6.3.1正弦定理（教学课件）高一数学沪教版必修第二册

第六章 三角 6.3 解三角形 6.3.1 正弦定理 学 习 目 标 1 2 3 掌握三角形面积公式 的推导与应用； 理解正弦定理的推导过程，掌握基本形式和完整形式 ； 经历实际问题→数学问题→探究边角关系→推导定理→应用定理的完整过程，提升数学抽象能力、逻辑推理能力、数学运算能力和数学建模能力. 新课引入 林场有 两个观测点，的正东方向 m 处， 处观测到 处火情在北偏西 方向， 处观测到 处火情在北偏西 方向，林场工作人员需要快速确定火场 到 的距离，才能及时调配资源. 如何将这个实际问题转化为数学几何问题？ 在△ABC 中，已知：∠ 求解：的长度. 初中我们只会解直角三角形，斜三角形的边角之间有怎样的数量关系？ 这就是本节课要探究的核心内容——正弦定理. 新知探究 探究一：推导三角形面积公式 我们知道直角三角形的面积底 高。那么斜三角形的面积能否用“底 高”计算？ 设，， ① 当为锐角时，高在三角形内部，； ② 当为直角时，高与重合， ； ③ 当为钝角时，高在三角形外部， 新知探究 观察以上三种情况的高，可以发现：无论角是锐角、直角还是钝角，边上的高都满足. 以为底，底为，高为 则； 若以为底、为底，能否推导出类似的面积公式？ 即：三角形的面积等于任意两边与其夹角正弦值的乘积的一半 注：该公式适用于所有三角形 典例分析 例1 如图 ，在 中，已知 ，，AB = 10 km。求 AC 与 BC 的长。(结果精确到 0.1 km) 【分析】先求角，再用正弦定理列比例式，代入三角函数值计算边长。 解 ：在 中，由于 ，由正弦定理，得 从而 所以，AC 长约为 14.6 km，BC 长约为 22.4 km. 即时训练 1.在△ABC 中，已知,,,求ABC 的面积. 【分析】已知两边、及其夹角60°,直接代入面积公式计算. 解： 知识小结 三角形面积公式 三角形面积公式 文字描述：三角形的面积等于任意两边与其夹角正弦值的乘积的一半 该公式适用于所有三角形 新知探究 探究二：正弦定理基本形式 以上的最终形式就是正弦定理，正弦定理定量刻画了三角形 “大角对大边，小角对小边” 的几何性质. 既然三角形的三个面积表达式相等，即,能否借此推导出边与角的正弦值之间的固定关系？ 等式三边均有公因子,先消去，得 等式中均为三角形的边长，均不为 0 变形得： 将分子分母倒换，得到正弦定理基本形式： 即时训练 2.在 中，若 , , ，则 . 【分析】根据正弦定理即可求解. 【详解】根据正弦定理 可得： 解得 ，且 或 或 知识小结 正弦定理基本形式 正弦定理基本形式 正弦定理定量刻画了三角形 “大角对大边，小角对小边” 的几何性质. 探究三：正弦定理完整形式 分析几何性质，完成以上推导，得出正弦定理的完整形式. 新知探究 正弦定理中，的比值是一个定值吗？如果是，这个定值有什么几何意义？ 例：已知圆 是 的外接圆，其圆心为 ，直径为 试用 与角 、 及 的正弦来表示三角形三边的边长 、 及 。 ①由于三角形内角和等于 ，因此角 、 及 中至少有两个角是锐角. ②不妨设 为锐角，如图所示. ③过 作直径 ，并连接 . 新知探究 解：直径 所对的圆周角 弧 所对的圆周角 ，且 。 于是 即 这样，由正弦定理就得到 换言之 典例分析 例2 设 是 的外接圆的半径， 为 的面积. 求证: (1) ; (2) . 【分析】利用三角形面积公式 ，结合正弦定理的变形 ，代入后化简得到结论. 证明： (1) . (2) . 知识小结 正弦定理基本形式 正弦定理基本形式 正弦定理定量刻画了三角形 “大角对大边，小角对小边” 的几何性质. 题型1已知两角及一边，求三角形其余的边 1.在△ABC中，已知，，，求、的长（结果精确到0.01） 【分析】先由三角形内角和求，再用正弦定理分别求、 解： 题型2 已知两角及一边，求三角形的面积 2.在中，已知，，边（为的对边），求的面积。 【分析】先由三角形内角和求第三角，再用正弦定理求出任意一条未知边，最后代入三角形面积公式计算. 解：已知，，： ， 答案：的面积为。 题型3 正弦定理结合三角恒等变换，判断三角形的形状 3.在中，，且，判断的形状。 【分析】正弦定理角化边→余弦定理求角→结合角的关系判断形状。 解：由正弦定理得 ； ，故 ，； 化简 ，得 ，故 ，； 结论：△ABC为等边三角形。 题型3 正弦定理结合三角恒等变换，判断三角形的形状 4.在△ABC中，，判断△ABC的形状。 【分析】角的恒等变换（和角公式）→ 求角的关系→ 结合正弦定理判断形状。 解：转化 ，代入得 ； 化简得 ，故 ； 结论：△ABC为等腰三角形。 一起来看看这节课我们学到了些什么？ 点击此处，进入本节课的课堂总结 要点回顾 课堂总结 感谢聆听! 正弦定理 课堂小结 📚 知识点回顾 ⚠️ 易错点警示 💡 解题技巧 课堂引导 点击播放语音 核心知识梳理 正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，且该比值等于该三角形外接圆的直径。 a sin A = b sin B = c sin C = 2R （其中 R 为外接圆半径） 三角形面积公式 S = 1 2 ab sin C S = 1 2 bc sin A S = 1 2 ac sin B 图示：标准锐角三角形及其边角关系 💡 向量表示法回顾 在向量法中，三角形面积也可表示为： S = 1 2 |a| |b| sin C 常见陷阱与易错点 ⚠️ 忽略“多解”情况 已知两边和其中一边的对角（如已知 a, b, A）解三角形时，可能存在一解、两解或无解的情况。 对策： 务必通过作图或比较 a 与 b sin A 的大小关系来判断。 🚫 忽视隐含条件“大边对大角” 在求出正弦值后，往往需要利用“大边对大角”的性质来取舍角度，特别是当 sin A > 0 时，角 A 可能是锐角或钝角。 📐 混淆正弦定理的适用范围 正弦定理适用于任意三角形，但在处理“已知三边求角”时，通常优先使用余弦定理，强行用正弦定理可能导致计算繁琐。 解题模型与技巧 🔄 边角互化策略 当等式中同时出现边和角时，统一转化为边或统一转化为角。 • 化边： a = 2R sin A • 化角： sin A = a2R 🎯 三角形面积最值问题 利用公式 S = 12 ab sin C 当 a, b 定长时，C = 90° 时面积最大； 当 C 定角时，利用基本不等式求 ab 的最大值。 ⭕ 辅助圆模型（数形结合） 对于已知一角及其对边（如 A, a）的问题，可以构造三角形的外接圆。利用 a = 2R sin A 确定外接圆半径，将代数问题转化为几何图形中动点的轨迹问题，直观判断解的个数或取值范围。 $