精品解析：陕西省西安市西安交大附中航天学校2025-2026学年下学期九年级学情自测数学试题

交大附中航天学校2025—2026学年第二学期 开学诊断初三数学试题 本试题共7页，三道大题．考试时长120分钟，试卷满分120分． 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 中国空间站位于距离地面约的太空环境中．由于没有大气层保护，在太阳光线直射下，空间站表面温度可高于零上，其背阳面温度可低于零下．若零上记作，则零下记作（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【详解】解：“正”和“负”相对，所以，若零上记作，则零下记作． 故选：． 2. 如图，物体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】俯视图是从物体上面看所得到的图形． 【详解】解：从物体上面看，是横行并排的三个正方形， 故选D． 【点睛】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体上面看所得到的图形，解答时学生易将三种视图混淆而错误的选其它选项． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了多项式除以单项式、单项式乘多项式、积的乘方、合并同类项等知识，根据运算法则和乘法公式分别计算后即可得到答案． 【详解】解：A．，故选项错误，不符合题意； B．，故选项错误，不符合题意； C．，故选项正确，符合题意； D．，故选项错误，不符合题意． 故选：C． 4. 如图，在平行四边形 中，过D 作于 点E，若，，则 的长为（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是平行四边形的性质，锐角三角函数的应用，证明，，根据可得答案． 【详解】解：在平行四边形 中，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 故选：C 5. 如图，已知 中，点D，E分别是边 的中点，若 的面积等于12，则的面积等于（ ）． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的中线的性质、三角形的面积等知识点，正确的识别图形是解题的关键． 利用三角形中线的性质求解即可． 【详解】解：∵点E是边 的中点， 的面积等于12， ， ∵D是 的中点， ． 故选B． 6. 将直线向上平移个单位长度后与直线交于点，则方程的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了两直线交点解方程，一次函数的平移，理解函数平移的性质，两直线交点解方程的方法是关键． 根据函数图象的平移得到平移后的解析式，再根据两直线交点解方法即可． 【详解】解：直线向上平移个单位长度后的解析式为， ∴直线与直线的交点为， ∴方程的解为 ， 故选：B ． 7. 如图1，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图2，筒车 与水面分别交于点 ， ，筒车上均匀分布着若干盛水筒，点 表示筒车的一个盛水筒，是 的直径，连接， ，点 在 的延长线上．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了直径所对的圆周角为直角，同弧所对的圆周角相等，邻补角等知识．如图2，连接 ，由邻补角的性质求得，利用圆周角定理求得，，据此求解作答即可． 【详解】解：如图，连接 ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是 的直径， ∴， ∴， 故选：A． 8. 已知点，点都在关于x的函数的图象上．若点A始终在B右侧，则n的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了的图象与性质，已知抛物线上对称的两点求对称轴，利用不等式求自变量或函数值的范围等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 先利用二次函数上纵坐标相同的两点关于对称轴对称，求出函数的对称轴，进而确定二次函数解析式，再根据点A在点B右侧的条件确定横坐标的取值范围，最后结合二次函数的性质求出n的取值范围． 【详解】解：∵点A、B纵坐标均为n，且在二次函数的图象上， ∴A、B关于二次函数的对称轴对称， ∵二次函数的对称轴为，且A、B横坐标的中点为， ∴， 解得：， ∴二次函数解析式为，其对称轴为 ，开口向上，顶点为， ∵点A始终在B右侧， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， 对于点A的横坐标，当时，， 对于点B的横坐标，当时，， 当时，二次函数随x的增大而减小， 取，则， 取 ，则， ∴， 当时，二次函数随x的增大而增大， 取时，则， 取 时，则， ∴， 综上，的取值范围为． 故选：B． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 计算：____________． 【答案】 【解析】 【分析】利用平方差公式：进行二次根式的简便运算，把看作、2看作 ，直接套用公式化简求值． 【详解】解：由平方差公式， 令，， ． 10. 苯分子的环状结构是由德国化学家凯库勒提出的．发现苯分子中的6个碳原子与6个氢原子均在同一平面，且所有碳碳键的键长都相等（如图1），组成了一个完美的正六边形如图2，则的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正多边形内角和的计算以及三角形内角和定理，n边形的内角和为． 根据正六边形的内角和公式求出的度数，再根据三角形内角和定理求的度数，同理可得的度数，根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵六边形是正六边形， ∴， ， ∴， 同理， ∴， 故答案为：120． 11. 如图，将周长为17的 沿 平移得到．平移后，如果四边形的周长是21，那么平移的距离是________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质． 由平移可知四边形的周长，根据平移可知．再进一步求解即可． 【详解】解：由题意可知，， 则 ； 故答案为 ． 12. 如图，在 中，，D为 上一点，连接 ，过点D作于点E．若E为 的中点， ，的周长为14，则 的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据为线段 的垂直平分线，得到，再通过等量代换可得，然后根据勾股定理和中点的知识即可求解． 【详解】解：∵于点E，E为 的中点， ∴为线段 的垂直平分线， ∴， ∵的周长为，即， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴在 中，， 即， ∴， ∵E为 的中点， ∴． 13. 如图，点A在反比例函数的图象上，轴于点B，C为x轴正半轴上一点，将 绕点A旋转得到，点C的对应点D恰好落在该函数图象上．若的面积为6，则k的值为___________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，旋转的性质，反比例函数解析式等知识．熟练掌握反比例函数与几何综合，旋转的性质，反比例函数解析式是解题的关键． 设，由，可求，则，由将 绕点A旋转得到，可知 为的中点，设，则，进而可得，计算求解即可． 【详解】解：设， ∵的面积为6， ∴，即， 解得，， ∴， ∵将 绕点A旋转得到， ∴ 为的中点， 设，则， ∵均在函数图象上， ∴， 解得，， 故答案为：8． 14. 如图， 中，，， 、 为对角线 边上两个动点（不与点 、 重合），连接 、．若，则的最小值为______________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，以点 为顶点，为一边在的上方作，且使，连接，过点 作，交 的延长线于点 ，证明和相似得，则，由此得当为最小时，为最小，因此当 ， ， 在同一条直线上时，为最小，最小值是线段的长，故得的最小值是线段的长，先求出，则，进而得，，，然后在中由勾股定理求出即可得出答案． 【详解】解：以点 为顶点，为一边在的上方作，且使，连接，过点 作，交 的延长线于点 ，如图所示： 四边形 是平行四边形，， ， ， ， ， ，， ∴ 又 ， ∴ ， ∴ ， ， 当为最小时，为最小，当 ， ， 在同一条直线上时，为最小，最小值是线段的长， 的最小值是线段的长， ， ， ， 在中，， ，， 在中，， ∴， 的最小值是， 故答案为：． 三、解答题（共12小题，共78分） 15. 计算：． 【答案】． 【解析】 【分析】本题主要考查了实数计算，结合绝对值的性质，特殊角的三角函数值，负指数幂计算是解题的关键． 根据负整数指数幂，二次根式的性质化简，化简绝对值，特殊角的三角函数值进行计算即可求解． 【详解】解：原式 ． 16. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，掌握不等式组的解法是解题关键．先分别求出两个不等式的解，再找出它们的公共部分即为不等式组的解集． 【详解】解：， 解不等式①得， 解不等式②得， 不等式组的解集为． 17. 解方程：． 【答案】原方程无解 【解析】 【分析】先把原方程去分母化为整式方程，再解方程并检验即可得到答案． 【详解】解： 去分母得， 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得， 检验，当时，， ∴是原方程的增根， ∴原方程无解． 18. 如图，四边形 是矩形，请在矩形 内找一点 ，使，．要求：尺规作图，不写作法，保留痕迹． 【答案】 如图，点P即为所求． 【解析】 【分析】本题考查作图-复杂作图，线段的垂直平分线的性质，矩形的性质，在 上截取 ，使，则，作线段 的垂直平分线，连接 ，交线段 的垂直平分线于点P，点P即为所求． 【详解】略 19. 如图，在菱形 中，点E是边上一点，延长 至点F，使，连接 、．求证：． 【答案】 证明：∵四边形 是菱形， ∴ ，， ∴， 在 和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，三角形全等的判定和性质，根据菱形的性质，证明，得出即可． 【详解】略 20. 如图，可以自由转动的转盘被它的两条直径分成了四个分别标有数字的扇形区域，其中标有数字“1”的扇形的圆心角为．转动转盘，待转盘自动停止后，指针指向一个扇形的内部，则该扇形内的数字即为转出的数字，此时，称为转动转盘一次（若指针指向两个扇形的交线，则不计转动次数，重新转动转盘，直到指针指向一个扇形的内部为止）． （1）转动转盘一次，则转出的数字是的概率为______； （2）转动转盘两次，用树状图或列表法求这两次分别转出的数字之和为正数的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查树状图或列表法求概率，熟练掌握树状图或列表法是解题的关键． （1）根据扇形圆心角的度数与总圆心角的度数关系来计算转出特定数字的概率； （2）通过列表法列出所有可能的结果，再找到满足数字之和为正数的结果，最后根据概率公式计算所求概率． 【小问1详解】 解：由题意可知：“1”和“3”所占的扇形圆心角为，2个“”所占的扇形圆心角为， 则转动转盘一次，转出的数字是“”的概率为； 【小问2详解】 解：由（1）可知，该转盘转出“1”、“3”、“”的可能性相同，均为， 转动转盘两次，列表如下： 1 3 1 3 共有9种情况，其中这两次分别转出的数字之和为正数的情况有6种， 因此，这两次分别转出的数字之和为正数的概率为． 21. 某地风力资源丰富，矗立着许多风力发电机，微风拂过时，风叶轻盈转动，将风能转换成电能，默默造福千家万户．该地某中学初三数学兴趣小组计划实地测量风叶的长度．如图，已知三片风叶两两所成的角为，当其中一片风叶 与塔干 叠合时，在离塔底D水平距离为60米的E处，测得塔顶部O的仰角，叶片A处的仰角，求风叶的长度．（结果保留根号） 【答案】米 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，正确理解题意和作出辅助线是关键． 过点O作交于点F，过点F作，先根据题意求出米，再根据正切函数得出，再由各角之间的关系得出，用三角函数即可求出结果． 【详解】解：过点O作交于点F，过点F作，如图所示： ∴四边形为矩形， 由题意得：米，， ∴米，， ∴米， ∵， ∴米， ∴米， ∵三片风叶两两所成的角为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴米， ∴风叶的长度为米． 22. 小佳所在的宿舍、食堂及图书馆可以近似看作在同一直线上．周末，小佳从宿舍出发，先去食堂吃早餐，然后匀速到图书馆借书，最后又匀速返回了宿舍．已知小佳离宿舍的距离y（）与离开宿舍的时间x（）之间的函数图象如图所示： （1）求小佳从食堂前往图书馆的过程中，y关于x的函数表达式； （2）当小佳离宿舍的距离为时，求她离开宿舍的时间． 【答案】（1） （2） 或 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，熟练掌握一次函数的图象性质是解题的关键． （1）利用待定系数法求出的函数解析式即可； （2）根据函数图象，再次利用待定系数法求出的函数解析式，分别求出小佳在和两种情况下，小佳离宿舍的距离为的时间． 【小问1详解】 解：由图象可知：小佳从食堂前往图书馆的过程中，，即函数过、， 设y关于x的函数表达式为， 则， 解得， 则y关于x的函数表达式为； 【小问2详解】 解：小佳从图书馆返回宿舍的过程中，，即函数过、， 设此时，y关于x的函数表达式为， 则， 解得， 则小佳从图书馆返回宿舍的过程中，y关于x的函数表达式为， 当小佳从食堂前往图书馆的过程中，离宿舍的距离为时， 即， 解得； 当小佳从图书馆返回宿舍的过程中，离宿舍的距离为时， 即， 解得， 综上所述，当小佳离宿舍的距离为时，她离开宿舍的时间为 或． 23. 2025年4月24日“中国航天日”的主题是“海上生明月，九天揽星河”，这是自2016年以来的第十个“中国航天日”．为了弘扬航天精神，某校开展了航天知识竞答活动，学校随机抽取了部分学生的成绩进行整理，将成绩（单位：分）分成五组： ．； ．； ．； ．； ．．下面给出部分信息：： 组的数据为70，71，72，72，72，74，75，76，76，77，77，79． ：绘制了如图所示的不完整的频数分布直方图和扇形统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）请补全条形统计图； （2）在扇形统计图中， 组所在扇形的圆心角度数是 ；随机抽取的这部分学生的成绩的中位数是 分； （3）该校要对成绩在 组的学生进行奖励，按成绩从高到低设一、二等奖，并且一、二等奖的人数比例为，请估计该校1500名学生中获得一等奖的学生人数． 【答案】（1）补全条形统计图如下： （2），分； （3）48 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形统计图和条形统计图的结合，求圆心角度数，中位数的概念，解题的关键是熟练掌握以上概念和公式． （1）求出被调查学生的总数，利用总数乘其所占比值即可求出该组人数，补全条形统计图即可； （2）利用圆的度数乘其占比即可求出圆心角度数，利用中位数概念即可求解； （3）利用总数乘其占比即可求解． 【小问1详解】 解：该次抽查的学生总数为（人） 组人数为（人） 【小问2详解】 解： 组所在扇形的圆心角度数为； 该组中位数取其排序后的第25位数和26位数的平均数，该两位数在 组， 所以，中位数为（分）； 故答案为：，分； 【小问3详解】 解：该校1500名学生中获得一等奖的学生人数为（人）， 所以，该校1500名学生中获得一等奖的学生人数为48人． 24. 如图，在 中，以 为直径的 交 于点 ，是 的切线，且 ，垂足为 ，延长交 于点 ． （1）求证：； （2）若，求 的长． 【答案】（1）证明：连接 ， ∵是 的切线， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）连接 ，则，由切线的性质可知，则，，进而得，根据等角对等边可得结论； （2）连接，根据圆周角定理得到，又，可得，，又，根据等腰三角形三线合一，可得， 是圆的直径，由圆周角定理得到 ，，进而得到，，通过解直角三角形，求出，即可求出 ． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接， ∵ ∴，又， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵ 是圆的直径， ∴ ， ∴，即， ∵ ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴. 25. 我们常见的炒菜锅和锅盖都是抛物线面，经过锅心和盖心的纵断面是两段抛物线组合而成的封闭图形，建立如图所示的平面直角坐标系；把锅纵断面的抛物线记为把锅盖纵断面的抛物线记为为锅口直径（锅口直径与锅盖直径视为相同）， 为锅深，锅盖高． （1）求抛物线的解析式； （2）如果将一个底面直径为，高度为的圆柱形保温桶竖直放入炒菜锅内蒸食物，锅盖能否正常盖上？请说明理由． 【答案】（1）， （2） 解：锅盖能正常盖上 当时，抛物线， ， 而 锅盖能正常盖上． 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质和应用，涉及待定系数法求解析式和二次函数的性质， （1）根据已知点设二次函数的解析式，利用待定系数法求解即可； （2）将已知的底面直径代入解析式求得各自对应的y，结合已知的高度作判断即可． 【小问1详解】 解：将代入中，得 解得，， 点坐标为， 点坐标为 锅口直径 设抛物线的解析式为 将点和点分别代入中， 得 解得 抛物线的解析式为 【小问2详解】 略 26. 问题提出 （1）如图①，在四边形 中，，若，则的度数为______； 问题探究 （2）如图②，在半径为2的扇形中，，P是上的一点，过点P作于点Q，求线段长的最大值； 问题解决 （3）某市进行绿化改造，美化生态环境，如图③，四边形 是该市绿化工程要打造的一片绿化区域，其中，，，，并计划在这片区域内种植绿植和花卉，要求此区域的面积尽可能大，求绿化区域 面积的最大值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）根据，得点B、C、D在以点A为圆心，以 长为半径的圆上，得； （2）当点P位于的中点时，根据，得过点O，证明，可得,根据，得，，为最大值； （3）连接 ，过点C作于点E，可知点C是在以为圆周角的 的一段弧上，在 另一侧圆上取点G，连接，得，，是等边三角形，得，当点C在中点时， 最大，面积最大，此时直线 过点O，取中点F，连接 ，可得，由，得是等边三角形，可得，，，得，，得绿化区域 面积的最大值，． 【详解】解：（1）∵在四边形 中，， ∴点B、C、D在以点A为圆心，以 长为半径的圆上， ∵， ∴； 故答案为：； （2）当点P位于的中点时，最大， ∵， ∴直线过点O， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）解：连接 ，过点C作于点E， ∵， ∴点C是在以为圆周角的圆弧上， 设圆心为O，在 另一侧圆上取点G，连接， 则， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 由（2）知，当点C在中点时， 最大，面积最大，此时直线 过点O， 取中点F，连接 ， ∵， ∴， ∵ ,∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 故绿化区域 面积的最大值为． 【点睛】本题考查了圆与三角形综合．熟练掌握圆周角定理，垂径定理推论，圆内接四边形性质，等边三角形判定和性质，含30度的直角三角形性质，勾股定理，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 交大附中航天学校2025—2026学年第二学期 开学诊断初三数学试题 本试题共7页，三道大题．考试时长120分钟，试卷满分120分． 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 中国空间站位于距离地面约的太空环境中．由于没有大气层保护，在太阳光线直射下，空间站表面温度可高于零上，其背阳面温度可低于零下．若零上记作，则零下记作（　　） A. B. C. D. 2. 如图，物体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在平行四边形 中，过D 作于 点E，若，，则 的长为（ ） A. B. 3 C. D. 5. 如图，已知 中，点D，E分别是边 的中点，若 的面积等于12，则的面积等于（ ）． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 6. 将直线向上平移个单位长度后与直线交于点，则方程的解为（ ） A. B. C. D. 7. 如图1，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图2，筒车 与水面分别交于点，，筒车上均匀分布着若干盛水筒，点 表示筒车的一个盛水筒，是 的直径，连接， ，点 在的延长线上．若，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知点，点都在关于x的函数的图象上．若点A始终在B右侧，则n的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 计算：____________． 10. 苯分子的环状结构是由德国化学家凯库勒提出的．发现苯分子中的6个碳原子与6个氢原子均在同一平面，且所有碳碳键的键长都相等（如图1），组成了一个完美的正六边形如图2，则的度数为______． 11. 如图，将周长为17的 沿 平移得到．平移后，如果四边形的周长是21，那么平移的距离是________． 12. 如图，在 中，，D为 上一点，连接 ，过点D作于点E．若E为的中点， ，的周长为14，则 的长为______． 13. 如图，点A在反比例函数的图象上，轴于点B，C为x轴正半轴上一点，将 绕点A旋转得到，点C的对应点D恰好落在该函数图象上．若的面积为6，则k的值为___________． 14. 如图， 中，，， 、 为对角线 边上两个动点（不与点、 重合），连接 、．若，则的最小值为______________． 三、解答题（共12小题，共78分） 15. 计算：． 16. 解不等式组：． 17. 解方程：． 18. 如图，四边形 是矩形，请在矩形 内找一点 ，使，．要求：尺规作图，不写作法，保留痕迹． 19. 如图，在菱形 中，点E是边上一点，延长至点F，使，连接 、．求证：． 20. 如图，可以自由转动的转盘被它的两条直径分成了四个分别标有数字的扇形区域，其中标有数字“1”的扇形的圆心角为．转动转盘，待转盘自动停止后，指针指向一个扇形的内部，则该扇形内的数字即为转出的数字，此时，称为转动转盘一次（若指针指向两个扇形的交线，则不计转动次数，重新转动转盘，直到指针指向一个扇形的内部为止）． （1）转动转盘一次，则转出的数字是的概率为______； （2）转动转盘两次，用树状图或列表法求这两次分别转出的数字之和为正数的概率． 21. 某地风力资源丰富，矗立着许多风力发电机，微风拂过时，风叶轻盈转动，将风能转换成电能，默默造福千家万户．该地某中学初三数学兴趣小组计划实地测量风叶的长度．如图，已知三片风叶两两所成的角为，当其中一片风叶 与塔干 叠合时，在离塔底D水平距离为60米的E处，测得塔顶部O的仰角，叶片A处的仰角，求风叶的长度．（结果保留根号） 22. 小佳所在的宿舍、食堂及图书馆可以近似看作在同一直线上．周末，小佳从宿舍出发，先去食堂吃早餐，然后匀速到图书馆借书，最后又匀速返回了宿舍．已知小佳离宿舍的距离y（）与离开宿舍的时间x（）之间的函数图象如图所示： （1）求小佳从食堂前往图书馆的过程中，y关于x的函数表达式； （2）当小佳离宿舍的距离为时，求她离开宿舍的时间． 23. 2025年4月24日“中国航天日”的主题是“海上生明月，九天揽星河”，这是自2016年以来的第十个“中国航天日”．为了弘扬航天精神，某校开展了航天知识竞答活动，学校随机抽取了部分学生的成绩进行整理，将成绩（单位：分）分成五组：．；．； ．； ．； ．．下面给出部分信息：： 组的数据为70，71，72，72，72，74，75，76，76，77，77，79． ：绘制了如图所示的不完整的频数分布直方图和扇形统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）请补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，组所在扇形的圆心角度数是 ；随机抽取的这部分学生的成绩的中位数是 分； （3）该校要对成绩在 组的学生进行奖励，按成绩从高到低设一、二等奖，并且一、二等奖的人数比例为，请估计该校1500名学生中获得一等奖的学生人数． 24. 如图，在 中，以为直径的 交 于点 ， 是 的切线，且 ，垂足为 ，延长交 于点 ． （1）求证：； （2）若，求 的长． 25. 我们常见的炒菜锅和锅盖都是抛物线面，经过锅心和盖心的纵断面是两段抛物线组合而成的封闭图形，建立如图所示的平面直角坐标系；把锅纵断面的抛物线记为把锅盖纵断面的抛物线记为为锅口直径（锅口直径与锅盖直径视为相同）， 为锅深，锅盖高． （1）求抛物线的解析式； （2）如果将一个底面直径为，高度为的圆柱形保温桶竖直放入炒菜锅内蒸食物，锅盖能否正常盖上？请说明理由． 26. 问题提出 （1）如图①，在四边形 中，，若，则的度数为______； 问题探究 （2）如图②，在半径为2的扇形中，，P是上的一点，过点P作于点Q，求线段长的最大值； 问题解决 （3）某市进行绿化改造，美化生态环境，如图③，四边形 是该市绿化工程要打造的一片绿化区域，其中，，，，并计划在这片区域内种植绿植和花卉，要求此区域的面积尽可能大，求绿化区域 面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $