微专题04 乘法公式核心题型突破（专项训练）数学新教材苏科版七年级下册

微专题04 乘法公式核心题型突破 题型一 利用乘法公式进行计算 1.应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：(1) 左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；(2) 右边是相同项的平方减去相反项的平方；(3) 公式中的 a 和 b 可以是具体的数，也可以是单项式或多项式． 2.应用平方差公式计算时，公式特征： ① 积为二次三项式；②积中两项为两数的平方和；③ 另一项是两数积的 2 倍，且与两数中间的符号相同；④公式中的字母 a，b 可以表示数，单项式和多项式. 1．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了积的乘方的逆用，整式的混合运算，解题的关键在于正确掌握相关运算法则． （1）利用平方差公式，以及单项式乘多项式法则去括号，再合并计算，即可解题； （2）先利用积的乘方的逆用法则整理，再结合平方差公式，完全平方公式进行计算，即可解题． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 2．（24-25七年级下·江苏宿迁·月考）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算，完全平方公式，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）利用完全平方公式，平方差公式进行计算，即可解答； （2）利用完全平方公式，平方差公式进行计算，即可解答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 3．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）计算或化简： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的混合运算，完全平方公式，平方差公式． （1）先根据完全平方公式，平方差公式进行计算，再合并同类项即可； （2）添括号后运用平方差公式，完全平方公式进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 4．计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）利用平方差公式和完全平方公式计算即可； （2）利用平方差公式和完全平方公式计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 5．（24-25七年级下·江苏扬州·月考）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算，掌握平方差公式和完全平方公式是解题的关键． （1）利用平方差公式和完全平方公式，进行计算即可； （2）利用平方差公式和完全平方公式，进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 6．（24-25七年级下·江苏南京·月考）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4) 【分析】本题考查了整式的混合运算，掌握整式的运算法则是解决本题的关键 （1）利用多项式乘多项式法则计算即可； （2）先变形，再利用平方差公式计算即可； （3）先变形利用平方差公式，再利用完全平方公式计算即可； （4）先变形两个因式，再利用平方差公式计算，最后利用完全平方公式计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 题型二 乘法公式的几何意义 乘法公式的几何意义主要是利用“等积法”来表示出图形的面积，从而得出平方差公式. 1．如图，在边长为的正方形中挖掉一个边长为的小正方形，把余下的部分剪拼成一个长方形（无重叠部分），通过计算两个图形中阴影部分的面积，可以验证的一个等式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平方差公式的图形推导，根据两个图形中阴影部分的面积相等列式即可得到答案； 【详解】解：由图形可得， ， 故选：A． 2．在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b）（如图1），把余下的部分拼成一个长方形（如图2），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（　　） A．（a+b）2＝a2+2ab+b2 B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 C．（a+2b）（a﹣b）＝a2+ab﹣2b2 D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） 【答案】D 【分析】图甲中阴影部分的面积为两正方形的面积之差，即为a2﹣b2，图乙中阴影部分为边长分别为（a+b）和（a﹣b），其面积为（a+b）（a﹣b），利用据两个图形中阴影部分的面积相等即可得到平方差公式． 【详解】解：∵图甲中阴影部分的面积＝a2﹣b2，图乙中阴影部分的面积＝（a+b）（a﹣b）， 而两个图形中阴影部分的面积相等， ∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）． 故选：D． 【点睛】本题考查了平方差公式的几何背景：利用几何方法证明平方差公式． 3．如图，将图①中的正方形沿对角线剪开变换到图②的位置，你能根据两个图形中阴影部分的面积关系得到的等式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过分析两个图形中阴影部分的面积，利用“面积相等”建立等式，从而推导出公式． 【详解】解：图①中，图②中， ∴． 4．从边长为a的大正方形纸板挖去一个边长为b的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图甲），然后拼成一个平行四边形（如图乙），那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平方差公式的几何背景，分别表示出图甲和图乙中阴影部分的面积，二者相等，从而可得答案． 【详解】解：图甲中阴影部分的面积为，图乙中阴影部分是由四个相同的等腰梯形拼成的平行四边形，根据平行四边形面积公式：平行四边形面积=底高，观察图形可知，该平行四边形的底为大正方形边长与小正方形边长之和，即，高为大正方形边长与小正方形边长之差，即，得阴影部分的面积为， ∵甲乙两图中阴影部分的面积相等， ∴， ∴可以验证成立的公式为． 故选：C． 5．从图1到图2的变化过程中可以发现的结论是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平方差公式，分别表示出图形的面积，再结合变化过程分析即可解题． 【详解】解：由图知，图的面积为， 图的面积为， 结合图1到图2的变化过程可以发现， 故选：B． 6．（25-26七年级下·全国·期中）如图1，将一个底边为，高为的平行四边形纸片，沿虚线剪开，把剪成的两部分(1)和(2)拼成如图2的图形，这两个图能解释下列哪个等式（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，用代数式分别表示图1、图2的面积是解决问题的关键． 根据图1和图2用代数式分别表示（1）（2）两部分的面积和，再根据拼图前后面积之间的关系可得结论． 【详解】解：图1是由（1）（2）两部分拼成的底为，高为的平行四边形，因此面积为， 图2中（1）（2）两部分的面积和可以看作两个正方形的面积差，即， 因此有， 故选：D． 题型三 利用乘法公式进行简便计算 1、通过合理变形，利用平方差公式，可以简化运算. 2、运用完全平方公式进行简便计算，要熟记完全平方公式的特征，将原式转化为能利用完全平方公式的形式． 1．计算：（   ） A． B．1 C．4048 D．4050 【答案】B 【分析】本题考查平方差公式，熟练掌握该公式是解题的关键．将式子变形后利用平方差公式计算即可． 【详解】解： ， 故选：B． 2．若，则的值是（    ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方差公式．利用平方差公式，通过凑出的形式逐步化简连乘式，进而计算出的值． 【详解】解：∵， ∴ 则． 故选：D． 3．计算：（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平方差公式，解题的关键是熟练掌握平方差公式的运用．根据平方差公式解答即可． 【详解】解：∵ ∴原式 故选：B． 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）利用完全平方公式计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查完全平方公式的应用，熟练运用完全平方公式进行计算是解题的关键． （1）先把化成，再利用完全平方公式进行计算即可； （2）先把化成，再利用完全平方公式进行计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 5．简便运算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将转化为，利用完全平方公式计算； （2）将转化为，转化为，利用平方差公式计算后再进行整式的加减运算． 【详解】（1）解： （2）解： 6．利用简便方法计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2)400 (3)100 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，熟知完全平方公式是解题的关键． （1）利用完全平方公式进行计算即可； （2）利用完全平方公式进行计算即可； （3）利用完全平方公式进行计算即可． 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解： ． 题型四 利用乘法公式进行化简求值 利用乘法公式进行化简求值时先按运算顺序把利用乘法公式把整式化简，再把对应字母的值代入求整式的值．有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似． 1．（23-24七年级下·湖南娄底·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】；3 【分析】本题考查完全平方公式，平方差公式，多项式乘以单项式，先根据完全平方公式，平方差公式，多项式乘以单项式的运算法则化简，再将代入计算即可． 【详解】解： ， 当时， 原式 ． 2．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】考查完全平方公式、平方差公式的展开及代数式化简求值．解题关键是准确运用公式展开整式，化简后再代入数值计算；易错点是公式展开时符号错误（如平方差公式中漏写负号），或代入数值时符号、分数运算出错． 首先先利用完全平方公式展开，利用平方差公式展开；其次去括号后合并同类项，将原式化简为最简形式；最后把、代入化简结果，按先乘除后加减的顺序计算出最终值． 【详解】原式 将，代入化简结果： 原式 3．（23-24七年级下·江苏淮安·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】 【分析】本题考查了整式乘法的混合运算，熟练掌握乘法公式、准确计算是解题的关键．先根据完全平方、平方差公式和单项式乘以多项式的法则计算展开，再代值计算． 【详解】解： ， 当，时，原式． 4．（2025·江苏常州·模拟预测）先化简，再求值：，其中x，y满足． 【答案】， 【分析】本题考查了完全平方公式，平方差公式，绝对值的非负性．利用完全平方公式和平方差公式进行化简可得化简结果，根据绝对值的非负性和平方的非负性求解的值，然后代入求解即可． 【详解】解： ∵，即， ∴，， 解得，， 将，，代入原式． 5．（24-25七年级下·江苏南京·月考）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的化简求值，熟练掌握完全平方公式，平方差公式是解题的关键，先根据完全平方公式，平方差公式，单项式乘多项式化简整式，再代入求值即可． 【详解】解：原式 ， 当时， 原式 ． 6．先化简，再求值：(x﹣1)2+(x+2)(x﹣2)+(x﹣3)(x﹣1)，其中x2﹣2x﹣3＝0． 【答案】3x2﹣6x，9． 【分析】直接利用整式的混合运算化简合并同类项，再把已知变形整体代入得出答案． 【详解】解：原式＝x2﹣2x+1+x2﹣4+x2﹣x﹣3x+3 ＝3x2﹣6x， ∵x2﹣2x﹣3＝0， ∴x2﹣2x＝3， ∴原式＝3（x2﹣2x） ＝3×3 ＝9． 【点睛】本题考查了整式的混合运算，掌握整体代入是解题的关键． 7．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】此题考查了整式的混合运算和乘法公式、代数式求值，先利用乘法公式和单项式乘以多项式法则展开，再合并同类项得到化简结果，再把字母的值代入计算即可． 【详解】解： ， 将代入得，原式． 8．（24-25七年级下·江苏泰州·月考）先化简，再求值：，其中，． 【答案】； 【分析】本题考查的是整式的混合运算，乘法公式的应用，先计算整式的乘法运算，再合并同类项，最后代入计算即可． 【详解】解： ， 当，时，原式． 题型五 求完全平方公式的字母系数 对于涉及字母系数的问题，通常需要根据完全平方公式的结构来确定未知系数的值． 1．已知是完全平方式，则a的值为（　　） A． B． C．3 D．6 【答案】B 【分析】根据完全平方式的结构特征，对应原式系数求解a，需考虑完全平方式的两种不同符号情况． 【详解】解：∵=，=，是完全平方式， ∴ 原式可写成的形式， 展开得， ∴ ． 2．已知多项式是某个整式的平方的展开式，则a的值为（   ） A．2 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查完全平方公式的结构特征，根据完全平方公式对应系数即可求出a的值． 【详解】解：∵多项式是某个整式的平方的展开式，符合完全平方公式的结构， ∴令，，得， ∴中间项满足， 即， 解得． 3．如果是一个完全平方式，那么k 的值是 （     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】根据完全平方式的结构特征，通过对比完全平方公式的展开式，确定中间项系数与首尾两项的关系，进而求出k的值． 【详解】解：∵完全平方公式为， 又∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 4．已知代数式是一个完全平方式，则t的值是（   ） A．5 B． C．5或 D．或 【答案】D 【分析】利用完全平方公式的结构特征求解． 【详解】解：∵代数式是完全平方式， 又∵， ∴， ∴， 当时，解得； 当时，解得； ∴t的值为或． 5．若多项式是一个多项式的平方，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查完全平方公式的逆用，掌握完全平方公式是解题关键． 将给定多项式与完全平方公式的结构对应，通过对比系数求出的值． 【详解】解：∵完全平方公式为， 已知多项式是某个多项式的平方，其结构与完全平方公式一致， ∴对应项可得，， ∴，代入得， ∴， ∴． 故选：． 6．若代数式是完全平方式，则的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查完全平方公式的应用，关键是熟练应用公式进行解题；根据完全平方式的结构特征，建立关于的方程，进而求解的值。 【详解】解：∵代数式是完全平方式， ∴ ①当时， ， ∴ ②当时， ， ∴ 综上，的值为或． 故答案为：C． 题型六 利用完全平方公式的变形求值 利用完全平方公式的变形求值，主要是根据已知条件与待求式的特点，灵活选用恰当的变形公式进行化简计算，同时能逆用公式进行配方运算，从而挖掘隐含条件求解. 1．已知，，那么（    ） A．19 B．25 C．31 D．73 【答案】B 【分析】本题考查完全平方公式，利用完全平方公式的变形，通过整体代入法求解的值，无需单独求出、的具体值． 【详解】解：∵完全平方公式为． ∴移项可得． ∵，． ∴代入得． 故选：B 2．已知，则的值为（    ） A．3 B．2 C．1 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，熟知是解题的关键． 根据进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 3．已知，，则______． 【答案】 【分析】本题考查的是完全平方公式，熟练掌握此公式是解题的关键．利用完全平方公式，将已知条件代入求解即可． 【详解】解：根据完全平方公式，有， 已知， 所以， 又已知，则， 因此， 移项得， 故答案为：． 4．（2025七年级下·全国·专题练习）（1）已知，求和的值． （2）若，求和的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了完全平方公式变形求值，熟练掌握完全平方公式，是解题的关键． （1）根据完全平方公式，结合进行求值即可； （2）根据，先求出，再变形求出即可． 【详解】解：（1）因为， 所以， 所以，所以， 所以，所以． （2）因为，所以． 因为，所以， 所以， 因为， 所以． 5．（24-25七年级下·江苏盐城·期中）已知，，求： (1) (2) 【答案】(1)47 (2) 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，利用完全平方公式变形和平方差公式求值即可，熟练掌握整式的乘法法则是解题的关键． （1）由，得到，推出，同理求得； （2）先分组利用平方差公式将原式求得，将，代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵ ， 由（1）得，， ∴原式． 6．（24-25七年级下·安徽亳州·期中）若满足，求的值． 解：设，， 则，． 类比探究： (1)若满足，求的值． (2)若满足，求的值． (3)若满足，求的值． 【答案】(1)2560 (2)31 (3)1030 【分析】本题考查了完全平方公式的运用． （1）根据例题的解题思路进行计算，即可解答； （2）将转化为，即，再根据例题的解题思路进行计算，即可解答； （3）根据例题的解题思路进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：设，，则，， ； （2）解： ， ，即， 设，则， ， ； （3） 解：设，，则，， ， ， ． 题型七 乘法公式的实际应用 利用整式的乘法公式解决实际问题主要是先根据实际问题中的数量关系列出整式，然后再进行整式的混合运算即可，另外要注意结合图形来分析. 1．晓静拿来甲、乙两张大小不同的正方形纸片．她将这两张正方形纸片并列放置后先构造新的长方形得到图1，然后又构造新的正方形得到图2，若图1和图2中阴影部分的面积分别为6和20，则乙正方形的面积为（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，单项式乘以多项式，表示出阴影部分的面积是解题的关键． 设正方形甲的边长为a，正方形乙的边长为b，根据图1和图2中阴影部分的面积分别为6和20，列出代数式利用完全平方公式求解即可． 【详解】解：设正方形甲的边长为a，正方形乙的边长为b， 由图1得：，即， 由图2得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴正方形乙的面积为4． 故选：A． 2．已知长方形的长为a，宽为b，用四个这样的长方形围成一个大正方形，如图1所示，中空的部分是一个面积为16的小正方形．用五个这样的长方形按如图2的方式摆放，延长部分边框，构成一个新的大长方形，空白部分的面积为65，则的值为（   ） A．12 B．9 C．7 D．5 【答案】C 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键．用代数式表示图1中间小正方形的面积，图2空白部分的面积，再根据得到的，利用完全平方公式及变形求出的值即可． 【详解】解：图1中，中间小正方形的边长为，面积为， 由图2可得，大长方形的长为，宽为，因此面积为， 所以，即， ，即，而， ， ，而，则, ． 故选：C． 3．完全平方公式经过适当的变形，可以解决很多数学问题． 例如：若，，求的值． 解：∵，， ∴，， ∴， ∴． 根据上面的解题思路与方法解决下列问题： (1)若，，则________________； (2)若，求的值； (3)如图，点是线段上的一点，分别以，为边向直线两侧作正方形和正方形，设，两正方形的面积和为，则的面积为________． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】本题考查完全平方公式的变形应用，核心是利用完全平方公式的变形公式或进行求解，关键是通过换元或设未知数将已知条件转化为可利用公式的形式． （1）直接利用代入已知数据计算； （2）通过换元法设，，先求出的值，再利用计算； （3）设，，根据线段长度关系和正方形面积和得到与的值，利用完全平方公式变形求出，再结合直角三角形面积公式求解的面积． 【详解】（1）解：∵，，， ∴； 故答案为：． （2）解：设，， 则，， 根据完全平方公式变形可得， ∴， 即； （3）解：设，， ∵， ∴； ∵两正方形的面积和为， ∴． 由完全平方公式， ∴，即，解得． ∵四边形和是正方形，且向直线两侧作正方形， ∴，， ∴； 故答案为：． 4．（25-26八年级下·广东珠海·开学考试）问题呈现：借助几何图形探究数量关系是一种重要的解题策略，图1、图2是用边长分别为a，b的两个正方形和长、宽分别为a，b的两个长方形拼成的一个大正方形（）． （1）利用图形可以推导出的乘法公式分别是图1：_______；图2：____________．（用字母a，b表示） 数学思考：利用图形推导的数学公式解决问题． （2）在（1）的条件下若，，分别求，的值． （3）已知，求的值． 拓展运用： （4）如图3，点C是线段上一点，以为边向两侧作正方形和正方形，面积分别是和．若，，求出的面积（用S，m表示）． 【答案】（1），； （2），； （3）4051； （4） 【分析】（1）利用面积法进行计算，即可解答； （2）利用（1）中推导公式求得以及，得到以及，再利用平方差公式进行计算，即可解答； （3）设，，则，，然后利用（1）中推导公式进行计算，即可解答； （4）设，，则，，然后利用（1）中推导公式进行计算，即可解答． 【详解】解：（1）图1：大正方形的面积可以表示为：， 还可以表示为， ． 图2：左下角的正方形的面积可以表示为：， 还可以表示为：， ． 故答案为：，． （2）∵，， ∴，， , ，． ． （3）设，， 则， ， ． ． （4）设，，则，， ． 5．“数缺形时少直观，形缺数时难入微．数形结合百般好，隔裂分家万事休．”数形结合是解决数学问题的重要思想方法．通过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式． （1）如图（1）是一个大正方形被分割成了边长分别为a、b的两个正方形和长、宽分别为a、b的两个长方形，利用这个图形可以验证公式______； 利用上述公式解决下列问题： 【直接应用】 （2）若，，则______； 【类比应用】 （3）若，求的值； 【知识迁移】 （4）如图（2），点在线段上，四边形、都是正方形，连接、、．若阴影部分的面积和为11，的面积为7，求的长度． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】（1）用2种方法表示出大正方形的面积即可得出结果； （2）利用完全平方公式进行计算即可； （3）利用完全平方公式变形计算即可； （4）设正方形的边长为，正方形的边长为，利用完全平方公式变形计算即可． 【详解】解：（1）由图可知：． （2）∵，， ∴． （3）由题意，得： ． （4）设正方形的边长为，正方形的边长为， 则，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 6．观察图1，用等式表示图中图形的面积的运算为． 【探究】 （1）观察图2，用等式表示图中阴影部分图形的面积和的运算：___________； 【应用】 （2）根据图②所得的公式，若，求的值； （3）若满足，求的值； 【拓展】 （4）如图3，某学校有一块梯形空地，于点，，，该校计划在和区域内种花，在和的区域内种草，经测量种花区域的面积和为102平方米，米，求种草区域的面积和． 【答案】 （1）； （2）； （3）3； （4）种草区域的面积和为60平方米． 【分析】本题考查几何背景下的完全平方公式，通过对完全平方公式变形求值，已知式子的值，求代数式的值． （1）根据图2中阴影部分的面积即可求解； （2）将已知条件整体代入（1）的结论，计算即可； （3）设，则，由（1）可得，整体代入，计算即可； （4）设，，则种花区域的面积，由此得，由（1）的结论得，进而得种草区域的面积和． 【详解】（1）解：图2中大正方形的边长为，阴影部分两个正方形的边长分别为，两个长方形的宽和长分别为， 大正方形的面积为，阴影部分两个正方形的面积分别为，，长方形的面积为， 又阴影部分两个正方形的面积之和大正方形的面积-两个长方形的面积， ， 故答案为：； （2）解：由（1）的结论得：， 又， ； （3）解：设，则， ，即， ； （4）解：设， 于点米， （平方米），（平方米），（平方米），（平方米），（米）， 种花区域的面积和为102平方米， ， ， 由（1）的结论得：， ， ， 种草区域的面积和为：（平方米）． 种草区域的面积和为60平方米． 题型八 运用乘法公式探究规律 运用整式的乘法公式的规律探索问题主要是根据题中的等式探究出规律，然后再由规律解决问题. 1．【观察】 ①（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1： ②（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1； ③（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1； … 【归纳】由此可得：（x﹣1）（x n+x n﹣1+x n﹣2+…+x+1）＝x n+1﹣1； 【应用】请运用上面的结论，计算：22023+22022+22011…+22+2+1＝（　　） A．22023﹣1 B．22024﹣1 C．22024 D．22025﹣1 【答案】B． 【分析】变形为22023+22022+22011…+22+2+1＝（2﹣1）×（22023+22022+22011…+22+2+1），再根据已知算式得出的规律得出答案即可． 【详解】解：22023+22022+22011…+22+2+1 ＝（2﹣1）×（22023+22022+22011…+22+2+1） ＝22024﹣1， 故选：B． 【点睛】本题考查了平方差公式，能根据已知算式得出规律是解此题的关键． 2．探究与应用 我们学习过（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1，那么（x﹣1）（x6+x5+x4+x3+x2+x+1）计算结果呢？ 完成下面的探究： （1）（x﹣1）（x2+x+1）＝　 　； （2）（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝　 　；…… （3）（x﹣1）（x6+x5+x4+x3+x2+x+1）＝　 　； 应用：计算2+22+23+24+……+22022． 【分析】（1）先根据多项式乘多项式法则进行计算，再合并同类项即可； （2）先根据多项式乘多项式法则进行计算，再合并同类项即可； （3）先根据多项式乘多项式法则进行计算，再合并同类项即可； 应用：先根据以上算式得出（2﹣1）×（22022+22021+22020+……+1）＝22023﹣1，再得出答案即可． 【详解】解：（1）（x﹣1）（x2+x+1） ＝x3+x2+x﹣x2﹣x﹣1 ＝x3﹣1， 故答案为：x3﹣1； （2）（x﹣1）（x3+x2+x+1） ＝x4+x3+x2+x﹣x3﹣x2﹣x﹣1 ＝x4﹣1， 故答案为：x4﹣1； （3）（x﹣1）（x6+x5+x4+x3+x2+x+1） ＝x7+x6+x5+x4+x3+x2+x﹣x6﹣x5﹣x4﹣x3﹣x2﹣x﹣1 ＝x7﹣1， 故答案为：x7﹣1； 应用：∵（2﹣1）×（22022+22021+22020+……+1） ＝22023﹣1， ∴2+22+23+24+……+22022＝22023﹣2． 【点睛】本题考查了多项式乘多项式法则和平方差公式，能根据已知算式得出规律是解此题的关键． 3．观察下列计算： （a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2 （a﹣b）（a2+ab+b2）＝a3﹣b3 （a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）＝a4﹣b4 （1）猜想：（a﹣1）（an﹣1+an﹣2+⋯+a+1）＝　 　（其中n为正整数，且n≥2）； （2）利用（1）猜想的结论计算：210+29+28+27+⋯+23+22+2+1． 【分析】（1）归纳总结得到一般性规律，写出即可； （2）利用得出的规律将原式变形，计算即可求出值． 【点睛】解：（1）根据观察可得：（a﹣1）（an﹣1+an﹣2+⋯+a+1）＝an﹣1（其中n为正整数，且n≥2）； 故答案为：an﹣1； （2）原式＝（2﹣1）×（210+29+28+27+⋯+23+22+2+1） ＝（2﹣1）×（210+29×1+28×12+•••+23×17+22×18+2×19+110） ＝211﹣1 ＝2047． 【点睛】本题主要考查了平方差公式，多项式乘多项式以及数字的变化规律，运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方． 4．你能求（x﹣1）（x2022+x2021+x2020+⋯+x2+x+1）的值吗？遇到这样的问题，我们可以先思考一下，从简单的情形入手，先分别计算下列各式的值． ①（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1 ②（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1 ③（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1 …… （1）由此我们可以得到：（x﹣1）（x2022+x2021+x2020+⋯+x2+x+1）＝　 　． （2）请你利用上面的结论，再完成下面的计算：（﹣2）99+（﹣2）98+（﹣2）97+⋯+（﹣2）+1． 【分析】（1）观察已知等式得到一般性规律，写出即可； （2）式子转化为（﹣2﹣1）×[（﹣2）99+（﹣2）98+（﹣2）97+⋯+（﹣2）+1]，再计算即可． 【点睛】解：（1）由此我们可以得到：（x﹣1）（x2022+x2021+x2020+…+x+1）＝x2023﹣1； 故答案为：x2023﹣1； （2）原式（﹣2﹣1）×[（﹣2）99+（﹣2）98+（﹣2）97+⋯+（﹣2）+1] [（﹣2）100﹣1] ． 【点睛】此题考查了平方差公式和数字的变化规律，弄清题中的规律是解本题的关键． 5．（1）填空： （a﹣b）（a+b）＝　 　． （a﹣b）（a2+ab+b2）＝　 　． （a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）＝　 　． （2）猜想：（a﹣b）（an﹣1+an﹣2b+…+abn﹣2+bn﹣1）＝　 　.（其中n为正整数，且n≥2） （3）利用（2）中猜想的结论计算：37+36+35+34+33+32+3+1． 【分析】（1）利用多项式乘以多项式法则计算即可得到结果； （2）归纳总结得到一般性规律，写出即可； （3）利用得出的规律将原式变形，计算即可求出值． 【详解】解：（1）（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2； （a﹣b）（a2+ab+b2）＝a3﹣b3； （a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）＝a4﹣b4； （2）猜想：（a﹣b）（an﹣1+an﹣2b+…+abn﹣2+bn﹣1）＝an﹣bn（其中n为正整数，且n≥2）； （3）原式 ＝3280． 故答案为：（1）a2﹣b2；a3﹣b3；a4﹣b4；（2）an﹣bn． 【点睛】本题主要考查多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式的乘法法则、特殊到一般的数学思想是解决本题的关键． 6．阅读材料后解决问题． 小明遇到下面一个问题：计算（2+1）（22+1）（24+1）经过观察，小明发现如果将原式进行适当的变形后可以出现特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问题，具体解法如下： （2+1）（22+1）（24+1） ＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1） ＝（22﹣1）（22+1）（24+1） ＝（24﹣1）（24+1）＝28﹣1 请你根据小明解决问题的方法，试着解决以下的问题： 计算：（1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）． （2）（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）． （3）化简：（m+n）（m2+n2）（m4+n4）（m8+n8）（m16+n16）． 【分析】（1）原式补上（2﹣1），利用平方差公式计算即可得到结果； （2）原式补上（3﹣1），利用平方差公式计算即可得到结果； （3）原式补上（m﹣n），利用平方差公式计算即可得到结果． 【详解】解：（1）原式＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1） ＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1） ＝（24﹣1）（24+1）（28+1）（216+1） ＝（28﹣1）（28+1）（216+1） ＝（216﹣1）（216+1） ＝232﹣1； （2）原式（3﹣1）（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1） （32﹣1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1） （34﹣1）（34+1）（38+1）（316+1） （38﹣1）（38+1）（316+1） （316﹣1）（316+1） （332﹣1）； （3）当m＝n时，原式＝2m•2m2•2m4•2m8•2m16＝32m31； 当m≠n，即m﹣n≠0时， 原式（m﹣n）（m+n）（m2+n2）（m4+n4）（m8+n8）（m16+n16） （m2﹣n2）（m2+n2）（m4+n4）（m8+n8）（m16+n16） （m4﹣n4）（m4+n4）（m8+n8）（m16+n16） （m8﹣n8）（m8+n8）（m16+n16） （m16﹣n16）（m16+n16） （m32﹣n32）． 【点睛】此题考查了平方差公式，以及多项式乘多项式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题04 乘法公式核心题型突破 题型一 利用乘法公式进行计算 1.应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：(1) 左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；(2) 右边是相同项的平方减去相反项的平方；(3) 公式中的 a 和 b 可以是具体的数，也可以是单项式或多项式． 2.应用平方差公式计算时，公式特征： ① 积为二次三项式；②积中两项为两数的平方和；③ 另一项是两数积的 2 倍，且与两数中间的符号相同；④公式中的字母 a，b 可以表示数，单项式和多项式. 1．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）计算： (1)； (2)． 2．（24-25七年级下·江苏宿迁·月考）计算： (1)； (2)． 3．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）计算或化简： (1) (2) 4．计算： (1)． (2)． 5．（24-25七年级下·江苏扬州·月考）计算： (1) (2) 6．（24-25七年级下·江苏南京·月考）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型二 乘法公式的几何意义 乘法公式的几何意义主要是利用“等积法”来表示出图形的面积，从而得出平方差公式. 1．如图，在边长为的正方形中挖掉一个边长为的小正方形，把余下的部分剪拼成一个长方形（无重叠部分），通过计算两个图形中阴影部分的面积，可以验证的一个等式是（   ） A． B． C． D． 2．在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b）（如图1），把余下的部分拼成一个长方形（如图2），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（　　） A．（a+b）2＝a2+2ab+b2 B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 C．（a+2b）（a﹣b）＝a2+ab﹣2b2 D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） 3．如图，将图①中的正方形沿对角线剪开变换到图②的位置，你能根据两个图形中阴影部分的面积关系得到的等式是（    ） A． B． C． D． 4．从边长为a的大正方形纸板挖去一个边长为b的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图甲），然后拼成一个平行四边形（如图乙），那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式为（   ） A． B． C． D． 5．从图1到图2的变化过程中可以发现的结论是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26七年级下·全国·期中）如图1，将一个底边为，高为的平行四边形纸片，沿虚线剪开，把剪成的两部分(1)和(2)拼成如图2的图形，这两个图能解释下列哪个等式（    ） A． B． C． D． 题型三 利用乘法公式进行简便计算 1、通过合理变形，利用平方差公式，可以简化运算. 2、运用完全平方公式进行简便计算，要熟记完全平方公式的特征，将原式转化为能利用完全平方公式的形式． 1．计算：（   ） A． B．1 C．4048 D．4050 2．若，则的值是（    ） A．0 B． C． D． 3．计算：（   ） A．1 B． C． D． 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）利用完全平方公式计算： (1)； (2)． 5．简便运算： (1) (2) 6．利用简便方法计算： (1)； (2)； (3)． 题型四 利用乘法公式进行化简求值 利用乘法公式进行化简求值时先按运算顺序把利用乘法公式把整式化简，再把对应字母的值代入求整式的值．有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似． 1．（23-24七年级下·湖南娄底·期中）先化简，再求值：，其中． 2．先化简，再求值：，其中． 3．（23-24七年级下·江苏淮安·期中）先化简，再求值：，其中，． 4．（2025·江苏常州·模拟预测）先化简，再求值：，其中x，y满足． 5．（24-25七年级下·江苏南京·月考）先化简，再求值：，其中． 6．先化简，再求值：(x﹣1)2+(x+2)(x﹣2)+(x﹣3)(x﹣1)，其中x2﹣2x﹣3＝0． 7．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）先化简，再求值：，其中，． 8．（24-25七年级下·江苏泰州·月考）先化简，再求值：，其中，． 题型五 求完全平方公式的字母系数 对于涉及字母系数的问题，通常需要根据完全平方公式的结构来确定未知系数的值． 1．已知是完全平方式，则a的值为（　　） A． B． C．3 D．6 2．已知多项式是某个整式的平方的展开式，则a的值为（   ） A．2 B．1 C． D． 3．如果是一个完全平方式，那么k 的值是 （     ） A． B． C． D．无法确定 4．已知代数式是一个完全平方式，则t的值是（   ） A．5 B． C．5或 D．或 5．若多项式是一个多项式的平方，则的值为（   ） A． B． C． D． 6．若代数式是完全平方式，则的值为（    ） A． B． C．或 D．或 题型六 利用完全平方公式的变形求值 利用完全平方公式的变形求值，主要是根据已知条件与待求式的特点，灵活选用恰当的变形公式进行化简计算，同时能逆用公式进行配方运算，从而挖掘隐含条件求解. 1．已知，，那么（    ） A．19 B．25 C．31 D．73 2．已知，则的值为（    ） A．3 B．2 C．1 D． 3．已知，，则______． 4．（2025七年级下·全国·专题练习）（1）已知，求和的值． （2）若，求和的值． 5．（24-25七年级下·江苏盐城·期中）已知，，求： (1) (2) 6．（24-25七年级下·安徽亳州·期中）若满足，求的值． 解：设，， 则，． 类比探究： (1)若满足，求的值． (2)若满足，求的值． (3)若满足，求的值． 题型七 乘法公式的实际应用 利用整式的乘法公式解决实际问题主要是先根据实际问题中的数量关系列出整式，然后再进行整式的混合运算即可，另外要注意结合图形来分析. 1．晓静拿来甲、乙两张大小不同的正方形纸片．她将这两张正方形纸片并列放置后先构造新的长方形得到图1，然后又构造新的正方形得到图2，若图1和图2中阴影部分的面积分别为6和20，则乙正方形的面积为（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 2．已知长方形的长为a，宽为b，用四个这样的长方形围成一个大正方形，如图1所示，中空的部分是一个面积为16的小正方形．用五个这样的长方形按如图2的方式摆放，延长部分边框，构成一个新的大长方形，空白部分的面积为65，则的值为（   ） A．12 B．9 C．7 D．5 3．完全平方公式经过适当的变形，可以解决很多数学问题． 例如：若，，求的值． 解：∵，， ∴，， ∴， ∴． 根据上面的解题思路与方法解决下列问题： (1)若，，则________________； (2)若，求的值； (3)如图，点是线段上的一点，分别以，为边向直线两侧作正方形和正方形，设，两正方形的面积和为，则的面积为________． 4．（25-26八年级下·广东珠海·开学考试）问题呈现：借助几何图形探究数量关系是一种重要的解题策略，图1、图2是用边长分别为a，b的两个正方形和长、宽分别为a，b的两个长方形拼成的一个大正方形（）． （1）利用图形可以推导出的乘法公式分别是图1：_______；图2：____________．（用字母a，b表示） 数学思考：利用图形推导的数学公式解决问题． （2）在（1）的条件下若，，分别求，的值． （3）已知，求的值． 拓展运用： （4）如图3，点C是线段上一点，以为边向两侧作正方形和正方形，面积分别是和．若，，求出的面积（用S，m表示）． 5．“数缺形时少直观，形缺数时难入微．数形结合百般好，隔裂分家万事休．”数形结合是解决数学问题的重要思想方法．通过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式． （1）如图（1）是一个大正方形被分割成了边长分别为a、b的两个正方形和长、宽分别为a、b的两个长方形，利用这个图形可以验证公式______； 利用上述公式解决下列问题： 【直接应用】 （2）若，，则______； 【类比应用】 （3）若，求的值； 【知识迁移】 （4）如图（2），点在线段上，四边形、都是正方形，连接、、．若阴影部分的面积和为11，的面积为7，求的长度． 6．观察图1，用等式表示图中图形的面积的运算为． 【探究】 （1）观察图2，用等式表示图中阴影部分图形的面积和的运算：___________； 【应用】 （2）根据图②所得的公式，若，求的值； （3）若满足，求的值； 【拓展】 （4） 如图3，某学校有一块梯形空地，于点，，，该校计划在和区域内种花，在和的区域内种草，经测量种花区域的面积和为102平方米，米，求种草区域的面积和． 题型八 运用乘法公式探究规律 运用整式的乘法公式的规律探索问题主要是根据题中的等式探究出规律，然后再由规律解决问题. 1．【观察】 ①（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1： ②（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1； ③（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1； … 【归纳】由此可得：（x﹣1）（x n+x n﹣1+x n﹣2+…+x+1）＝x n+1﹣1； 【应用】请运用上面的结论，计算：22023+22022+22011…+22+2+1＝（　　） A．22023﹣1 B．22024﹣1 C．22024 D．22025﹣1 2．探究与应用 我们学习过（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1，那么（x﹣1）（x6+x5+x4+x3+x2+x+1）计算结果呢？ 完成下面的探究： （1）（x﹣1）（x2+x+1）＝　 　； （2）（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝　 　；…… （3）（x﹣1）（x6+x5+x4+x3+x2+x+1）＝　 　； 应用：计算2+22+23+24+……+22022． 3．观察下列计算： （a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2 （a﹣b）（a2+ab+b2）＝a3﹣b3 （a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）＝a4﹣b4 （1）猜想：（a﹣1）（an﹣1+an﹣2+⋯+a+1）＝　 　（其中n为正整数，且n≥2）； （2）利用（1）猜想的结论计算：210+29+28+27+⋯+23+22+2+1． 4．你能求（x﹣1）（x2022+x2021+x2020+⋯+x2+x+1）的值吗？遇到这样的问题，我们可以先思考一下，从简单的情形入手，先分别计算下列各式的值． ①（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1 ②（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1 ③（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1 …… （1）由此我们可以得到：（x﹣1）（x2022+x2021+x2020+⋯+x2+x+1）＝　 　． （2）请你利用上面的结论，再完成下面的计算：（﹣2）99+（﹣2）98+（﹣2）97+⋯+（﹣2）+1． 5．（1）填空： （a﹣b）（a+b）＝　 　． （a﹣b）（a2+ab+b2）＝　 　． （a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）＝　 　． （2）猜想：（a﹣b）（an﹣1+an﹣2b+…+abn﹣2+bn﹣1）＝　 　.（其中n为正整数，且n≥2） （3）利用（2）中猜想的结论计算：37+36+35+34+33+32+3+1． 6．阅读材料后解决问题． 小明遇到下面一个问题：计算（2+1）（22+1）（24+1）经过观察，小明发现如果将原式进行适当的变形后可以出现特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问题，具体解法如下： （2+1）（22+1）（24+1） ＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1） ＝（22﹣1）（22+1）（24+1） ＝（24﹣1）（24+1）＝28﹣1 请你根据小明解决问题的方法，试着解决以下的问题： 计算：（1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）． （2）（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）． （3）化简：（m+n）（m2+n2）（m4+n4）（m8+n8）（m16+n16）． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $