6.2.1两角和与差的正弦、余弦、正切公式（第3课时）（教学课件）高一数学沪教版必修第二册

第六章 三角 6.2常用三角公式 6.2.1两角和与差的正弦、余弦、 正切公式（第3课时） 学 习 目 标 1 2 3 熟练掌握两角和与差的正、余弦、正切公式的结构特征，能灵活运用公式解决三角形恒等证明、坐标旋转等问题. 掌握辅助角公式的推导过程，能准确确定角的正、余弦值. 通过辅助角公式从特殊到一般的推导，培养构造思想，提升数学运算能力，掌握三角恒等变换的核心技巧. 新课引入 在前面的课程中，我们已经学习了两角和与差的核心公式，你还记得是什么吗？ ①正弦公式： ②余弦公式： ③正切公式： ) 在中，我们知道,那么,如何利用正切和角公式将 转化为与相关的式子？ 这就是公式在三角形中的典型应用，下面我们就来学习两角和与差公式的综合应用，解决一些实际问题. 新知探究 探究一：三角形中的两角和与差公式应用 若不是直角三角形， 求证： ① 由内角和得，两边取正切； ② 对使用正切和角公式展开，结合诱导公式化简； ③ 移项整理，推导出待证恒等式. 下面我们根据这个思路再结合两角和与差的核心公式，解决思考中的问题. 新知探究 证明：因为 ，且 ，所以 从而 即时训练 1. 【分析】利用三角形内角和将转化为，再用两角和正切公式代入计算. 解：已知在△ABC中，，所以 知识小结 三角形中的两角和与差公式应用 ①三角形中公式应用核心：角的整体代换(、等) ②将两角和转化为第三角的补角 ③结合和角公式 + 诱导公式化简 关键是“几何条件 (内角和)→代数运算(三角公式)“的转化. 新知探究 探究二：坐标旋转中的两角和公式应用 如图，已知点A的坐标为，将绕坐标原点逆时针旋转至．求点的坐标. 原理：平面直角坐标系中，任意一点对应终边的角 则,. 旋转特征：绕原点旋转，模长不变(),角叠加 对应的角为对应的角 ; 再利用两角和的正、余弦公式求对应的坐标. 解题关键：先求和的、 新知探究 解：设以轴正半轴为始边、OA为终边的角为． 由点A的坐标为(1,2)，可得，，． 设点的坐标为，由，得 于是，点的坐标为 即时训练 2.点 绕原点 顺时针旋转 至 ，求点 的坐标。 【分析】先求原角的三角函数值，再用两角差公式计算旋转后角的三角函数值，最后结合模长求出新坐标. 解：设点对应的角为，则 所以点的坐标为 顺时针旋转后，新角为，则 知识小结 坐标旋转中的两角和公式应用 坐标旋转问题核心：数形结合建模，三步核心： ① 求原终边的模长和三角函数值； ② 确定旋转后终边的模长和对应角； ③ 由三角函数定义 +两角和 / 差公式求新坐标。 新知探究 探究三：辅助角公式的推导与应用 把下列各式化为 的形式： ； (2) ； (3) ． 先从特殊式 (1) 入手，推导后再推广到一般式 (2)，解题三步法： ① 提取公因子 (，为系数的平方和的算术平方根)； ② 将括号内的式子配成 的形式，确定 、； ③ 结合两角和的正弦公式，化为 的形式。 下面我们根据这个思路再结合两角和与差的核心公式，解决思考中的问题. 新知探究 解：（1） （2）因为 所以 于是有 （3） 使得 注意到为单位圆上的一点，由正弦及余弦的定义，存在唯一的角， 即时训练 3.把化为 ( 的形式： 【分析】提取A，配凑两角和正弦公式，确定辅助角，完成化归. 解：对于 : 令 , , 但 , 故调整为: 知识小结 辅助角公式的推导与应用 推导步骤： ①提系数平方和的算术平方根 ②配凑两角和的正弦公式 ③确定辅助角 本质：将 “异名三角函数的和” 化为“单一正弦函数”,实现三角式的简化. 题型1三角形中的三角恒等计算 1.在中，已知，，求和的值。 【分析】利用三角形内角和，得，. 解： 为三角形内角，, 题型2 两角和公式的象限判断 2.已知，，，，求和的值，并判断是第几象限的角。 【分析】先由同角三角函数关系求出、，再代入和角公式，根据、的符号判断象限。 解： 是第二象限的角。 题型3 辅助角公式化归 3.把下列各式化为的形式： （；（。 【分析】提取，配凑成的形式，确定 解：（1） 拓展提升 4.已知为锐角，且，，求的值. 【分析】利用角的拆分，通过两角和的正切公式求出，进而确定锐角 解： 一起来看看这节课我们学到了些什么？ 点击此处，进入本节课的课堂总结 要点回顾 课堂总结 感谢聆听! 课堂小结 两角和与差的应用 1 知识点回顾 2 易错点警示 3 解题技巧 语音导览 核心知识梳理 1. 三角形中的三角恒等变换 在 △ABC 中，内角和 A + B + C = π。 常用变形： sin(A + B) = sin C cos(A + B) = -cos C tan(A + B) = -tan C sin(A + B2) = cos(C2) 2. 辅助角公式（asinx + bcosx） 公式：a sin x + b cos x = √a2+b2 sin(x + φ) 其中辅助角 φ 满足： cos φ = a√a2+b2 sin φ = b√a2+b2 即 tan φ = ba (需结合象限判断) 3. 坐标旋转公式 点 P(x, y) 绕原点逆时针旋转角 θ 得到点 P'(x', y')： x' = x cos θ - y sin θ y' = x sin θ + y cos θ 易错点警示 ! 辅助角 φ 的象限判断 在使用 tan φ = ba 求 φ 时，容易忽略 a, b 的符号对象限的影响。 对策：务必同时通过 sin φ 和 cos φ 的符号来确定 φ 所在的象限，而不仅仅依赖正切值。 ! 三角形内角的范围限制 在已知三角函数值求角时，常忽略 A, B, C ∈ (0, π) 以及 A + B < π 等隐含条件，导致增根。 对策：先根据已知条件（如大边对大角）缩小角的范围，再求值。 ! 公式使用的前提条件 正切的和差公式 tan(α ± β) 要求 α, β, α ± β ≠ kπ + π2。 对策：当角可能取 π2 时，应改用正余弦公式计算，避免正切公式失效。 ! 忽视角的变换 直接计算往往复杂，忽略了角之间的线性关系。 对策：观察已知角和未知角的关系，如 α = (α + β) - β，2α = (α + β) + (α - β)。 解题技巧总结 1 “变角”技巧（配角法） 当已知角与所求角不同时，通过加减组合建立联系。 常见变换： α = (α + β) - β α = (α - β) + β 2α = (α + β) + (α - β) α + β = 2 · (α + β2) 2 辅助角公式的逆用与最值 遇到 y = a sin x + b cos x 结构，立即转化为 A sin(ωx + φ)。 最大值：√a2+b2 最小值：-√a2+b2 注意：若 x 有范围限制，需结合正弦函数图像分析。 3 “1”的代换妙用 在分式化简或求值中，灵活将常数 1 替换为三角函数关系。 1 = sin2α + cos2α 1 = tan(π4) （用于构造正切和差公式） 例：(1 + tan α)/(1 - tan α) = tan(π4 + α) $