微专题03 勾股定理与折叠问题（专项训练）数学新教材人教版八年级下册

微专题03 勾股定理与折叠问题 题型一 利用勾股定理解决三角形中的折叠问题 1.找准折叠前后重合的边相等、重合的角相等。 2.设未知线段长为 x，用含 x 的式子表示相关线段。 3.在折叠后形成的直角三角形中，直接列勾股定理方程求解。 1．（2026八年级下·全国·专题练习）如图，有一块直角三角形纸片，，，，将斜边翻折，使点A落在直角边延长线上的点D处，折痕为，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（25-26八年级上·山东·期末）如图，中 ，，点D在边上，连接，沿翻折，使点C落在边点E上，则（    ） A．4 B．4.8 C．5 D．5.2 3．（25-26八年级上·贵州毕节·期末）如图，在Rt中，，，将折叠，使点与的中点重合，折痕为，则的长为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 4．（25-26八年级上·重庆大渡口·期末）如图，在三角形纸片中，，，，沿过点的直线将纸片折叠，使点落在上的点处，折痕交于点，再折叠纸片，使点与点重合，折痕交于点，交于点，则的长度为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 5．（25-26八年级上·山东聊城·期末）如图，将直角三角形纸片沿折叠，使点落在延长线上的点处．若，，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C．6 D．9 6．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图，在纸片中，，，，沿过点的直线将纸片折叠，使得点落在上的点处，再折叠纸片，使得点与点重合，若折痕交于点，则的值为（    ） A． B． C． D．2 7．（25-26八年级上·山东菏泽·月考）如图，在中，，，，将它的锐角A翻折，使得点A落在边的中点D处，折痕交边的延长线于点E，交边于点F，则的长为（    ） A．1 B．2 C． D． 8．（25-26八年级上·河北石家庄·期末）如图，把等边三角形沿折叠，使点A恰好落在边上的点P处，于点P．若，则的长为（   ）． A．4 B． C． D． 8．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，，，，、分别是和边上的点，把沿着直线折叠，若点落在边上，则的取值范围是______． 9．（25-26八年级上·河南南阳·期末）如图，在中，，点为上一个动点，连接，将沿折叠得到，点的对应点为，连接，若，，当为直角三角形时，线段的长为_____． 10．（25-26八年级上·江西九江·期末）如图，在中，，，，点E在上，连接，将沿折叠至处，点D在的延长线上，求解下列问题： (1)求的长； (2)求的长． 11．（24-25八年级上·浙江丽水·期末）如图所示为直角三角形纸片，，是边上一点．将纸片沿折叠，使点落在点的位置，交于点，且． (1)求证：是直角三角形． (2)若，，求折痕的长． 12．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）已知在纸片中，，，，对纸片进行折叠，使点与上的点重合，折痕分别交，，于点E，F，G． (1)如图1，若为上的高线，求的长． (2)如图2，若为的角平分线，求的长． (3)如图3，若为上的中线，求的长． 题型二 利用勾股定理解决长方形中的折叠问题 1.利用折叠性质：对应边相等、对应角相等，折痕垂直平分对应点连线。 2.设未知数，把分散的线段集中到同一个直角三角形里。 3.用勾股定理建立方程，求出线段长度。 1．（25-26八年级上·贵州六盘水·期末）如图，在长方形中，，将此长方形沿折叠，使点与点重合，则的长度为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（25-26八年级上·山东青岛·期末）如图，在长方形中，，将沿折叠，使点恰好落在对角线上的点处，则的长是（   ） A． B． C． D． 3．（2025九年级下·北京·专题练习）如图，折叠长方形的一边，使点落在边上的点处，若，，则长（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·四川遂宁·期末）如图，长方形沿直线折叠，使点落在同一平面内处，与交于点 ，则的长是（   ） A． B．5 C． D．6 5．（25-26八年级上·重庆合川·期末）如图，在长方形中，为对角线，为的中点，将沿所在直线折叠至该长方形所在平面内，得与交于点，连接，若，则边的长度为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 6．（25-26八年级上·四川成都·期中）如图，在长方形中，，，将此长方形沿折叠，使点与点重合，则的长度为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 7（25-26八年级上·广东清远·月考）如图，在长方形中，E，F分别是边上的点，将沿折叠，点B的对应点G恰好落在边上．若，则的长为（    ） A．1 B． C． D． 8．（25-26八年级上·广东深圳·期中）如图所示，在一次折纸活动中，张老师把一张纸按如图所示的方式进行两次折叠，第一次折叠折痕为，点落在线段上的点处，第二次折叠折痕为，点与点恰好重合，此时与的比是（   ） A． B． C． D． 9．（25-26八年级上·北京昌平·期末）如图，在长方形纸片中，点M在边上，沿所在的直线折叠，使点D落在点处，与交于点N．继续折叠长方形纸片，使恰好落在直线上，点A落在点处，点B落在点处，折痕为，若，，则的长度为（   ） A．9 B．10 C．11 D．12 10．（25-26八年级上·山东济南·期末）如图，在长方形中，，，点为射线上一动点（不与点重合），将沿所在直线折叠，点落在点处，连接，当为直角三角形时，的长为（   ） A． B． C．或 D．或 11．（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，在长方形纸片中，，．点E在边上，将这张纸片沿翻折，使点D落在长方形内的点F处．若直线恰好经过点B，则的长为_________． 12．（25-26七年级上·山东青岛·期末）如图，长方形纸片中，，将此长方形纸片折叠，使点与点重合，点落在点的位置，折痕为，求的长． 13．（25-26八年级上·福建漳州·月考）如图，在长方形中，． (1)如图①，将长方形沿翻折，使点A与点C重合，点D落在点处，求BF的长； (2)如图②，将沿翻折，若交于点E，求的面积； (3)如图③，，P为边上的一点，将沿翻折得到，，分别交边于点E，F，且，求的长． 14．（25-26八年级上·四川成都·期末）如图1，在长方形中，，，E为射线上的一点，连接．将沿着翻折，B点的对应点为． (1)如图2，当E点与C点重合时，与交于F． ①求证：； ②连接，求的面积； (2) 连接，当时，求的值． 题型三 利用勾股定理解决正方形中的折叠问题 1.抓住正方形四边相等、四个角都是直角的特点。 2.由折叠得到全等图形，确定相等的边和角。 3.构造直角三角形，设未知数，用勾股定理列方程计算。 1．如图，正方形ABCD的边长为8，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH．若BE＝EC，则线段CH的长是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．如图，在边长为7的正方形ABCD中，E为BC边上一点，F为AD边上一点，连接AE、EF，将△ABE沿EF折叠，使点A恰好落在CD边上的A′处，若A′D＝2，则B′E的长度为（　　） A． B． C． D．2 3．如图，正方形的边长为3，将正方形折叠，使点落在边上的点处，点落在点处， 折痕为．若，则的长是 A．1 B． C． D．2 4．将正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的点M重合，折痕交AD于E，交BC于F，边AB折叠后与BC边交于点G（如图）．如果DM：MC＝3：2，则DE：DM：EM＝（　　） A．7：24：25 B．3：4：5 C．5：12：13 D．8：15：17 5．如图，已知正方形ABCD面积为2，将正方形ABCD沿直线EF折叠，则图中阴影部分的周长为（　　） A． B．2 C．8 D．4 6．如图，点E和点F分别在正方形纸片ABCD的边CD和AD上，连接AE，BF，沿BF所在直线折叠该纸片，点A恰好落在线段AE上点G处．若正方形纸片边长12，DE＝5，则GE的长为（　　） A． B． C．4 D．3 7．（25-26八年级上·江苏苏州·月考）如图，将边长为的正方形折叠，使得点落在边上的点处，折痕为．若的长为，则的长为______． 8．（24-25八年级下·安徽蚌埠·期中）如图，在正方形纸片中，是的中点，将正方形纸片折叠，点落在线段上的点处，折痕为，若， ①则的长为________． ②则的长为________． 9．如图，正方形ABCD中，CD＝6，点E在边CD上，且CD＝3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF． （1）求证：△ABG≌△AFG； （2）求GC的长； （3）求△FGC的面积． 10．（25-26八年级上·山东青岛·期末）折纸是一门将数学、艺术与工程完美结合的学科．一张小小的纸片，通过动手折叠，能够创造出非常奇妙的图形，产生出许多有趣的数学问题．在学习了勾股定理和无理数之后，我们可以用折纸的方式，折出长度为，，等线段．利用一张边长为的正方形纸片，小明进行了如下探究． 探索（1）：如图1，将纸片沿着对角线对折，使得点落到点处；再对折一次，使得点落到点处，将纸片展开，两条折痕交于点，则_____； 探索（2）：如图2，将纸片沿过对边中点的直线对折后展开，折痕为；再将纸片折叠，使得点落在上的点处，折痕为，求线段和折痕的长度； 探索（3）：你能折出长度为的线段吗？ 请你在图3中画出折叠后的示意图（用虚线表示折痕），并说明如何得到该线段； 探索（4）：在探索（2）的基础上，你能折出长度为的线段吗？ 请你在图4中画出折叠后的示意图（用虚线表示折痕），并写出哪条线段即为所求． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题03 勾股定理与折叠问题 题型一 利用勾股定理解决三角形中的折叠问题 1.找准折叠前后重合的边相等、重合的角相等。 2.设未知线段长为 x，用含 x 的式子表示相关线段。 3.在折叠后形成的直角三角形中，直接列勾股定理方程求解。 1．（2026八年级下·全国·专题练习）如图，有一块直角三角形纸片，，，，将斜边翻折，使点A落在直角边延长线上的点D处，折痕为，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理和折叠问题．勾股定理求出的长，折叠得到，利用即可得解． 【详解】解：∵，，， ∴， 由翻折的性质得， ∴． 故选：B． 2．（25-26八年级上·山东·期末）如图，中 ，，点D在边上，连接，沿翻折，使点C落在边点E上，则（    ） A．4 B．4.8 C．5 D．5.2 【答案】C 【分析】本题主要考查勾股定理和翻折的性质，熟练掌握勾股定理列方程以及翻折的性质是解决本题的关键． 先由勾股定理逆定理得到，再由翻折可得，设，则，，在，利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：由、、，满足， 故是直角三角形，， 沿翻折后，落在上的点， 因此：，，， 即，设，则，； 又， 在中， ，即， 解得，即． 故选：C． 3．（25-26八年级上·贵州毕节·期末）如图，在Rt中，，，将折叠，使点与的中点重合，折痕为，则的长为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】根据折叠的性质得到，设，在中结合勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：由题意知，，， 设，则， 在中，， ∴， 解得， 即． 4．（25-26八年级上·重庆大渡口·期末）如图，在三角形纸片中，，，，沿过点的直线将纸片折叠，使点落在上的点处，折痕交于点，再折叠纸片，使点与点重合，折痕交于点，交于点，则的长度为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，直角三角形两锐角互余，解题的关键是掌握以上知识点． 先根据折叠得到，，，，然后求出 【详解】解：由折叠性质得：，，，， ∵，，然后利用勾股定理求解即可． ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴． 故选：C． 5．（25-26八年级上·山东聊城·期末）如图，将直角三角形纸片沿折叠，使点落在延长线上的点处．若，，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C．6 D．9 【答案】D 【分析】此题考查了折叠的性质，勾股定理．由勾股定理求出，设，则，根据求出x得到的长，利用三角形面积公式求出答案． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠得，， 设，则， 在中，，， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴图中阴影部分的面积是， 故选：D． 6．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图，在纸片中，，，，沿过点的直线将纸片折叠，使得点落在上的点处，再折叠纸片，使得点与点重合，若折痕交于点，则的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形的性质，一元一次方程，掌握相关知识点是解题的关键． 设的长度为x，根据折叠和，可证为直角三角形，用含有x的式子将表示出来，用勾股定理列方程，即可求解． 【详解】解：设的长度为x， 根据折叠可知， ， ， ， ， ， ， 在中，根据勾股定理，可得， 即，解得， 的长度为． 故选：A． 7．（25-26八年级上·山东菏泽·月考）如图，在中，，，，将它的锐角A翻折，使得点A落在边的中点D处，折痕交边的延长线于点E，交边于点F，则的长为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理与折叠的性质． 设，由折叠可得，，然后对运用勾股定理建立方程求解． 【详解】解：设， 由折叠可得，， ∴， ∵，为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 则． 故选：C． 8．（25-26八年级上·河北石家庄·期末）如图，把等边三角形沿折叠，使点A恰好落在边上的点P处，于点P．若，则的长为（   ）． A．4 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，等边三角形的性质，轴对称的性质，含角的直角三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 由等边三角形的性质得到，，进而得到，从而得到，根据勾股定理求出，从而求得边长为，因此可求出，再在中根据含角的直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：是等边三角形， ，． ， ， ． ， ， ． 由折叠的性质，得，， ， ， ． ， ， ． 故选：C． 8．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，，，，、分别是和边上的点，把沿着直线折叠，若点落在边上，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了折叠的性质、勾股定理，因为折叠后点在边上，当点与点重合时，利用勾股定理求出，根据线段之间的关系即可求出的长度；当点与点重合时，可知是的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可得，从而可得的取值范围． 【详解】解：如下图所示，当点与点重合时， 由折叠的性质可知且， 在中，，，， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， ， 则； 如下图所示，当点与点重合时， 由折叠的性质可知且； 综上所述，． 故答案为：． 9．（25-26八年级上·河南南阳·期末）如图，在中，，点为上一个动点，连接，将沿折叠得到，点的对应点为，连接，若，，当为直角三角形时，线段的长为_____． 【答案】或 【分析】本题主要考查了折叠的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，分和两种情况，画出对应的图形，讨论求解即可． 【详解】解：如图，当时，则， 由折叠的性质可得， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； 如图，当时， 由折叠的性质可得，,， ∴， ∴三点共线， 由勾股定理得， ∴， 设，则， 由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴ 综上可得：当为直角三角形时，线段的长为或， 故答案为：或． 10．（25-26八年级上·江西九江·期末）如图，在中，，，，点E在上，连接，将沿折叠至处，点D在的延长线上，求解下列问题： (1)求的长； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理，折叠的性质． （1）根据勾股定理得到，根据折叠的性质得到，即，根据勾股定理即可求出的长； （2）设，则，根据折叠的性质得到，根据勾股定理求出，即可求出的长． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∵将沿折叠至处， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：设，则， ∵将沿折叠至处， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴． 11．（24-25八年级上·浙江丽水·期末）如图所示为直角三角形纸片，，是边上一点．将纸片沿折叠，使点落在点的位置，交于点，且． (1)求证：是直角三角形． (2)若，，求折痕的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据等边对等角及对顶角相等得，根据折叠的性质得，再根据直角三角形两锐角互余可推出，即可得证； （2）如图，过点作于点，根据勾股定理得，根据三角形等积变换得，再结合折叠的性质推出，最后再根据勾股定理可得． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵将纸片沿折叠，使点落在点的位置， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形； （2）解：如图，过点作于点， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∵将纸片沿折叠，使点落在点的位置， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即折痕的长为． 【点睛】本题考查折叠的性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的判定，勾股定理等知识点，掌握折叠的性质以及勾股定理是解题的关键． 12．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）已知在纸片中，，，，对纸片进行折叠，使点与上的点重合，折痕分别交，，于点E，F，G． (1)如图1，若为上的高线，求的长． (2)如图2，若为的角平分线，求的长． (3)如图3，若为上的中线，求的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由勾股定理可得，利用等面积法计算得出，再由折叠的性质即可得出结果； （2）作交于点，交于点，由角平分线的性质定理可得，，证明为等腰直角三角形，得出，由，计算得出，由折叠的性质可得，设，则，再由勾股定理计算即可得出结果； （3）由勾股定理可得，由中线的性质可得，，，作，交于点，由三角形面积公式计算得出，则，由折叠的性质可得，设，则，，再由勾股定理计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵在纸片中，，，， ∴， ∵为上的高线， ∴， ∴， ∵对纸片进行折叠，使点与上的点重合， ∴； （2）解：如图：作交于点，交于点， ， ∵为的角平分线， ∴，， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由折叠的性质可得：， 设，则， 由勾股定理可得：， ∴， 解得：， ∴； （3）解：∵在纸片中，，，， ∴， ∵为上的中线， ∴，， 如图，作，交于点， ， ∵， ∴， ∴， 由折叠的性质可得：， 设，则，， 由勾股定理可得：， ∴， 解得：， ∴． 【点睛】本题考查了折叠的性质、等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质定理、勾股定理、三角形中线的性质、三角形面积公式等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 题型二 利用勾股定理解决长方形中的折叠问题 1.利用折叠性质：对应边相等、对应角相等，折痕垂直平分对应点连线。 2.设未知数，把分散的线段集中到同一个直角三角形里。 3.用勾股定理建立方程，求出线段长度。 1．（25-26八年级上·贵州六盘水·期末）如图，在长方形中，，将此长方形沿折叠，使点与点重合，则的长度为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，解题的关键是理解，先表示出，再根据勾股定理计算即可． 【详解】解：∵长方形沿折叠，使点D与点B重合， ， ， 在长方形中，， ，即， 解得：， 故选：A． 2．（25-26八年级上·山东青岛·期末）如图，在长方形中，，将沿折叠，使点恰好落在对角线上的点处，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了折叠的性质、勾股定理，利用勾股定理可以求出，根据折叠的性质可知，设，利用勾股定理可得方程，解方程求出的值，即为的长度，根据线段之间的关系即可求出的长度． 【详解】解：四边形为长方形， ，， ∴， 由折叠可知，，，， ∴， 设，则， 在中，， 即， 解得：， ． 故选：D． 3．（2025九年级下·北京·专题练习）如图，折叠长方形的一边，使点落在边上的点处，若，，则长（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了翻折变换的性质及其应用问题，如图，根据勾股定理求出的长；进而求出的长度；由题意得；利用勾股定理列出关于的方程，解方程即可解决问题；解题的关键是灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答． 【详解】解：四边形为矩形， ；； 由题意得：， 设，则； 由勾股定理得：， ， ； 在中，由勾股定理得： ∴， 解得：， ． 故选：B． 4．（25-26八年级上·四川遂宁·期末）如图，长方形沿直线折叠，使点落在同一平面内处，与交于点 ，则的长是（   ） A． B．5 C． D．6 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质，等角对等边，平行线的性质，勾股定理； 先证明，再根据等角对等边，得出，然后设，在直角三角形中，利用勾股定理列出关于的方程，求得的值即可． 【详解】解：由折叠得，， ∵在长方形中，， ∴， ， ， 设，则， 在直角三角形中，，即， 解得， 的长为， 故选：B． 5．（25-26八年级上·重庆合川·期末）如图，在长方形中，为对角线，为的中点，将沿所在直线折叠至该长方形所在平面内，得与交于点，连接，若，则边的长度为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题考查折叠的性质，等腰三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据折叠的性质，平行线的性质，推出，根据三线合一，得到，求出，根据含30度角的直角三角形和勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵长方形， ∴，， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，； 故选C． 6．（25-26八年级上·四川成都·期中）如图，在长方形中，，，将此长方形沿折叠，使点与点重合，则的长度为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，解题的关键是理解，先表示出，再根据勾股定理计算即可． 【详解】解：长方形沿折叠，使点D与点B重合， ， ， 在长方形中，， ，即， 解这个方程得：， 故选：C． 7（25-26八年级上·广东清远·月考）如图，在长方形中，E，F分别是边上的点，将沿折叠，点B的对应点G恰好落在边上．若，则的长为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查翻折变换，勾股定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．过点E作，由折叠可知：，，由勾股定理可得，再得，设，则，利用勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：如图，过点E作， 由题意可得：， 由折叠可知：，， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， ． 故选：D． 8．（25-26八年级上·广东深圳·期中）如图所示，在一次折纸活动中，张老师把一张纸按如图所示的方式进行两次折叠，第一次折叠折痕为，点落在线段上的点处，第二次折叠折痕为，点与点恰好重合，此时与的比是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质、等腰直角三角形的性质及勾股定理，关键是线段的转换； 设，利用折叠及勾股定理可得，，由是等腰直角三角形及折叠可得，则可求. 【详解】解：设， 由折叠可知，是等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∵矩形中， ∴， 由折叠可知：， ∵矩形中， ∴， ∴， 即：， ∴， ∴， 故选：B． 9．（25-26八年级上·北京昌平·期末）如图，在长方形纸片中，点M在边上，沿所在的直线折叠，使点D落在点处，与交于点N．继续折叠长方形纸片，使恰好落在直线上，点A落在点处，点B落在点处，折痕为，若，，则的长度为（   ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理与折叠，等腰三角形的判定和性质，根据平行线的性质和折叠的性质得出，根据等腰三角形的判定得出；根据折叠和平行线的性质得出，根据等腰三角形的判定得出，证明，设，在中，利用勾股定理求出的值，最后求出结果即可． 【详解】解：∵长方形纸片沿所在的直线折叠， ∴，， ∵四边形是长方形， ∴， ∴， ∴， ∴； 由四边形折叠得到四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即； 设，则：， 在中，由勾股定理，得：， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 10．（25-26八年级上·山东济南·期末）如图，在长方形中，，，点为射线上一动点（不与点重合），将沿所在直线折叠，点落在点处，连接，当为直角三角形时，的长为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了翻折变换的性质、长方形的性质、勾股定理等知识；由长方形的性质得出，，，由折叠的性质得，，证、、三点共线，设，①点在线段上时，由勾股定理得出，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可；②点在线段的延长线上时，由勾股定理得出，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】解：四边形是长方形， ，，， 由折叠的性质得：，，， 设， 当为直角三角形时，则， ， 、、三点共线， 分两种情况： ①点在线段上时，如图1所示： 则， ， ， 在中，，， 由勾股定理得：， 解得：， ； ②点在线段的延长线上时，如图2所示： 则， ， 在中，，， 由勾股定理得：， 解得：， ； 综上所述，当为直角三角形时，的长为或； 故选：D． 11．（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，在长方形纸片中，，．点E在边上，将这张纸片沿翻折，使点D落在长方形内的点F处．若直线恰好经过点B，则的长为_________． 【答案】2 【分析】本题主要考查了折叠的性质与勾股定理的综合应用，利用折叠的性质转化线段是解题的关键． 通过折叠得到对应边相等，运用勾股定理建立方程，进而求出线段长度． 【详解】解：∵四边形是长方形，且，， ∴，，， 设， ∴， 由折叠性质得：，，， ∵直线恰好经过点B， ∴， ∴和都是直角三角形， 在中，由勾股定理得：， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：2． 12．（25-26七年级上·山东青岛·期末）如图，长方形纸片中，，将此长方形纸片折叠，使点与点重合，点落在点的位置，折痕为，求的长． 【答案】10 【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题． 设，由折叠可知，结合勾股定理建立方程求解，即可解题． 【详解】解：设， ， 由折叠可知， ∵四边形是长方形，， ， ， 解得：， 的长为10． 13．（25-26八年级上·福建漳州·月考）如图，在长方形中，． (1)如图①，将长方形沿翻折，使点A与点C重合，点D落在点处，求BF的长； (2)如图②，将沿翻折，若交于点E，求的面积； (3)如图③，，P为边上的一点，将沿翻折得到，，分别交边于点E，F，且，求的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查勾股定理，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，正确理解题意确定三角形的三边由勾股定理建立方程是解题的关键． （1）设，在中，根据，构建方程即可解决问题； （2）首先证明，设，在中，利用勾股定理构建方程，求出，再代入数值到进行计算，即可解决问题； （3）设，首先证明，推出，，由，推出，，，在中，可得，解方程即可解决问题； 【详解】（1）解：根据折叠的性质，得． ∵四边形是长方形， ∴． 设， 则， 在Rt中， ， ∴， 解得， ∴． （2）解：∵四边形是长方形， ∴． 根据折叠的性质，得． 又∵， ∴． ∵交于点， ∴， ∴， ∴． 设， 则． 在Rt中， ， ∴， 解得， ∴． ∴， ∴． （3）解：∵四边形是长方形， ∴． 由折叠的性质， 得， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴． 又∵， 设， 则， ∴． 在Rt中，， 解得， ∴． 14．（25-26八年级上·四川成都·期末）如图1，在长方形中，，，E为射线上的一点，连接．将沿着翻折，B点的对应点为． (1)如图2，当E点与C点重合时，与交于F． ①求证：； ②连接，求的面积； (2)连接，当时，求的值． 【答案】(1)①见解析；② (2) 【分析】本题考查勾股定理与折叠，熟练掌握以上知识并能灵活运用是解决此题的关键． （1）①由长方形得到，，，则，根据翻折，得到，即可得； ②，则，，在中，，代入解方程得，过作于，根据求出，再证明得到； （2）点E在线段或线段延长线分情况讨论，过点作于点M，延长交于点N，则，，，设，在中，根据列方程求解即可． 【详解】（1）①证明：∵四边形是长方形，，， ∴，，， ∴， ∵将沿着翻折，B点的对应点为， ∴，， ∴，即， ∴； ②解：设，则，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴，则， 过作于， ∴， ∴， ∴； （2）解：分两种情况： 当点E在线段上时，过点作于点M，延长交于点N，如图： ∴四边形是矩形， ∴，，， 根据翻折的性质得，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， 即的值为； 当点E在射线的延长线上时， 同理可得，， 设，则， 在中，， ∴， 解得， 即的值为； 综上可得的值为． 题型三 利用勾股定理解决正方形中的折叠问题 1.抓住正方形四边相等、四个角都是直角的特点。 2.由折叠得到全等图形，确定相等的边和角。 3.构造直角三角形，设未知数，用勾股定理列方程计算。 1．如图，正方形ABCD的边长为8，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH．若BE＝EC，则线段CH的长是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】根据折叠可得DH＝EH，在直角△CEH中，设CH＝x，则DH＝EH＝8﹣x，根据BE＝EC，可得CE＝4，可以根据勾股定理列出方程，从而解出CH的长． 【详解】解：设CH＝x，则DH＝EH＝8﹣x， ∵BC＝8， ∴BE＝EC＝4， 在Rt△ECH中，EH2＝EC2+CH2， ∴（8﹣x）2＝42+x2， 解得：x＝3， 即CH＝3． 故选：A． 【点睛】本题考查以正方形为背景的折叠问题，掌握正方形的性质，和折叠的轴对称性质，会利用中点求线段的长，会找问题所在的直角三角形，会利用勾股定理解决问题是关键． 2．如图，在边长为7的正方形ABCD中，E为BC边上一点，F为AD边上一点，连接AE、EF，将△ABE沿EF折叠，使点A恰好落在CD边上的A′处，若A′D＝2，则B′E的长度为（　　） A． B． C． D．2 【答案】C. 【分析】由正方形的性质和折叠的性质可得AB＝BC＝CD＝7，∠B＝∠C＝90°，A'C＝CD﹣A'D＝5，AE＝AE'，BE＝B'E，由勾股定理可求B'E的长度． 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC＝CD＝7，∠B＝∠C＝90°， ∴A'C＝CD﹣A'D＝5， ∵△ABE沿EF折叠，使点A恰好落在CD边上的A′处， ∴AE＝A'E，BE＝B'E， 在Rt△ABE中，AE2＝AB2+BE2， 在Rt△A'CE中，A'E2＝A'C2+EC2， ∴49+BE2＝25+（7﹣BE）2， ∴BEB'E， 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，利用勾股定理列出方程是解决问题的关键． 3．如图，正方形的边长为3，将正方形折叠，使点落在边上的点处，点落在点处， 折痕为．若，则的长是 A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】设DF为x，根据折叠的性质，利用Rt△A’DF中勾股定理即可求解 【详解】∵A’C=2，正方形的边长为3，∴A’D=1， 设DF=x，∴AF=3-x ∵折叠，∴A’F=AF=3-x， 在Rt△A’DF中，A’F2=DF2+A’D2 即(3-x)2=x2+12 解得x= 故选B 【点睛】此题主要考查勾股定理的应用，解题的关键是熟知正方形的性质及勾股定理的应用． 4．将正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的点M重合，折痕交AD于E，交BC于F，边AB折叠后与BC边交于点G（如图）．如果DM：MC＝3：2，则DE：DM：EM＝（　　） A．7：24：25 B．3：4：5 C．5：12：13 D．8：15：17 【答案】D. 【分析】先根据折叠的性质得EM＝EA，再根据勾股定理得ME的长，从而求比值． 【详解】解：由折叠知，EM＝EA， 设CD＝AD＝5a， ∴DE＝5a﹣EM，DM＝3a，MC＝2a， 在Rt△EDM中，EM2＝DE2+DM2， 即ME2＝（5a﹣ME）2+（3a）2， 解得MEa ∴EDa ∴DE：DM：EMa：3a：a＝8：15：17． 故选：D． 【点睛】本题利用了：1、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；2、通过设适当的参数，利用正方形的性质，勾股定理求解． 5．如图，已知正方形ABCD面积为2，将正方形ABCD沿直线EF折叠，则图中阴影部分的周长为（　　） A． B．2 C．8 D．4 【答案】D. 【分析】根据正方形的性质和折叠的性质，可以将图中阴影部分的周长表示出来，然后根据正方形ABCD面积为2，即可求得图中阴影部分的周长． 【详解】解：设EF交AB于点G，交CD于点O，A′D′交AB于点H，交BC于点M，OD′交BC于点N， 由图可知：A′G+GB＝AG+GB＝AB，A′D′＝AD，BC，CD＝DO+OC+D′O+OC＝CD， ∴阴影部分的周长为：（A′G+GH+HA′）+（HB+BM+HM）+（MN+MD′+D′N）+（NC+CO+NO） ＝A′G+GH+HA′+HB+BM+HM+MN+MD′+D′N+NC+CO+NO ＝（A′G+GH+HB）+（HA′+HM+MD′）+（BM+MN+NC）+（D′N+NO+CO） ＝AB+A′D′+BC+CD ＝4， 故选：D． 【点睛】本题考查正方形的性质、折叠变化，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 6．如图，点E和点F分别在正方形纸片ABCD的边CD和AD上，连接AE，BF，沿BF所在直线折叠该纸片，点A恰好落在线段AE上点G处．若正方形纸片边长12，DE＝5，则GE的长为（　　） A． B． C．4 D．3 【答案】A. 【分析】由折叠及轴对称的性质可知，△ABF≌△GBF，BF垂直平分AG，先证△ABF≌△DAE，推出AF的长，再利用勾股定理求出BF的长，最后在Rt△ABF中利用面积法可求出AH的长，可进一步求出AG的长，GE的长． 【详解】解：设BF与AE的交点为H， ∵四边形ABCD为正方形， ∴AB＝AD＝12，∠BAD＝∠D＝90°， 由折叠及轴对称的性质可知，△ABF≌△GBF，BF垂直平分AG， ∴BF⊥AE，AH＝GH， ∴∠BAH+∠ABH＝90°， 又∵∠FAH+∠BAH＝90°， ∴∠ABH＝∠FAH， ∴△ABF≌△DAE（ASA）， ∴AF＝DE＝5， ∴BF13， ∵S△ABFAB•AFBF•AH， ∴12×5＝13AH， ∴AH， ∴AG＝2AH， ∵AE＝BF＝13， ∴GE＝AE﹣AG＝13． 故选：A． 【点睛】本题考查了正方形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，面积法求线段的长度等，解题关键是能够灵活运用正方形的性质和轴对称的性质． 7．（25-26八年级上·江苏苏州·月考）如图，将边长为的正方形折叠，使得点落在边上的点处，折痕为．若的长为，则的长为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，平行线间的距离，作于点，连接，设与交于点，则，又四边形是正方形，所以，，，根据平行线间的距离相等得，又将边长为的正方形折叠，使得点落在边上的点处，折痕为，则，然后证明，所以，最后通过勾股定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，作于点，连接，设与交于点， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， 根据平行线间的距离相等得， ∵将边长为的正方形折叠，使得点落在边上的点处，折痕为， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得：， 故答案为：． 8．（24-25八年级下·安徽蚌埠·期中）如图，在正方形纸片中，是的中点，将正方形纸片折叠，点落在线段上的点处，折痕为，若， ①则的长为________． ②则的长为________． 【答案】 【分析】设，则，，在，中，利用勾股定理可得，得到关于的方程，解方程即可求解． 【详解】解：∵正方形纸片中，是的中点， ∴， 在中，， 根据折叠的性质可知， ∴， 在中， 在中， 解得： ∴, 故答案为：；． 【点睛】本题考查了勾股定理，正方形的性质，折叠的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 9．如图，正方形ABCD中，CD＝6，点E在边CD上，且CD＝3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF． （1）求证：△ABG≌△AFG； （2）求GC的长； （3）求△FGC的面积． 【答案】（1）见详解；（2）3；（3）3.6． 【分析】（1）利用翻折变换对应边关系得出AB＝AF，∠B＝∠AFG＝90°，利用HL定理得出△ABG≌△AFG即可； （2）利用勾股定理得出GE2＝CG2+CE2，进而求出BG即可； （3）首先过C作CM⊥GF于M，由勾股定理以及由面积法得，CM＝2.4，进而得出答案． 【详解（1）证明：在正方形ABCD中，AD＝AB＝BC＝CD，∠D＝∠B＝∠BCD＝90°， ∵将△ADE沿AE对折至△AFE， ∴AD＝AF，DE＝EF，∠D＝∠AFE＝90°， ∴AB＝AF，∠B＝∠AFG＝90°， 又∵AG＝AG， 在Rt△ABG和Rt△AFG中， ， ∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL）； （2）解：∵CD＝3DE， ∴DE＝2，CE＝4， 设BG＝x，则CG＝6﹣x，GE＝x+2， ∵GE2＝CG2+CE2， ∴（x+2）2＝（6﹣x）2+42， 解得x＝3， ∴CG＝6﹣3＝3； （3）解：如图，过C作CM⊥GF于M， ∵BG＝GF＝3， ∴CG＝3，EC＝6﹣2＝4， ∴GE5， CM•GE＝GC•EC， ∴CM×5＝3×4， ∴CM＝2.4， ∴S△FGCGF×CM3×2.4＝3.6． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的综合应用以及翻折变换的性质，根据翻折变换的性质得出对应线段相等是解题关键． 10．（25-26八年级上·山东青岛·期末）折纸是一门将数学、艺术与工程完美结合的学科．一张小小的纸片，通过动手折叠，能够创造出非常奇妙的图形，产生出许多有趣的数学问题．在学习了勾股定理和无理数之后，我们可以用折纸的方式，折出长度为，，等线段．利用一张边长为的正方形纸片，小明进行了如下探究． 探索（1）：如图1，将纸片沿着对角线对折，使得点落到点处；再对折一次，使得点落到点处，将纸片展开，两条折痕交于点，则_____； 探索（2）：如图2，将纸片沿过对边中点的直线对折后展开，折痕为；再将纸片折叠，使得点落在上的点处，折痕为，求线段和折痕的长度； 探索（3）：你能折出长度为的线段吗？ 请你在图3中画出折叠后的示意图（用虚线表示折痕），并说明如何得到该线段； 探索（4）：在探索（2）的基础上，你能折出长度为的线段吗？ 请你在图4中画出折叠后的示意图（用虚线表示折痕），并写出哪条线段即为所求． 【答案】（1）；（2）；（3）图见解析，说明见解析；（4）见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，熟知折叠的性质和勾股定理是解题的关键． （1）根据勾股定理求出的长，再由折叠的性质即可求出的长； （2）由折叠的性质可得， ， ，，利用勾股定理可得，可证明得到；设，则，由勾股定理得，解方程得到，再利用勾股定理求出的长即可； （3）将纸片沿过对边中点的直线对折后展开，折痕为，连接，由勾股定理可得 ，则线段即为所求； （4）将纸片沿过对边中点的直线对折，折痕为，再把纸片继续对折，折痕为，使得点H落在点T处，连接，由折叠的性质可得，由勾股定理得则线段即为所求． 【详解】解：（1）在中，， ∴， 由折叠的性质可得； （2）由折叠的性质可得， ， ，， ∵， ∴，， ∴； 同理可得， ∵， ∴， ∴； 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴； （3）如图3所示，将纸片沿过对边中点的直线对折后展开，折痕为，连接，则线段即为所求； （4）如图4所示，折叠将纸片沿过对边中点的直线对折，折痕为，再把纸片继续对折，折痕为，使得点H落在点T处，连接，则线段即为所求． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $