微专题04 利用勾股定理解决最短路径问题（专项训练）数学新教材人教版八年级下册

微专题04 利用勾股定理解决最短路径问题 题型一 利用计算法求平面中的最短问题 1.直接根据图形性质，判断出最短路径就是线段本身。 2.利用勾股定理或已知长度直接计算，得出最短距离。 1．（25-26八年级上·福建漳州·期末）“低空经济”是以各类低空飞行活动为牵引，辐射带动相关领域融合发展的综合性经济形态．某无人机从物流集散地A到收货点C的路线受阻而采用备用路线，先垂直起飞300米至B处，再水平飞行400米到达收货点C．若路线未受阻，此次无人机的最短飞行距离是（    ） A．400米 B．450米 C．500米 D．600米 2．（25-26八年级上·广东梅州·期中）某物流公司的全自动无人机需从仓库出发，向东飞行后，再向北飞行抵达社区配送点，由于中央区域有信号塔障碍，无人机必须严格沿正东、正北方向飞行．若升级后的导航系统支持直线飞行绕过障碍，则从仓库到社区配送点的最短路径为（　　） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·全国·期中）如图，在中，，若P是上的一个动点，则的最小值是（     ）     A． B．15 C． D．16 4．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）数形结合是数学的重要思想和解题方法，如：“当时，求代数式的最小值”，其中可看作两直角边分别为x和2的的斜边长，可看作两直角边分别是和3的的斜边长．于是将问题转化为求的最小值，如图所示，当与共线时，为最小．请你解决问题：当时，则代数式的最小值是_____． 5．（25-26八年级上·安徽宿州·月考）如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，其中，，两取水点之间相距．由于某种原因，村庄到取水点，的路线现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点（点，，在同一条直线上），求新建路线的最短距离． 6．如图，在△ABC中，AC＝21，BC＝13，D是AC边上一点，BD＝12，AD＝16． （1）求证：BD⊥AC； （2）若E是边AB上的动点，求线段DE的最小值． 7．如图所示，A、B两块试验田相距200米，C为水源地，AC＝160m，BC＝120m，为了方便灌溉，现有两种方案修筑水渠． 甲方案：从水源地C直接修筑两条水渠分别到A、B； 乙方案；过点C作AB的垂线，垂足为H，先从水源地C修筑一条水渠到AB所在直线上的H处，再从H分别向A、B进行修筑． （1）请判断△ABC的形状（要求写出推理过程）； （2）两种方案中，哪一种方案所修的水渠较短？请通过计算说明． 题型二 用平移法求平面中的最短问题 1. 将分散、不相连的线段平移拼接，化折为直。 2.把折线转化为一条直线段，再用勾股定理计算最短距离。 1．如图，相邻的两边互相垂直，则从点B到点A的最短距离为（　　） A．13 B．12 C．8 D．5 2．如图，已知∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝90°，且AB＝CD＝3，BC＝4，DE＝EF＝2，则A，F两点间的距离是（　　） A．14 B．6 C．8 D．10 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，已知，且，，，则，两点间的最短路径是（    ） A． B．20 C． D．24 4．（25-26八年级上·四川达州·月考）如图，和是一个三级台阶两个相对的端点，点处有一只蚂蚁想到点处去吃可口的食物．若这个台阶的每一级的长、宽和高分别为，和，则这只蚂蚁沿着台阶面爬行的最短路程为________________． 5．某会展中心在会展期间准备将高5m、长13m、宽2m的楼道铺上地毯，已知地毯每平方米20元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要 元． 6．如图，某校科技创新兴趣小组用他们设计的机器人，在平坦的操场上进行走展示．输入指令后，机器人从出发点A先向东走10米，又向南走40米，再向西走20米，又向南走40米，再向东走70米到达终止点B．求终止点B与原出发点A的距离AB． 7．（25-26八年级上·山东·期末）如图，村庄A，B分别位于河的两侧（河的两岸平行），河宽为，村庄A到河岸的距离，村庄B到河岸的距离，村庄A到村庄B的水平距离．现要在河上架设一座桥（垂直于河岸），使从村庄A到村庄B的路线最短，求从村庄A到村庄B的最短路线为多少千米． 题型三 用对称法求平面中的最短问题 1.作其中一个点关于直线的对称点，利用对称转化线段。 2.连接对称点与另一点，所得线段长度即为最短路径，再计算长度。 1．（25-26八年级上·江西南昌·期末）如图，牧童在处放牛，其家在处，到河岸的距离分别为和，且，若河岸的长度为，则牧童从处把牛牵到河边饮水再回家，最短距离_____． 2．（23-24八年级下·云南昭通·月考）如图，正方形的边长为4，点M在上，且，点N是上一动点，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C． D．8 3．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，在等腰三角形中，，，D是边上的中点，，M，N分别是和上的动点，则的最小值是（　　） A．10 B． C．12 D． 4．（25-26八年级上·重庆·期中）如图，在中，，，，，若点M、N分别在边，上，当四边形的周长最小时，则这个最小值为（   ） A． B． C． D． 5．如图，点A，B在直线的同侧，A到的距离，B到的距离，已知，P是直线上的一个动点，记的最小值为a，的最大值为b，则的值为（　　） A．160 B．150 C．140 D．130 6．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图，已知点，，点是x轴上一动点，点是y轴上一动点，则四边形的最小周长为______． 7．（25-26八年级上·浙江宁波·月考）“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”问题． (1)线段，于点A且，于点B且，点P为线段上任意一点，则图1中最小值为________；图2中最小值为________； (2)如图3，中，，，，点D是边的中点，点P是边上任意一点，则的最小值是________； (3)如图4，中，且，作于点D，过A点的射线m始终平行于，点E是高上任意一点，点F是射线m上一点，点G是线段上一点，且始终保持，则的最小值为________；则的最小值为________． 题型四 用展开图求长方体中的最短问题 1.将长方体侧面展开成平面图形。 2.把空间路径转化为平面内两点之间线段，用勾股定理求最短距离。 1．（24-25八年级下·新疆乌鲁木齐·月考）如图，一只蚂蚁从长为、宽为、高为的长方体纸箱的点沿纸箱表面爬到点，那么它所爬行的最短路线的长是多少．（   ） A． B． C． D． 2．（2025八年级上·四川成都·专题练习）如图，在一个长方形草坪上，放着一根长方体的木块，已知，，该木块的较长边与平行，横截面是边长为1米的正方形，一只蚂蚁从点A爬过木块到达C处需要走的最短路程是（   ） A．13m B．10m C． D． 3．（25-26八年级上·内蒙古包头·期中）如图，长方体木块长，宽，高．一只蚂蚁从点A处沿木块表面爬行到点G处的最短路径长为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·河南郑州·期末）如图是由6个棱长为的小正方体所搭建的几何体，一只电子蚂蚁从点A出发，沿几何体的表面爬到点B，最短的距离为______． 5．（25-26八年级上·河南周口·期末）如图，正方体的棱长为，蚂蚁从顶点A沿表面爬到顶点B的最短路程为_______． 6．（24-25八年级上·四川眉山·期末）如图，长方体的长为，宽为，高为，点B到点C的距离为，一只蚂蚁如果沿着长方体的表面从点爬到点，蚂蚁需要爬行的最短距离为__________． 7．（2026八年级下·全国·专题练习）一个供滑板爱好者使用的U形池如图所示，该形池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行的部分的截面是半径为的半圆，其边缘，点E在上，．一滑板爱好者从点滑到点，再从点滑到点，则他滑行的最短路程是多少？（边缘部分的厚度忽略不计，取） 8．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期中）如图1所示，一只蚂蚁从实心长方体的顶点出发，沿长方体的表面爬到对角顶点处，要想使路程较短，有三种不同的方式：①沿面和而爬行；②沿面和而爬行；③沿面和面爬行． (1)图2为按第①种方式展成的平面图形，请你画出另两种方式展成的平面图形； (2)若，请通过计算，判断第几种方式所走路程最短？最短路程为多少？ (3)如图是一个长方体盒子（尺寸如图所示），在长方体下底面的M点有一只蚂蚁，它想吃到上底面N点的食物（是长方体的顶点，），请根据上面探究的结论求蚂蚁需爬行的最短路程是多少． 题型五 用展开图求圆柱体中的最短问题 1.把圆柱侧面展开成长方形。 2.在展开图中，路径为直角三角形斜边，用勾股定理计算最短长度。 1．（25-26八年级上·福建漳州·期中）如图，一圆柱体的底面圆周长为6，高为5，是上底的直径，一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，则爬行的最短路程是（　　） A．4 B． C． D．13 2．（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）如图，圆柱底面周长为20，高为12，是底面圆的直径，点是的中点.现有一只蚂蚁从点沿圆柱外表面爬到点处，则蚂蚁所爬行的最短路程为_____． 3．（25-26八年级上·陕西西安·期中）中华儿女作为龙的传人，龙的形象符号已经深入人心，如图所示，每根雕龙木柱高为6米，在底面周长为1.5米的木柱上，有一条雕龙从柱底A点沿立柱表面盘绕3圈到达柱顶正上方的D点，则雕刻在木柱上的巨龙长至少为（   ） A．7.5米 B．8米 C．9米 D．10米 4．（25-26八年级上·辽宁沈阳·月考）如图，一个底面周长为、高为的圆柱状模型，是底面直径，是圆柱的高．现要在此模型的侧面贴一圈彩色装饰带，且装饰带经过A，C两点（接头不计），装饰带的最短长度为（   ）． A．30 B． C． D．18 5．（25-26八年级上·河南鹤壁·月考）如图，圆柱形玻璃杯高为17，底面周长为16，在杯内壁离杯底6.5的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4.5且与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为（    ）．（杯壁厚度不计） A． B． C．15 D．17 6．（25-26八年级上·贵州贵阳·期末）如图1，圆形旋转楼梯是以单柱为中心螺旋上升的特色楼梯，因造型美观，空间利用率高，常用于室内外设计中． (1)如图2是抽象出来的一层圆形旋转楼梯的示意图，扶手可近似看作是圆柱侧面上的一条螺旋线，其中点为扶手的两端点．图3是该螺旋线所在圆柱面的侧面展开图，请在图3中画出该扶手在展开图中的示意图； (2)在（1）的条件下，抽象出来的这一层楼层高为，扶手所在圆柱的底面半径为，求这一层圆形旋转楼梯的扶手长度．（取3） 7．（25-26八年级上·贵州贵阳·期末）小星学习了最短路径问题后，做了一个高为，底面圆的周长为的圆柱（如图①），他在圆柱下底面的点处放了一只蚂蚁，请结合以上描述完成下列任务． 任务一：蚂蚁想吃到圆柱侧面上与点相对的中点处的食物，则它沿圆柱侧面爬行的最短路程是___________． 任务二：小星把圆柱的高变为，底面圆的周长不变（如图②），他把蚂蚁放在底部处，帮蚂蚁设计了一条沿圆柱侧面爬行的最短路径去吃上底面上与点相对的点处的食物，吃完后再设计另一条与前一条不一样的最短路径回到点处（此时两点重合）小星沿着竖直方向将圆柱剪开，得到长方形（如图③，当他分别画出这两条路径时，猜想平分，请根据题意，在图③中补全图形，并判断他的猜想对吗？请说明理由． 任务三；小星准备了一张边长为的正方形纸片（如图④），点为中点，他将沿对折到正方形内部的位置，并把线段抹上了蜂蜜，他把蚂蚁放在点处，不计蜂蜜的宽度，你能帮小星计算出蚂蚁能吃到蜂蜜的最短路程吗？请写出解答过程． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题04 利用勾股定理解决最短路径问题 题型一 利用计算法求平面中的最短问题 1.直接根据图形性质，判断出最短路径就是线段本身。 2.利用勾股定理或已知长度直接计算，得出最短距离。 1．（25-26八年级上·福建漳州·期末）“低空经济”是以各类低空飞行活动为牵引，辐射带动相关领域融合发展的综合性经济形态．某无人机从物流集散地A到收货点C的路线受阻而采用备用路线，先垂直起飞300米至B处，再水平飞行400米到达收货点C．若路线未受阻，此次无人机的最短飞行距离是（    ） A．400米 B．450米 C．500米 D．600米 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用．由勾股定理可得出答案． 【详解】解：由题意知米，米， ∴（米）， 故选：C． 2．（25-26八年级上·广东梅州·期中）某物流公司的全自动无人机需从仓库出发，向东飞行后，再向北飞行抵达社区配送点，由于中央区域有信号塔障碍，无人机必须严格沿正东、正北方向飞行．若升级后的导航系统支持直线飞行绕过障碍，则从仓库到社区配送点的最短路径为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键； 直接根据勾股定理求解即可． 【详解】解：由题意可知，从仓库到社区配送点的最短路径， 故选：B． 3．（23-24八年级下·全国·期中）如图，在中，，若P是上的一个动点，则的最小值是（     ）     A． B．15 C． D．16 【答案】A 【分析】本题考查解直角三角形，勾股定理，动点问题等知识，解题的关键是掌握垂线段最短和等面积法． 利用勾股定理求出，根据垂线段最短，求出的最小值即可解决问题． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 根据垂线段最短得，当时，的值最小，此时取得最小值， ∵， ∴， ∴的最小值． 故选：A． 4．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）数形结合是数学的重要思想和解题方法，如：“当时，求代数式的最小值”，其中可看作两直角边分别为x和2的的斜边长，可看作两直角边分别是和3的的斜边长．于是将问题转化为求的最小值，如图所示，当与共线时，为最小．请你解决问题：当时，则代数式的最小值是_____． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，仿照例题，可以看作两直角边分别是x和1的的斜边长，可以看作两直角边分别是和3的的斜边长，问题转化为求的最小值，利用两点之间线段最短和勾股定理解答即可． 【详解】解：如图，由题意得，可以看作两直角边分别是x和1的的斜边长，可以看作两直角边分别是和3的的斜边长， 故问题转化为求的最小值，则当与共线时，有最小值，最小值为的长， 则，，，，， ∴， ∴， ∴代数式的最小值是． 故答案为：． 5．（25-26八年级上·安徽宿州·月考）如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，其中，，两取水点之间相距．由于某种原因，村庄到取水点，的路线现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点（点，，在同一条直线上），求新建路线的最短距离． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，利用“点到直线的垂线段最短”确定最短路线是解题关键． 过点作，先通过垂线段最短明确为最短距离，再设未知数，结合勾股定理建立方程求解的长度． 【详解】解：如图，过点作，此时为新建路线的最短距离， 设，则， 由勾股定理可得：， 即， 解得：， ， 即新建路线的最短距离为． 6．如图，在△ABC中，AC＝21，BC＝13，D是AC边上一点，BD＝12，AD＝16． （1）求证：BD⊥AC； （2）若E是边AB上的动点，求线段DE的最小值． 【答案】（1）见详解；（2）9.6． 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理解决问题即可． （2）根据垂线段最短解决问题即可． 【详解】解：（1）∵AC＝21，AD＝16， ∴CD＝AC﹣AD＝5， ∵BD2+CD2＝122+52＝169＝BC2， ∴∠BDC＝90°， ∴BD⊥AC． （2）当DE⊥AB时，DE最短， ∵AB20， ∵•AD•DB•AB•DE， ∴DE9.6， ∴线段DE使的最小值为9.6． 【点睛】本题考查勾股定理以及逆定理，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 7．如图所示，A、B两块试验田相距200米，C为水源地，AC＝160m，BC＝120m，为了方便灌溉，现有两种方案修筑水渠． 甲方案：从水源地C直接修筑两条水渠分别到A、B； 乙方案；过点C作AB的垂线，垂足为H，先从水源地C修筑一条水渠到AB所在直线上的H处，再从H分别向A、B进行修筑． （1）请判断△ABC的形状（要求写出推理过程）； （2）两种方案中，哪一种方案所修的水渠较短？请通过计算说明． 【答案】（1）见详解；（2）甲方案所修的水渠较短． 【分析】（1）由勾股定理的逆定理即可得出△ABC是直角三角形； （2）由△ABC的面积求出CH，得出AC+BC＜CH+AH+BH，即可得出结果． 【详解】解：（1）△ABC是直角三角形；理由如下： ∴AC2+BC2＝1602+1202＝40000，AB2＝2002＝40000， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°； （2）甲方案所修的水渠较短；理由如下： ∵△ABC是直角三角形， ∴△ABC的面积AB•CHAC•BC， ∴CH96（m）， ∵CH⊥AB， ∴∠AHC＝90°， ∴AH128（m）， ∴BH＝AB﹣AH＝72m， ∵AC+BC＝160m+120m＝280m，CH+AH+BH＝96m+200m＝296m， ∴AC+BC＜CH+AH+BH， ∴甲方案所修的水渠较短． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理、三角形面积的计算；熟练掌握勾股定理，由勾股定理的逆定理证出△ABC是直角三角形是解决问题的关键． 题型二 用平移法求平面中的最短问题 1. 将分散、不相连的线段平移拼接，化折为直。 2.把折线转化为一条直线段，再用勾股定理计算最短距离。 1．如图，相邻的两边互相垂直，则从点B到点A的最短距离为（　　） A．13 B．12 C．8 D．5 【答案】A． 【分析】如图，连接AB，构造直角△ABH．利用勾股定理解决问题即可． 【详解】解：如图，连接AB，构造直角△ABH． 由题意AH＝1+2+2＝5，BH＝4+4+4＝12， ∴AB13． 故选：A． 【点睛】本题考查勾股定理，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 2．如图，已知∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝90°，且AB＝CD＝3，BC＝4，DE＝EF＝2，则A，F两点间的距离是（　　） A．14 B．6 C．8 D．10 【答案】D． 【分析】过点F作FG⊥AB交AB的延长线于点G，根据题意求出AG、FG，根据勾股定理计算，得到答案． 【详解】解：过点F作FG⊥AB交AB的延长线于点G， 则AG＝AB+CD+EF＝8，FG＝BC+DE＝6， 由勾股定理得，AF10， 故选：D． 【点睛】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，已知，且，，，则，两点间的最短路径是（    ） A． B．20 C． D．24 【答案】B 【分析】过F作，交的延长线于，分别求出两直角边的长，再根据勾股定理解答即可. 【详解】解：如图，过点作，交的延长线于点，连接． 在中， ， ， ． 故，两点间的最短路径是20． 故选：B. 【点睛】本题考查了构造直角三角形运用勾股定理计算线段的长度，解决本题的关键是作辅助线构造直角三角形． 4．（25-26八年级上·四川达州·月考）如图，和是一个三级台阶两个相对的端点，点处有一只蚂蚁想到点处去吃可口的食物．若这个台阶的每一级的长、宽和高分别为，和，则这只蚂蚁沿着台阶面爬行的最短路程为________________． 【答案】 【分析】本题考查了平面展开最短路径问题．用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答． 【详解】解：如图， 三级台阶平面展开图为长方形，长为，宽为， 则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长， 即． 故答案为：． 5．某会展中心在会展期间准备将高5m、长13m、宽2m的楼道铺上地毯，已知地毯每平方米20元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要 元． 【答案】680． 【分析】地毯的长是楼梯的竖直部分与水平部分的和，即AB与BC的和，在直角△ABC中，根据勾股定理即可求得AB的长，地毯的长与宽的积就是面积，再乘地毯每平方米的单价即可求解． 【详解】解：由勾股定理得AB==12 （m）, 则地毯总长为12+5=17（m）， 则地毯的总面积为17×2=34（平方米）， 所以铺完这个楼道至少需要34×20=680（元）． 故答案为：680． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，正确理解地毯的长度的计算是解题的关键． 6．如图，某校科技创新兴趣小组用他们设计的机器人，在平坦的操场上进行走展示．输入指令后，机器人从出发点A先向东走10米，又向南走40米，再向西走20米，又向南走40米，再向东走70米到达终止点B．求终止点B与原出发点A的距离AB． 【分析】直接构造直角三角形进而利用勾股定理得出答案． 【详解】解：如图所示：过点A作AC⊥CB于C， 则在Rt△ABC中，AC＝40+40＝80（米）， BC＝70﹣20+10＝60（米）， 故终止点与原出发点的距离AB100（米）， 答：终止点B与原出发点A的距离AB为100m． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，正确构造直角三角形是解题关键． 7．（25-26八年级上·山东·期末）如图，村庄A，B分别位于河的两侧（河的两岸平行），河宽为，村庄A到河岸的距离，村庄B到河岸的距离，村庄A到村庄B的水平距离．现要在河上架设一座桥（垂直于河岸），使从村庄A到村庄B的路线最短，求从村庄A到村庄B的最短路线为多少千米． 【答案】村庄A到村庄B的最短路线为6千米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，找出最短路径是解决本题的关键． 将点A向下平移到，使且，连接，与下河岸交于点N，过N作下河岸，交上河岸于M，则，依次连接，此时即为最短路线，先求出到B的垂直距离，再根据勾股定理求出，进而即可求解． 【详解】解：将点A向下平移到，使且，连接，与下河岸交于点N，过N作下河岸，交上河岸于M，则，依次连接，此时即为最短路线， 由题意得，到B的垂直距离为， 由勾股定理得：， ∴总路径为 ， ∴村庄A到村庄B的最短路线为6千米． 题型三 用对称法求平面中的最短问题 1.作其中一个点关于直线的对称点，利用对称转化线段。 2.连接对称点与另一点，所得线段长度即为最短路径，再计算长度。 1．（25-26八年级上·江西南昌·期末）如图，牧童在处放牛，其家在处，到河岸的距离分别为和，且，若河岸的长度为，则牧童从处把牛牵到河边饮水再回家，最短距离_____． 【答案】/1000米 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，勾股定理解三角形，作A关于的对称点，连接与，，则牧童从A处把牛牵到河边饮水再回家，最短距离是的长．然后结合图形，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：作A关于的对称点，交于点M，连接，，，如图所示：    根据轴对称可知：，，， ∴， ∴当最小时，最小， ∵两点之间线段最短， ∴、、三点共线时，最小，即最小， ∴此时最小， 根据题意得：四边形为矩形， ∴， ∵，河岸的长度为， ∴，， ∴（米）， ∴牧童从处把牛牵到河边饮水再回家的最短距离是． 故答案为：． 2．（23-24八年级下·云南昭通·月考）如图，正方形的边长为4，点M在上，且，点N是上一动点，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C． D．8 【答案】B 【分析】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题及正方形的性质，由正方形的对称性可知点B与D关于直线对称，连接交于点，即为所求,在中利用勾股定理即可求出的长即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴点B与D关于直线对称，即是线段的垂直平分线， 连接，，交于，连接，即为所求的点， 根据对称有：，即， 当点B、、M三点共线时，最小， 则的长即为的最小值， ∵， ∴在中， ， 故的最小值是5． 故选：B． 3．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，在等腰三角形中，，，D是边上的中点，，M，N分别是和上的动点，则的最小值是（　　） A．10 B． C．12 D． 【答案】D 【分析】本题考查的是轴对称——最短路线问题，勾股定理，根据垂线段最短，确定是的最小值解决问题的关键． 作，垂足为H，交于点，过点作，垂足为，则为所求的最小值，根据勾股定理求出，再根据面积不变求出即可． 【详解】解：如图，作，垂足为H，交于点，过点作，垂足为，则为所求的最小值． ∵，D是边上的中点， ∴是的平分线， ∴， ∴， ∴是点B到直线的最短距离（垂线段最短）， ∵，，D是边上的中点， ∴，， 在中，， ∴， ∵， ∴， 解得：， 故选：D． 4．（25-26八年级上·重庆·期中）如图，在中，，，，，若点M、N分别在边，上，当四边形的周长最小时，则这个最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作点P关于的对称点，点Q关于的对称点，连接交于M，交于N，此时四边形的周长最小，过点P作于H，由勾股定理求出，推出，得出，再求出，过点作于K，在中，求出可得结论． 【详解】解：如图，作点P关于的对称点，点Q关于的对称点，连接交于M，交于N，此时四边形的周长最小，过点P作于H， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 过点作于K， 在中，，，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴四边形的周长的最小值为． 故选：A． 【点睛】本题考查轴对称最短问题、勾股定理、含角的直角三角形的性质、轴对称的性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，学会添加常用辅助线，由直角三角形解决问题． 5．如图，点A，B在直线的同侧，A到的距离，B到的距离，已知，P是直线上的一个动点，记的最小值为a，的最大值为b，则的值为（　　） A．160 B．150 C．140 D．130 【答案】A 【分析】本题考查轴对称解决最短路径问题、勾股定理，熟练掌握利用轴对称解决最短路径问题是解题的关键． 作点A关于直线的对称点，连接交直线于点P，则点P即为所求点，过点作于点E，则线段的长为的最小值，根据勾股定理得到，即；延长交于点，则，当点P运动到时，有最大值，过点B作于点F，则，根据勾股定理求得，即有最大值，据此求解即可． 【详解】解：如图，作点A关于直线的对称点，连接交直线于点P，则点P即为所求点，过点作于点E， 线段的长为的最小值， 、、, 、、， 即的最小值； 延长交于点， 、 当点P运动到时，有最大值， 、、， 过点B作于点F，则， 即有最大值， ， 故选：A． 6．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图，已知点，，点是x轴上一动点，点是y轴上一动点，则四边形的最小周长为______． 【答案】/ 【分析】本题考查了轴对称的性质及勾股定理的应用，利用轴对称的性质，分别过点A和点B作关于x，y轴的对称点，，连接，与y轴交点Q，与x轴交点P，此时点，Q，P，四点共线，从而得出四边形的周长最小值为，然后求出点，的坐标，再利用勾股定理求得和的长度即可． 【详解】解：如图，过点A作关于y轴的对称点，过点B作关于x轴的对称点，连接，与y轴交点Q，与x轴交点P， ∴当点，Q，P，四点共线时，则，即， ∵点A为，点B为， ∴点为，点， ∴，， ∴． 故答案为：． 7．（25-26八年级上·浙江宁波·月考）“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”问题． (1)线段，于点A且，于点B且，点P为线段上任意一点，则图1中最小值为________；图2中最小值为________； (2)如图3，中，，，，点D是边的中点，点P是边上任意一点，则的最小值是________； (3)如图4，中，且，作于点D，过A点的射线m始终平行于，点E是高上任意一点，点F是射线m上一点，点G是线段上一点，且始终保持，则的最小值为________；则的最小值为________． 【答案】(1)5，5 (2) (3)， 【分析】（1）连接交于点P，由点、、三点共线时，最小，结合勾股定理即可求解；作点关于的对称点，连接交于点，连接，根据图形的对称性可知，当点、、三点共线时，最小，由此求解即可； （2）作点关于的对称点，连接交于点，连接，根据图形的对称性可得，即当点、、三点共线时，最小，由此求解即可； （3）先由边角边的证明方法证明与全等，即可得，再由由图形的对称性可知，当点、点、点三点共线时，最小，结合勾股定理求解即可；作辅助线构造全等三角形，由此可得，再由点、点、点三点共线时，最小，结合勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：连接交于点P，过点C作交的延长线于点H，如图， ， 当点、、三点共线时，最小， ，， 由勾股定理可得，， 最小值为； 作点关于的对称点，连接交于点，连接，如图． 由图形的对称性可知，， ， 当点、、三点共线时，最小， 同理可求， 最小值为； 故答案为：；； （2）解：作点关于的对称点，连接交于点，连接，过点作交于点，连接，如图， 由图形的对称性可知，，， 当点、、三点共线时，最小， 即 在中，，，， 由勾股定理可得， 点是边的中点，， 为等腰三角形，且， ， 在中，， ， 在中，， 则的最小值是； 故答案为：； （3）解：连接，作点关于射线的对称点，连接交射线于点，连接，如图， 中，且， 为等腰直角三角形， ，且， ， 为的角平分线，即， 射线， ， ， 在与中， ， （）， ， 由图形的对称性可知，，， 当点、点、点三点共线时，最小， 即， ， 又， ， 在中，， 最小值为， 作，使，连接，连接交于点，如图， ， ， 在与中， ， （）， ， 当点、点、点三点共线时，最小， 即， ，， ， ， 在中，， ∴的最小值为， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了勾股定理解三角形，图形对称的性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是作点关于直线的对称点转化边的关系，以及作辅助线构造全等三角形． 题型四 用展开图求长方体中的最短问题 1.将长方体侧面展开成平面图形。 2.把空间路径转化为平面内两点之间线段，用勾股定理求最短距离。 1．（24-25八年级下·新疆乌鲁木齐·月考）如图，一只蚂蚁从长为、宽为、高为的长方体纸箱的点沿纸箱表面爬到点，那么它所爬行的最短路线的长是多少．（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查最短路径问题，将长方体展开，根据两点之间线段最短，运用勾股定理是解题．先将图形展开，再根据两点之间线段最短，再由勾股定理求解即可． 【详解】解：将长方体展开，如图1所示，连接A、B，根据两点之间线段最短， ； 如图2所示，， 如图3所示，， ∵， ∴蚂蚁所行的最短路线为cm． 故选：B． 2．（2025八年级上·四川成都·专题练习）如图，在一个长方形草坪上，放着一根长方体的木块，已知，，该木块的较长边与平行，横截面是边长为1米的正方形，一只蚂蚁从点A爬过木块到达C处需要走的最短路程是（   ） A．13m B．10m C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平面展开最短路线问题，两点之间线段最短，勾股定理．将木块表面展开，然后根据两点之间线段最短，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：展开图如下： 蚂蚁从点A爬过木块到达C处需要走的最短路程为的长度， 由展开图得 ， （）， 故选：A． 3．（25-26八年级上·内蒙古包头·期中）如图，长方体木块长，宽，高．一只蚂蚁从点A处沿木块表面爬行到点G处的最短路径长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了最短路径问题．解决本题的关键是熟练掌握用勾股定理的应用，要注意数形结合思想的应用． 要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体展开，然后利用两点之间线段最短解答．注意不同的展法，答案不同，需要分别分析． 【详解】解：如图将长方体展开，根据“两点之间，线段最短”知，线段即为最短路线． ①如图1， ∵，， ， ∴在中，，， ∴； ②如图2， ∵，， ， ∴， ∴， ∴． ②如图3， ∵，，， ∴，， ∴． ∵， ∴蚂蚁所行路程的最小值为． 故选：B． 4．（25-26八年级上·河南郑州·期末）如图是由6个棱长为的小正方体所搭建的几何体，一只电子蚂蚁从点A出发，沿几何体的表面爬到点B，最短的距离为______． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，将立体图形转化为平面图形是解题的关键；根据两点之间线段最短，将组合体图形转化为平面图形，进而勾股定理求解即可． 【详解】解：∵6个棱长为的小正方体所搭建的几何体， ∴这个几何体的长是，宽是，高是， ①经过前面和右边 ②经过上面和右边 ③经过前面和下边 ∵ 故答案为：. 5．（25-26八年级上·河南周口·期末）如图，正方体的棱长为，蚂蚁从顶点A沿表面爬到顶点B的最短路程为_______． 【答案】 【分析】先将点A和点B所在的各面展开为矩形，根据“两点之间线段最短”知为矩形的对角线的长即为蚂蚁沿正方体表面爬行的最短距离；然后利用勾股定理求得的长． 【详解】解：将点A和点B所在的各面展开为矩形，为矩形对角线的长， 如图所示： ∵正方体的棱长为， ∴矩形的长为、宽为， ∴． 6．（24-25八年级上·四川眉山·期末）如图，长方体的长为，宽为，高为，点B到点C的距离为，一只蚂蚁如果沿着长方体的表面从点爬到点，蚂蚁需要爬行的最短距离为__________． 【答案】25 【分析】把长方体按照正面和右侧进行展开，或沿长方体的右侧和上面进行展开，利用勾股定理分别计算长度进行比较即可得到答案． 【详解】解：把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图1： 长方体的宽为10，高为20，点离点的距离是5， ，， 在Rt△中，根据勾股定理得： ； 把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图2： 长方体的宽为10，高为20，点离点的距离是5， ，， 在Rt△中，根据勾股定理得： ； 把长方体的下表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图： 长方体的宽为10，高为20，点离点的距离是5， ， 在Rt△中，根据勾股定理得： ； ， 蚂蚁爬行的最短距离是25． 7．（2026八年级下·全国·专题练习）一个供滑板爱好者使用的U形池如图所示，该形池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行的部分的截面是半径为的半圆，其边缘，点E在上，．一滑板爱好者从点滑到点，再从点滑到点，则他滑行的最短路程是多少？（边缘部分的厚度忽略不计，取） 【答案】他滑行的最短路程是 【分析】把半圆柱展开，根据两点之间线段最短，可得他滑行的最短路程，根据勾股定理，分别求解，即可． 【详解】解：如图，把半圆柱展开． 由题意可知，，． 在中，． 在中，， 所以． 答：他滑行的最短距离是． 8．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期中）如图1所示，一只蚂蚁从实心长方体的顶点出发，沿长方体的表面爬到对角顶点处，要想使路程较短，有三种不同的方式：①沿面和而爬行；②沿面和而爬行；③沿面和面爬行． (1)图2为按第①种方式展成的平面图形，请你画出另两种方式展成的平面图形； (2)若，请通过计算，判断第几种方式所走路程最短？最短路程为多少？ (3)如图是一个长方体盒子（尺寸如图所示），在长方体下底面的M点有一只蚂蚁，它想吃到上底面N点的食物（是长方体的顶点，），请根据上面探究的结论求蚂蚁需爬行的最短路程是多少． 【答案】(1)见解析 (2)沿第①种方式爬行路程最短，最短路程是5 (3)蚂蚁需爬行的最短路程是 【分析】本题考查了勾股定理的应用． （1）根据爬行方式作图即可； （2）根据勾股定理求出三种方式的路程，比较即可； （3）根据（2）画出最短路径，进而计算即可． 【详解】（1）解：如图： （2）解：①； ②； ③； 可知沿第①种方式爬行路程最短，最短路程是5； （3）解：由（2）可知，最短路径的两条直角边应为最长边及较短两边和， 如图： 则蚂蚁需爬行的最短路程是． 题型五 用展开图求圆柱体中的最短问题 1.把圆柱侧面展开成长方形。 2.在展开图中，路径为直角三角形斜边，用勾股定理计算最短长度。 1．（25-26八年级上·福建漳州·期中）如图，一圆柱体的底面圆周长为6，高为5，是上底的直径，一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，则爬行的最短路程是（　　） A．4 B． C． D．13 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理中最短路径问题，解题的关键是理解圆柱展开图，结合两点间线段距离最短得到最小距离线段．将圆柱展开根据图像得到A，C两点的位置结合两点间距离公式及勾股定理直接求解即可得到答案． 【详解】解：由题意可得，圆柱展开图如图所示，根据两点间线段距离最短，连接，即为最短距离， ∵圆柱体的底面圆周长为6，高为5， ∴， 在中，由勾股定理，得：， 故选：B． 2．（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）如图，圆柱底面周长为20，高为12，是底面圆的直径，点是的中点.现有一只蚂蚁从点沿圆柱外表面爬到点处，则蚂蚁所爬行的最短路程为_____． 【答案】13 【分析】本题考查了勾股定理求最短路径问题．画出展开图，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：如图， ∵圆柱底面周长为20，高为12， ∴，， 根据勾股定理可得． 故答案为：13． 3．（25-26八年级上·陕西西安·期中）中华儿女作为龙的传人，龙的形象符号已经深入人心，如图所示，每根雕龙木柱高为6米，在底面周长为1.5米的木柱上，有一条雕龙从柱底A点沿立柱表面盘绕3圈到达柱顶正上方的D点，则雕刻在木柱上的巨龙长至少为（   ） A．7.5米 B．8米 C．9米 D．10米 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．将圆柱体侧面展开，每圈龙的长度与高度和圆柱的周长组成直角三角形，根据勾股定理计算即可得到答案． 【详解】解：如图， 根据题意可得，底面周长为米，柱身高为6米， ∵有一条雕龙从柱底点沿立柱表面盘绕3圈到达柱顶正上方的点， 米，（米）， （米）， 故雕刻在木柱上的巨龙长至少为（米）， 故选：A． 4．（25-26八年级上·辽宁沈阳·月考）如图，一个底面周长为、高为的圆柱状模型，是底面直径，是圆柱的高．现要在此模型的侧面贴一圈彩色装饰带，且装饰带经过A，C两点（接头不计），装饰带的最短长度为（   ）． A．30 B． C． D．18 【答案】A 【分析】此题主要考查了平面展开—最短路线问题，以及勾股定理．解题时注意：圆柱的侧面展开图是长方形．由勾股定理及立体图形的表面展开图的特点解题． 【详解】解：如图，沿展开，，且点为的中点， ，， ∴装饰带的长度， 故选：A． 5．（25-26八年级上·河南鹤壁·月考）如图，圆柱形玻璃杯高为17，底面周长为16，在杯内壁离杯底6.5的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4.5且与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为（    ）．（杯壁厚度不计） A． B． C．15 D．17 【答案】D 【分析】本题重点考查平面展开--最短路径问题，画出圆柱形玻璃杯的侧面展开图并且正确地作出辅助线是解题的关键．将圆柱形玻璃杯的侧面展开，延长到点，使，连接交于点，连接，由垂直平分，得，则，可知蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程为线段的长，作于点，则，求出，求得，根据勾股定理求出，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图，将圆柱形玻璃杯的侧面展开，延长到点，使，连接交于点，连接， ∵垂直平分， ∴蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程为线段的长，作于点，则， ∴四边形是矩形， ∴蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程为17， 故选：D． 6．（25-26八年级上·贵州贵阳·期末）如图1，圆形旋转楼梯是以单柱为中心螺旋上升的特色楼梯，因造型美观，空间利用率高，常用于室内外设计中． (1)如图2是抽象出来的一层圆形旋转楼梯的示意图，扶手可近似看作是圆柱侧面上的一条螺旋线，其中点为扶手的两端点．图3是该螺旋线所在圆柱面的侧面展开图，请在图3中画出该扶手在展开图中的示意图； (2)在（1）的条件下，抽象出来的这一层楼层高为，扶手所在圆柱的底面半径为，求这一层圆形旋转楼梯的扶手长度．（取3） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，正确理解题意画出对应的展开示意图是解题的关键． （1）展开图所示的长方形的一条对角线（经过点A）即为该扶手在展开图中的位置，据此作图即可； （2）利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：如图3所示，线段即为所求； （2）解：如图3所示，根据题意可得， 在中，由勾股定理得， 答：这一层圆形旋转楼梯的扶手长度为． 7．（25-26八年级上·贵州贵阳·期末）小星学习了最短路径问题后，做了一个高为，底面圆的周长为的圆柱（如图①），他在圆柱下底面的点处放了一只蚂蚁，请结合以上描述完成下列任务． 任务一：蚂蚁想吃到圆柱侧面上与点相对的中点处的食物，则它沿圆柱侧面爬行的最短路程是___________． 任务二：小星把圆柱的高变为，底面圆的周长不变（如图②），他把蚂蚁放在底部处，帮蚂蚁设计了一条沿圆柱侧面爬行的最短路径去吃上底面上与点相对的点处的食物，吃完后再设计另一条与前一条不一样的最短路径回到点处（此时两点重合）小星沿着竖直方向将圆柱剪开，得到长方形（如图③，当他分别画出这两条路径时，猜想平分，请根据题意，在图③中补全图形，并判断他的猜想对吗？请说明理由． 任务三；小星准备了一张边长为的正方形纸片（如图④），点为中点，他将沿对折到正方形内部的位置，并把线段抹上了蜂蜜，他把蚂蚁放在点处，不计蜂蜜的宽度，你能帮小星计算出蚂蚁能吃到蜂蜜的最短路程吗？请写出解答过程． 【答案】任务一：；任务二：小星的猜想对，理由见解析；任务三：蚂蚁能吃到蜂蜜的最短路程为 【分析】本题考查了勾股定理求线段的最短距离，等边三角形的性质与判定，折叠的性质； 任务一：根据题意画出圆柱的展开图，然后根据勾股定理，即可求解； 任务二：根据题意画出图形，证明是等边三角形，进而即可得出平分，即可求解； 任务三：连接，过点作于点，依题意，将沿对折到正方形内部的位置，则垂直平分，，进而根据等面积法求得，设，则，在中，，在中，，进而建立方程，求得的长，再根据勾股定理求得的长，即可求解． 【详解】解：任务一，如图 依题意， ∴； 任务二：小星的猜想对，理由如下， 如图，取的中点，连接，取的中点，连接， ∵， ∴ 依题意， 在中，， 在中， ∴ ∴是等边三角形 ∴ 又∵ ∴， ∴ 即平分， 任务三： 如图，连接，过点作于点， ∵， ∴ 依题意，将沿对折到正方形内部的位置，则垂直平分，， ∴ ∴ 设，则， 在中，，在中， ∴ ∴ 解得：，即 ∴ ∴蚂蚁能吃到蜂蜜的最短路程为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $