清明日影长之和为36尺，前八个节气日影长之和为92尺，则谷雨日影长为（ ） A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】B 【详解】令所给等差数列为，其前项和为， 则，即，因此， 解得， 则数列的公差，所以谷雨日影长. 故选：B 39．（多选）我国古代数学著作《算法统宗》中有如下问题：“今有善走者，日增等里，首日行走一百里，九日共行一千二百六十里，问日增几何？”其大意是：现有一位善于步行的人，第一天行走了一百里，以后每天比前一天多走d里，九天他共行走了一千二百六十里，求d的值.关于该问题，下列结论正确的是（   ） A． B．此人第三天行走了一百二十里 C．此人前七天共行走了九百一十里 D．此人有连续的三天共行走了四百零五里 【答案】ABC 【详解】由题意，设此人第一天走里，第天走里，为等差数列，，，数列的前项和为， 所以， 所以，解得，故A正确； 所以，所以（里），故B正确； 因为，（里）， 所以（里），故C正确； 设连续三天为，，，所以（里），即（里）， 所以（里），解得，故D错误. 故选：ABC. 40．期中考试以后，王老师把100个糖果分给5个人，使每人所得糖果个数成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小的一份的个数为 . 【答案】10 【详解】设5个人分得的糖果从小到大依次为，公差为， 所以，则， 所以，可得. 故答案为：10 41．中国古代建筑中包含许多与9相关的设计．例如，北京天坛圜丘坛的地面由扇环形的石板铺成，如图，最高层的中心是一块天心石，围绕它的第一圈有9块石板，从第二圈开始，每一圈比前一圈多9块，共9圈，则第7圈的石板数为 ，前9圈的石板总数为 ．    【答案】 63 405 【详解】由题可知从第1圈到第9圈的石板数形成等差数列，且首项，公差， 则第7圈的石板数为，前9圈的石板总数为． 故答案为：63；405． 一、单选题 1．已知等差数列的前项和为，且，则（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】C 【详解】因为为等差数列的前项和，且， 所以等差数列的前项公式有，即 又因为，所以， 则. 故选：C 2．已知等差数列的前n项和为，若，，则（    ）． A．9 B．11 C．13 D．15 【答案】B 【详解】，所以， 又，，所以． 故选：B. 3．已知数列满足，则数列的前10项和为（　　） A．58 B．52 C．62 D．60 【答案】B 【详解】因为，，令，得， 因为，所以当时，； 当时，. 所以，记数列的前项和为， 则 . 故选：B 4．已知等差数列的前n项和为，若，为方程的两个实数根，则（   ） A．3 B．6 C．5 D．9 【答案】B 【详解】因为，为方程的两个实数根， 所以， 所以. 故选：B 5．已知为等差数列的前n项和，d为其公差，且，给出以下命题：①；②；③使得取得最小值时的n为6；④满足成立的最小n值为13.其中正确命题有（    ）个. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】对于①：因为，所以，， 所以，故①正确； 对于②：因为，所以， 所以，故②正确； 对于③：因为，所以为单调递增数列， 所以等差数列中前6项均小于0，则使得取得最小值时的n为6，故③正确； 对于④：因为，且为单调递增数列，且， 所以，且满足成立的最小n值为13. 故④正确. 故选：D 6．已知数列满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由数列满足， 则 ， 所以， 又由函数在上单调递减，在上单调递增， 因为， 当时，可得；当时，可得， 因为，所以的最小值为. 故选：A. 二、多选题 7．已知是等差数列的前项和，且，，则下列选项正确的是（    ） A．数列为递减数列 B． C．的最大值为 D．使得时的最大值是13 【答案】AC 【详解】对于B，，∵，∴，B选项错误； 对于A，因为数列的公差，所以数列为递减数列，A选项正确； 对于C，设最大，则，，所以，，故， 所以的最大值为，C选项正确； 对于D，∵，， ∴使得时的最大值是14，D选项错误. 故选：AC. 8．在等差数列中，，，为数列的前项和，则下列结论正确的有（   ） A．数列是递增数列 B．数列是等差数列 C． D．数列的前8项和为50 【答案】ABD 【详解】对于A：设等差数列的公差为，则即 解得所以. 因为，所以数列是递增数列，A正确． 对于B：因为，所以， 所以数列是以为首项，以为公差的等差数列．B正确． 对于C：因为，所以当时，，当时，， 所以，，C错误． 对于D：数列的前8项和为 ，D正确． 故选：ABD． 三、填空题 9．记为等差数列的前项和，若，则 . 【答案】 【详解】设等差数列的公差为，则由题可知，， 解得，故，， 故， 故答案为：. 10．设为等差数列的前项和若，，则 【答案】63 【详解】解：设数列首项，公差， 由题意得，即， 解得， ． 故答案为：． 11．在等差数列中，，其前n项和为，若，则 . 【答案】 【详解】设公差为，因为，所以，， ，故，即， 所以， 故. 故答案为： 12．如下图，已知图中前个五边形数分别为，，，，依此规律，现有如下说法：①第个五边形数比第个五边形数多；②第个五边形数之和为；③记所有的五边形数从小到大构成数列，则数列的前项和为则正确的说法为 ． 【答案】①② 【详解】对于①，根据图形知：，，故，①正确； 对于②， ，当时，该式成立. 所以，②正确； 对于③，因，则， 故数列是首项为1，公差为的等差数列， 数列的前项和为，③错误． 故答案为：①②. 四、解答题 13．已知数列为等差数列，其前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）设等差数列的公差为， 因为，可得，解得， 则，即的通项公式为. （2）由（1）可得，， 令，解得，则； 令，解得，则； 当时， 则； 当时，则； 所以. 14．已知数列满足，且 (1)求. (2)求数列的通项公式. 【答案】(1)， (2) 【分析】 【详解】（1）因为，且， 所以，. （2）由，得， ，又符合， 所以数列的通项公式为. 15．记为数列的前项和，已知. (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）当时，，         当时，.     显然满足上式，         . （2）由（1）可知， 当时，， 是公差为的等差数列.         令，解得，且.         当时，，当时，， 当时， .     当时， .             综上， 16．已知在前项和为的等差数列中，. (1)求数列的通项公式； (2)求使得不等式成立的正整数的值. 【答案】(1) (2)且为正整数. 【分析】 【详解】（1）设等差数列的公差为， 因为，则，解得， 所以， 故数列的通项公式为. （2）由（1）知，所以， 由，即， ①当时，不等式可化为， 即，因为， 所以满足题意， ②当时，不等式，可化为， 即，解得，又，所以， 综上所述，使得不等式成立的正整数的值为且为正整数. 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第09讲 等差数列的前n项和 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 【题型01：等差数列前n项和的基本量计算】 【题型02：等差数列前n项和的比值问题】 【题型03：等差数列片段和的性质】 【题型04：等差数列的奇数项与偶数项和】 【题型05：等差数列前n项和的最值问题】 【题型06：求数列的前n项和】 【题型07：等差数列前n项和公式的实际应用及数学文化】 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：等差数列的前n项和公式 已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数 公式 等差数列前n项和的函数特点： 对于等差数列,如果是确定的,前项和. 若取,上式可写成. 当(即)时,是关于的二次函数式(常数项为0).数列的图象是抛物线上的一群孤立的点. 知识点二、等差数列的前n项和的性质及应用 1.等差数列前n项和的性质 （1）等差数列中,其前项和为,则中连续的项和构成的数列构成等差数列. （2）数列是等差数列(为常数) （3）等差数列奇偶项和的性质： ①若项数为,则. ② 2.等差数列前n项和的最值 （1）若,则数列的前面若干项为负数项(或0),所以将这些项相加即得的最小值. （2）若,则数列的前面若干项为正数项(或0),所以将这些项相加即得的最大值. 【题型01：等差数列前n项和的基本量计算】 1．已知等差数列的前n项和为，若，，则（   ） A． B． C．9 D．13 2．记等差数列的前n项和为，公差为d，若，则（   ） A．15 B．25 C．35 D．45 3．已知为等差数列，其前n项和为则（   ） A．10 B．15 C．20 D．30 4．已知等差数列的前项和为，，则 5．等差数列的前项和为，若，则下列各量的值一定为定值的是（   ） A． B． C． D． 【题型02：等差数列前n项和的比值问题】 6．已知等差数列、的前项和分别为、，若，则＝（    ） A． B． C． D． 7．已知等差数列的前项和分别为，且，则（   ） A． B． C． D． 8．已知等差数列 和 的前 项和分别为 、 ，若 ，则=（   ） A． B． C． D． 9．已知与分别是等差数列与等差数列的前n项和，且，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4. 10．已知等差数列，的前n项和分别为和，若，则满足的正整数n的个数为 . 【题型03：等差数列片段和的性质】 11．已知等差数列的前项和，，，则 ． 12．已知等差数列的前项和为，且，则 ． 13．已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A．154 B．164 C．186 D．196 14．一个等差数列的前10项和为30，前30项的和为10，则前40项的和为 ． 15．等差数列中，为其前项的和．若，，则 ． 【题型04：等差数列的奇数项与偶数项和】 16．在等差数列中，已知，那么这个数列前100项的和等于（  ） A．170 B．145 C．120 D．80 17．已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为290，所有偶数项的和为261.则此数列的项数为（    ） A．10 B．19 C．21 D．29 18．一个等差数列共有2n项，奇数项的和与偶数项的和分别为24和30，且末项比首项大10.5，则该数列的项数是（    ） A．4 B．8 C．12 D．20 19．等差数列共有12项，所有的奇数项之和为132，所有的偶数项之和为120，则公差 ． 20．已知等差数列的项数为，其中奇数项之和为140，偶数项之和为120，则数列的项数是 . 21．设 是等差数列{}的前n项的和，若 则 . 【题型05：等差数列前n项和的最值问题】 22．已知等差数列的前n项和为，公差为d，若，则的最大值为（   ） A． B．30 C． D．18 23．已知是等差数列的前项和，若，则使的最小整数（   ） A．22 B．23 C．24 D．25 24．已知公差为的等差数列的前项和为，若，，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 25．已知各项均不为零的等差数列的前n项和为，满足，，则的公差d的取值范围为（    ） A． B． C． D． 26．已知等差数列的首项为，前项和为，若，且，则的取值范围为 ． 27．记为等差数列的前项和，且满足，. (1)求； (2)是否存在最值，如果存在，求出取得最值时的值？如果不存在，请说明理由. 28．记为等差数列的前项和，已知，． (1)求公差； (2)求，并求的最小值． 【题型06：求数列的前n项和】 29．数列的前30项的和为 . 30．在等差数列中，已知，. (1)求通项及前项和； (2)求数列的前n项和. 31．已知数列的前项和为，，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 32．已知是等差数列的前n项和，，． (1)求的通项公式； (2)求的最值； (3)求数列的前n项和． 33．已知数列的前项和为，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 34．把正整数以下列方法分组，，其中从第二组起每组都比它的前一组多一个数，设表示第组中所有数的和，那么等于（    ） A． B． C． D． 35．已知数列满足． (1)求的通项公式； (2)记，求数列的前n项和． 【题型07：等差数列前n项和公式的实际应用及数学文化】 36．《张丘建算经》是中国古代的数学著作，书中有一道题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织的布量相同），第一天织5尺布，现一月（按30天计）共织360尺布”，则第30天织布（    ） A．7尺 B．14尺 C．21尺 D．19尺 37．《算法统宗》是我国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用．在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，如“九儿问甲歌”：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．在这个问题中，这位公公的长儿的年龄为（    ） A．23岁 B．32岁 C．35岁 D．38岁 38．《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次为小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种，这十二个节气，其日影长依次成等差数列，若小寒、雨水、清明日影长之和为36尺，前八个节气日影长之和为92尺，则谷雨日影长为（ ） A．15 B．16 C．17 D．18 39．（多选）我国古代数学著作《算法统宗》中有如下问题：“今有善走者，日增等里，首日行走一百里，九日共行一千二百六十里，问日增几何？”其大意是：现有一位善于步行的人，第一天行走了一百里，以后每天比前一天多走d里，九天他共行走了一千二百六十里，求d的值.关于该问题，下列结论正确的是（   ） A． B．此人第三天行走了一百二十里 C．此人前七天共行走了九百一十里 D．此人有连续的三天共行走了四百零五里 40．期中考试以后，王老师把100个糖果分给5个人，使每人所得糖果个数成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小的一份的个数为 . 41．中国古代建筑中包含许多与9相关的设计．例如，北京天坛圜丘坛的地面由扇环形的石板铺成，如图，最高层的中心是一块天心石，围绕它的第一圈有9块石板，从第二圈开始，每一圈比前一圈多9块，共9圈，则第7圈的石板数为 ，前9圈的石板总数为 ．    一、单选题 1．已知等差数列的前项和为，且，则（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 2．已知等差数列的前n项和为，若，，则（    ）． A．9 B．11 C．13 D．15 3．已知数列满足，则数列的前10项和为（　　） A．58 B．52 C．62 D．60 4．已知等差数列的前n项和为，若，为方程的两个实数根，则（   ） A．3 B．6 C．5 D．9 5．已知为等差数列的前n项和，d为其公差，且，给出以下命题：①；②；③使得取得最小值时的n为6；④满足成立的最小n值为13.其中正确命题有（    ）个. A．1 B．2 C．3 D．4 6．已知数列满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 7．已知是等差数列的前项和，且，，则下列选项正确的是（    ） A．数列为递减数列 B． C．的最大值为 D．使得时的最大值是13 8．在等差数列中，，，为数列的前项和，则下列结论正确的有（   ） A．数列是递增数列 B．数列是等差数列 C． D．数列的前8项和为50 三、填空题 9．记为等差数列的前项和，若，则 . 10．设为等差数列的前项和若，，则 11．在等差数列中，，其前n项和为，若，则 . 12．如下图，已知图中前个五边形数分别为，，，，依此规律，现有如下说法：①第个五边形数比第个五边形数多；②第个五边形数之和为；③记所有的五边形数从小到大构成数列，则数列的前项和为则正确的说法为 ． 四、解答题 13．已知数列为等差数列，其前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和. 14．已知数列满足，且 (1)求. (2)求数列的通项公式. 15．已知在前项和为的等差数列中，. (1)求数列的通项公式； (2)求使得不等式成立的正整数的值. 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $