专题2.1 和差角公式（高效培优讲义）高一数学湘教版必修第二册

2-1 和差角公式 讲义 教学目标 理解并掌握和差角公式，能灵活应用和差角公式解题. 教学重难点 1.和差角公式的灵活应用，角的配凑. 知识点01 和差角公式 cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β(C(α－β))； cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β(C(α＋β)) sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β(S(α－β))； sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β(S(α＋β)) (T(α－β)) (T(α＋β)) 【即学即练1-1】(25-26高一上·广东广州·期末)(   ) A． B． C． D． 【即学即练1-2】(25-26高一上·云南昭通·期末)(   ) A． B． C． D． 知识点02 角的配凑 ①；； ②；. 【即学即练2-1】(2025·广东清远·一模)已知，则(    ) A． B． C． D． 【即学即练2-2】(25-26高一上·宁夏石嘴山·期末)已知，则 ． 题型01 和差角的余弦 【典例1-1】(25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期末)(   ) A． B． C． D． 【典例1-2】(25-26高一上·湖北襄阳·期末)已知角的终边过点，将角的终边按顺时针方向继续旋转到点，则OQ终边与单位圆交点的横坐标为(    ) A． B． C． D． 【典例1-3】(多选)(22-23高一·全国·单元测试)下列选项中能满足的是(   ) A． B． C． D． 【典例1-4】(24-25高一下·四川泸州·期中) ． 【变式1-1】(24-25高一下·江苏淮安·月考)已知，，则的值为( ) A． B． C． D．或 【变式1-2】(25-26高一上·广东广州·期末)(   ) A． B． C． D．1 【变式1-3】(25-26高一上·江苏南通·期末)已知角终边上一点，则(    ) A． B． C． D． 【变式1-4】(22-23高一下·四川绵阳·期中)若，，则的值为(    ) A． B． C． D． 【变式1-5】(多选)(24-25高一下·江苏苏州·月考)若，则的可能值有(   ) A． B． C． D． 【变式1-6】(24-25高一下·云南楚雄·期末)已知α为第四象限角，且，则 ， ． 题型02 和差角的正弦 【典例2-1】(25-26高一上·山西朔州·期末)(   ) A． B． C． D． 【典例2-2】(25-26高一上·广东深圳·期末)在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 ，则的值为(    ) A．2 B．3 C． D． 【典例2-3】(多选)(24-25高一下·福建厦门·期末)在锐角中，角，，的对边分别为，，，若的面积为1，且，则(   ) A． B． C． D． 【典例2-4】(24-25高一下·北京顺义·期中)的内角，，的对边分别为，，，，则角的大小为 ．若角为钝角，则的取值范围为 ． 【变式2-1】(25-26高一上·安徽·期末)(    ) A． B． C． D． 【变式2-2】(25-26高一下·全国·单元测试)中，，，的对边分别是，，，则等于(   ) A． B． C． D． 【变式2-3】(25-26高一下·全国·课堂例题)(   ) A． B． C． D． 【变式2-4】(25-26高一上·湖北·期末)已知角的顶点在坐标原点，始边在轴非负半轴，将的终边绕原点逆时针旋转后，其终边经过点，则的值为(    ) A． B． C． D． 【变式2-5】(多选)(2020高三上·浙江·专题练习)给出下列四个关系式，其中不正确的是(    )． A． B． C． D． 【变式2-6】(25-26高一上·新疆乌鲁木齐·期末)已知，则 . 题型03 和差角的正切 【典例3-1】(25-26高一上·全国·课前预习)已知，则(   ) A． B． C． D． 【典例3-2】(25-26高一上·浙江衢州·期末)已知，且，则的最小值为(   ) A． B．2 C． D． 【典例3-3】(多选)(24-25高一下·全国·课后作业)已知，则等于(    ) A． B． C． D．7 【典例3-4】(25-26高一下·全国·课后作业)已知，，且． (1)则的值为 ；(2)则的值为 ． 【变式3-1】(24-25高一上·福建莆田·期末)已知，则( ) A．2 B．-2 C． D． 【变式3-2】(24-25高一下·贵州安顺·期末)的值为(   ) A． B． C．1 D． 【变式3-3】(25-26高一上·江苏无锡·月考)如图所示，三个边长为的正方形相连，若，，则(   ) A． B． C． D． 【变式3-4】(25-26高一上·广东广州·期末)已知，，则(   ) A． B． C． D． 【变式3-5】(多选)(25-26高一上·广东湛江·期末)下列等式成立的是(   ) A． B． C． D． 【变式3-6】(25-26高一上·福建三明·期末)已知，则 ． 一、单选题 1.(25-26高一上·山东·月考)(    ) A． B． C． D． 2.(25-26高一下·全国·课后作业)若，则(   ) A． B． C． D． 3.(25-26高一上·天津西青·期末)已知，都是锐角，，，则的值为(    ) A． B． C． D．或 4.(25-26高一下·全国·课后作业)已知角和满足，则(   ) A． B． C． D．3 5.(25-26高一上·湖南长沙·期末)已知函数，则“”是“为偶函数”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6.(24-25高一下·湖北武汉·期末)在中，A，B，C所对的边分别为，已知且，若面积为4，则( ) A．2 B． C． D． 7.(23-24高一下·江苏徐州·期末)已知，，，，，则(    ) A． B． C． D． 8.(23-24高三上·湖北·月考)在锐角中，角的对边分别为，且的面积，则的取值范围为(    ) A． B． C． D． 二、多选题 9.(24-25高一下·山东淄博·月考)若，，且，，则以下说法正确的是(    ) A． B． C． D． 10.(2025·贵州毕节·二模)在中，内角、、所对的边分别为、、，已知，，则(    ) A． B．的周长的最大值为 C．当最大时，的面积为 D．的取值范围为 11.(23-24高一下·江苏镇江·月考)已知，且，则以下结论正确的是(    ) A． B．有最大值 C．有最大值 D．有最小值 三、填空题 12.(25-26高一上·浙江杭州·期末) . 13.(24-25高一下·北京·期中)《周髀算经》中给出了弦图，所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大的正方形，若图中直角三角形两锐角分别为，其中小正方形的面积为4，大正方形面积为9，则下列说法正确的是 . ①每一个直角三角形的面积为；②；③；④ 14.(23-24高一下·安徽阜阳·期末)在锐角中，角的对边分别为，的面积为，满足，若，则的最小值为 ． 四、解答题 15.(25-26高一上·云南大理·期末)计算下列式子： (1)；(2)已知，且为第三象限，求. 16.(25-26高二上·湖南娄底·期末)在中，角所对的边分别为，且,,． (1)求；(2)求的面积． 17.(25-26高一下·全国·课堂例题)(1)已知，， ，若，求的值． (2)已知，是方程的两根，且，，求． 18.(25-26高一上·江苏无锡·期末)(1)已知，求； (2)已知，且，求的值． 19.(23-24高一下·江苏常州·期末)在斜三角形中，内角的对边分别为，记． (1)若，求的最小值；(2)若，且为钝角，求的最大值；(3)直接写出两个函数与的解析式，使得对于一切满足条件的，都有，且代数式恒为定值． 第 1 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 2-1和差角公式讲义 内容概览 教学目标、教学重难点 题型01和差角的余弦 2-1和差角公式 知识点01和差角公式 题型02和差角的正弦 题型03和差角的正切 知识点02角的配凑 教学目标、教学重难点 教学目标 理解并掌握和差角公式，能灵活应用和差角公式解题， 教学重难点 1和差角公式的灵活应用，角的配凑 知识清单 知识点01和差角公式 cos(a-B)=cos acos B+sin asin B(C()); cos(a+B)=cos acos B-sin asin B(C(+)) sin(a-B)=sin acos B-cos asin B(S(ap)); sin(aB)=sin acos B+cos asin B(S(a) tana-B)=(Ta-）(aB&-B≠+krk∈Z) 1+tanqtanβ tan(c)itanctanp a+a里(Ta+)(a,B,a+B≠5+kk∈Z) 【即学即练1-1】(25-26高一上广东广州·期末)cos15°=() A.2-6 B.②-V6 C.2+v6 D.②V6 2 4 4 2 【即学即练1-2】(25-26高一上·云南昭通·期末)cos83cos23°+sin83sin23°=() A专 B.3 2 C. 09 知识点02角的配凑 ①a=(a+)-B;a=B-(B-): ②(+四=7-(-网：a=4-(-四 【即学即练21】(2025广东清远·一模)已知sim(0+)=(-≤日≤)，则c0s0=() A.4② B.4+2 C.22 D.242 6 6 6 6 第1页共8页 品学科网·上好课 www zxx k co m 上好每一堂课 【即学即练2-2】(25-26高一上·宁夏石嘴山期末)已知sin(a+B)=,sin(a-B)=号则e 题型精讲 题型01和差角的余弦 【典例1-1】(25-26高一上黑龙江哈尔滨期末)cos22°cos38°-sin22°c0s52°=() A.cos16 B.-c0s16° C. D.-2 【典例1-2】(25-26高一上湖北襄阳期末)已知角6的终边过点P(-12,5),将角8的终边按顺时针方向继续旋 转到点Q,则OQ终边与单位圆交点的横坐标为) A.-12+5V3 B.-12-5v3 C.5-123 D.5+123 26 26 26 26 【典例1-3】（多选）22-23高一全国，单元测试)下列选项中能满足cosacosB=5+sinasin8的是() 2 Aa=罗B=婴 B.a=5B=-F C.a=3B-7 D.a-38= 6 6 【典例1-4】24-25商一下四川泸州期中汽c0s15°-$im15°=- 【变式1-1】2425高一下江苏准安月考)已知c∈(0，)cos=号则cos(a+)的值为) A.3V0 10 B.2 5 C.v10 10 0或细 【变式1-2】(25-26高一上广东广州期末)cos8°cos37°+sin188°sin37°=() A-号 C.c0s29° D.1 【变式1-3】(25-26高一上江苏南通期末)已知角a终边上一点P(-3,9,则cos(仔+d)=() A.、2 10 B.、② 10 C.v2 10 D.V2 10 【变式1-41(2-23高一下四川绵阳期中)若ae(（o,)sin(-)=子则cosa的值为) A.6+1 C.2v2-3 D.22+v3 3 B.61 3 6 6 【变式1.51（多选24-25高一下江苏苏州，月考）若simx+c0sx=c0sx+9),则p的可能值有） 11π A.6 B. c.8 D.- 第2页共8页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【变式16】24-25高一下.云南楚雄：期末已知a为第四象限角，且cosa=号则sima= ,cos(a十 题型02和差角的正弦 【典例2-1】(25-26高一上山西朔州期末)sin140°cos20°-cos40°cos110°=() A- 8.号 c.- D.月 【典例2-2】(25-26高一上广东深圳期末)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,C,若S△4Bc= 9,2asim(B+)=V3c,2sinB=3sinc,则a的值为() A.2 B.3 C.V3 D.√7 【典例2-3】（多选）24-25高一下·福建厦门期末)在锐角△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若△ABC 的面积为1，且asinB-bcosA=台，则() A.sinA=月 B.tanc>号 c.<< D.a2+b2+c2≥7 【典例2-4(24-25高一下北京顺义，期中)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,ccosA+acosC=2 bcosA, 则角A的大小为·若角C为钝角，则的取值范围为 【变式2-1】(25-26高一上.安徽期末)sin18°cos12°+sin72°sin12°=() A-号 B.3 2 c.- I变式2-2】(25-26高一下·全国.单元测试)△ABC中，A,B,C的对边分别是a,b,c,则acosB+bcosA等 于() A.2cosC B.2sinC C.atb D.c 2 【变式2-3】(25-26高一下.全国.课堂例题)sin75°sin15°=() A月 8.月 c.- 【变式2-4】（25-26高一上湖北期末)已知角a的顶点在坐标原点，始边在x轴非负半轴，将的终边绕原点 逆时针旋转后，其终边经过点P(-1,V②，则sina的值为) A.3+6 B.3-6 C.-22+3 6 6 6 【变式2-5】（多选）(2020高三上浙江.专题练习)给出下列四个关系式，其中不正确的是() 第3页共8页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.sinasinB=[cos(a+B)-cos(a-B)] B.sinacosB=[sin(+)+sin(a-B)] C.cosacosB=-[cos(+B)-cos(a-B)]D.cosasinB=[sin(a+B)-sin(a-B)] 【变式2-6】(25-26高一上新疆乌鲁木齐，期末)己知sina+cosβ=1，cosa+sinB=0,则 sin(a+β)=」 题型03和差角的正切 【典例3-1】(25-26高一上.全国.课前预习)已知tana=5,tanB=6,则tan(a+B)=() A号 B.# c.- 【典例32】(25-26高一上浙江衢州：期末)已知0≤a<B< ,且cosa=3 sinBsin(a+β)，则tan(a+2β) 的最小值为) A.2W2 B.2 C.3 D.V2 【典例3-31（多选）2425高一下全国课后作业)已知cosa=-手则tan(任-a等于() A.月 B.-7 C. D.7 【典例34】(25-26高-下·全国课后作业)已知tan(a-B)=子tanB=-子且a,Be(0,m. (1)则tana的值为；(2)则2a-B的值为： 【变式3-1】(24-25高一上：福建莆田期末)已知tan(a-)=子则tana=() A.2 B.-2 C. 0- 【变式32】(24-25高-下贵州安顺期未的值为) A. B.V3 C.1 D.-3 【变式33(25-26高一上江苏无锡·月考)如图所示，三个边长为V7的正方形相连，若LABD=心，∠ACD=B, 则tan_BAC=() c.- 第4页共8页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 《变式3-4(25-26高一上广东广州期末)已知sin(a-B)=3cos(a+B),tan(a-B)=2,则tana·tanB=() A .言 c君 D.月 【变式35】（多选）(25-26高一上广东湛江·期末)下列等式成立的是() A.2sin15+号cos15°=649 B.tan18°+tan42°+√3tan18tan42°=√3 C.am50=-V3 D.1tam275°=Vg 1+tan15° 1+tan275°-2 【变式3-6】(2526高一上福建三明期未已知o=片则tam(e到- 强化训练 一、单选题 1.(25-26高一上山东·月考)c0s(-75)=() A.6-2 B.6+2 C.6-2 D.2-6 2 4 4 4 2.(25-26高一下-全国，课后作业)若tana=},tan(a-B)=之则tamB=() A月 B.8 c.- 3.(25-26高一上天津西青期末已知a,B都是锐角，sina=手cos(a+B)=点则sinB的值为() A治 B.岩 c 0.或赠 4.(25-26高一下.全国课后作业)已知角a和B满足sim(a+B)=2sin(a-B),则ae=() A吉 C. D.3 5.(25-26高一上·湖南长沙.期末)已知函数f(x)=cos(x+p),则“f(-1)=f(1)”是“f(x)为偶函数”的） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.(24-25高一下湖北武汉期末)在△ABC中，A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a+b=8且tam吃-2oB sinB 若△ABC面积为4，则tanC=() A.2 B.2 C. D. 第5页共8页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 7.(23-24高一下江苏徐州.期末)已知a,B,Y∈(0，)，sinB+siny=sina,cosa+cosy=cosβ，则() A.sin(B-)=:B.sim(B+a)）=月 C.a-y=2β D.a+Y=2β 8.(23-24高三上湖北·月考)在锐角△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且△ABC的面积S=bc(1-c0sA), 则紧的取值范围为() A.后+ B.) c.) 0.层) 二、多选题 92425高一下山东淄博月考)若sin2a=9,sin(B-)-且a∈[匠，Be[引， 则以下说法正确 的是() A.cos2a=- 2v5 5 B.cos2a=25 5 c.a+B-号 D.a+B-号 10.(2025贵州毕节.二模)在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,已知a=V3,(a+b)(sinB-sinA)= c(sinB-sinC),则() A,A=若 B.△ABC的周长的最大值为3V3 C.当b最大时，△ABC的面积为号 D.b-c的取值范围为(-V3,V3 11.,(23-24高一下江苏镇江月考)已知a,B∈(0，)，且sinB-2cos(a+B)sina,则以下结论正确的是(） A.tan(a+B)=3tana B.tanB有最大值V3 C.tamg有最大值号 D.tamB有最小值号 三、填空题 12.(25-26高一上.浙江杭州.期末)tan24°+tan36°+√3tan24°.tan36°= 13.(2425高一下·北京·期中)《周髀算经》中给出了弦图，所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个 小正方形拼成一个大的正方形，若图中直角三角形两锐角分别为α，B,其中小正方形的面积为4，大正方形 面积为9，则下列说法正确的是 a ①每一个直角三角形的面积为号：②3cosB-3cosa=2;③3sinB-3 Bsina=2;④cos(a-B)=号 第6页共8页 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 14.(23-24高一下·安徽阜阳期末)在锐角△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,△ABC的面积为S,满足2S= a2-(b-c)2,若a2+b2=2tS,则t的最小值为 四、解答题 15.(25-26高一上·云南大理期末)计算下列式子： (1)sin(2t)sin(-a)cos(n-a) m白ae+os后司：2已知sin(B-aco+cos(B-)sina=-是且B为第三象限，求cos(B+) 16.(25-26高二上湖南娄底·期末)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且3 csinA=5 asinCcosB,cosA= 2b=4. (1)求a;(2)求△ABC的面积. 172526商一下全国课堂例题尼知a,Be(0,0.cosa=-0,若snm(2a+)=n0,求a+B的 值 (2)已知tana,tanB是方程x2+33x+4=0的两根，且a,B∈（-2)，求a+B. 第7页共8页 而学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 18.(25-26高一上江苏无锡期末(1)已知tana=2,求m-+2o登+。 cos(2π-a)-sin(-a) 2)已知cos(a+B)=手，simn(a-)=号且<a+B<2m,<a-B<m,求B的值。 1923-24高一下江苏常州期末在斜三角形A8C中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c记1=也 a若=2，求cos的录小值：2者cosA-)-c09C=mm且C为纯角，求的最大值：3直接写 出两个函数f)与g)的解析式，使得对于一切满足条件的入，都有tan tan?=f),且代数式te8t9四 g(⑦)cosAcosB 恒为定值. 第8页共8页丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 2-1和差角公式讲义 内容概览 教学目标、教学重难点 题型01和差角的余弦 2-1和差角公式 知识点01和差角公式 题型02和差角的正弦 题型03和差角的正切 知识点02角的配凑 教学目标、教学重难点 教学目标 理解并掌握和差角公式，能灵活应用和差角公式解题， 教学重难点 1和差角公式的灵活应用，角的配凑， 知识清单 知识点01和差角公式 cos(a-B)=cos acos B+sin asin B(C()); cos(a+B)=cos acos B-sin asin B(C(+)) sin(a-B)=sin acos B-cos asin B(S(ap)); sin(aB)=sin acos B+cos asin B(S(a) tana-B)=(Ta-）(aB&-B≠+krk∈) 1+tanqtanβ tan(+tamtang a+aE(Ta+)(a,B,a+B≠5+kk∈Z) 【即学即练1-1】(25-26高一上广东广州期末)cos15°=() A.2-v6 B.②-V6 C.2+v6 4 D.2+v6 2 4 2 【答案】C【难度】0.94【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值、求15°等特殊角的余弦 【分析】将15°=45°-30°，再根据两角差的余弦公式计算可得 【详解】因为cos15=c0s(45”-309）=c0s450s30°+sn45030°-号×9+号×- 2 2 4 故选：C 【即学即练1-2】(25-26高一上·云南昭通·期末)cos83cos23°+sin83°sin23°=(） A月 8.、3 2 C. 9 【答案】C【难度】0.94【知识点】逆用和、差角的余弦公式化简、求值 【分析】用两角差的余弦公式化简求值即可得解 【详解】c0s83°c0s23°+sin83°sin23°=c0s(83°-23)=c0s60°=2 故选：C 第1页共22页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 知识点02角的配凑 ①a=(a+)-B;a=B-(B-): ②(+叫=2-(4-)：a=4-(-) 【即学即练21】(2025广东清远一模)已知sim(0+)=(-≤日≤)，则c0s0=() A.42 B.4+2 C.22 D.2+2 6 6 6 6 【答案】B【难度】0.85【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值、已知正（余）弦求余（正）弦 【分析】根据给定条件，利用平方关系及差角的余弦公式求解， 【详解】由-誓≤0≤：得-≤0+≤行由sim0+)=专得cos(0+骨)=1-(2-9 cos0 =cos[(+]=cos(0)cos+sin()simx 32 2 6 故选：B 【即学即练2-2】(25-26高一上宁夏石嘴山：期末已知sin(a+B)=,sin(a-)=号则 nB 【答案】-2【难度】0.85【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】根据两角和差的正弦公式化简求出sinacosB=手cossinB=-一即可。 5 【详解】因为sin(a+B)=sinacosB+cosasing- 5 sin(a-)=inc-o6=子所以sicos=,co8=-子则-g=-2 5 5 故答案为：-2 题型精讲 题型01和差角的余弦 凰典例1-1】(25-26高一上.黑龙江哈尔滨期末)cos22°c0s38°-sin22°cos52°=() A.cos16' B.-c0s16 C. D.-月 【答案】C【难度】0.94【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值、诱导公式二、三、四 【分析】利用诱导公式把余弦化为正弦，再利用余弦和角公式计算求解. 【详解】cos52°=cos(90°-38)=sim38°， ∴cos22cos38-sin22cos52=cos22cos38-sin22sin38=cos(22°+38)=cos60'=2故c正确。 故选：C 【典例1-2】(25-26高一上湖北襄阳期末)已知角6的终边过点P(-12,5),将角6的终边按顺时针方向继续旋 转到点Q,则00终边与单位圆交点的横坐标为) A.-12+5V3 B.-12-5v5 C.5-125 D.5+125 26 26 26 26 【答案】A【难度】0.65 【知识点】已知两角的正、余弦，求和、差角的余弦、由终边或终边上的点求三角函数值 【分析】根据三角函数定义及两角和与差的余弦公式即可求出 第2页共22页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【详解】由题可知cos0=x -12 =-2，sin0=￥ 5 5 (-12)2+52 13 √(-12)2+52 13 角的终边按顺时针旋转到点Q,因此00对应的角为α=日-胃 所以cos(6- ）=os6cos+m9sm时（周+9- 26 故选：A. 【典例13】（多选）22：23高一全国：单元测试下列选项中能满足coscos-普+sinasin的是() A.a=罗，B=买 B.a=2,B=-5 C.a=B=5D.u=5,B=8 【答案】AB【难度】0.85【知识点】诱导公式二、三、四、用和、差角的余弦公式化简、求值 【分析】利用两角和的余弦公式及余弦函数的图象和性质结合条件即得 【详解】由两角和的余弦公式，得cos(a+)-马 所以a+B=2km+若k∈刀或a+B=2km+gke),所以AB正确，cD错误 故选：AB 【典例1L4124-25高一下-四川泸州期中受c0s15-sin15°= 【答案】号V巨【难度】094【知识点】逆用和、差角的余弦公式化简、求值 【分析】由已知结合两角和的余弦公式进行化简即可求解， 【详解】原式=c0s30cos15°-8in30°sim15°=c0s45°-号 故答案为：号 【变式11】(24-25高一下-江苏准安月考)已知aE(0,),cosm-9则cos(c+到)的值为M) A.3v10 B.2 10 5 C._v10 10 D.或- 10 10 【答案】C【难度】0.94【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、已知两角的正、余弦，求和、差角的余弦 【分析】根据同角关系以及余弦的和角公式即可求解 【详解】由于ue(0,习 co8a=昌故ma=V1-co9a= 5 cos(a+) 2 10 故选：C 【变式1-2】(25-26高一上·广东广州，期末)cos8cos37°+sin188°sin37°=() A.、② 2 号 C.cos29° D.1 【答案】B【难度】0.85【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值 【分析】利用两角和的余弦公式，特殊角的三角函数值即可求解 【详解】cos8°cos37°+sin188°sin37°=cos8°cos37°+sin(180°+8)sin37°=cos8°cos37°-sin8°sin37°= cos(g+37刃=cs45=号 故选：B. 第3页共22页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【变式1-3】(25-26高一上江苏南通：期末)已知角α终边上一点P(-3,4,则cos(任+a）=() A.- 10 B. c号 D.8 【答案】A【难度】O.65【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、用和、差角的余弦公式化简、求值 【分析】由终边上的点表示三角函数值，结合余弦两角和差公式计算即可. 【详解】因为角a终边上一点P(-3,4), 所以cosa= +号sa74o京所以cos(作+d）=cos子osa-sinsin=侣 0 10 故选：A 【变式1-4】(22-23高一下四川绵阳期中)若a∈(0，习)，sin(a-)=子，则cosa的值为) A B.6 C.22g D.22+v5 3 6 6 【答案】C【难度】0.65【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值 【分析】由cosa=cos(a-+)利用两角和的余弦公式求解 【详解】因为ae(o,习)，所以a-5e(-5) 又sim(a-)=}>0,则a-(0,)所以cos(a-)=9, 所以osa=cos(a-号+月）=cos(a-)osm(a-月sin-乎×}-x誓-29 6 故选：C 【变式1-5】（多选）(24-25高一下-江苏苏州月考)若simx+2cosx=c0sx十p),则p的可能值有() A. B.号 C.π 6 【答案】BD【难度】0.85 【知识点】特殊角的三角函数值、诱导公式二、三、四、用和、差角的余弦公式化简、求值 【分析】根据两角和的余弦公式可知c0sp=之sm0=一呉，选项代入进行判断即可。 【详解】因为号six+片coax=cos(c+p) 又cos6x+)=cosxc0s0-sinsinp,则c0s0=且sin0=-号 2 选项中，当0=一号或时均符合，当9=一或时不符合 故选：BD 【变式16124-25高一下云南楚雌：期已知a为第四象限角，且c0sa=普则smw cos(a+ 9 【答案】-5,3匹【难度】0.94【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值、已知正（余）弦求余（正）弦 5310 【分析】利用同角的正余弦的平方关系可求得sima:利用两角和的余弦公式可求得c0s(α+) 【详解】因为c0sa=号且a为第四象限角，所以可得sina=-V-cosa=-25 5 第4页共22页 而学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 所以cos(e+=竖cosa sina=3vo 2 10 故答案为： ①- 题型02和差角的正弦 厦典例2-1】(25-26高一上山西朔州期末)sin140°cos20°-cos40°cos110°=() A-号 8.号 c.-月 D.月 【答案】B【难度】0.94【知识点】诱导公式、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】根据三角函数的诱导公式，正弦的和角公式以及特殊角与特殊值即可计算求得 【详解】因为sin140°=sin(180°-40)=sin40°，cos110°=cos(90°+20)=-sin20°， 所以sin140°c0s20°-c0s40°cos110°=sin40°cos20°-cos40°(-sin20) =sim40c0s20+c0940sin20°=sin(40+20)=sn60-号 故选：B. 【典例2-2】(25-26高一上广东深圳期末)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若S△4Bc= 9,2asim(B+)=V3c,2sinB=3sinc,则a的值为M() A.2 B.3 C.v3 D.7 【答案】D【难度】0.65【知识点】余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、正弦定理边角互化的应 用、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】根据正弦定理及两角和的正弦公式化简己知得sinAsinB=V3 cosAsinB,进而求得A=票利用面积 公式求得c=2,最后利用余弦定理求解即可 【详解】在△ABC中，因为2sinB=3simC,所以由正弦定理得2b=3c, 由2asin(B+)=V3c及正弦定理得 sinA(sinB +V3cosB)=V3sinC =V3sin(A+B)=V3(sinAcosB cosAsinB), 即sinAsinB=√3 cosAsinB,因为B∈(0，m,所以sinB≠0，所以tanA=√3， 又Ae0,m,所以A=号所以火5c=besind-9c2-兰，得c=2,则b=3 所以由余弦定理可得a2=b2+c2-2 bccosA=9+4-6=7,所以a=√7. 故选：D 【典例2-3I(多选)(24-25高一下·福建厦门·期末)在锐角△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若△ABC 的面积为1，且asinB-bcosA=台则() A.sind B.tanc c.g<<号 D.a2+b2+c2≥7 【答案】ACD【难度】0.4【知识点】余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、正弦定理边角互化的 应用、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】对A,由正弦定理结合平方关系求解判断：对B,由A+C>乏得0<-A<C<三根据正切函 数的单调性和诱导公式求解判断；对c,由正孩定理结合三角恒等变换可得-点+号结合aC>状解 第5页共22页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 判断：对D,由三角形面积公式可得bc=乏再由余弦定理结合基本不等式求解判断， 【详解】对于A,由正弦定理，得bsinA-bcosA=?所以sinA-cosA=号 因为sim2A+cos2A=1,所以(cosA+)+cos2A=1,解得cosA=或c0sA=-音 因为A∈(0，习所以c0sA=子sinA=V1-cos2A=言故A正确： 对于B,在锐角△ABC中，A+C>受则0<营A<C<号 所以tanc>tan(复-A）-品-子故B错误： 对于C,色=g-snCa+Q=sim4cosc+eo84sinc- scosC+isinc 3 sinc sinc sinc 因为amc>子所++号所以呢<<号故c正 5 对于D,因为△ABC的面积为1，即吃besinA=-1,所以bc= 所以a2+b2+c2=2b2+2c2-2bc0sA=2b2+22-bc≥4bc-bc=7, 当且仅当b=c=罗等式成立，故0正确， 故选：ACD 【典例2-4(24-25高一下.北京顺义·期中)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,ccosA+acosC=2 bcosA, 则角A的大小为 ·若角C为钝角，则的取值范围为一· 【答案】；(O,习【难度】0.4【知识点】求三角形中的边长或周长的最值或范围、正弦定理边角互化的应 用、用和、差角的正弦公式化简、求值、求正切（型）函数的值域及最值 【分析】第一空：利用正弦定理边化角，进而根据三角恒等变可求得c0sA,可求A;第二空：利用边化角， 结合C的范围，可求的取值范围， 【详解】第一空：由ccosA+acosC=2 bcosA,可得sinCcosA+sinAcosC=2 sinBcosA, 所以sin(C+A)=2 sinBcosA,所以sinB=2 sinBcosA, 因为0<B<m,所以sinB≠0，所以cosA=2又0<A<,所以A= 第二空：因为角C为钝角，所以<C<所以tanC<-V3, 所以g-二=≌-二+点+()所以的取值范国(@》 sinc sinc 故答案为：①导：②(0，) 凰变式2-1】(25-26高一上·安微期末)sin18°cos12°+sin72°sin12°=() A.- 2 B. c.- 0.月 【答案】D【难度】0.94【知识点】诱导公式五、六、逆用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】结合诱导公式，根据两角和的正弦公式的逆用化简计算即可. 【详解】易知sim18cos12+sin72°sin12"=sin18cos12°+cos18sin12=sin(18+12)=sin30°=号 故选：D. 第6页共22页 而学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 I变式2-2】(25-26高一下.全国.单元测试)△ABC中，A,B,C的对边分别是a,b,c,则acosB+bcosA等 于() A.2cosC B.2sinC C.+地 2 D.c 【答案】D【难度】0.85【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理边角互化的应用 【分析】根据给定条件，利用正弦定理，结合和角的正弦公式化简即得 【详解】在△ABC中，由正弦定理得 acosB bcosA 2R(sinAcosB sinBcosA)=2Rsin(A+B)=2RsinC =c. 故选：D 【变式2-3】(25-26高一下.全国·课堂例题)sin75°sin15°=() A.月 B. c.- D.- 【答案】B【难度】0.65【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】根据两角和差公式分别计算sin75°和sin15°，再sin75°sin15°计算即可. 【详解】因为sm75=sim(45+30)=sn45'cos30+eos45sin30=号×号+号x9 2 4 sim15=sin(45°-30)=sin45°cos30°-cos45°sin30°=y2x9_-2x号=6-2， 2 222 4 所以s5m75°sin15°=64×62=号 故选：B I变式2-4】(25-26高一上湖北·期末)己知角a的顶点在坐标原点，始边在x轴非负半轴，将a的终边绕原点 逆时针旋转后，其终边经过点P(-1,V②，则sina的值为() A.3+6 B.3-6 C.-2W2+v3 6 6 D.3 6 【答案】A【难度】O.65【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、由终边或终边上的点求三角函数值 【分析】由题可得a+终边过点(-1，V②，则可得sim(a+),cos(a+) ,据此可得答案」 【详解】由题可得a+终边过点(-1，V2 -1 -V3 (-1)2+2 3 则sma=sm(e+号)=sin(a+到cos号cos(a+)sin=9x好+兰×号= 2 2 6 故选：A 【变式2-5】（多选）(2020高三上·浙江·专题练习)给出下列四个关系式，其中不正确的是(). A.sinasinB=[cos(a+B)-cos(a-B)]B.sinacosB=[sin(a+B)+sin(a-B)] C.cosacosB--[cos(+B)-cos(a-B)]D.cosasinB-[sin(+B)-sin(a-B)] 【答案】AC【难度】0.94【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、用和、差角的余弦公式化简、求值 【分析】根据sin(a±B)=sinacosβ土cosasinB,cos(a±)=cosacosB千sinasinB,进行化简可得结果. 【详解】由sin(a+B)=sinacosB+cosasinB,sin(a-B)=sinacosB-cosasinB 第7页共22页 而学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 两式相加可得sinacosB=[sim(a+)+sin(a-B],故B正确 两式相减可得cosasinB-[sim(a+)-sin(a-B小，故D正确 cos(a+B)=cosacosB-sinasinB,cos(a-B)=cosacosB sinasinp 两式相减可得sinasin=-[cos(c+P)-cos(a-B)],故A,C错 故选：AC 【变式2-6】(25-26高一上·新疆乌鲁木齐.期末)己知sin+cosB=1,cos+sinB=0,则 sin(a+B)=」 【答案】--0.5【难度】0.94 【知识点】sinatcosa和sina-cosal的关系、用和、差角的正弦公式化简、求值、给值求值型问题 【分析】给条件的两式平方相加，再结合基本关系式及两角和的正弦公式可得。 【详解】由sina+cosB=1,cosa+sinB=0,两式两边平方相加， sin2a+2 sinacos/β+cos2β+cos2a+2 cosasinB+sin2β=1， sin2a cos2a 2sinacosB 2cosasinB cos2B sin2B =1 1+2(sinacosB+cosasinB)+1=1,1+2sin(+B)+1=1,sin(a+B)=- 故答案为：是 题型03和差角的正切 【典例31】(25-26高一上·全国-课前预习)已知tana=,tans=6,则tan(c+)=() A品 B.8 c- 0品 【答案】A【难度】0.94【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值 【分析】根据两角和的正切公式tan(a+B)=am4ag, 代入已知tana=,tanβ=6计算求解 1-tanatanB' 6 【详解】根据两角和的正切公式tan(a+B)=amna4a 1-tanatanB 代入已知tana=taB=6可得，tan(a+)= 41 6 故选：A 【典例3-2】(25-26高一上.浙江衢州，期末)已知0≤a<B<零且cosa=3 sinBsin(a+B),则tan(a+2β) 的最小值为) A.2V2 B.2 c.3 D.V2 【答案】A【难度】0.65【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值、基本不等式求和的最小值、用和、 差角的正弦公式化简、求值 【分析】由两角差的余弦公式、同角三角函数的商数关系化简cosa=3 sinBsin(a+B)可得tan(a+B)=2x 再由两角和的正切公式可得tam(a+28)=2(+ta) 最后由基本不等式求解即可. 【详解】由cosa=3 sinBsint(a+)可得：cosa=cos[(a+)-]=3sinβsin(a+β)， 即cos(a+)cosβ+sin(a+B)sinβ=3sinβsin(a+β)， 第8页共22页 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 所以cos(a+β)cosB=2sinβsin(a+B), 因为0≤a<B<所以0<a+B<2所以cos(a+B)>0,cosf>0, 所以等式两边同时除以cos(a+)cosB,所以tan(a+)anB=立即tan(c+)= 所以tan(a+2B)=tan[(a+)+B】=aa+tta 1-tan(a+B)tan -2(+am) 因为0<B<,所以tanB∈(0,1)， 所以2（品+ta)≥4 2tanB tang=2W2,当且仅当=tam8,即tamg=号时取等， 所以tan(a+2β)的最小值为2V2. 故选：A 【典例33】（多选）24-25高一下全国-课后作业)已知cosa=-手，则tan(任-a等于() A-月 B.-7 C. D.7 【答案】CD【难度】0.85 【知识点】已知弦（切）求切（弦）、已知正（余）弦求余（正）弦、用和、差角的正切公式化简、求值 【分析】根据同角三角关系可得taa=土士子结合两角和差公式运算求解， 【详解】因为cosa=- 则sma=土V-cos2a=土号可得ama=二=土号 当ama=，am(任-d）-二-克 当tana=- 时，am(仔-）=二=7.结合选项可知：A8错误，D正角 故选：CD 【典例3-4】(25-26高-下：全国课后作业)已知tan(a-B)=子tan8=-子且x,Be(0,m. (1)则tana的值为 ；(2)则2a-B的值为一· 【答案】导-【难度】0.65 【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值、给值求角型问题 【分析】(1)根据两角和的正切公式求解即可. (2)根据两角和的正切公式结合特殊角的正切值求解即可. 11 详解)山tama=tana-)+A=2a= (2)tan(2a-B)=tan[(a-B)+a]tm()tam=1. 1-tan(a-B)tana 因为tanB=-号<0，所以5<B<元 因为tana=号>0，所以0<a<乏所以-r<a-B<0. 而tan(a-B)=2>0,所以-t<a-B<-2 所以2a-Be(0).所以2a-B=-平 故答案为：子-婴 第9页共22页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【变式3-1】(24-25高一上福建莆田·期末)已知tan(a-牙)=子则tana=() A.2 B.-2 C. D.- 【答案】A【难度】0.94【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值 【分析】由两角差的正切展开式计算可得 【详解】tan(a-)= tand-tan 解得tana=2. 1+tanatan 1+tana 故选：A 式32】(24-25高一下贵州交顺期末片的值为) A. B.3 C.1 D.-V3 【答案】B【难度】0.94【知识点】逆用和、差角的正切公式化简、求值 【分析】先把tan45°=1代入原式，逆用两角和的正切公式即可求得答案. 【详解】+m5=5t=tan(450+159)=tan60°=V3 1-tan150 1-tan45tan150 故选：B. 【变式33(25-26高一上江苏无锡·月考)如图所示，三个边长为V7的正方形相连，若LABD=,∠ACD=B, 则tanzBAC=() a B B.月 c.- D. 【答案】B【难度】0.85【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值、利用定义求某角的三角函数值 【分析】根据图形先求出α，β的正切值，再利用两角差的正切公式计算即得 11 【详解】由图知tana=品-amg-铝-京则am∠BAC=am(B-)-二- 23 1 厂+tam6aa1+ 故选：B 【变式3-4(25-26高一上广东广州期末)已知sim(a-B)=3cos(a+B),tan(a-B)=子，则tana·tanB=) A. B c名 o.引 【答案】D【难度】0.65【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、用和、差角的正切公式化简、求值 【分析】根据和差公式可得sinacosB-cosasinB=3(cosacosB-sinasinB),再变形得到tana-tanB= 3(1-tanctang),再由tan(a-B)= tana-tanB 得到tana-tanB=(1+tanctanB),再联立解方程组 即可 【详解】sin(a-B)=3cos(a+),∴.sinacosβ-cosasinB=3(cosacosB-sinasinβ)， ÷in-cosasin=3(o8acos8-sincin） ,即tana-tanB=3(1-tanatanB)①， cosacosB cosacosB ytan(a-B)=2-1+tamatang' 1 tana-tanB 即tana-tanB=2l+tandtan)②，. 第10页共22页 2-1 和差角公式 讲义 教学目标 理解并掌握和差角公式，能灵活应用和差角公式解题. 教学重难点 1.和差角公式的灵活应用，角的配凑. 知识点01 和差角公式 cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β(C(α－β))； cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β(C(α＋β)) sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β(S(α－β))； sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β(S(α＋β)) (T(α－β)) (T(α＋β)) 【即学即练1-1】(25-26高一上·广东广州·期末)(   ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.94【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值、求15°等特殊角的余弦 【分析】将，再根据两角差的余弦公式计算可得. 【详解】因为 . 故选：C 【即学即练1-2】(25-26高一上·云南昭通·期末)(   ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.94【知识点】逆用和、差角的余弦公式化简、求值 【分析】用两角差的余弦公式化简求值即可得解. 【详解】. 故选：C． 知识点02 角的配凑 ①；； ②；. 【即学即练2-1】(2025·广东清远·一模)已知，则(    ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.85【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值、已知正(余)弦求余(正)弦 【分析】根据给定条件，利用平方关系及差角的余弦公式求解. 【详解】由，得，由，得， 所以. 故选：B 【即学即练2-2】(25-26高一上·宁夏石嘴山·期末)已知，则 ． 【答案】【难度】0.85【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】根据两角和差的正弦公式化简求出即可. 【详解】因为 ，所以，则. 故答案为： 题型01 和差角的余弦 【典例1-1】(25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期末)(   ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.94【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值、诱导公式二、三、四 【分析】利用诱导公式把余弦化为正弦，再利用余弦和角公式计算求解． 【详解】， ，故C正确． 故选：C． 【典例1-2】(25-26高一上·湖北襄阳·期末)已知角的终边过点，将角的终边按顺时针方向继续旋转到点，则OQ终边与单位圆交点的横坐标为(    ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.65 【知识点】已知两角的正、余弦，求和、差角的余弦、由终边或终边上的点求三角函数值 【分析】根据三角函数定义及两角和与差的余弦公式即可求出． 【详解】由题可知， 角的终边按顺时针旋转到点，因此OQ对应的角为， 所以． 故选：A． 【典例1-3】(多选)(22-23高一·全国·单元测试)下列选项中能满足的是(   ) A． B． C． D． 【答案】AB【难度】0.85【知识点】诱导公式二、三、四、用和、差角的余弦公式化简、求值 【分析】利用两角和的余弦公式及余弦函数的图象和性质结合条件即得. 【详解】由两角和的余弦公式，得， 所以或，所以AB正确，CD错误. 故选：AB 【典例1-4】(24-25高一下·四川泸州·期中) ． 【答案】/ 【难度】0.94【知识点】逆用和、差角的余弦公式化简、求值 【分析】由已知结合两角和的余弦公式进行化简即可求解． 【详解】原式． 故答案为：． 【变式1-1】(24-25高一下·江苏淮安·月考)已知，，则的值为( ) A． B． C． D．或 【答案】C【难度】0.94【知识点】已知正(余)弦求余(正)弦、已知两角的正、余弦，求和、差角的余弦 【分析】根据同角关系以及余弦的和角公式即可求解. 【详解】由于，，故， ， 故选：C 【变式1-2】(25-26高一上·广东广州·期末)(   ) A． B． C． D．1 【答案】B【难度】0.85【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值 【分析】利用两角和的余弦公式，特殊角的三角函数值即可求解. 【详解】. 故选：B. 【变式1-3】(25-26高一上·江苏南通·期末)已知角终边上一点，则(    ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.65【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、用和、差角的余弦公式化简、求值 【分析】由终边上的点表示三角函数值，结合余弦两角和差公式计算即可. 【详解】因为角终边上一点， 所以，，所以. 故选：A 【变式1-4】(22-23高一下·四川绵阳·期中)若，，则的值为(    ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.65【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值 【分析】由，利用两角和的余弦公式求解. 【详解】因为，所以， 又，则，所以， 所以， 故选：C 【变式1-5】(多选)(24-25高一下·江苏苏州·月考)若，则的可能值有(   ) A． B． C． D． 【答案】BD【难度】0.85 【知识点】特殊角的三角函数值、诱导公式二、三、四、用和、差角的余弦公式化简、求值 【分析】根据两角和的余弦公式可知，，选项代入进行判断即可. 【详解】因为， 又，则且， 选项中，当 或时均符合，当 或时不符合. 故选：BD. 【变式1-6】(24-25高一下·云南楚雄·期末)已知α为第四象限角，且，则 ， ． 【答案】；【难度】0.94【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值、已知正(余)弦求余(正)弦 【分析】利用同角的正余弦的平方关系可求得；利用两角和的余弦公式可求得. 【详解】因为，且α为第四象限角，所以可得， 所以． 故答案为：①；②. 题型02 和差角的正弦 【典例2-1】(25-26高一上·山西朔州·期末)(   ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.94【知识点】诱导公式、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】根据三角函数的诱导公式，正弦的和角公式以及特殊角与特殊值即可计算求得. 【详解】因为，， 所以 . 故选：B． 【典例2-2】(25-26高一上·广东深圳·期末)在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 ，则的值为(    ) A．2 B．3 C． D． 【答案】D【难度】0.65【知识点】余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、正弦定理边角互化的应用、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】根据正弦定理及两角和的正弦公式化简已知得，进而求得，利用面积公式求得，最后利用余弦定理求解即可. 【详解】在中，因为，所以由正弦定理得， 由及正弦定理得 ， 即，因为，所以，所以， 又，所以，所以，得，则， 所以由余弦定理可得，所以. 故选：D 【典例2-3】(多选)(24-25高一下·福建厦门·期末)在锐角中，角，，的对边分别为，，，若的面积为1，且，则(   ) A． B． C． D． 【答案】ACD【难度】0.4【知识点】余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、正弦定理边角互化的应用、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】对A，由正弦定理结合平方关系求解判断；对B，由，得，根据正切函数的单调性和诱导公式求解判断；对C，由正弦定理结合三角恒等变换可得，结合求解判断；对D，由三角形面积公式可得，再由余弦定理结合基本不等式求解判断. 【详解】对于A，由正弦定理，得，所以. 因为，所以，解得或. 因为，所以，，故A正确； 对于B，在锐角中，，则， 所以，故B错误： 对于C，. 因为，所以，所以，故C正确； 对于D，因为的面积为1，即，所以， 所以， 当且仅当，等式成立，故D正确. 故选：ACD. 【典例2-4】(24-25高一下·北京顺义·期中)的内角，，的对边分别为，，，，则角的大小为 ．若角为钝角，则的取值范围为 ． 【答案】 ；【难度】0.4【知识点】求三角形中的边长或周长的最值或范围、正弦定理边角互化的应用、用和、差角的正弦公式化简、求值、求正切(型)函数的值域及最值 【分析】第一空：利用正弦定理边化角，进而根据三角恒等变可求得，可求；第二空：利用边化角，结合的范围，可求的取值范围. 【详解】第一空：由，可得， 所以，所以， 因为，所以，所以，又，所以； 第二空：因为角为钝角，所以，所以， 所以,所以的取值范围. 故答案为：①；②. 【变式2-1】(25-26高一上·安徽·期末)(    ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.94【知识点】诱导公式五、六、逆用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】结合诱导公式，根据两角和的正弦公式的逆用化简计算即可. 【详解】易知. 故选：D. 【变式2-2】(25-26高一下·全国·单元测试)中，，，的对边分别是，，，则等于(   ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.85【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理边角互化的应用 【分析】根据给定条件，利用正弦定理，结合和角的正弦公式化简即得. 【详解】在中，由正弦定理得 . 故选：D 【变式2-3】(25-26高一下·全国·课堂例题)(   ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.65【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】根据两角和差公式分别计算和，再计算即可. 【详解】因为， ， 所以. 故选：B. 【变式2-4】(25-26高一上·湖北·期末)已知角的顶点在坐标原点，始边在轴非负半轴，将的终边绕原点逆时针旋转后，其终边经过点，则的值为(    ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.65【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、由终边或终边上的点求三角函数值 【分析】由题可得终边过点，则可得，，据此可得答案. 【详解】由题可得终边过点， 则可得，， 则. 故选：A 【变式2-5】(多选)(2020高三上·浙江·专题练习)给出下列四个关系式，其中不正确的是(    )． A． B． C． D． 【答案】AC【难度】0.94【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、用和、差角的余弦公式化简、求值 【分析】根据，，进行化简可得结果. 【详解】由， 两式相加可得，故B正确 两式相减可得，故D正确 由， 两式相减可得，故A,C错 故选：AC 【变式2-6】(25-26高一上·新疆乌鲁木齐·期末)已知，则 . 【答案】/【难度】0.94 【知识点】sinα±cosα和sinα·cosα的关系、用和、差角的正弦公式化简、求值、给值求值型问题 【分析】给条件的两式平方相加，再结合基本关系式及两角和的正弦公式可得. 【详解】由，两式两边平方相加， ， ，，. 故答案为：. 题型03 和差角的正切 【典例3-1】(25-26高一上·全国·课前预习)已知，则(   ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.94【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值 【分析】根据两角和的正切公式，代入已知计算求解. 【详解】根据两角和的正切公式， 代入已知可得，. 故选：A. 【典例3-2】(25-26高一上·浙江衢州·期末)已知，且，则的最小值为(   ) A． B．2 C． D． 【答案】A【难度】0.65【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值、基本不等式求和的最小值、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】由两角差的余弦公式、同角三角函数的商数关系化简可得，再由两角和的正切公式可得，最后由基本不等式求解即可. 【详解】由可得：， 即， 所以， 因为，所以，所以， 所以等式两边同时除以，所以，即， 所以， 因为，所以， 所以，当且仅当，即时取等， 所以的最小值为. 故选：A. 【典例3-3】(多选)(24-25高一下·全国·课后作业)已知，则等于(    ) A． B． C． D．7 【答案】CD【难度】0.85 【知识点】已知弦(切)求切(弦)、已知正(余)弦求余(正)弦、用和、差角的正切公式化简、求值 【分析】根据同角三角关系可得，结合两角和差公式运算求解. 【详解】因为，则，可得， 当时，； 当时，．结合选项可知：AB错误，CD正确. 故选：CD. 【典例3-4】(25-26高一下·全国·课后作业)已知，，且． (1)则的值为 ；(2)则的值为 ． 【答案】；【难度】0.65 【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值、给值求角型问题 【分析】(1)根据两角和的正切公式求解即可. (2)根据两角和的正切公式结合特殊角的正切值求解即可. 【详解】(1). (2)． 因为，所以． 因为，所以．所以． 而，所以． 所以．所以． 故答案为：；. 【变式3-1】(24-25高一上·福建莆田·期末)已知，则( ) A．2 B．-2 C． D． 【答案】A【难度】0.94【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值 【分析】由两角差的正切展开式计算可得. 【详解】，解得. 故选：A. 【变式3-2】(24-25高一下·贵州安顺·期末)的值为(   ) A． B． C．1 D． 【答案】B【难度】0.94【知识点】逆用和、差角的正切公式化简、求值 【分析】先把代入原式，逆用两角和的正切公式即可求得答案． 【详解】 故选：B. 【变式3-3】(25-26高一上·江苏无锡·月考)如图所示，三个边长为的正方形相连，若，，则(   ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.85【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值、利用定义求某角的三角函数值 【分析】根据图形先求出，的正切值，再利用两角差的正切公式计算即得. 【详解】由图知，则. 故选：B 【变式3-4】(25-26高一上·广东广州·期末)已知，，则(   ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.65【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、用和、差角的正切公式化简、求值 【分析】根据和差公式可得，再变形得到，再由，得到，再联立解方程组即可． 【详解】，， ，即①， 又，即②， 由①②，解得． 故选：D． 【变式3-5】(多选)(25-26高一上·广东湛江·期末)下列等式成立的是(   ) A． B． C． D． 【答案】AB【难度】0.65【知识点】二倍角的余弦公式、用和、差角的正弦公式化简、求值、逆用和、差角的正切公式化简、求值、用和、差角的正切公式化简、求值 【分析】对于A，由两角和的正弦公式可判断，对于BC，由两角和的正切公式可判断，对于D，由切化弦，结合余弦二倍角公式可判断. 【详解】， A正确； ，所以，B正确： ，C错误； ，D错误． 故选：AB． 【变式3-6】(25-26高一上·福建三明·期末)已知，则 ． 【答案】【难度】0.4【知识点】已知弦(切)求切(弦)、用和、差角的正切公式化简、求值、给值求值型问题 【分析】先讨论的情况，结合同角三角函数的平方关系排除矛盾，再运用同角三角函数的基本关系(切弦互化)，并根据两角差的正切公式化简，最后代入求解即可. 【详解】由题意得，即， (若 ，则 ，与 矛盾，故 .) 所以两边同除以 ：，所以，即 ， 又因为，代入 和 ：所以. 故答案为：. 一、单选题 1.(25-26高一上·山东·月考)(    ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.85【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值、诱导公式二、三、四 【分析】利用诱导公式及两角和的余弦公式求解即可. 【详解】 . 故选：C 2.(25-26高一下·全国·课后作业)若，则(   ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.85【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值 【分析】根据和差的正切公式进行计算即可. 【详解】因为，所以． 故选：C. 3.(25-26高一上·天津西青·期末)已知，都是锐角，，，则的值为(    ) A． B． C． D．或 【答案】B【难度】0.85 【知识点】已知正(余)弦求余(正)弦、已知两角的正、余弦，求和、差角的正弦、给值求值型问题 【分析】由同角三角函数关系和角的范围得到的值，凑角结合正弦差角公式得到答案. 【详解】是锐角，，故， 又，都是锐角，故，又， 故，所以， 所以. 故选：B 4.(25-26高一下·全国·课后作业)已知角和满足，则(   ) A． B． C． D．3 【答案】C【难度】0.65【知识点】已知弦(切)求切(弦)、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】根据正弦的两角和差公式，对原式化简，再根据同角三角函数关系，求出结果. 【详解】由可得， 化简得，当时，可得， 化简得，即. 故选：C. 5.(25-26高一上·湖南长沙·期末)已知函数，则“”是“为偶函数”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C【难度】0.65 【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值、由余弦(型)函数的奇偶性求参数、充要条件的证明 【分析】结合两角和差的余弦公式及余弦函数的对称性，利用充要条件的概念判断即可. 【详解】由，得，解得， 故，，则为偶函数； 若为偶函数，则必有， 故“”是“为偶函数”的充要条件. 故选：C. 6.(24-25高一下·湖北武汉·期末)在中，A，B，C所对的边分别为，已知且，若面积为4，则( ) A．2 B． C． D． 【答案】C【难度】0.4【知识点】三角形面积公式及其应用、用和、差角的正弦公式化简、求值、余弦定理解三角形、用和、差角的正切公式化简、求值 【分析】由，结合三角变换和正弦定理，可求边，再结合三角形的面积公式和余弦定理，可求，再利用二倍角公式，可求. 【详解】因为 . 所以 所以 ；所以. 由正弦定理可得：，又，所以. 因为面积为4，所以 ① 由余弦定理可得： , 所以：② ①②可得：，即；所以 . 故选：C 7.(23-24高一下·江苏徐州·期末)已知，，，，，则(    ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.4【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、逆用和、差角的正弦公式化简、求值、给值求值型问题、给值求角型问题 【分析】把两个方程移项平方以后再相加即可判断AB，然后再根据三角函数值以及角的范围计算出和即可判断CD. 【详解】由得，两边平方得：，① 由得，两边平方得：，② ①+②得：， 因为，所以 ， 由可得：，即， 所以， 又，所以，所以，故A错误； 由，两边平方得，③ 由得，两边平方得：，④     ③+④得：，因为，所以， 故，由，，可得，故C正确，D错误； 综上不是定值，故B错误.     故选：C 8.(23-24高三上·湖北·月考)在锐角中，角的对边分别为，且的面积，则的取值范围为(    ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.15【知识点】余弦定理边角互化的应用、正弦定理边角互化的应用、用和、差角的正弦公式化简、求值、已知正(余)弦求余(正)弦 【分析】先由三角形面积公式求出，然后引入参数，将所求表示为的函数，再根据正弦定理边化角、诱导公式、两角和差得，注意到在锐角中，有，从而可以求出的范围，由此即可得解 【详解】由三角形面积公式结合，可知，即， 又由平方关系，所以，即， 解得或(舍去)， 由余弦定理有，所以， 令，所以 ，故只需求出的范围即可， 由正弦定理边化角得 ， 注意到在锐角中，有，简单说明如下： 若，则，即不是锐角，但这与是锐角三角形矛盾， 所以在锐角中，有，所以在锐角中，有， 因为正切函数在上单调递增，所以， 从而， 而函数在单调递减，在单调递增， 所以. 综上所述：的取值范围为. 故选：B. 【点睛】关键点睛：本题考查了正余弦定理综合应用，以及诱导公式、两角和差的正弦公式等来化简表达式，关键就是将所求化繁为简，化未知为已知，并且注意锐角三角形的特殊性，即注意到在锐角中，有，结合以上关键点即可顺利求解. 二、多选题 9.(24-25高一下·山东淄博·月考)若，，且，，则以下说法正确的是(    ) A． B． C． D． 【答案】AC【难度】0.65【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、已知两角的正、余弦，求和、差角的余弦、给值求值型问题、给值求角型问题 【分析】由的范围可以求出的范围，结合，可以将的范围缩小到一定的范围，从而求出的取值；再结合的取值范围，可以求得和的范围，求出值后，利用配凑法，求出的取值，最后结合其范围得出的值. 【详解】因为，所以，且因为， 所以，则，则，所以正确； 由可得，又因为，利用不等式的性质可得， ，所以， 则， 又因为，所以，所以正确. 故选: 10.(2025·贵州毕节·二模)在中，内角、、所对的边分别为、、，已知，，则(    ) A． B．的周长的最大值为 C．当最大时，的面积为 D．的取值范围为 【答案】BCD【难度】0.4【知识点】求三角形中的边长或周长的最值或范围、余弦定理解三角形、用和、差角的正弦公式化简、求值、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】利用正弦定理结合余弦定理可求出的值，结合角的取值范围可求得角的值，可判断A选项；利用余弦定理结合基本不等式可求出的周长的最大值为，可判断B选项；利用正弦定理结合三角形的面积公式可判断C选项；利用正弦定理、三角恒等变换结合正弦型函数的值域可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为， 由正弦定理可得，整理可得， 由余弦定理可得，因为，故，A错； 对于B选项，因为，由余弦定理和基本不等式可得 ， 即，当且仅当时，等号成立， 故的周长为，即的周长的最大值为，B对； 对于C选项，由正弦定理可得，则， 当且仅当时，取最大值，此时，，，C对； 对于D选项，由正弦定理可得，则，， 所以， ， 因为，则，可得，则，D对. 故选：BCD. 【点睛】方法点睛：求三角形有关代数式的取值范围也是一种常见的类型，主要方法有两类： (1)找到边与边之间的关系，利用基本不等式来求解； (2)利用正弦定理，转化为关于某个角的三角函数，利用函数思想求解. 11.(23-24高一下·江苏镇江·月考)已知，且，则以下结论正确的是(    ) A． B．有最大值 C．有最大值 D．有最小值 【答案】AC【难度】0.4【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、用和、差角的正切公式化简、求值、基本不等式求和的最小值 【分析】根据两角和与差的正弦和正切公式，结合基本不等式进行求解即可. 【详解】对于A，因为， 又，所以，则，故A正确； 对于BCD，令，则，因为，所以，则， 所以， 当且仅当，即，，，即时取等号， 所以有最大值，故C正确，BD错误. 故选：AC. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，充分利用这一式子，结合正弦函数的和差公式得到，从而得解. 三、填空题 12.(25-26高一上·浙江杭州·期末) . 【答案】【难度】0.85【知识点】逆用和、差角的正切公式化简、求值 【分析】利用两角和的正切公式计算，整理即可. 【详解】因为， 所以. 故答案为： 13.(24-25高一下·北京·期中)《周髀算经》中给出了弦图，所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大的正方形，若图中直角三角形两锐角分别为，其中小正方形的面积为4，大正方形面积为9，则下列说法正确的是 . ①每一个直角三角形的面积为；②；③；④ 【答案】①③④【难度】0.4【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、诱导公式五、六、已知两角的正、余弦，求和、差角的余弦 【分析】根据大小正方形的面积可得边长，由锐角三角函数以及边角关系可求，且，，进而利用两角差的余弦函数公式，同角三角函数基本关系式，逐个命题判断即可. 【详解】对于①，4个直角三角形的面积之和为，故每个直角三角形的面积为，故①正确； 对于②③，由题意可知大的正方形的边长为3，小正方形的边长为2， 可得，，由于，互余， 所以，，所以，故②错误，③正确； 对于④，因为，，且，， 所以 ， 故，故④正确． 故答案为：①③④． 14.(23-24高一下·安徽阜阳·期末)在锐角中，角的对边分别为，的面积为，满足，若，则的最小值为 ． 【答案】【难度】0.15【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、基本不等式求和的最小值 【分析】由结合余弦定理和面积公式可得，再利用同角三角函数的关系可求得的值，由化简得，由三角函数的性质求出的范围，从而可求出的最小值. 【详解】因为，， 所以，所以， 因为，所以， 即，解得或(舍去)， 因为，所以， 在锐角中，有，，则， 所以， 因为， 因为，所以，所以， 所以，所以， 因为， 所以， 设()，则，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：此题考查利用余弦定理解三角形，考查三角函数恒等变换公式的应用，考查基本不等式的应用，解题的关键是利用余弦定理和三角形的面积公式对化简变形，考查计算能力，属于难题. 四、解答题 15.(25-26高一上·云南大理·期末)计算下列式子： (1)；(2)已知，且为第三象限，求. 【答案】(1)；(2)【难度】0.85【知识点】已知正(余)弦求余(正)弦、三角函数的化简、求值——诱导公式、用和、差角的余弦公式化简、求值、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】(1)利用诱导公式化简即可； (2)利用两角和的正弦公式求出，即可求出，再由两角和的余弦公式计算可得. 【详解】(1). (2)因为， 又为第三象限，所以， 所以 . 16.(25-26高二上·湖南娄底·期末)在中，角所对的边分别为，且,,． (1)求；(2)求的面积． 【答案】(1)；(2)【难度】0.85【知识点】已知两角的正、余弦，求和、差角的正弦、正弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用 【分析】(1)由正弦定理边角互化可求得，结合条件求出的正弦值，利用正弦定理即可求出的值； (2)利用和角的正弦公式求出的值，再由三角形的面积公式计算即得. 【详解】(1)由， 得， 因为，所以， 所以，则， 因为，所以， 由正弦定理，，因为， 则； (2)因为， 所以， 则. 17.(25-26高一下·全国·课堂例题)(1)已知，， ，若，求的值． (2)已知，是方程的两根，且，，求． 【答案】(1)；(2)【难度】0.65 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、用和、差角的正切公式化简、求值 【分析】(1)利用角的变换：，然后由正弦公式展开后求得，再根据角的范围得结论；(2)利用韦达定理求得，并确定角的范围后得结论. 【详解】(1)由，得， 则， 整理得， 由，，得，， 则，即， 所以，又，， 所以，则． (2)因为，是方程的两根，所以， ，所以，，又，， 所以，，所以． 又， 所以． 18.(25-26高一上·江苏无锡·期末)(1)已知，求； (2)已知，且，求的值． 【答案】(1)2(2)【难度】0.4【知识点】正、余弦齐次式的计算、三角函数的化简、求值——诱导公式、用和、差角的余弦公式化简、求值、给值求值型问题 【分析】(1)利用诱导公式化简分子、分母，再计算求解； (2)先判断象限角求出相应正弦、余弦值，再利用余弦差角公式计算，最后根据角的区间范围求解． 【详解】(1)， 又，故， ； (2)已知，且， 位于第四象限，故， 位于第二象限，故， ， ， ，则， ， ， 故，． 19.(23-24高一下·江苏常州·期末)在斜三角形中，内角的对边分别为，记． (1)若，求的最小值；(2)若，且为钝角，求的最大值；(3)直接写出两个函数与的解析式，使得对于一切满足条件的，都有，且代数式恒为定值． 【答案】(1)的最小值为；(2)的最大值为 (3)存在，使代数式恒为定值，理由见解析 【难度】0.15【知识点】三角恒等变换的化简问题、余弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用 【分析】(1)由余弦定理结合基本不等式可得可求出的最小值. (2)利用三角恒等变可得，利用余弦定理可得，利用，结合基本不等式可求最大值； (3)由已知可得，运用三角恒等变换可得， 两边平方，切化弦可得，进而可得. 【详解】(1)因为，所以， 所以由余弦定理得， 当且仅当时取等号， 所以的最小值为； (2)因为， 所以， 所以， 所以，所以，所以， 因为，所以， 由余弦定理可得， 所认， 当且仅当时取等号，所以，所以的最大值为； (3)存在，使代数式恒为定值，理由如下： 因为，所以由正弦定理可得， 于是， 所以，所以， 所以， 所以，所以， 所以， 所以， 即， 所以， 所以， 即时，代数式恒为定值． 【点睛】关键点点睛：(1)边角关系转化时注意利用余弦定理；(2)在解三角形中注意利用几何图形的几何性质；(3)在三角变换中，注意根据三角函数式的特征选择合理三角变换公式. 第 1 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $