10.3 实际问题与二元一次方程组教学设计2025-2026学年人教版数学七年级下册

第十章 二元一次方程组课堂伊始，教师展示生活中的实物图片，包括教室的黑板边缘、课桌的邻边与对边、铁轨、十字路口的道路等，引导学生观察：“这些图形中，两条直线的位置关系有哪些不同？”鼓励学生自由发言，教师结合学生回答，提炼出两种核心位置关系——相交与平行，引出本节课课题《相交线与平行线》。 接着，让学生动手操作：用两支铅笔在练习本上画出两条直线，观察它们的位置关系，要么相交，要么不相交（平行），明确本节课重点研究这两种位置关系的性质与判定，激发学生的探究兴趣，同时衔接小学阶段所学的基础认知，为后续学习做好铺垫。 二、探究新知（40分钟） （一）相交线的相关概念与性质 1. 教师在黑板上画出两条相交直线AB和CD，交点为O，引导学生观察：两条相交直线形成了几个角？（4个）分别标记为∠1、∠2、∠3、∠4。接着提问：“这些角之间有什么关系？”让学生用量角器测量每个角的度数，记录数据后小组讨论。 2. 小组代表发言后，教师总结：相邻的两个角（如∠1和∠2）有一条公共边，且另一边互为反向延长线，这样的两个角叫做邻补角，邻补角之和为180°；相对的两个角（如∠1和∠3）有一个公共顶点，且两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角，对顶角相等。 3. 即时练习：给出一组相交直线图形，让学生快速识别邻补角和对顶角，并计算未知角的度数，教师巡视指导，纠正学生的易错点，重点强调“对顶角一定相等，但相等的角不一定是对顶角”。 （二）垂线的概念与性质 1. 教师在相交线的基础上，转动其中一条直线，引导学生观察：当其中一个角为90°时，其他三个角的度数是多少？（均为90°）此时，教师给出垂线的定义：两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足，用符号“⊥”表示。 2. 探究垂线的性质：让学生过直线AB外一点P，尝试画直线AB的垂线，观察能画出几条？通过动手操作，学生发现：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。接着，引导学生测量点P到直线AB的不同线段的长度，发现垂线段最短，总结出“垂线段最短”的性质，并明确点到直线的距离就是垂线段的长度。 3. 应用练习：结合生活实例，如“从直线道路旁的村庄到道路的最短路径”，让学生运用垂线性质解决实际问题，加深对知识点的理解。 （三）平行线的概念与判定 1. 教师展示铁轨、黑板对边等平行图形，给出平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，用符号“∥”表示，强调“同一平面内”是前提条件（避免学生混淆空间中不相交的直线）。 2. 探究平行线的判定方法：教师画出一条截线EF，分别与两条直线AB、CD相交，形成同位角、内错角、同旁内角，引导学生观察：当同位角相等时，AB和CD的位置关系是什么？（平行）通过测量、平移等操作，总结出平行线的三个判定方法：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行。 3. 教师结合图形，逐一讲解每种判定方法的含义，演示如何利用判定方法判断两条直线是否平行，重点强调“同位角、内错角、同旁内角是由截线和被截线组成的，找准截线是关键”。 三、巩固练习（25分钟） 1. 基础题：给出相交线图形，求邻补角、对顶角的度数；判断两条直线是否垂直，测量点到直线的距离；利用平行线判定方法，判断两条直线是否平行，巩固本节课基础知识点，确保每位学生掌握核心内容。 2. 提升题：设计综合性题目，如“已知两条直线被截，同位角相等，求证内错角相等”，引导学生运用所学知识进行简单推理，培养学生的逻辑思维能力；结合生活实例，如“修建高速公路时，如何保证两条车道平行”，让学生运用平行线判定方法解决实际问题，体现数学与生活的联系。 3. 纠错练习：收集学生练习中的易错点，如混淆邻补角与对顶角、忽略“同一平面内”的前提、判断平行线时找错同位角等，进行集中讲解，帮助学生纠正错误，加深理解。 四、课堂小结（5分钟） 教师引导学生回顾本节课所学内容，提问：“本节课我们学习了相交线与平行线的哪些知识点？邻补角、对顶角有什么性质？垂线的性质是什么？平行线的判定方法有哪些？”让学生自主发言，梳理知识点。 教师结合学生回答，进行总结梳理，形成知识框架：相交线（邻补角、对顶角）→ 垂线（定义、性质）→ 平行线（定义、判定方法），强调重点难点，帮助学生构建完整的知识体系，同时提醒学生注意易错点，加深记忆。 五、布置作业（5分钟） 1. 基础作业：完成教材对应练习题，巩固邻补角、对顶角、垂线、平行线的基础知识点，确保学生掌握基本技能。 2. 拓展作业：让学生观察生活中更多相交线与平行线的实例，记录下来并说明其对应的知识点；尝试用平行线判定方法，画出一组平行线，培养学生的观察能力和动手操作能力。 3. 预习作业：预习平行线的性质，为下一节课学习做好铺垫。 整个教学过程注重学生的动手操作、小组合作与自主探究，结合生活实例，让学生在实践中理解知识点，培养学生的观察能力、逻辑思维能力和解决实际问题的能力，确保教学目标顺利达成。 10.3　实际问题与二元一次方程组 第1课时　和差倍分和销售问题 1．使学生会借助二元一次方程组解决简单的实际问题，让学生再次体会二元一次方程组与现实生活的联系和作用． 2．通过应用题教学，学生进一步使用代数中的方程去反映现实世界中的等量关系，体会代数方法的优越性． 重点：能根据题意找出等量关系，并能根据题意列二元一次方程组． 难点：正确找出问题中的两个等量关系． 一、导入新课 创设情境 随着养牛场规模逐渐扩大，李大叔需聘请饲养员协助管理现有的42头大牛和20头小牛，已知甲种饲养员每人可负责8头大牛和4头小牛，乙种饲养员每人可负责5头大牛和2头小牛，请问李大叔应聘请甲、乙两种饲养员各多少人？ 二、合作探究 探究点一：和差倍分问题 问题1：题中有哪些未知量，你如何设未知数？ （甲种饲养员和乙种饲养员的人数未知；设李大叔应聘请甲种饲养员x人，乙种饲养员y人） 问题2：题中有哪些等量关系？ （甲负责的大牛数＋乙负责的大牛数＝总大牛数； 甲负责的小牛数＋乙负责的小牛数＝总小牛数） 追问：你能根据上面的等量关系列出方程或者方程组解决问题吗？ 解得 答：李大叔应聘请甲种饲养员4人，乙种饲养员2人． 某市举办中学生足球比赛，规定胜一场得3分，平一场得1分．市第二中学足球队比赛11场，没有输过一场，共得27分，试问该队胜几场？平几场？ 分析：胜场＋平场＝总场次；胜分＋平分＝总分数． 解：设该队胜了x场，平了y场．根据题意得解得 答：该队胜了8场，平了3场． 要点归纳：1.基本数量关系：各部分之和＝全部数量； 2．方法：明显关系词，如多、少、倍、共、几分之几等．　 探究点二：销售问题 炎炎夏日，随着气温的升高，某空调专卖店销售的A，B两种空调销量迅速增长．已知A空调的进价为0.2万元/台，售价为0.5万元/台；B空调的进价为0.4万元/台，售价为0.7万元/台．今年六月这两种空调的销售总额为206万元，总利润为102万元．问这两种空调售出的台数分别是多少？ 问题1：售价、进价、利润三者之间有什么关系？ （利润＝售价－进价） 问题2：设A空调售出x台，B空调售出y台．分别用x，y表示两种空调的总售价和总利润． （A空调总售价0.5x万元，总利润是0.3x万元；B空调总售价0.7y万元，总利润是0.3y万元） 问题3：你能根据上面的等量关系列出方程组解决问题吗？ 解得 所以A空调售出160台，B空调售出180台． 小林在某商店购买商品A，B共二次，购买商品A，B的数量和费用如下表： 购买商品A的数量/个 购买商品B数量/个 购买总费用/元 第一次购物 6 5 1 140 第二次购物 3 7 1 110 求商品A，B的标价． 解：设商品A的标价为x元，商品B的标价为y元.根据题意，得解得 答：商品A的标价为90元，商品B的标价为120元． 要点归纳：标价＝进价＋进价×利润率＝（1＋利润率）×进价． 售价＝标价×（打n折销售时）. 利润＝售价－进价． 利润率＝×100%＝×100%.　 三、当堂检测 1．“六一”儿童节前夕，某超市用3 360元购进A，B两种童装共120套，其中A种童装每套24元，B种童装每套36元．若设购A种童装x套，B种童装y套，根据题意列方程组正确的是B A. B． C． D． 2．有大小两种货车，2辆大货车与3辆小货车一次共可运货15.5吨，5辆大货车与6辆小货车一次共可运货35吨，则每辆小货车一次可运货B A．2吨 B．2.5吨 C．3吨 D．3.5吨 3．甲种电影票每张20元，乙种电影票每张15元．若购买甲、乙两种电影票共40张，恰好用去700元，则甲种电影票买了20张． （其他课堂拓展题，见配套PPT） 四、课堂小结【板书设计】 板书设计 本节课的重点是让学生经历和体验用方程组解决实际问题的过程，抓住实际问题的等量关系建立方程组模型．教学难点是利用相等关系将实际问题转化为数学问题．教学中，采取了让学生通过独立思考、自主探索、合作交流等方式，在思考、交流等数学活动中，养成严谨的思维方式和良好的学习习惯． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十章 二元一次方程组课堂伊始，教师展示生活中的实物图片，包括教室的黑板边缘、课桌的邻边与对边、铁轨、十字路口的道路等，引导学生观察：“这些图形中，两条直线的位置关系有哪些不同？”鼓励学生自由发言，教师结合学生回答，提炼出两种核心位置关系——相交与平行，引出本节课课题《相交线与平行线》。 接着，让学生动手操作：用两支铅笔在练习本上画出两条直线，观察它们的位置关系，要么相交，要么不相交（平行），明确本节课重点研究这两种位置关系的性质与判定，激发学生的探究兴趣，同时衔接小学阶段所学的基础认知，为后续学习做好铺垫。 二、探究新知（40分钟） （一）相交线的相关概念与性质 1. 教师在黑板上画出两条相交直线AB和CD，交点为O，引导学生观察：两条相交直线形成了几个角？（4个）分别标记为∠1、∠2、∠3、∠4。接着提问：“这些角之间有什么关系？”让学生用量角器测量每个角的度数，记录数据后小组讨论。 2. 小组代表发言后，教师总结：相邻的两个角（如∠1和∠2）有一条公共边，且另一边互为反向延长线，这样的两个角叫做邻补角，邻补角之和为180°；相对的两个角（如∠1和∠3）有一个公共顶点，且两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角，对顶角相等。 3. 即时练习：给出一组相交直线图形，让学生快速识别邻补角和对顶角，并计算未知角的度数，教师巡视指导，纠正学生的易错点，重点强调“对顶角一定相等，但相等的角不一定是对顶角”。 （二）垂线的概念与性质 1. 教师在相交线的基础上，转动其中一条直线，引导学生观察：当其中一个角为90°时，其他三个角的度数是多少？（均为90°）此时，教师给出垂线的定义：两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足，用符号“⊥”表示。 2. 探究垂线的性质：让学生过直线AB外一点P，尝试画直线AB的垂线，观察能画出几条？通过动手操作，学生发现：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。接着，引导学生测量点P到直线AB的不同线段的长度，发现垂线段最短，总结出“垂线段最短”的性质，并明确点到直线的距离就是垂线段的长度。 3. 应用练习：结合生活实例，如“从直线道路旁的村庄到道路的最短路径”，让学生运用垂线性质解决实际问题，加深对知识点的理解。 （三）平行线的概念与判定 1. 教师展示铁轨、黑板对边等平行图形，给出平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，用符号“∥”表示，强调“同一平面内”是前提条件（避免学生混淆空间中不相交的直线）。 2. 探究平行线的判定方法：教师画出一条截线EF，分别与两条直线AB、CD相交，形成同位角、内错角、同旁内角，引导学生观察：当同位角相等时，AB和CD的位置关系是什么？（平行）通过测量、平移等操作，总结出平行线的三个判定方法：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行。 3. 教师结合图形，逐一讲解每种判定方法的含义，演示如何利用判定方法判断两条直线是否平行，重点强调“同位角、内错角、同旁内角是由截线和被截线组成的，找准截线是关键”。 三、巩固练习（25分钟） 1. 基础题：给出相交线图形，求邻补角、对顶角的度数；判断两条直线是否垂直，测量点到直线的距离；利用平行线判定方法，判断两条直线是否平行，巩固本节课基础知识点，确保每位学生掌握核心内容。 2. 提升题：设计综合性题目，如“已知两条直线被截，同位角相等，求证内错角相等”，引导学生运用所学知识进行简单推理，培养学生的逻辑思维能力；结合生活实例，如“修建高速公路时，如何保证两条车道平行”，让学生运用平行线判定方法解决实际问题，体现数学与生活的联系。 3. 纠错练习：收集学生练习中的易错点，如混淆邻补角与对顶角、忽略“同一平面内”的前提、判断平行线时找错同位角等，进行集中讲解，帮助学生纠正错误，加深理解。 四、课堂小结（5分钟） 教师引导学生回顾本节课所学内容，提问：“本节课我们学习了相交线与平行线的哪些知识点？邻补角、对顶角有什么性质？垂线的性质是什么？平行线的判定方法有哪些？”让学生自主发言，梳理知识点。 教师结合学生回答，进行总结梳理，形成知识框架：相交线（邻补角、对顶角）→ 垂线（定义、性质）→ 平行线（定义、判定方法），强调重点难点，帮助学生构建完整的知识体系，同时提醒学生注意易错点，加深记忆。 五、布置作业（5分钟） 1. 基础作业：完成教材对应练习题，巩固邻补角、对顶角、垂线、平行线的基础知识点，确保学生掌握基本技能。 2. 拓展作业：让学生观察生活中更多相交线与平行线的实例，记录下来并说明其对应的知识点；尝试用平行线判定方法，画出一组平行线，培养学生的观察能力和动手操作能力。 3. 预习作业：预习平行线的性质，为下一节课学习做好铺垫。 整个教学过程注重学生的动手操作、小组合作与自主探究，结合生活实例，让学生在实践中理解知识点，培养学生的观察能力、逻辑思维能力和解决实际问题的能力，确保教学目标顺利达成。 10.3　实际问题与二元一次方程组 第3课时　行程问题与其他问题 1．进一步经历用方程组解决实际问题的过程，体会方程组是刻画现实世界的有效数学模型． 2．利用路程、速度、时间之间的关系解决实际问题，感知数学在实际生活中的应用． 重点：认识行程问题中的数量关系，列方程解决问题． 难点：用方程组刻画和解决实际问题． 一、导入新课 创设情境 小华从家里到学校的路是一段平路和一段下坡路．假设他始终保持平路每分钟走60 m，下坡路每分钟走80 m，上坡路每分钟走40 m，则他从家里到学校需11 min，从学校到家里需14 min.问小华家离学校多远？ 二、合作探究 探究点一：行程问题 填一填：设未知数x，y并填写下表： 上坡路程 平路路程 下坡路程 总用时 家里到学校 0 x y 11 min 学校到家里 y x 0 14 min 问题1：路程、时间、速度三者之间有什么关系？ （路程＝速度×时间） 问题2：怎么表示上坡所用时间，平路所用时间，下坡所用时间？它们和总用时有什么关系？ （所用时间用对应的路程除以对应的速度；上坡、平路、下坡所用时间加起来就是总用时．） 追问：你能列出二元一次方程组并解决问题吗？ 解得x＋y＝720. 所以小华家离学校720 m． 甲、乙两人相距4 km，以各自的速度同时出发．如果同向而行，甲2 h追上乙；如果相向而行，两人0.5 h后相遇．试问两人的速度各是多少？ 解：设甲的速度是每小时x km，乙的速度是每小时y km，由题意得 解得 答：甲的速度是每小时5 km，乙的速度是每小时3 km. 要点归纳：路程＝速度×时间．追及问题：快车路程－慢车路程＝被追路程．相遇问题：两者路程之和＝两者开始的距离．　 两地相距280 km，一艘轮船在其间航行，顺流用14 h，逆流用20 h．求这艘轮船在静水中的速度和水流速度． 解：设这艘船在静水中的速度为x km/h，水流速度为y km/h，依题意得 解得 答：这艘船在静水中的速度为17 km/h，水流速度为3 km/h. 要点归纳：顺水（风）速度＝静水（风）速度＋水（风）速； 逆水（风）速度＝静水（风）速度－水（风）速．　 探究点二：其他问题 某车间有22名工人，每人每天可以生产1 200个螺钉或2 000个螺母.1个螺钉需要配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排生产螺钉和螺母的工人各多少名？ 问题1：螺钉和螺母的数量存在什么关系？ （螺钉和螺母的数量之比为1∶2） 问题2：根据数量关系列出二元一次方程组并求解． 解：设安排x人生产螺钉，y人生产螺母，依题意得解得 答：安排10人生产螺钉，12人生产螺母． 我国古代数学著作《九章算术》中有这样一题，有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛（斛是古代的一种容量单位），1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛，1个大桶、1个小桶分别可以盛酒多少斛？ 解：设1个大桶可以盛酒x斛，1个小桶可以盛酒y斛，则解得 答：1个大桶可以盛酒斛，1个小桶可以盛酒斛． 三、当堂检测 1．甲、乙两地相距880千米，小轿车从甲地出发，2小时后，大客车从乙地出发相向而行，又经过4小时两车相遇．已知小轿车比大客车每小时多行驶20千米，设大客车每小时行驶x千米，小轿车每小时行驶y千米，则可列方程组为（D） A． B． C. D． 2．A，B两码头之间的距离为120 km，一艘船在两个码头之间航行，顺水航行需要4 h，逆水航行需要5 h，则水流速度是3 km/h. 3．甲、乙两人匀速骑车从相距60千米的A，B两地同时出发，若两人相向而行，则两人在出发2小时后相遇；若两人同向而行，则甲在出发后6小时追上乙．则甲的速度为20千米/时． （其他课堂拓展题，见配套PPT） 四、课堂小结【板书设计】 板书设计 通过问题的解决使学生进一步认识数学与现实世界的密切联系，乐于接触生活环境中的数学信息，愿意参与数学话题的研讨，从中懂得数学的价值，逐步形成运用数学的意识．并且通过对问题的解决，增强他们节约和有效合理利用资源的意识． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十章 二元一次方程组课堂伊始，教师展示生活中的实物图片，包括教室的黑板边缘、课桌的邻边与对边、铁轨、十字路口的道路等，引导学生观察：“这些图形中，两条直线的位置关系有哪些不同？”鼓励学生自由发言，教师结合学生回答，提炼出两种核心位置关系——相交与平行，引出本节课课题《相交线与平行线》。 接着，让学生动手操作：用两支铅笔在练习本上画出两条直线，观察它们的位置关系，要么相交，要么不相交（平行），明确本节课重点研究这两种位置关系的性质与判定，激发学生的探究兴趣，同时衔接小学阶段所学的基础认知，为后续学习做好铺垫。 二、探究新知（40分钟） （一）相交线的相关概念与性质 1. 教师在黑板上画出两条相交直线AB和CD，交点为O，引导学生观察：两条相交直线形成了几个角？（4个）分别标记为∠1、∠2、∠3、∠4。接着提问：“这些角之间有什么关系？”让学生用量角器测量每个角的度数，记录数据后小组讨论。 2. 小组代表发言后，教师总结：相邻的两个角（如∠1和∠2）有一条公共边，且另一边互为反向延长线，这样的两个角叫做邻补角，邻补角之和为180°；相对的两个角（如∠1和∠3）有一个公共顶点，且两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角，对顶角相等。 3. 即时练习：给出一组相交直线图形，让学生快速识别邻补角和对顶角，并计算未知角的度数，教师巡视指导，纠正学生的易错点，重点强调“对顶角一定相等，但相等的角不一定是对顶角”。 （二）垂线的概念与性质 1. 教师在相交线的基础上，转动其中一条直线，引导学生观察：当其中一个角为90°时，其他三个角的度数是多少？（均为90°）此时，教师给出垂线的定义：两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足，用符号“⊥”表示。 2. 探究垂线的性质：让学生过直线AB外一点P，尝试画直线AB的垂线，观察能画出几条？通过动手操作，学生发现：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。接着，引导学生测量点P到直线AB的不同线段的长度，发现垂线段最短，总结出“垂线段最短”的性质，并明确点到直线的距离就是垂线段的长度。 3. 应用练习：结合生活实例，如“从直线道路旁的村庄到道路的最短路径”，让学生运用垂线性质解决实际问题，加深对知识点的理解。 （三）平行线的概念与判定 1. 教师展示铁轨、黑板对边等平行图形，给出平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，用符号“∥”表示，强调“同一平面内”是前提条件（避免学生混淆空间中不相交的直线）。 2. 探究平行线的判定方法：教师画出一条截线EF，分别与两条直线AB、CD相交，形成同位角、内错角、同旁内角，引导学生观察：当同位角相等时，AB和CD的位置关系是什么？（平行）通过测量、平移等操作，总结出平行线的三个判定方法：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行。 3. 教师结合图形，逐一讲解每种判定方法的含义，演示如何利用判定方法判断两条直线是否平行，重点强调“同位角、内错角、同旁内角是由截线和被截线组成的，找准截线是关键”。 三、巩固练习（25分钟） 1. 基础题：给出相交线图形，求邻补角、对顶角的度数；判断两条直线是否垂直，测量点到直线的距离；利用平行线判定方法，判断两条直线是否平行，巩固本节课基础知识点，确保每位学生掌握核心内容。 2. 提升题：设计综合性题目，如“已知两条直线被截，同位角相等，求证内错角相等”，引导学生运用所学知识进行简单推理，培养学生的逻辑思维能力；结合生活实例，如“修建高速公路时，如何保证两条车道平行”，让学生运用平行线判定方法解决实际问题，体现数学与生活的联系。 3. 纠错练习：收集学生练习中的易错点，如混淆邻补角与对顶角、忽略“同一平面内”的前提、判断平行线时找错同位角等，进行集中讲解，帮助学生纠正错误，加深理解。 四、课堂小结（5分钟） 教师引导学生回顾本节课所学内容，提问：“本节课我们学习了相交线与平行线的哪些知识点？邻补角、对顶角有什么性质？垂线的性质是什么？平行线的判定方法有哪些？”让学生自主发言，梳理知识点。 教师结合学生回答，进行总结梳理，形成知识框架：相交线（邻补角、对顶角）→ 垂线（定义、性质）→ 平行线（定义、判定方法），强调重点难点，帮助学生构建完整的知识体系，同时提醒学生注意易错点，加深记忆。 五、布置作业（5分钟） 1. 基础作业：完成教材对应练习题，巩固邻补角、对顶角、垂线、平行线的基础知识点，确保学生掌握基本技能。 2. 拓展作业：让学生观察生活中更多相交线与平行线的实例，记录下来并说明其对应的知识点；尝试用平行线判定方法，画出一组平行线，培养学生的观察能力和动手操作能力。 3. 预习作业：预习平行线的性质，为下一节课学习做好铺垫。 整个教学过程注重学生的动手操作、小组合作与自主探究，结合生活实例，让学生在实践中理解知识点，培养学生的观察能力、逻辑思维能力和解决实际问题的能力，确保教学目标顺利达成。 10.3　实际问题与二元一次方程组 第2课时　图表问题和工程问题 1．学会利用二元一次方程组解决图表、工程问题，提高综合素养能力，加强用数学语言描述现实世界的能力，培养模型意识和观念． 2．自主学习，小组合作交流，通过构建等量关系解决实际问题． 重点：能根据具体的数量关系，列出二元一次方程组解决实际问题． 难点：学会利用二元一次方程组解决图表、工程问题． 一、导入新课 创设情境 情境导入：已知长方形ABCD，AB＝CD＝200 m，AD＝BC＝100 m，将长方形ABCD分割为两个小长方形，长方形1号和长方形2号分别种甲、乙作物，甲、乙单位面积产量的比是1∶2.怎样划分这块长方形ABCD，使甲、乙两种作物的总产量的比是3∶4？你能设计出什么样的方案？ 二、合作探究 探究点一：图表问题 问题：将长方形ABCD分割为两个小长方形，你有几种分割方法？ （水平分割，竖直分割） 追问：画出图形，并展示你的设计方案． ①竖画： 解：如上图所示分割，设AE＝x m，BE＝y m．则有解得 ②横画： 解：如上图所示分割，设DE＝x m，AE＝y m．则有解得 在长为20 m、宽为16 m的长方形空地上，沿平行于长方形各边的方向割出三个完全相同的小长方形花圃，其示意图如图所示，求每个小长方形花圃的面积． 解：设小长方形的长为x m，宽为y m．依题意得解得 4×8＝32（m2）. 答：每个小长方形花圃的面积32 m2. 列二元一次方程组解决下面问题：为落实教育部门安排的学生社会实践活动，八年级（9）班开展了一次蔬菜售卖体验．其中第一小组花128元从蔬菜批发市场批发了豆角和土豆共55 kg到蔬菜市场去卖，豆角和土豆当天的批发价与零售价如表所示： 品名 豆角 土豆 批发价（元/kg） 2.4 2.2 零售价（元/kg） 3.8 3.3 求该小组当天卖完这些豆角和土豆可赚多少元． 解：设该小组当天购买了x kg豆角，y kg土豆， 根据题意得解得 （3.8－2.4）x＋（3.3－2.2）y＝（3.8－2.4）×35＋（3.3－2.2）×20＝71. 答：该小组当天卖完这些豆角和土豆可赚71元． 探究点二：工程问题 有一批零件共420个，如果甲先做2天后乙加入合作，那么再做2天完成；如果乙先做2天后甲加入合作，那么再做3天完成．则甲，乙两人每天分别做多少个零件？ 问题1：你能列出工作总量、工作效率、工作时间之间的关系式吗？ （工作效率×工作时间＝工作总量） 问题2：设甲每天做x个零件，乙每天做y个零件，那么甲乙合作一天可以做多少个零件？ （甲乙合作的工作效率是x＋y） 追问：列方程组求解． 　解得 答：甲每天做90个零件，乙每天做30个零件． 在某外环公路建设过程中，准备让甲、乙两个工程队接力完成．已知甲工程队独立完成这项工程需要20天，每天要支付甲工程队2 000元；乙工程队独立完成这项工程需要15天，每天要支付乙工程队3 000元；最后一共支付甲乙工程队42 000元．请问甲、乙分别工作了多少天？ 解：设甲工程队工作了x天，乙工程队工作了y天．依题意得解得 答：甲工程队工作了12天，乙工程队工作了6天． 要点归纳：1.解决工程问题，有时我们需要把工作总量看做单位“1”． 2．工作总量、工作效率和工作时间之间的关系式为 工作总量＝工作效率×工作时间 工作效率＝工作总量÷工作时间 工作时间＝工作总量÷工作效率　 三、当堂检测 1．如图，直线a∥b，∠1的度数比∠2的度数大50°，若设∠1＝x°，∠2＝y°，则可得到的方程组为 （B） A． B． C． D． 第1题图 第2题图 2.教材 P103 练习 12 变式 在“幻方拓展课程”探索中，小明在如图的3×3方格填入了一些表示数的代数式．若图中各行、各列及对角线上的三个数之和都相等，则y－x＝（C） A．2 B．4 C．－6 D．6 3．根据图中所给的信息，每件T恤和每瓶矿泉水的价格分别是20元和2元． （其他课堂拓展题，见配套PPT） 四、课堂小结【板书设计】 板书设计 本课探究的问题信息量大、数量关系复杂、未知数不容易设定，对学生来说是一种挑战，因此安排学生合作学习．学生先独立思考、自主探索，然后在小组讨论中合理设定未知数建立方程组解决问题．在教学过程中通过创设情境，使教学内容更加生活化，采用引发指导、多样评价、鼓励肯定等多种教学方法，增强学生的学习兴趣，让学生体验成功，从而培养学生分析问题、解决问题的能力． 学科网（北京）股份有限公司 $