重难专题09 导数大招之六：恒成立中的黑科技——必要性探路（含端点效应、内点效应、特殊点效应、极值点效应）（4大基础题型+能力提升+拓展提升）高二数学人教A版选择性必修第二册

重难专题09 导数大招之六： 恒成立中的黑科技——必要性探路（含端点效应） 【知识方法剖析】 1.必要性探路思路 必要性探路就是指一类函数的恒成立问题，可以通过取函数定义域内某个特殊值或几个特殊值，先得到一个必要条件，初步获取参数的范围，再在该范围内讨论，去验证其充分条件，进而解决问题的方法（端点效应法其实就是特殊的必要性探路，特殊值为端点）．必要性探路求出的参数并不一定就是所求的实际范围，但可以限定问题成立的大前提，缩小参数讨论的范围，在一定程度上可以减少分类讨论的类别，降低了思维成本． 2.必要性探路的基本步骤 ⑴探究必要条件,缩小参数范围:在给定的范围内取特殊值,然后由不等式成立求出参数的取值范围,该取值范围即为不等式恒成立的一个必要条件,接下来探究其充分性. 选择的特殊值可以为端点值、极值点、不等式公共取等条件、常见特殊数（如0,1,e,e2等）. ⑵证明充分性,求结果:利用第一步中的参数的范围去判定函数是否单调. ①如果函数单调,则由端点得到的范围就是最终答案; ②如果函数不单调,则利用端点确定的范围进一步确定函数的最值. 【注意】这种必要性探路法所求的参数范围不一定是所求的实际范围,但是可以先定问题成立的大前提,缩小参数的讨论范围,一定程度上降低了思维成本.　 3.必要性探路的具体策略 必要性探路的具体策略有: 端点效应、内点效应、显点效应（又称特殊点效应）、极值点效应 a.端点效应 端点效应是必要条件探路法的一种特例,利用端点处函数值的特殊性,先得到必要条件,再证明其充分性,思路简捷.端点效应的使用原理: （1）如果函数在区间上,恒成立,则或. （2）如果函数在区问上,恒成立,且（或）,则（或）. （3）如果函数在区问上,恒成立,且（或,）则（或）. 【注意】(1) 用端点效应能做的题, 也可以用 “分离参数法”做题, 但是有时需要用到洛必达法则来求极限. 由于在高考改卷时, 使用洛必达法则有可能会扣分, 故提倡用端点效应求解; （2）当满足端点效应时, 可以分离常数, 此时用到洛必达法则. 不满足端点效应时, 洛必达法则失效. 端点效应失效时, 可以考虑必要性探路方法二: 内点效应. b.内点效应 (1)端点效应失效时, 可以考虑内点效应. (2)内点效应的实质: 函数不在端点处取得最值, 而是在区间中间某个点 (即内点) 取得最值, 或者在端点和内点同时取得最小值. (3)满足端点效应的函数的如左下图, 满足内点效应的函数的图象如右下图. (4)解题的关键是如何找到“内点”,一般可以通过方程组 解出内点 ,但有些题目很难找出来, 此类题目可用 “导中切”来解答. c.显点效应（特殊点效应） 显点中的的“点”是取所给区间内的特殊点，也是内点, 显点效应是内点效应的补充,当函数取最值的点不易找到时，可通过找所给区间内的其他点，缩小参数的取值范围，再借助其他方法求得参数的准确范围. ⑴出现对数时,常考虑 (猜想) 特殊点 . ⑵出现指数时, 考虑 (猜想) 特殊点 0,1 . ⑶出现三角函数时,考虑 (猜想) 特殊点 等. d．极值点效应 极值点效应也称极点效应, 也就是函数的极值点和零点是同一个数, 并且这个数必须是定义域 “内点”. (1)满足极点效应的函数只能在定义域中间某个点取得最值. 如果在端点处取得最值, 则不能用极点效应这种方法做题. (2)极点效应的实质是费马引理: 设函数 在点 的某个邻域 内有定义,并且在 处可导,如果对 都有 (或 ),则 ,即在开区间内,函数最值一定是函数的某个局部极值, 可导函数的极值点是导函数的零点. (3)在高考数学中, 我们可以将“函数不等式恒成立问题”转化为函数最值, 再转化为函数极值, 利用费马引理分析极值点效应, 这本质上就是一种探路思想. (4)极点效应可以理解为: 在开区间内若函数存在最值, 那么最值必定为极值. 题型一 端点效应 1.（2025 宁波二模节选）已知函数.当时，恒成立，求实数的取值范围. 2.已知函数 . 当 1 时, ,求的取值范围. 3．设函数f（x）＝x（ex﹣1）﹣ax2． （1）若a，求f（x）的单调区间； （2）若当x≥0时，f（x）≥0，求a的取值范围． 4.（2024全国甲卷）已知函数. （1） 当时，求的极值； （2） 当时，，求实数的取值范围. 题型二 内点效应 1.设函数 . 若当 时, ,求实数 的取值范围. 2. (2020 年全国 I 卷理科第 21 题 (2)) 已知函数 . 当时, 1,求a的取值范围. 题型三 显点效应（又名特殊点效应） 1．已知函数 . 若 恒成立,求 的取值范围. 2.已知函数f（x）＝aex﹣1﹣lnx+lna． （1）当a＝e时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； （2）若f（x）≥1，求a的取值范围． 题型四 极值点效应 1. 已知函数 ,其中 . 当 时, 恒成立, 求实数 的取值范围. 2．已知函数f（x）＝2sinx﹣xcosx﹣x，f′（x）为f（x）的导数． （1）证明：f′（x）在区间（0，π）存在唯一零点； （2）若x∈[0，π]时，f（x）≥ax，求a的取值范围． 3.已知函数f（x）＝ln（x＋1）－ae2（x－1）＋1，a≥0. （1）当a＝1时，求f（x）在（0，＋∞）上的零点个数； （2）若关于x的不等式ln－ae2（x－1）≤x－a2e（x－1）－在（1，＋∞）上恒成立，求实数a的取值范围. 1．（2026高三·天津·专题练习）已知函数（为自然对数的底数），，其中为实数． (1)求函数在点处的切线方程； (2)若对，有，求的取值范围． 2.已知函数，． （1）求函数的单调区间； （2）若函数，当时，恒成立，求实数的取值范围． 3．已知函数 (1)讨论f(x)的单调性： (2)当时，若，，求实数m的取值范围． 4．已知函数． (1)若，，求证：有且仅有一个零点； (2)若对任意，恒成立，求实数a的取值范围． 5．（2023全国甲文）已知函数． （1）当时，讨论的单调性； （2）若，求的取值范围． 6.已知函数f（x）＝lnx﹣ax． （1）讨论f（x）的单调性； （2）若f（x）只有一个零点，求a的取值范围； （3）设g（x）＝ex﹣1+xf（x），若g（x）≥0恒成立，求a的取值范围． 1．（23全国甲理）已知 （1）若，讨论的单调性； （2）若恒成立，求a的取值范围． 2．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知函数． (1)当时，讨论的单调性； (2)当时，，求a的取值范围； (3)设，证明：． 6 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难专题09 导数大招之六： 恒成立中的黑科技——必要性探路（含端点效应） 【知识方法剖析】 1.必要性探路思路 必要性探路就是指一类函数的恒成立问题，可以通过取函数定义域内某个特殊值或几个特殊值，先得到一个必要条件，初步获取参数的范围，再在该范围内讨论，去验证其充分条件，进而解决问题的方法（端点效应法其实就是特殊的必要性探路，特殊值为端点）．必要性探路求出的参数并不一定就是所求的实际范围，但可以限定问题成立的大前提，缩小参数讨论的范围，在一定程度上可以减少分类讨论的类别，降低了思维成本． 2.必要性探路的基本步骤 ⑴探究必要条件,缩小参数范围:在给定的范围内取特殊值,然后由不等式成立求出参数的取值范围,该取值范围即为不等式恒成立的一个必要条件,接下来探究其充分性. 选择的特殊值可以为端点值、极值点、不等式公共取等条件、常见特殊数（如0,1,e,e2等）. ⑵证明充分性,求结果:利用第一步中的参数的范围去判定函数是否单调. ①如果函数单调,则由端点得到的范围就是最终答案; ②如果函数不单调,则利用端点确定的范围进一步确定函数的最值. 【注意】这种必要性探路法所求的参数范围不一定是所求的实际范围,但是可以先定问题成立的大前提,缩小参数的讨论范围,一定程度上降低了思维成本.　 3.必要性探路的具体策略 必要性探路的具体策略有: 端点效应、内点效应、显点效应（又称特殊点效应）、极值点效应 a.端点效应 端点效应是必要条件探路法的一种特例,利用端点处函数值的特殊性,先得到必要条件,再证明其充分性,思路简捷.端点效应的使用原理: （1）如果函数在区间上,恒成立,则或. （2）如果函数在区问上,恒成立,且（或）,则（或）. （3）如果函数在区问上,恒成立,且（或,）则（或）. 【注意】(1) 用端点效应能做的题, 也可以用 “分离参数法”做题, 但是有时需要用到洛必达法则来求极限. 由于在高考改卷时, 使用洛必达法则有可能会扣分, 故提倡用端点效应求解; （2）当满足端点效应时, 可以分离常数, 此时用到洛必达法则. 不满足端点效应时, 洛必达法则失效. 端点效应失效时, 可以考虑必要性探路方法二: 内点效应. b.内点效应 (1)端点效应失效时, 可以考虑内点效应. (2)内点效应的实质: 函数不在端点处取得最值, 而是在区间中间某个点 (即内点) 取得最值, 或者在端点和内点同时取得最小值. (3)满足端点效应的函数的如左下图, 满足内点效应的函数的图象如右下图. (4)解题的关键是如何找到“内点”,一般可以通过方程组 解出内点 ,但有些题目很难找出来, 此类题目可用 “导中切”来解析. c.显点效应（特殊点效应） 显点中的的“点”是取所给区间内的特殊点，也是内点, 显点效应是内点效应的补充,当函数取最值的点不易找到时，可通过找所给区间内的其他点，缩小参数的取值范围，再借助其他方法求得参数的准确范围. ⑴出现对数时,常考虑 (猜想) 特殊点 . ⑵出现指数时, 考虑 (猜想) 特殊点 0,1 . ⑶出现三角函数时,考虑 (猜想) 特殊点 等. d．极值点效应 极值点效应也称极点效应, 也就是函数的极值点和零点是同一个数, 并且这个数必须是定义域 “内点”. (1)满足极点效应的函数只能在定义域中间某个点取得最值. 如果在端点处取得最值, 则不能用极点效应这种方法做题. (2)极点效应的实质是费马引理: 设函数 在点 的某个邻域 内有定义,并且在 处可导,如果对 都有 (或 ),则 ,即在开区间内,函数最值一定是函数的某个局部极值, 可导函数的极值点是导函数的零点. (3)在高考数学中, 我们可以将“函数不等式恒成立问题”转化为函数最值, 再转化为函数极值, 利用费马引理分析极值点效应, 这本质上就是一种探路思想. (4)极点效应可以理解为: 在开区间内若函数存在最值, 那么最值必定为极值. 题型一 端点效应 1.（2025 宁波二模节选）已知函数.当时，恒成立，求实数的取值范围. 【解析】由题意可得， ，此时； ，此时； 要想对任意时，恒成立，则必有，即得. 即得是在恒成立的一个必要条件. 下面证明充分性，即证当时，对任意时，恒成立. ， 令，则， 即得在上单调递增，所以； 即得，恒成立； 充分性得证. 综上所述 实数的取值范围为. 2.已知函数 . 当 1 时, ,求的取值范围. 【解析】解法一：（端点效应） 由 得 , 又 , 在 上单调递增, , 当 ,即 时, , 在 上单调递增, ,符合题意; 当 ,即 时, , ,使得 ,又 在 上单调递增, 当 时, , 在 上单调递减, ,与题设矛盾. 综上所述, 的取值范围为 . 解法二: (分离参数法+洛必达法则) 令 ,则 , 令 ,则 , (这里用到切线放缩: ,答题时需要证明) 在 上单调递增, ,即 , 在 上单调递增, , . 的取值范围为 . 3．设函数f（x）＝x（ex﹣1）﹣ax2． （1）若a，求f（x）的单调区间； （2）若当x≥0时，f（x）≥0，求a的取值范围． 【解析】（1）a时，f（x）＝x（ex﹣1）x2，（ex﹣1）（x+1） 令f′（x）＞0，可得x＜﹣1或x＞0；令f′（x）＜0，可得﹣1＜x＜0； ∴函数的单调增区间是（﹣∞，﹣1），（0，+∞）；单调减区间为（﹣1，0）； （2）f（x）＝x（ex﹣1﹣ax）． 令g（x）＝ex﹣1﹣ax，则g'（x）＝ex﹣a． 若a≤1，则当x∈（0，+∞）时，g'（x）＞0，g（x）为增函数， 而g（0）＝0，从而当x≥0时g（x）≥0，即f（x）≥0． 若a＞1，则当x∈（0，lna）时，g'（x）＜0，g（x）为减函数， 而g（0）＝0，从而当x∈（0，lna）时，g（x）＜0，即f（x）＜0． 综合得a的取值范围为（﹣∞，1]． 另解：当x＝0时，f（x）＝0成立； 当x＞0，可得ex﹣1﹣ax≥0，即有a的最小值， 由y＝ex﹣x﹣1的导数为y′＝ex﹣1， 当x＞0时，函数y递增；x＜0时，函数递减， 可得函数y取得最小值0，即ex﹣x﹣1≥0（当且仅当x＝0时取等号）， 故x＞0时，ex﹣x﹣1＞0，所以1，所以a≤1， 综上，a的取值范围为（﹣∞，1]． 4.（2024全国甲卷）已知函数. 1. 当时，求的极值； 1. 当时，，求实数的取值范围. 【解析】（1）当时，， ，由此可得在上单调递增， 又因为，所以在上单调递减，上单调递增， 即得的极小值为，无极大值. （2）,因为， ，可得， ，令，得. 下面只需证当时，对任意时，恒成立. ， 令，， ， 所以在上单调递增，， 即得在上单调递增，， 综上所述 实数的取值范围为. 题型二 内点效应 1.设函数 . 若当 时, ,求实数 的取值范围. 【分析】 ,含参数,但是单调性暂时无法判断,再次求导得 ,单调不含参, 此时已经没有参数了, 故无法通过讨论参数来解题. 不能使用端点效应, 故考虑内点效应. 如何找到 (猜想) 内点呢? 令 即 ,赋值让这两个方程形式上一致 (即两个方程为同一个方程) 即可找到内点,为保证含 的项恒等,故赋值 ,代入上式得 即 ,则 即为“内点”,也即 在 处取得最小值 0 . 找到内点之后,探路: ,即 ,得到 ,可以猜想 即为答案. 事实上,当 时, ,此时 的图象如下: 此时,函数 在端点 处和内点 处同时取得最小值 0 . 【解析】当 时, 恒成立, ; 当 时, , 令 ,则 (导中切) 又 恒成立 (答题时需要证明) 当 时, ; 当 时, , 在 上单调递减,在 上单调递增, , 实数 的取值范围为 . 【点评】(1)内点效应用“导中切”的方法解题比较简便. (2) ,其中 和 分别为六大超越函数之一和对勾函数,它们均在 处取得极值. 2. (2020 年全国 I 卷理科第 21 题 (2)) 已知函数 . 当时, 1,求a的取值范围. 【解析】 内点效应 由 得 , 设 ,则当 时, 由 得 . 下面证明充分性, 当 时, . 要证 ,只需证 , 只需证 , 设 ,则 当 时, ,当 时, , 在 上单调递减,在 上单调递增, 又 当 时, 当 时, . 综上所述, 的取值范围为 . 题型三 显点效应（又名特殊点效应） 1．已知函数 . 若 恒成立,求 的取值范围. 【解析】 由题意得, ,即 ,解得 , 这是 恒成立的一个必要条件,下面证明充分性. 当 时, . 令 ,则 , 令 ,则 , 在 上单调递增,又 , 当 时, ; 当 时, . ,即 . 综上所述, 的取值范围为 . 【点评】(1)利用显点效应解题时需注意两个关键: (1) 找点要对; (2) 充分性要证明出来. 例如本题由 得 ,那么当 能否证明 成立呢? 这是做题的关键. 如果能证明充分性成立,即能证明 “当 时, 成立”,则说明 “找点” 正确,如果无法证明充分性,则说明 “找点” 失败或则无法用显点效应来做题. (2) 这种情况可以不写,因为由 得到的必要条件是 . 事实上,当 时,因为 ,与题设矛盾. 2.已知函数f（x）＝aex﹣1﹣lnx+lna． （1）当a＝e时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； （2）若f（x）≥1，求a的取值范围． 【分析】f（x）≥1等价于aex﹣1﹣lnx+lna≥1，取特殊值x=1，从而构造函数g（a）＝a+lna﹣1，利用导数求出函数的最值，即可求出a的范围． 【解析】（1）当a＝e时，f（x）＝ex﹣lnx+1， ∴f′（x）＝ex， ∴f′（1）＝e﹣1， ∵f（1）＝e+1， ∴曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣（e+1）＝（e﹣1）（x﹣1）， 当x＝0时，y＝2，当y＝0时，x， ∴曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积S2． （2）f（x）≥1等价于aex﹣1﹣lnx+lna≥1，该不等式恒成立． 当x＝1时，有a+lna≥1，其中a＞0． 设g（a）＝a+lna﹣1，则g'（a）＝10， 则g（a）单调递增，且g（1）＝0． 所以若a+lna≥1成立，则必有a≥1． ∴下面证明当a≥1时，f（x）≥1成立． 设h（x）＝ex﹣x﹣1， ∴h′（x）＝ex﹣1， ∴h（x）在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增， ∴h（x）≥h（0）＝1﹣0﹣1＝0， ∴ex﹣x﹣1≥0， 即ex≥x+1， 把x换成x﹣1得到ex﹣1≥x， ∵x﹣1≥lnx，∴x﹣lnx≥1． ∴f（x）＝aex﹣1﹣lnx+lna≥ex﹣1﹣lnx≥x﹣lnx≥1，当x＝1时等号成立． 综上，a≥1． 题型四 极值点效应 1. 已知函数 ,其中 . 当 时, 恒成立, 求实数 的取值范围. 【解析】 设 ,则 由题意得,当 时, 恒成立, 又 是 的极小值点, , 又 ,解得 . 下面证明: 当 时, 恒成立. ① 当 时, , ,满足题意; ( 为六大超越函数之一) ②当 时, 令 ,则 , 在 上单调递减, , ,满足题意; ③ 当 时, , 在 上单调递增, , 在 上单调递增, ,满足题意; 综上所述, . 2．已知函数f（x）＝2sinx﹣xcosx﹣x，f′（x）为f（x）的导数． （1）证明：f′（x）在区间（0，π）存在唯一零点； （2）若x∈[0，π]时，f（x）≥ax，求a的取值范围． 【解析】（1）证明：∵f（x）＝2sinx﹣xcosx﹣x， ∴f′（x）＝2cosx﹣cosx+xsinx﹣1＝cosx+xsinx﹣1， 令g（x）＝cosx+xsinx﹣1，则g′（x）＝﹣sinx+sinx+xcosx＝xcosx， 当x∈（0，）时，xcosx＞0，当x时，xcosx＜0， ∴当x时，极大值为g（）0， 又g（0）＝0，g（π）＝﹣2， ∴g（x）在（0，π）上有唯一零点， 即f′（x）在（0，π）上有唯一零点； （2）由题设知 f（π）⩾aπ，f（π）＝0， 可得 a⩽0. 由（1）知，f′（x）在（0，π）上有唯一零点x0， 使得f′（x0）＝0，且f′（x）在（0，x0）为正，在（x0，π）为负， ∴f（x）在[0，x0]递增，在[x0，π]递减， 结合f（0）＝0，f（π）＝0，可知f（x）在[0，π]上非负， ∴当x∈[0，π]时，f（x）≥0， 又当a≤0，x∈[0，π]时，ax≤0，∴f（x）≥ax， ∴a的取值范围是（﹣∞，0]． 3.已知函数f（x）＝ln（x＋1）－ae2（x－1）＋1，a≥0. （1）当a＝1时，求f（x）在（0，＋∞）上的零点个数； （2）若关于x的不等式ln－ae2（x－1）≤x－a2e（x－1）－在（1，＋∞）上恒成立，求实数a的取值范围. 【分析】（1）求导，利用导函数在[1，＋∞）的符号变化确定函数的单调性和函数值 符号，进而确定函数的零点个数；（2）作差构造函数，求导确定函数的极值点，再利用极值点探路得到a≤2，再利用导数证明其充分性. 【解析】（1）当a＝1时，f（x）＝ln（x＋1）＋1－e2（x－1）. 当x∈（0，1）时，f（x）＝ln（x＋1）＋1－e2（x－1）>1－e2（x－1）>1－1＝0，此时无零点. 当x∈[1，＋∞）时，f′（x）＝－2e2（x－1）， 当x∈[1，＋∞）时，f′（x）单调递减， 且f′（x）<f′（1）＝－2<0， 当x∈[1，＋∞）时，f（x）单调递减， f （1）＝ln 2＋1－1＝ln 2>0， g （2）＝ln 3＋1－e2<0， ∃x0∈（1，2），使f（x0）＝0. ∴当a＝1时，f（x）在 （0，＋∞）上有且只有一个零点. （2）必要性：ln－ae2（x－1）≤x－a2e（x－1）－在（1，＋∞）上恒成立， 即ln－≤a·e2（x－1）－a2·e（x－1）在（1，＋∞）上恒成立， 当a＝0时，ae2（x－1）－a2e（x－1）＝0， 因为y＝ln x－（x－1）≤0恒成立， 则ln－≤0， 当a>0时， 令m（x）＝ln－，x>1，m′（x）＝， 当x>时，m′（x）<0，m（x）单调递减， 当1<x<时，m′（x）>0，m（x）单调递增， 所以m（x）≤m＝0. 当a>0时，x＝，0≤a·e－a2·， 则a·e≥0， 即1－≥0，得a≤2. 综上，a的取值范围为[0，2]， 充分性：当a∈[0，2]时， ln－－a[e2（x－1）－a·e（x－1）]≤0，① 当a∈[0，2]时，e2（x－1）－a·e（x－1）≥e2（x－1）－2·e（x－1）. 令n（x）＝e2（x－1）－2·e（x－1），x>1，则n′（x）＝2e2（x－1）－2e. 当x>1时，n′（x）单调递增，且n′＝2e－2e＝0， 故当x∈时，n′（x）<0，n（x）单调递减， 当x∈时，n′（x）>0，n（x）单调递增， ∴n（x）≥n＝e－e＝0， ∴x>1，a·n（x）≥0. 由已知得x>1，ln－≤0. ∴①式成立，∴a∈[0，2]. 【题后反思】解决本题第（2）问的关键在于构造函数后利用导数确定函数的极值点，进而利用极值点探路得到a≤2，即必要性探路. 1．（2026高三·天津·专题练习）已知函数（为自然对数的底数），，其中为实数． (1)求函数在点处的切线方程； (2)若对，有，求的取值范围． 【解析】（1）因为，所以，， 所以切线斜率为， 所以函数在处的切线方程为，即； （2）若对，有，转化为， 即对都成立． 设，， 因为，所以要使， 必须满足，即，所以， 下面证明时满足题意： 因为，，所以， 只需要证明即可． 设， 所以，且，． 先研究当时，设，， 因为函数、在上均为单调递减， 则在内单调递减， 又因为，， 所以，使得， 且当时，；当时，． 此时在内单调递增，在内单调递减， 又，，故对任意的，， 则在内单调递增，所以． 综上，当时，，即得，所以得证． 2.已知函数，． （1）求函数的单调区间； （2）若函数，当时，恒成立，求实数的取值范围． 【解析】（1）定义域为，． （ⅰ）当时，对，，函数的单调递增区间是， （ⅱ）当时，时，；当，时，， 所以的单调递增区间是，单调递减区间是，． （2）函数． （ⅰ）当时，由重要不等式知，， 在，上递增，所以恒成立，符合题意． （ⅱ）当时，因为，，故，在，上递增． 又，存在，使得，从而函数在上递减，在，上递增， 又，不恒成立，不满足题意．综上（ⅰ），（ⅱ）知实数的取值范围是，． 3．已知函数 (1)讨论f(x)的单调性： (2)当时，若，，求实数m的取值范围． 【解析】（1）． 当时，，易知f(x)在R上单调递减． 当时，令，可得；令，可得且， ∴f(x)在和上单调递减，在上单调递增． 当时，令，可得且；令，可得， ∴在和上单调增，在上单调递减． （2）当时，由，得 即， 令，则 ∵，且，∴存在，使得当时，， ∴，即． 下面证明当时，对恒成立． ∵，且， ∴ 设，∴，可知F(x)在上单调递减，在(0，+∞)上单调递增， ∴，∴，∴， ∴ 综上，实数m的取值范围为． 4．已知函数． (1)若，，求证：有且仅有一个零点； (2)若对任意，恒成立，求实数a的取值范围． 【解析】（1）证明：由题意得，当时，， 故． （i）当时，，记， 则，单调递增，， 所以，即当时，无零点． （ii）当时，，， 即当时，无零点． （iii）当时，． 因为，所以，即单调递增． 又因为，， 所以当时，存在唯一零点．综上，当时，有且仅有一个零点． （2）易知，因此恒成立，则在0的左侧邻域内，是减函数，有，则． 因为， 所以，得是对任意成立的必要条件． 下面证明充分性． 当时，，等价于． 令，，即证． （i）当时，，，即成立． （ii）当时，记，则． 由，得，所以，即单调递增， ，即，，则， 时，，单调递减，时，，单调递增， 因此是的最小值，即，所以恒成立， 所以．综上，． 5．（2023全国甲文）已知函数． （1）当时，讨论的单调性； （2）若，求的取值范围． 【解析】（1）因为，所以， 则 ， 令，由于，所以， 所以 ， 因为，，， 所以在上恒成立，所以在上单调递减. （2）构造， 则，若，且， 则，解得.（必要条件） 当时，因为，又，所以，，则， 所以，满足题意；当时，由于，显然， 所以，满足题意； 综上所述：若，等价于，所以的取值范围为. 6.已知函数f（x）＝lnx﹣ax． （1）讨论f（x）的单调性； （2）若f（x）只有一个零点，求a的取值范围； （3）设g（x）＝ex﹣1+xf（x），若g（x）≥0恒成立，求a的取值范围． 【解析】解：（1）因为f（x）＝lnx﹣ax，x＞0， 所以， 当a≤0时，f′（x）＞0， 所以f（x）在（0，+∞）单调递增； 当a＞0时，令f′（x）＝0，解得， 当时，f′（x）＞0，即f（x）在单调递增， 当时，f′（x）＜0，即f（x）在单调递减， 综上所述，当a≤0时，f（x）在（0，+∞）单调递增； 当a＞0时，f（x）在单调递增，在单调递减； （2）令f（x）＝lnx﹣ax＝0，则， 设，由题意得g（x）＝a只有一个根， 即直线y＝a与函数y＝g（x）的图象只有一个交点， 对g（x）求导，得， 令g'（x）＝0，解得x＝e， 当x∈（0，e）时，g′（x）＞0；当x∈（e，+∞）时，g′（x）＜0； 所以（x）在（0，e）单调递增，在（e，+∞）单调递减， 所以， 当0＜x＜1时，g（x）＜0；当x＝1时，g（x）＝0；当x＞1时，g（x）＞0， 作出y＝g（x）的图象，如图所示： 又因为直线y＝a与函数y＝g（x）的图象只有一个交点， 所以a≤0或． 所以实数a的取值范围为（﹣∞，0]∪{}； （3）由g（x）＝ex﹣1+xf（x）＝ex﹣1+2lnx﹣ax2， 令x＝1，则g（1）＝1﹣a≥0，故a≤1， 当a≤1时，g（x）＝ex﹣1+xlnx﹣ax2≥ex﹣1+xlnx﹣x2， 以下证明ex﹣1+xlnx﹣x2≥0， 设， 则， 令H（x）＝ex﹣1﹣x，x＞0，则H′（x）＝ex﹣1﹣1， 令H′（x）＝ex﹣1﹣1＝0，解得x＝1， 当x∈（0，1），H′（x）＜0，则H（x）在（0，1）单调递减， 当x∈（1，+∞），H′（x）＞0，则H（x）在（1，+∞）单调递增， 所以H（x）≥H（1）＝0，即ex﹣1﹣x＞0， 所以x∈（0，1）时，G′（x）＜0，则G（x）在（0，1）单调递减， 所以x∈（1，+∞）时，G′（x）＞0，则G（x）在（1，+∞）单调递增， 所以G（x）≥G（1）＝0， 综上所述，实数a∈（﹣∞，1]． 1．（23全国甲理）已知 （1）若，讨论的单调性； （2）若恒成立，求a的取值范围． 【解析】（1）若， ， . 令得，当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减. （2） 即.令， ，，则. 又， 得（必要条件）.当时，. 令，， . 令，由于，所以.令，， ， 则，单调递减，因此，所以，在上单调递减，.证毕.综上，的取值范围是. 2．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知函数． (1)当时，讨论的单调性； (2)当时，，求a的取值范围； (3)设，证明：． 【分析】（1）求出，讨论其符号后可得的单调性. （2）设，求出，先讨论时题设中的不等式不成立，再就结合放缩法讨论符号，最后就结合放缩法讨论的范围后可得参数的取值范围. （3）由（2）可得对任意的恒成立，从而可得对任意的恒成立，结合裂项相消法可证题设中的不等式. 【解析】（1）当时，，则， 当时，，当时，， 故的减区间为，增区间为. （2）设，则， 又，设， 则， 若，则， 因为为连续不间断函数， 故存在，使得，总有， 故在为增函数，故， 故在为增函数，故，与题设矛盾. 若，则， 下证：对任意，总有成立， 证明：设，故， 故在上为减函数，故即成立. 由上述不等式有， 故总成立，即在上为减函数， 所以. 当时，有，     所以在上为减函数，所以. 综上，. （3）取，则，总有成立， 令，则， 故即对任意的恒成立. 所以对任意的，有， 整理得到：， 故 ， 故不等式成立. 6 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $