6.2.3三角变换的应用（教学课件）高一数学沪教版必修第二册

第六章 三角 6.2常用三角公式 6.2.3三角变换的应用 学 习 目 标 1 2 3 精准掌握半角公式、积化和差、和差化积公式的推导过程与核心形式，能准确识记公式. 会根据角的象限判断半角公式的 号，能结合表达式特征合理选择公式进行三角恒等式证明、表达式化简. 经历公式探究全过程，提升逻辑推理能力、代数变形能力和公式迁移能力. 新课引入 在前面的课程中，我们已经学习了二倍角的余弦公式（三种形式）以及两角和与差的正弦、余弦公式，你还记得其具体内容吗？ ①两角和与差的正弦公式： ②两角和与差的余弦公式： ③余弦二倍角公式： 二倍角余弦公式可实现 “单角与二倍角” 的互化.那如果已知二倍角的三角函数值，能否表示出单角的三角函数值？ 本节课将以两角和差公式、二倍角公式为基础，通过恒等变换推导新的三角公式. 新知探究 探究一：半角公式 结合所学知识，想想如何用分别表示，及？ 【分析】利用余弦的二倍角公式 ①对进行变形 ②先求出和 ③利用同角三角函数关系得到. 按照以上思路，下面我们一起来推导半角公式吧！ 新知探究 因为，所以 从而. ， 对以上式子左右两边进行开方，得 以上式子分别是半角的正弦、余弦、正切公式 注： 号由 所在的象限决定，与 的象限无关。 即时训练 1.设，化简的结果是______. 【分析】由二倍角的余弦公式结合角的范围即可化简. 【详解】 因为，所以， 从而 典例分析 例1 证明：． 【分析】将正切化为正弦与余弦的比，再利用二倍角公式对分子分母进行变形化简，从而证明半角正切公式。 证明：． 这样，半角的正切公式又可以表示为 半角的正切公式还可以表示为 例如，． 知识小结 半角的正弦、余弦、正切公式 ①半角的正弦公式 ②半角的余弦公式 ③半角的正切公式 号由 所在的象限决定，与 的象限无关 新知探究 探究二：积化和差公式 按照以上思路，下面我们一起来证明思考中的式子吧！ 结合所学知识，证明： . ① 核心思路:通过将两角和与差的正弦公式相加，消去交叉项后整理，即可证明积化和差公式. 新知探究 将上述两式相加，得 即 类似地，利用两角和与差的正弦、余弦公式，就可以得到下面一组公式： 即时训练 2.利用积化和差公式化简： ，并求当时的值。 【分析】观察式子结构，利用积化和差公式化简即可. 代入 求值： 解： 原式 知识小结 积化和差公式 ① ② ③ ④ 新知探究 探究三：和差化积公式 积化和差是将乘积形式转化为和差形式，那反过来，能否将和差形式转化为乘积形式？ 结合积化和差公式，证明：． ①利用积化和差公式 ②通过变量代换 ,,对公式进行变形 ③推导出和差化积公式 通过变量替换，将和差中的两个角转化为积化和差中的，下面我们一起来证明吧！ 新知探究 即 ． 类似地，我们可以得到下面一组公式： 它们统称为和差化积公式． 证明：由积化和差公式 ， 在其中取 ，，就有 即时训练 3.利用和差化积公式化简：，并证明其值为 【分析】先对前两项运用正弦和差化积公式化简，再与第三项合并. 解： 原式 ，因 ，故： 结论： 知识小结 和差化积公式 ① ② ③ ④ 题型1 给值求值 1.已知 ，且 ，求 、 的值。 【分析】先确定 的象限（关键易错点），再代入半角公式计算 . 解：因 ，两边同除以2得 ，故 ， 2.求的值. 【分析】先将正切、余切转化为正弦和余弦的比值，通分后利用二倍角公式变形，再结合半角公式表示、． 解：． 因， 故原式． 题型1 给值求值 题型3 三角表达式化简 3.化简：. 【分析】将 、 用二倍角公式展开，再提取公因式，结合半角公式化简。 解：分子： ； ； 约分（，即 ） 得原式 。 题型3 恒等式证明 4.证明：. 【分析】 利用余弦和角公式推导二倍角公式，再通过积化和差公式验证. 证明： 由积化和差公式 令 ，则： 化简右边：（因 ）. 左边为 ，故 ，原等式成立. 一起来看看这节课我们学到了些什么？ 点击此处，进入本节课的课堂总结 要点回顾 课堂总结 感谢聆听! 三角变换的应用 课堂小结 01 知识点回顾 02 易错点警示 03 解题技巧 沪教版 · 必修二 知识点回顾 半角公式 正弦与余弦的半角： sin2 α 2 = 1 - cosα 2 cos2 α 2 = 1 + cosα 2 正切的半角： tan α 2 = 1 - cosα sinα = sinα 1 + cosα * 核心思想：降幂扩角 积化和差与和差化积 积化和差： cosαcosβ = 1 2 [ cos(α + β) + cos(α - β) ] 和差化积： sinα + sinβ = 2sin α + β 2 cos α - β 2 关键点： 积化和差是将乘积形式转化为和差形式，常用于积分计算； 和差化积是将和差形式转化为乘积形式，常用于解方程或判断符号。 易错点警示 1. 半角公式的符号选择 在使用 sinα2 = ±√1 - cosα2 时， 根号前的正负号由 α/2 所在的象限 决定，而不是由 α 所在的象限直接决定。 陷阱： 已知 α 是第三象限角，直接认为 α/2 也是第三象限角。 纠正： α/2 可能在第二或第四象限。 2. 积化和差中的系数问题 公式 sinαsinβ = - 1 2 [cos(α + β) - cos(α - β)] 中， 极易漏掉前面的负号。 3. 辅助角公式的运用 形如 asinx + bcosx 提取系数 √a2 + b2 后， 引入的辅助角 φ 满足 tanφ = b a ， 需注意点 (a, b) 所在的象限。 解题技巧 1. 变角技巧 在三角变换中，观察角之间的关系是解题的关键。常见的变角策略包括： 配凑： α = (α + β) - β 倍半： α = 2 · (α/2) 互余/互补： α + β = π/2 或 π 2. "1" 的妙用 常数 "1" 在三角函数中可以进行多种代换，从而简化式子： 平方关系： 1 = sin2α + cos2α 正切关系： 1 = tan(π/4) 升幂： 1 + cosα = 2cos2(α/2) 3. 结构分析法 遇到复杂式子时，先观察结构特征： 齐次式 分子分母关于 sin, cos 的次数相同 → 切化弦 或 弦化切 对称式 含有 sinx + cosx 和 sinxcosx → 令 t = sinx + cosx $