6.2.2-6.2.3 排列数的计算与性质（教学课件）数学沪教版选择性必修第二册

该高中数学课件聚焦排列数的计算与性质，涵盖定义、公式及有限制条件的排列应用题解法。以“上海交大校庆29位名人排列顺序”问题导入，衔接计数原理，搭建从概念到公式推导再到应用的学习支架。 其亮点在于通过现实情境培养数学眼光，引导学生自主推导公式发展数学思维，归纳捆绑法等解题方法强化数学语言表达。含丰富实例如排队问题，课堂小结方法表格清晰，助力学生提升逻辑推理与应用能力，为教师提供系统教学资源。

6.2 排列 第六章 计数原理 6.2.2-6.2.3 排列数的计算与性质 沪教版选择性必修第二册·高二 学 习 目 标 1 2 掌握排列数公式及其变式,并能运用排列数公式熟练地进行相关计算. 理解排列数的概念，并能推导出排列数的性质. 3 掌握有限制条件的排列应用题的一些常用方法,并能运用排列的相关知识解一些简单的排列应用题. 1 章前导读 1 章前导读 在上海交通大学建校120年周年之际，有29位曾是交大学子的名人大家，要在庆祝会上逐一介绍，那么这29位大家的排列顺序有多少种？这样的排列顺序问题能否用一个公式来表示呢？ 2 新知讲授 排列数的定义 从n个互不相同的元素中，取出m（m≤n)个不同元素的所有排列的个数，叫做从n个元素中取出m个元素的一个排列数.用符号 取出的元素个数 可供选择的元素个数 思考1：排列与排列数有什么区别？ “排列”和“排列数”是两个不同的概念，一个排列是指完成的具体的一件事，其过程要先取后排，它不是一个数；而排列数是指完成具体的一件事的所有方法的种数，即所有排列的个数，它是一个数． 2 新知探究 1 如何用排列数表示从3个不同的元素中任取2个元素的所有排列 的个数？ 从甲、乙、丙3名学生中任选2名，一名担任正班长，另一名担任副班长共有多少种不同的排法？ 2 3×2=6 3 举例分析 从10个同学中，选出3个人担任正副班长与团支书，共有多少种不同的排法？ 例1 10种 9种 10×9×8=720种 正班长 副班长 团支书 8种 思考2：如何计算？ 3 举例分析 n种 n-1种 n-2种 思考2：如何计算？ 1号位 2号位 3号位 ...... m号位 n-m+1种 4 新知讲授 其中m与n均为正整数，且m≤n. 排列数公式 全排列 把n个不同的元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列，全排列数为 ＝n！ 2 新知探究 思考3：如何计算全排列公式？ 令m=n 读法：n的阶乘 n！ 2 新知探究 思考4：如何用阶乘计算排列数公式？ 4 新知讲授 排列数公式 规定：0！＝ 1 . 4 新知讲授 利用计算器求排列数 排列数符号在计算器中用nPr表示. 例如：求的值. 在计算器上依次按“10”---“SHIFT”--- “×”---“4”---“=”,计算器就显示如下结果： 5 举例应用 例1 例2 　(1)用排列数表示(55－n)(56－n)…(69－n)(n∈N*且，n<55)； (1)解　因为55－n，56－n，…，69－n中的最大数为69－n，且共有69－n－(55－n)＋1＝15(个)元素， 5 举例应用 例1 5 举例应用 例1 例3 　三个女生和五个男生排成一排． (1)如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？ (2)如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？ (3)如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？ (4)如果两端不能都排女生，可有多少种不同的排法？ 5 举例应用 例1 例3 　三个女生和五个男生排成一排． (2)如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？ (3)如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？ (4)如果两端不能都排女生，可有多少种不同的排法？ 5 举例应用 例1 例3 　三个女生和五个男生排成一排． (3)如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？ (4)如果两端不能都排女生，可有多少种不同的排法？ 5 举例应用 例1 例3 　三个女生和五个男生排成一排． (3)如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？ (4)如果两端不能都排女生，可有多少种不同的排法？ 5 举例应用 例1 例3 　三个女生和五个男生排成一排． (4)如果两端不能都排女生，可有多少种不同的排法？ 5 举例应用 例1 规律方法　排队问题的相邻、不相邻问题的解题策略 排队问题除涉及特殊元素、特殊位置外，还往往涉及相邻、不相邻等问题． (1)对于相邻问题，可采用“捆绑法”解决，即将相邻的元素视为一个整体进行排列． (2)对于不相邻问题，可采用“插空法”解决，即先排其余的元素，再将不相邻的元素插入空中. 5 举例应用 例1 例4 五个人排成一排，求满足下列条件的不同排列各有多少种． (1)A，B，C三人左中右顺序不变(不一定相邻)； (2)A在B的左边且C在D的右边(可以不相邻)． 6 巩固练习 1.从5本不同的书中选两本送给2名同学,每人一本,则不同的送书方法的种数为(　　) A.5 B.10 C.20 D.60 解:此问题相当于从5个不同元素中取出2个元素的排列数,即共有 =20(种)不同的送书方法. 答案:C 2.考生甲填报某高校专业意向，打算从5个专业中挑选3个，分别作为第一、第二、第三志愿，则不同的填法有(　　) A．10种 B．60种 C．125种 D．243种 6 巩固练习 A.(20-m)(21-m)(22-m)(23-m)(24-m)(25-m) B.(20-m)(19-m)(18-m)(17-m)(16-m) C.(20-m)(19-m)(18-m)(17-m)(16-m)(15-m) D.(19-m)(18-m)(17-m)(16-m)(15-m) 解析: 是指从20-m开始依次连续的6个数相乘,即(20-m)(19-m)(18-m)(17-m)(16-m)(15-m). 答案:C 6 巩固练习 4.某次演出共有6位演员参加,规定甲只能排在第一个或最后一个出场,乙和丙必须排在相邻的顺序出场,不同的演出顺序共有(　　) A.24种 B.144种 C.48种 D.96种 6 巩固练习 5.有8种不同的菜种,任选4种种在不同土质的4块地里,有　　　　　种不同的种法.  解析:将4块不同土质的地看作4个不同的位置,从8种不同的菜种中任选4种种在4块不同土质的地里,则本题即为从8个不同元素中任选4个元素的排列问题,所以不同的种法共有 =8×7×6×5=1 680(种). 答案:1 680 6 巩固练习 6.用1、2、3、4、5、6、7这7个数字组成没有重复数字的四位数. (1)这些四位数中偶数有多少个?能被5整除的有多少个? (2)这些四位数中大于6 500的有多少个? 课堂小结 排列数的定义 从n个互不相同的元素中，取出m（m≤n)个不同元素的所有排列的个数，叫做从n个元素中取出m个元素的一个排列数.用符号 全排列 ＝n！ 规定：0！＝1. 课堂小结 方法归纳 直接法 把符合条件的排列数直接列式计算 优先法 优先安排特殊元素或特殊位置 捆绑法 把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列 插空法 对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中 定序问题除法处理 对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列 间接法 正难则反，等价转化的方法 7 补充强化练 1.某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任挂1面、2面或3面，并且不同的顺序表示不同的信号，则一共可以表示____种不同的信号. 15 7 补充强化练 2.某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天安排1人，每人值班1天.若7位员工中的甲、乙被安排在相邻两天值班，丙不在10月1日值班，丁不在10月7日值班，则不同的安排方案共有______种. 1 008 因此，满足题意的方案共有1 440－2×240＋48＝1 008(种). 7 补充强化练 3.一条铁路有n个车站，为适应客运需要，新增了m个车站，且知m＞1，客运车票增加了62种，问原有多少个车站？现在有多少个车站？ 即(n＋m)(n＋m－1)－n(n－1)＝62， 所以m(2n＋m－1)＝62＝2×31， 因为m＜2n＋m－1，且n≥2，m，n∈N*， 解得m＝2，n＝15， 故原有15个车站，现有17个车站. 感谢聆听! 沪教版选择性必修第二册·高二 所以(55－n)(56－n)…(69－n)＝Peq \o\al(15,69－n). (2)计算. (2)解： ＝eq \f(2×8×7×6×5×4＋7×8×7×6×5,8×7×6×5×4×3×2×1－9×8×7×6×5) ＝eq \f(8×7×6×5×（8＋7）,8×7×6×5×（24－9）)＝1. (3)证明Peq \o\al(m,n＋1)－Peq \o\al(m,n)＝mPeq \o\al(m－1,n). (3)证明　法一　因为Peq \o\al(m,n＋1)－Peq \o\al(m,n) ＝eq \f(（n＋1）！,（n＋1－m）！)－eq \f(n！,（n－m）！) ＝eq \f(n！,（n－m）！)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n＋1,n＋1－m)－1)) ＝eq \f(n！,（n－m）！)·eq \f(m,n＋1－m) ＝m·eq \f(n！,（n＋1－m）！)＝mPeq \o\al(m－1,n)， 所以Peq \o\al(m,n＋1)－Peq \o\al(m,n)＝mPeq \o\al(m－1,n). 法二　Peq \o\al(m,n＋1)表示从n＋1个元素中 取出m个元素的排列个数， 其中不含元素a1的有Peq \o\al(m,n)个． 含有a1的可这样进行排列： 先排a1，有m种排法，再从另 外n个元素中取出m－1个元素排 在剩下的m－1个位置上， 有Peq \o\al(m－1,n)种排法． 故Peq \o\al(m,n＋1)＝mPeq \o\al(m－1,n)＋Peq \o\al(m,n)， 所以mPeq \o\al(m－1,n)＝Peq \o\al(m,n＋1)－Peq \o\al(m,n). 解　(1)(捆绑法)因为三个女生必须排在一起，所以可以先把她们看成一个整体，这样同五个男生合在一起共有六个元素，排成一排有Peq \o\al(6,6)种不同的排法．对于其中的每一种排法，三个女生之间又有Peq \o\al(3,3)种不同的排法，因此共有Peq \o\al(6,6)·Peq \o\al(3,3)＝4 320(种)不同的排法． (2)(插空法)要保证女生全分开，可先把五个男生排好，每两个相邻的男生之间留出一个空位，这样共有四个空位，加上两边男生外侧的两个位置，共有六个位置，再把三个女生插入这六个位置中，只要保证每个位置至多插入一个女生，就能保证任意两个女生都不相邻．由于五个男生排成一排有Peq \o\al(5,5)种不同排法，对于其中任意一种排法，从上述六个位置中选出三个让三个女生插入都有Peq \o\al(3,6)种排法，因此共有Peq \o\al(5,5)·Peq \o\al(3,6)＝14 400(种)不同的排法． (3)法一　(位置分析法)因为两端都不能排女生，所以两端只能挑选五个男生中的两个，有Peq \o\al(2,5)种不同的排法，对于其中的任意一种不同的排法，其余六个位置都有Peq \o\al(6,6)种不同的排法，所以共有Peq \o\al(2,5)·Peq \o\al(6,6)＝14 400(种)不同的排法． 法二　(元素分析法)从中间六个位置挑选三个让三个女生排入，有Peq \o\al(3,6)种不同的排法，对于其中的任意一种排法，其余五个位置又都有Peq \o\al(5,5)种不同的排法，所以共有Peq \o\al(3,6)·Peq \o\al(5,5)＝ 14 400(种)不同的排法． 法三　(间接法)三个女生和五个男生排成一排共有Peq \o\al(8,8)种不同的排法，从中扣除女生排在首位的Peq \o\al(1,3)·Peq \o\al(7,7)种排法和女生排在末位的Peq \o\al(1,3)·Peq \o\al(7,7)种排法，但两端都是女生的排法在扣除女生排在首位的情况时被扣去一次，在扣除女生排在末位的情况时又被扣去一次，所以还需加回来一次，由于两端都是女生有Peq \o\al(2,3)·Peq \o\al(6,6)种不同的排法，所以共有Peq \o\al(8,8)－2Peq \o\al(1,3)·Peq \o\al(7,7)＋Peq \o\al(2,3)·Peq \o\al(6,6)＝14 400(种)不同的排法． (4)法一　(位置分析法)因为只要求两端不都排女生，所以如果首位排了男生，那么末位就不再受条件限制了，这样可有Peq \o\al(1,5)·Peq \o\al(7,7)种不同的排法；如果首位排女生，有Peq \o\al(1,3)种排法，那么末位就只能排男生，这样可有Peq \o\al(1,3)·Peq \o\al(1,5)·Peq \o\al(6,6)种不同的排法，因此共有Peq \o\al(1,5)·Peq \o\al(7,7)＋Peq \o\al(1,3)·Peq \o\al(1,5)·Peq \o\al(6,6)＝36 000(种)不同的排法． 法二　(间接法)三个女生和五个男生排成一排共有Peq \o\al(8,8)种不同的排法，从中扣除两端都是女生的排法Peq \o\al(2,3)·Peq \o\al(6,6)种，就得到两端不都是女生的排法种数．因此共有Peq \o\al(8,8)－Peq \o\al(2,3)·Peq \o\al(6,6)＝36 000(种)不同的排法． 解　(1)首先五个人站成一排，共有Peq \o\al(5,5)种排法，其中A，B，C三人的全排列有Peq \o\al(3,3)种排法，而A，B，C从左到右的顺序只是其中一种，所以满足条件的排法共＝20(种)． (2)同(1)，不过此题中A和B，C和D被指定了顺序，则满足条件的排法共 ＝30(种)． 解析　依题意，满足题意的不同的填法共有Peq \o\al(3,5)＝60(种)，选B. 3.设m∈N*,且m<15,则=(　　) 解析:第1步,先安排甲有种不同的演出顺序; 第2步,安排乙和丙有种不同的演出顺序; 第3步,安排剩余的三个演员有种不同的演出顺序. 根据分步计数原理,共有=96(种)不同的演出顺序. 故选D. 解:(1)偶数的个位数只能是2、4、6,有种排法, 其他位上有种排法,由分步乘法计数原理, 知共有四位偶数=360(个); 能被5整除的数个位必须是5,故有=120(个). (2)最高位上是7时大于6 500,有种, 最高位上是6时,百位上只能是7或5,故有2×种. 由分类加法计数原理知,这些四位数中大于6 500的共有+2×=160(个). 解析　将三面旗看作3个元素，“表示的信号”则是表示的3个元素中每次取出1个、2个或3个元素排列起来，分三类完成： 第1类，挂1面旗表示信号，有P种不同方法； 第2类，挂2面旗表示信号，有P种不同方法； 第3类，挂3面旗表示信号，有P种不同方法. 根据分类加法计数原理，可以表示的信号共有 P＋P＋P＝3＋3×2＋3×2×1＝15(种). 解析　由题意知，满足甲、乙两人被安排在相邻两天值班的方案共有PP＝1 440(种)， 其中满足甲、乙两人被安排在相邻两天值班且丙在10月1日值班的方案共有PP＝240(种)， 满足甲、乙两人被安排在相邻两天值班且丁在10月7日值班的方案共有PP＝240(种)， 满足甲、乙两人安排在相邻两天值班且丙在10月1日值班、丁在10月7日值班的方案共有PP＝48(种). 解　由题意可知，原有车票的种数是P种， 现有车票的种数是P种， 所以P－P＝62， 所以 $