6.2.2二倍角公式（教学课件）高一数学沪教版必修第二册

第六章 三角 6.2常用三角公式 6.2.2二倍角公式 学 习 目 标 1 2 3 能独立由两角和公式推导二倍角的正弦、余弦、正切公式，熟记公式内容及余弦二倍角的三种变形形式. 明确正切二倍角公式的成立条件；能运用二倍角公式完成三角函数求值、恒等式证明等应用. 在公式变式和应用中，提升数学运算能力和逻辑推理能力. 新课引入 在前面的课程中，我们已经学习了两角和的正弦、余弦、正切公式，你还记得其公式具体内容吗？ ①正弦公式： ②余弦公式： ③正切公式： 若两角和公式中，公式会发生怎样的变化？这样的变形能得到什么新的公式？ 这就是本节课的学习主题 —— 二倍角公式. 新知探究 探究一：推导二倍角正弦、余弦、正切公式 将代入两角和的正弦公式，会得到怎样的表达式？写出详细推导步骤. 推导过程： 由此可得正弦二倍角公式： ，成立条件为 该公式特征：单角正弦与余弦的乘积的 2 倍，下面我们用类似的方法推导余弦、正切的二倍角公式. 新知探究 ①同理，将代入两角和的余弦公式. 推导过程： 二倍角的余弦公式： ②将代入两角和的正切公式. 推导过程： 二倍角的正切公式 新知探究 探究二：余弦二倍角变形形式 我们已经学过同角三角函数的平方关系： ，由此关系还能得到余弦二倍角公式的哪些形式？ 将基本公式中的替换为含： 变形 1: 变形 2: 变形公式：① 已知用,已知用,已知 和用基本形式. 即时训练 2.求下列各式的值 （（ 【分析】逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得题出现可连用二倍角的正弦公式； 【解析】①. ②原式 . 知识小结 二倍角正弦、余弦、正切公式 ①正弦二倍角公式： ③余弦二倍角公式： ②正切二倍角公式 变形公式：① 新知探究 二倍角的正弦、余弦公式在上成立，那么二倍角的成立条件也是吗？如果不是，那成立条件是什么呢？ 探究三：正切二倍角公式的成立条件 两角和的正切公式成立的条件： , 当时，上述条件转化为的成立条件如下： 保证且有意义 保证有意义 即时训练 2.下列关于二倍角公式的说法，正确的是（ ） 【分析】逐一判断每个公式的成立条件，重点关注正切二倍角公式的分母不为零及正切函数本身的定义域。 A. 对任意角， 都成立 B. 对任意角， 都成立 C. 当时， 不成立 D. 当时， 成立 A 【解析】对于其成立的条件为，结合该条件判断即可 知识小结 正切二倍角公式的成立条件 的成立条件： 注：保证有意义 保证且有意义 典例分析 例1 已知 ，．求 、 和 的值． 【分析】先由和角的范围求出再用二倍角公式求. 解 ：由 ，，得 ，， ， ， ． 典例分析 例2 试用表示. 【分析】将 3θ 拆分为 2θ+θ，利用两角和的余弦公式展开，再用二倍角公式把 cos2θ、sin2θ 转化为 cosθ 的表达式，最后化简得到仅含 cosθ 的形式. 解： 所以 . 这个公式称为三倍角的余弦公式. 典例分析 例3 证明：(1) ； (2) . 【分析】(1)先利用二倍角公式将 化为, 化为,再用辅助角公式将 合并为 证明： (1) 典例分析 【分析】先利用二倍角公式对分子分母中的 1、、进行代换，再通过提取公因式化简，最终得到。 (2) 题型1 利用二倍角公式求值 1.求值 （（2）（3） （1）【分析】逆用正弦二倍角公式 解 题型1 利用二倍角公式求值 （2）【分析】直接应用余弦二倍角公式 . 解： （3）【分析】逆用正切二倍角公式 解： 题型2 条件求值类 2.已知, 求 sin。 【分析】先由同角关系求 ，再用二倍角公式求值，最后弦切互化求 . 解： 题型3 证明恒等式 3.证明该等式成立： 【分析】展开左边，利用同角关系和二倍角公式化简. 左边 等式成立。 一起来看看这节课我们学到了些什么？ 点击此处，进入本节课的课堂总结 要点回顾 课堂总结 感谢聆听! 课堂小结 二倍角公式的应用 📚 知识点回顾 ⚠️ 易错点警示 💡 解题技巧 沪教版 · 必修二 核心公式体系 1. 余弦的二倍角公式 cos2α = cos2α - sin2α cos2α = 2cos2α - 1 (只含余弦) cos2α = 1 - 2sin2α (只含正弦) 2. 正切的二倍角公式 tan2α = 2tanα 1 - tan2α 注意：需满足 α ≠ π4 + kπ2 且 α ≠ π2 + kπ (k∈Z) 3. 重要变形：降幂公式 cos2α = 1 + cos2α 2 sin2α = 1 - cos2α 2 易错点警示 1. 忽视定义域 在使用 tan2α 公式时，必须先检验角 α 是否使分母为零，即 α ≠ π4 + kπ2。若 α = π4，应直接利用定义计算或使用诱导公式。 2. 忽视角的范围 已知 cos2α 求 sinα 或 cosα 时，开方运算需要根据角 α 所在的象限确定符号。切记：“倍角”范围是“单角”范围的2倍，需重新讨论。 3. 混淆公式结构 降幂公式中，cos2α 对应分子是 1 + cos2α，而 sin2α 对应分子是 1 - cos2α。记忆口诀：“余余加，正余减”。 解题技巧与模型 🔄 1. 角的变换技巧 当题目中出现多个角时，尝试寻找它们之间的线性关系。 2α = (α + β) + (α - β) α = 12[(α + β) + (α - β)] 1️⃣ 2. “1”的妙用 常数“1”可以进行代换，构造齐次式或完全平方式。 1 = sin2α + cos2α 1 = tan45° 📉 3. 升幂与降幂的选择 根据题目目标选择方向： 化简求值：通常使用降幂公式，减少项数，统一角度。 根号化简：通常使用升幂（配方），去掉根号。 📐 4. 辅助角公式 遇到 asinx + bcosx 结构时，优先考虑辅助角公式。 a·b = |a||b|cosθ (向量法推导辅助角) $