2.1.2 两角和与差的正弦公式-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册教师用书word（湘教版）

2.1.2　两角和与差的正弦公式(教学方式：深化学习课——梯度进阶式教学) [课时目标] 1.能从两角和与差的余弦公式推导出两角和与差的正弦公式. 2.能够运用两角和与差的正弦、余弦解决求值、化简等问题. 　　两角和与差的正弦公式 名称 简记符号 公式 两角和 的正弦 S(α+β) sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β 两角差 的正弦 S(α-β) sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β |微|点|助|解|　 (1)公式中的角α，β都是任意角. (2)一般情况下，两角和与差的正弦不能按分配律展开，即sin(α±β)≠sin α±sin β. (3)注意公式的逆向运用和变形运用 ①公式的逆用：如sin(α+β)cos β-cos(α+β)sin β=sin[(α+β)-β]=sin α. ②公式的变形运用：变形运用涉及两个方面，一个是公式本身的变形运用，如sin(α-β)+cos αsin β=sin αcos β;一个是角的变形运用，也称为角的拆分变换，如α=(α+β)-β，2α=(α+β)+(α-β)等，这些在某种意义上来说是一种整体思想的体现. 基础落实训练 1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两角和与差的正弦公式中，角α，β是任意的. (　　) (2)sin(α+β)=sin α+sin β一定不成立. (　　) (3)sin 54°cos 24°-sin 36°cos 66°=. (　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)√ 2.sin75°=　　　　.  解析：sin75°=sin(30°+45°)=sin 30°cos 45°+cos 30°sin 45°=×+×=. 答案： 题型(一)　给角求值 [例1]　(1)= (　　) A.- B.1 C. D.2 (2)化简：sin(α+β)cos α-[sin(2α+β)-sin β]=　　　　.  解析：(1) = = = ==2sin 60°=. (2)原式=sin(α+β)cos α-[sin(α+α+β)-sin (α+β-α)]=sin(α+β)cos α-[sin αcos(α+β)+cos αsin(α+β)-sin(α+β)cos α+cos(α+β)sin α]=sin(α+β)cos a-×2sin αcos(α+β)=sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α=sin(α+β-α)=sin β. 答案：(1)C　(2)sin β |思|维|建|模| 解决给角化简与求值问题的思路 (1)化简.三角函数式化简的主要思路有：①观察角的特点，充分利用角之间的关系，尽量向同角转化，利用已知角构建待求角;②观察函数特点，向同名转化，弦切互化，通常是切化弦. (2)求值.运用两角和与差的正弦公式求三角函数值主要有以下几种形式：一是将非特殊角转化为特殊角的三角函数，如sin 15°=sin(45°-30°)=sin(60°-45°)=;二是逆用公式凑成特殊角求值，如sin 13°cos 17°+cos 13°sin 17°=sin(13°+17°)=sin 30°=;三是进行拆角、拼角，整体代换求值，这一点与两角和与差的余弦公式的应用基本一致，如α=(α+β)-β=(α-β)+β. 　　[针对训练] 1.sin 18°cos 12°+cos 18°sin 12°= (　　) A.- B.- C. D. 解析：选D　sin 18°cos 12°+cos 18°sin 12°=sin(18°+12°)=sin 30°=. 2.-的值为 (　　) A.2 B.4 C.6 D.8 解析：选B　-=-=== ==4. 题型(二)　给值(式)求值 [例2]　已知<β<α<，cos(α-β)=，sin(α+β)=-，求sin 2α的值. 解：∵cos(α-β)=>0，<β<α<， ∴0<α-β<.∴sin(α-β)=. 又sin(α+β)=-，π<α+β<， ∴cos(α+β)=-. ∴sin 2α=sin [(α+β)+(α-β)]=sin(α+β)cos(α-β)+cos(α+β)sin(α-β)=-×-×=-. |思|维|建|模| 给值求值的解题策略 (1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式. (2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”. 　　[针对训练] 3.设α∈，若sin α=，则sin的值为 (　　) A. B. C. D. 解析：选A　∵α∈，sin α=，∴cos α=.∴sin=sin αcos +cos αsin =×+×=.故选A. 4.已知α，β均为锐角，cos α=，cos(α+β)=-，则sin β= (　　) A. B.或 C. D. 解析：选A　因为α，β均为锐角，故α+β∈(0，π).因为cos α=，cos(α+β)=-， 所以sin α==， sin(α+β)==. 所以sin β=sin[(α+β)-α]=sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α=×-×=. 题型(三)　给值求角 [例3]　已知α，β均为锐角，且sin α=，cos β=，则α-β的值为 (　　) A. B.- C. D.- 解析：选B　∵α，β均为锐角，且sin α=， cos β=，∴cos α==， sin β==， ∴sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β =×-×=-. 又α，β均为锐角，∴-<α-β<.∴α-β=-. |思|维|建|模| 解决给值(式)求角问题的方法 解决此类题目的关键是求出所求角的某一三角函数值，而三角函数的选取一般要根据所求角的范围来确定，当所求角范围是(0，π)或(π，2π)时，选取求余弦值，当所求角范围是或时，选取求正弦值. 　　[针对训练] 5.已知≤α≤π，π≤β≤，sin 2α=，cos(α+β)=-，求β-α的值. 解：因为≤α≤π，所以≤2α≤2π. 又因为sin 2α=，所以<2α<π. 即<α<. 因为π≤β≤， 所以<β-α<<α+β<2π. 所以cos 2α=-， sin(α+β)=-. 所以sin(β-α)=sin[(α+β)-2α] =-×-×=. 所以β-α=. 学科网（北京）股份有限公司 $