专题01 三角恒等变换的综合应用大题（35题）（举一反三专项训练）高一数学苏教版必修第二册

专题01 三角恒等变换的综合应用大题（35题）（举一反三专项训练） 【苏教版】 姓名：___________班级：___________考号：___________ 题型一 用和、差角的三角函数公式化简、求值 1．（24-25高一下·陕西咸阳·期末）已知． (1)求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由同角三角函数基本关系可得，然后由两角差的余弦公式可得答案； （2）由同角三角函数基本关系可得，然后由两角差的正弦公式可得答案. 【解答过程】（1）因，则. 从而； （2）因，则. 从而. 2．（24-25高一下·江西宜春·期末）已知，且. (1)求的值； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用诱导公式和同角三角函数关系得到，，利用余弦和角公式得到答案； （2）先求出，利用正切和角公式得到方程，求出. 【解答过程】（1）因为，所以， 又，所以， 所以. （2）由（1）可知， 因为，所以， 即，解得. 3．（24-25高一下·北京西城·期中）已知，且. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据两角差的正弦公式计算即可； （2）根据两角和的正切公式计算即可. 【解答过程】（1）因为，且，所以， 根据两角差的正弦公式得， . （2）因为，，所以， 根据两角和的正切公式得， . 4．（24-25高一下·四川内江·期中）已知，， (1)求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据给定条件，利用和差角的正弦公式，结合同角公式求解即得. （2）由（1）的结论，利用同角公式的平方关系及和角的余弦公式求解. 【解答过程】（1）由，得， 由，得，即， 联立解得，， 所以. （2）由，得， 由（1）得，， 所以 . 5．（24-25高一下·广东汕尾·期末）已知，，，. (1)分别求，，的值； (2)求的值. 【答案】(1)，， (2) 【解题思路】（1）利用两角和与差的余弦公式展开解方程组即可求解； （2）利用同角的平方关系求得，利用商数关系可求，展开运算即可. 【解答过程】（1）因为，① ，② 由②①，得，由①②，得，故. （2）因为，，所以， 因为，所以，故， 原式， . 题型二 利用二倍角公式化简、求值 6．（24-25高一下·江苏南通·期中）已知 (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1)； (2). 【解题思路】（1）根据同角的三角函数关系可求出，利用二倍角公式即可求得答案； （2）利用二倍角正切公式以及两角和的正切公式，即可求得答案. 【解答过程】（1）由题意知，故， 故； （2）由于，且，则， 结合，可得， 结合（1）可得， 而， 故， 由于，故. 7．（24-25高一下·北京昌平·期末）在平面直角坐标系中，角的始边与轴的非负半轴重合，终边经过点. (1)求及的值； (2)求的值. 【答案】(1)； (2) 【解题思路】（1）设角的终边经过点，先求出，再根据三角函数的定义求出的值，再根据二倍角的正切公式即可求出的值； （2）先根据三角函数的定义求出的值，再将利用二倍角公式及诱导公式变形，再将的值代入计算即可. 【解答过程】（1）设角的终边经过点，则， 所以由三角函数的定义可知， 所以； （2）由（1）根据三角函数的定义可知， 所以 . 8．（24-25高一下·安徽·月考）已知，，，. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）转化为齐次式即可求解； （2）根据，结合两角和差的正切公式即可求解. 【解答过程】（1）. （2）， ， 因为，，所以， 所以. 9．（24-25高一下·广东肇庆·期末）已知，，其中，． (1)求； (2)求； (3)求． 【答案】(1)； (2)； (3). 【解题思路】（1）由题设及和角正弦公式可得，两侧平方并应用平方关系、二倍角正弦公式即可得； （2）应用平方关系求得，再由差角余弦公式即可得； （3）由已知及二倍角余弦公式得，结合角的范围即可求值. 【解答过程】（1）由题意知，则， ，则． （2）由题意，则． ， ． （3）， 由题意知，则． 10．（24-25高一下·四川成都·月考）已知，且. (1)求的值 (2)求的值； (3)求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）由同角的三角函数关系结合二倍角的正切公式可得； （2）由同角的三角函数关系结合两角差的正弦公式可得； （3）由两角差的余弦结合二倍角的正余弦和同角的三角函数关系可得. 【解答过程】（1）因为，所以，所以， 所以. （2），，所以，所以， 又， 所以. （3）由， 因为，， 又，则， 所以. 题型三 辅助角公式的应用 11．（24-25高一下·北京石景山·期末）已知函数． (1)求的最小正周期及单调递增区间； (2)当时，的取值范围为，求m的最大值． 【答案】(1)，函数的单调递增区间为， (2) 【解题思路】（1）利用辅助角公式可得，则可求其最小正周期，利用整体代换法可求其单调递增区间； （2）利用整体代换法求出，由的取值范围为，从而可求解. 【解答过程】（1）由， 则最小正周期为， 令，因为的单调递增区间是，， 所以，，即，， 解得，， 所以函数的单调递增区间为，； （2）当时，， 令，则，所以的取值范围为， 由的性质可知，，解得， 所以的最大值为． 12．（24-25高一下·四川成都·期中）已知函数. (1)求的最小正周期和单调递增区间； (2)若，求的最小值及取得最小值时对应的的取值. 【答案】(1)；，. (2)；. 【解题思路】（1）利用三角恒等变换和辅助角公式化简，再利用周期公式和整体代换法即可求解； （2）利用（1）的结论，根据整体代换法求出最小值及取得最小值时对应的的取值即可. 【解答过程】（1）因为， 由，则的周期为， 令，解得， 所以的单调减区间为，. （2）由（1）知 由，得， 当，即时，单调递增； 当，即时，单调递减； ，， 所以， 即在处取得最小值. 13．（24-25高一下·山西·月考）已知函数． (1)求的单调递增区间； (2)把的图象向右平移后得到的图象，求的最大值及取最大值时的取值集合． 【答案】(1)，； (2)最大值为2，，. 【解题思路】（1）应用辅助角公式化简函数式，结合正弦型函数的性质求单调增区间； （2）根据图象平移得，结合余弦函数的性质求最大值及其对应的自变量. 【解答过程】（1）由， 由，，得，， 所以的单调递增区间为，； （2）的图象右移得，所以的最大值为2， 由，得，解得，， 所以取最大值时的集合为，. 14．（24-25高一下·江苏镇江·月考）已知. (1)求函数的最小正周期； (2)若，，求； (3)若对于任意，恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3). 【解题思路】（1）应用二倍角公式及辅助角公式化简函数结合周期公式计算求解； （2）应用角的范围结合同角三角函数关系，根据诱导公式计算可解； （3）把恒成立问题转化为恒成立，再根据函数单调性计算得出参数范围. 【解答过程】（1）由题意可得 可得函数的最小正周期. （2）因为，. 所以，所以， 所以 （3）由（1）知，函数， 可得， 因为对于任意，恒成立， 即对于任意均有恒成立， 即对于任意均有恒成立， 又因为，因为，可得， 又因为单调递增且大于0，可得在上单调递减， 可得，则， 所以的取值范围为. 15．（24-25高一下·广东佛山·期中）设函数； (1)写出函数的单调递增区间； (2)若，求函数的最值及对应的的值； (3)若不等式在恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)最小值为，对应，最大值为0，对应 (3). 【解题思路】（1）利二倍角公式及辅助角公式化简，再由正弦函数单调性求出单调递增区间. （2）根据的范围求出相位的范围，再利用正弦函数的最值及取得最值的条件求解. （3）等价变形不等式，并借助（2）的结论求得的范围. 【解答过程】（1）依题意，， 由，得， 所以的单调递增区间为. （2）由（1）知，当时，， 则当，即时，； 当，即时，， 所以函数的最小值为，对应，最大值为0，对应. （3）不等式， 由（2）知，当时，，， 依题意，当时，恒成立， 因此且，解得， 所以的取值范围为. 题型四 给值求值型、给值求角型问题 16．（24-25高一下·广东佛山·月考）已知，其中 (1)求； (2)求． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据，然后利用两角差的余弦代入即可． （2）根据，利用倍角公式算出代入即可求解． 【解答过程】（1）由题意得： ，， ， （2），， ， . 17．（24-25高一下·江苏连云港·期中）已知，，且，. (1)的值； (2)的值. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）先根据求出，利用齐次化求值的处理方法转化为即可求解； （2）结合（1）的结果，先缩小的范围，得到的范围，然后分别算出，的值进一步缩小的范围，然后结合其正弦值得出答案. 【解答过程】（1）根据两角差的正切公式，，解得， ； （2）注意到，则，，于是， 结合（1）结果，则， ，则，由可知. 于是， ， 故是第一象限角， ，，则， 于是. 18．（24-25高一下·江苏南通·期中）已知，，且，，求： (1)的值； (2)的值． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）先利用两角和的正切公式求出，再利用二倍角的正弦公式结合商数关系化弦为切即可得解； （2）先利用利用二倍角的余弦公式结合商数关系化弦为切求出，再利用两角差的正弦公式求出的正弦值，并求出的范围，即可得解. 【解答过程】（1）由， 解得， 所以； （2）， 由，，得， 所以 ， 因为，， 所以，所以， 又，， 所以，所以， 所以， 所以． 19．（24-25高一上·重庆·期末）已知，其中． (1)求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由题意可得，则，根据平方关系及商数关系求出，再求出即可得解； （2）由（1）可得，再利用二倍角公式求出，进而可求得，再根据两角和的余弦公式即可得解. 【解答过程】（1）因为，， 所以，所以， ， 所以， 所以； （2）由（1）得， 则， 因为，所以， 所以， 所以， 即，所以， ， 即， 所以. 20．（24-25高一下·江苏·月考）已知，. (1)求和的值； (2)若，为锐角，求的值； (3)若，为锐角，求角. 【答案】(1)， (2) (3) 【解题思路】（1）先利用同角基本关系式和的范围求，接着利用二倍角公式求； （2）先求，再利用得解； （3）利用二倍角正切公式得，再求，结合角的范围得解. 【解答过程】（1）因为，且所以， 又，所以， 因此，； （2）因为，，所以， 又，则， 则 ， 则， 所以； （3）因为，，则，且， 则， 又，所以. 题型五 三角恒等变换的化简问题 21．（24-25高一下·内蒙古包头·期末）． (1)求的最小正周期和单调递增区间； (2)求在区间上的最大值和最小值． 【答案】(1)，单调递增区间为 (2)， 【解题思路】（1）利用三角恒等变换化简，根据周期公式可求得最小正周期，利用正弦函数的单调性即得； （2）由，得，利用正弦函数的单调性得解. 【解答过程】（1）， 故的最小正周期， 令，可得， 故的单调递增区间为. （2）当，， 故当时，即时，． 当时，即时，. 22．（24-25高一下·甘肃临夏·期末）已知函数． (1)求函数的图象的对称轴方程； (2)求函数的单调递增区间； (3)当时，求函数的值域． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）先利用三角恒等变换将函数化成正弦型函数，结合正弦函数的对称轴求解即得； （2）利用正弦函数的单调递增区间列不等式，求解即得； （3）先由给定区间求出整体角的范围，结合正弦函数的单调性即可求得函数的值域. 【解答过程】（1）因 ， 由，可得， 即函数的图象的对称轴方程为； （2）由，可得， 即函数的单调递增区间为； （3）因，当时，取， 因函数在上单调递增， 故的值域为. 23．（24-25高一下·四川泸州·期中）已知函数． (1)求函数的单调递增区间； (2)将函数的图象向右平移个单位，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在上有两个零点，求实数m的取值范围． 【答案】(1)； (2)． 【解题思路】（1）利用三角恒等变换将原函数化成正弦型函数，借助于正弦函数的单调性即可求得函数的递增区间； （2）利用三角函数平移伸缩变换求出，运用函数与方程的转化思想，结合正弦函数的图象性质即可求解． 【解答过程】（1）因， 令，解得， 函数的单调递增区间为； （2）将函数的图象向右平移个单位，可得的图象， 再将其图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，可得函数的图象， 若函数在上有两个零点， 则与在上有两个交点， 由，得，由，得， 所以结合正弦函数性质可得，在上单调递增，在上单调递减， 因为，，， 所以要使与在上有两个交点，只要， 故m的取值范围为． 24．（24-25高一下·安徽·月考）已知函数，. (1)求的解析式； (2)求的单调递减区间； (3)若且，求. 【答案】(1) (2)， (3) 【解题思路】（1）根据二倍角公式和辅助角公式，对函数进行三角恒等变换化简，再根据函数值，求出参数，写出函数解析式. （2）根据正弦函数单调区间，列出不等式，整体换元，求出函数的单调递减区间即可. （3）利用函数解析式，求出正弦函数值，根据同角三角函数关系，和两角和的余弦公式，求出余弦函数值. 【解答过程】（1）由题意得. 由，得，即， 得，又，， . （2）令，得， 的单调递减区间为，. （3），，. ，，， 因为， 所以. 25．（24-25高一下·山东淄博·月考）已知函数． (1)求的值及的对称轴； (2)求在上的值域； (3)将的图象向左平移个单位得到函数的图象，求的单调递增区间． 【答案】(1)，对称轴方程为 (2) (3) 【解题思路】（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，代值计算可得的值，利用正弦型函数的对称性可求得函数的对称轴方程； （2）当时，求出的取值范围，结合正弦型函数的基本性质可求出函数的值域； （3）利用三角函数图象变换可得出函数的解析式，结合正弦型函数的单调性可求得函数的增区间. 【解答过程】（1）因为 ， 所以， 由可得， 因此函数的对称轴方程为. （2）当时，，则， 因此，在上的值域为. （3）将的图象向左平移个单位得到函数的图象，则， 由得， 所以，函数的单调递增区间为. 题型六 三角恒等式的证明 26．（24-25高一·全国·课后作业）已知，求证：． 【答案】证明见解析 【解题思路】化简得到，利用正余弦平方和关系化简得到，再次利用正余弦平方和关系得到证明. 【解答过程】因为，所以． 即． 去分母，得． 又 ， 所以， 即， 所以， 于是， 故． 27．（24-25高一下·甘肃甘南·期中）求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解题思路】（1）首先通分，再应用辅助角公式、倍角正弦公式化简分子、分母即可证结论； （2）应用商数关系、倍角正余弦及和角余弦公式化简分子、分母即可证结论. 【解答过程】（1）； （2） . 28．（2025高一下·上海·专题练习）（1）证明：； （2）化简：． 【答案】（1）证明见解析； （2） 【解题思路】（1）利用同角三角函数关系和逆用余弦差角公式化简得到答案； （2）利用诱导公式和正弦和差公式化简得到答案. 【解答过程】（1）证明：左边 右边，得证； （2）原式 ． 29．（2025高三·全国·专题练习）在中，求证：. 【答案】证明见解析 【解题思路】对左边先后运用降幂公式、同角基本关系式、和差化积公式、三角形内角和及诱导公式、两角和与差的余弦公式，进行化简后可得到右侧 【解答过程】左边 . ∴原等式成立. 30．（24-25高一下·江苏徐州·期中）求证下列恒等式： (1)； (2). 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解题思路】（1）先通分，利用正切的二倍角公式化简即可； （2）先将正切化弦，通分得到原式，再用辅助角公式，最后利用二倍角公式，即可证明. 【解答过程】（1）. （2）左边 , 原式得证. 题型七 三角恒等变换的实际应用 31．（24-25高一下·甘肃白银·期末）如图，已知扇形的半径为，面积为，是扇形弧上的动点，四边形是扇形的内接矩形（点、在半径上，点在半径上）. (1)求弧的长. (2)记，当取何值时，矩形的面积最大?并求出这个最大面积. 【答案】(1) (2)，最大面积为. 【解题思路】（1）根据扇形的面积公式可求出的值，再利用扇形的弧长公式可求得弧的长； （2）将、用的表达式加以表示，并结合三角恒等变换化简得出矩形面积的表达式，再利用正弦型函数的基本性质可求得矩形面积的最大值. 【解答过程】（1）由已知得，解得，则弧的长为. （2）在中，，，在中，， 所以，. 设矩形的面积为， 则 . 由，得， 所以当，即时，. 故当时，矩形的面积最大，最大面积为. 32．（24-25高一下·河北承德·月考）如图，扇形的半径为，圆心角为，是弧上的动点（不含点、），作交于点，作交于点，同时以为斜边，作，且．    (1)求的面积的最大值； (2)从点出发，经过线段、、、，到达点，求途经线段长度的最大值． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）设，则，，求出、的长，利用三角形的面积公式以及二倍角的正弦公式可求得的面积的最大值； （2）计算出线段、、、的长，令，可得出，利用二次函数的基本性质可求得途径线段长度的最大值. 【解答过程】（1）解：设，则，， 在中，，，则， ， 所以，， 因为，则， 当时，即当时，的面积取最大值，且最大值为. （2）解：过点作，垂足为点，    因为，，，则四边形为矩形， 所以，，， 因为，，则为等腰直角三角形，则， 所以，，，， 所以， ， 令， 因为，则，则， 所以，，， 所以，， 所以，， 故当时，取最大值， 因此，从点出发，经过线段、、、，到达点，求途径线段长度的最大值为. 33．（24-25高一下·山东济宁·月考）在校园美化、改造活动中，要在半径为、圆心角为的扇形空地的内部修建一矩形观赛场地，如图所示．取的中点M，记． (1)写出矩形的面积S与角的函数关系式； (2)求当角为何值时，矩形的面积最大？并求出最大面积． 【答案】(1)， (2)当时，矩形的面积最大，最大值为 【解题思路】（1）首先得出，再用的三角函数分别表示出和，则，再根据二倍角公式，降幂公式和辅助角公式化简即可； （2）由，得出，根据正弦函数的图像，得出时，面积最大，即可得出最大面积． 【解答过程】（1）由题可知，， 在中， ， ， ， 在中， ， ， ，． （2） ， ， 当，即时， ， 故当时，矩形的面积最大，最大值为． 34．（24-25高一上·广东东莞·期末）如图，已知一块足球场地的球门宽米，底线上有一点，且长米．现有球员带球沿垂直于底线的线路向底线直线运球，假设球员射门时足球运动线路均为直线． (1)当球员运动到距离点为米的点时，求该球员射门角度的正切值； (2)若该球员将球直接带到点，然后选择沿其左后方向（即）的线路将球回传给点处的队友．已知长米，若该队友沿着线路向点直线运球，并计划在线路上选择某个位置进行射门，求的长度多大时，射门角度最大． 【答案】(1) (2)米 【解题思路】（1）求出、的值，利用两角差的正切公式可求得的值； （2）作，垂足为，设，计算出、，利用两角差的正切公式可得出关于的表达式，利用基本不等式求出的最大值，利用等号成立的条件求出的值，即可得出结论. 【解答过程】（1）解：由题知，，，则， 在中，， 在中，， 所以 ． （2）解：如图，作，垂足为， 设，则，， 因为，所以，， 在中，， 在中，， 所以 ， 当且仅当即时，最大， 所以当米时，射门角度最大． 35．（24-25高一下·江苏淮安·期中）现某公园内有一个半径为米扇形空地，且，公园管理部门为了优化公园功能，决定在此空地上建一个矩形的老年活动场所，如下图所示有两种情况可供选择. (1)若选择图一，设，请用表示矩形的面积，并求面积最大值 (2)如果选择图二，求矩形的面积最大值，并说明选择哪种方案更优（面积最大）（参考数据，） 【答案】(1)，矩形面积的最大值为 (2)矩形面积的最大值为，第一种方案更优. 【解题思路】（1）计算出、关于的表达式，利用三角恒等变换可得出矩形面积的表达式，利用正弦型函数的有界性可求得矩形面积的最大值； （2）取中点，连接，设，设，其中，计算出、关于的表达式，利用三角恒等变换可得出矩形面积的表达式，利用正弦型函数的有界性可求得矩形面积的最大值，与方案一中矩形的面积比较大小，可得出结论. 【解答过程】（1）解：由题得，则， 则， 所以，， 所以矩形面积为 ， 因为，则，故当时，即当时， 矩形的面积取最大值，且最大值为. （2）解：取中点，连接，设，如下图所示： 设，其中，由圆的几何性质可知， ，， 因为四边形为矩形，则且， 因为，则，且，所以，四边形为矩形， 所以，，即为的中点， 又因为，则，所以，， 所以，， 所以，， 所以，， 则矩形的面积为 ，其中， 因为，则， 所以当，即时取最大值，矩形的面积取最大值，且最大值为 ， ，则，所以第一种方案更优. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 三角恒等变换的综合应用大题（35题）（举一反三专项训练） 【苏教版】 姓名：___________班级：___________考号：___________ 题型一 用和、差角的三角函数公式化简、求值 1．（24-25高一下·陕西咸阳·期末）已知． (1)求的值； (2)若，求的值． 2．（24-25高一下·江西宜春·期末）已知，且. (1)求的值； (2)若，求的值. 3．（24-25高一下·北京西城·期中）已知，且. (1)求的值； (2)求的值. 4．（24-25高一下·四川内江·期中）已知，， (1)求的值； (2)若，求的值． 5．（24-25高一下·广东汕尾·期末）已知，，，. (1)分别求，，的值； (2)求的值. 题型二 利用二倍角公式化简、求值 6．（24-25高一下·江苏南通·期中）已知 (1)求的值； (2)求的值. 7．（24-25高一下·北京昌平·期末）在平面直角坐标系中，角的始边与轴的非负半轴重合，终边经过点. (1)求及的值； (2)求的值. 8．（24-25高一下·安徽·月考）已知，，，. (1)求的值； (2)求的值. 9．（24-25高一下·广东肇庆·期末）已知，，其中，． (1)求； (2)求； (3)求． 10．（24-25高一下·四川成都·月考）已知，且. (1)求的值 (2)求的值； (3)求的值. 题型三 辅助角公式的应用 11．（24-25高一下·北京石景山·期末）已知函数． (1)求的最小正周期及单调递增区间； (2)当时，的取值范围为，求m的最大值． 12．（24-25高一下·四川成都·期中）已知函数. (1)求的最小正周期和单调递增区间； (2)若，求的最小值及取得最小值时对应的的取值. 13．（24-25高一下·山西·月考）已知函数． (1)求的单调递增区间； (2)把的图象向右平移后得到的图象，求的最大值及取最大值时的取值集合． 14．（24-25高一下·江苏镇江·月考）已知. (1)求函数的最小正周期； (2)若，，求； (3)若对于任意，恒成立，求的取值范围. 15．（24-25高一下·广东佛山·期中）设函数； (1)写出函数的单调递增区间； (2)若，求函数的最值及对应的的值； (3)若不等式在恒成立，求实数的取值范围. 题型四 给值求值型、给值求角型问题 16．（24-25高一下·广东佛山·月考）已知，其中 (1)求； (2)求． 17．（24-25高一下·江苏连云港·期中）已知，，且，. (1)的值； (2)的值. 18．（24-25高一下·江苏南通·期中）已知，，且，，求： (1)的值； (2)的值． 19．（24-25高一上·重庆·期末）已知，其中． (1)求的值； (2)若，求的值． 20．（24-25高一下·江苏·月考）已知，. (1)求和的值； (2)若，为锐角，求的值； (3)若，为锐角，求角. 题型五 三角恒等变换的化简问题 21．（24-25高一下·内蒙古包头·期末）． (1)求的最小正周期和单调递增区间； (2)求在区间上的最大值和最小值． 22．（24-25高一下·甘肃临夏·期末）已知函数． (1)求函数的图象的对称轴方程； (2)求函数的单调递增区间； (3)当时，求函数的值域． 23．（24-25高一下·四川泸州·期中）已知函数． (1)求函数的单调递增区间； (2)将函数的图象向右平移个单位，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在上有两个零点，求实数m的取值范围． 24．（24-25高一下·安徽·月考）已知函数，. (1)求的解析式； (2)求的单调递减区间； (3)若且，求. 25．（24-25高一下·山东淄博·月考）已知函数． (1)求的值及的对称轴； (2)求在上的值域； (3)将的图象向左平移个单位得到函数的图象，求的单调递增区间． 题型六 三角恒等式的证明 26．（24-25高一·全国·课后作业）已知，求证：． 27．（24-25高一下·甘肃甘南·期中）求证： (1)； (2)． 28．（2025高一下·上海·专题练习）（1）证明：； （2）化简：． 29．（2025高三·全国·专题练习）在中，求证：. 30．（24-25高一下·江苏徐州·期中）求证下列恒等式： (1)； (2). 题型七 三角恒等变换的实际应用 31．（24-25高一下·甘肃白银·期末）如图，已知扇形的半径为，面积为，是扇形弧上的动点，四边形是扇形的内接矩形（点、在半径上，点在半径上）. (1)求弧的长. (2)记，当取何值时，矩形的面积最大?并求出这个最大面积. 32．（24-25高一下·河北承德·月考）如图，扇形的半径为，圆心角为，是弧上的动点（不含点、），作交于点，作交于点，同时以为斜边，作，且．    (1)求的面积的最大值； (2)从点出发，经过线段、、、，到达点，求途经线段长度的最大值． 33．（24-25高一下·山东济宁·月考）在校园美化、改造活动中，要在半径为、圆心角为的扇形空地的内部修建一矩形观赛场地，如图所示．取的中点M，记． (1)写出矩形的面积S与角的函数关系式； (2)求当角为何值时，矩形的面积最大？并求出最大面积． 34．（24-25高一上·广东东莞·期末）如图，已知一块足球场地的球门宽米，底线上有一点，且长米．现有球员带球沿垂直于底线的线路向底线直线运球，假设球员射门时足球运动线路均为直线． (1)当球员运动到距离点为米的点时，求该球员射门角度的正切值； (2)若该球员将球直接带到点，然后选择沿其左后方向（即）的线路将球回传给点处的队友．已知长米，若该队友沿着线路向点直线运球，并计划在线路上选择某个位置进行射门，求的长度多大时，射门角度最大． 35．（24-25高一下·江苏淮安·期中）现某公园内有一个半径为米扇形空地，且，公园管理部门为了优化公园功能，决定在此空地上建一个矩形的老年活动场所，如下图所示有两种情况可供选择. (1)若选择图一，设，请用表示矩形的面积，并求面积最大值 (2)如果选择图二，求矩形的面积最大值，并说明选择哪种方案更优（面积最大）（参考数据，） 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $