微专题07 导数中的同构8大热点题型（高效培优专项训练）高二数学北师大版选择性必修第二册

微专题07 导数中的同构 题型一：同构求值 2 题型二：同构求最值 3 题型三：指对同构小题 3 题型四：指对同构大题 5 题型五：同构+放缩 6 题型六：双变量同构 8 题型七：同构证明类型 8 题型八：同构零点类型 8 【题型方法指导】 一：同构求值 方法原理 1同构式是指除了变量不同其余地方均相同的表达式 2同构式的应用 （1）在方程中的应用如果方程和呈现同构特征则可视为方程的两个根 （2）在不等式中的应用如果不等式的两侧呈现同构特征则可将相同的结构构造为一个函数进而和函数的单调性找到联系可比较大小或解不等式 3常见变形 （1）指对数恒等式 ①当且时有 ②当且时有 （2）五个常见变形 拓展 （3）相对跨阶想同构同左同右取对数 三种基本模式 ①积型 说明在对“积型”同构时取对数是最快捷的同构出的函数单调性一看便知 ②商型 ③和差型 如 二：指对同构小题 方法原理 1同构法求参数范围 通过对原函数进行适当的代换或者变换可以得到一个与之相同（同构结构相同性质相同）的新函数新函数更容易处理 2常见变形（） （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8）乘法同构即乘同构如 （9）加法同构即加同构如 3解题步骤 （1）寻找原函数及其特点 （2）进行适当的变形方式 （3）对构造的新函数进行求导分析 （4）根据新函数极值最值等得到参数范围 三：同构+放缩 方法原理 结合常用切线放缩不等式等可以得到更多结论比如 （1） （2） 题型一：同构求值 1．（24-25高二下山东聊城月考）已知实数分别满足，则（    ） A． B． C． D． 2．【多选题】（24-25高二下江苏扬州月考）设定义在上的函数的导函数为，若满足，且，则下列结论正确的是（    ） A．在上单调递增 B．不等式的解集为 C．若恒成立，则 D．若，则 3．【多选题】（23-24高二下贵州六盘水期中）已知函数图象上的点与方程的解一一对应，则下列选项中正确的是（    ） A． B．0是的极值点 C．在上单调递增 D．的最小值为0 4．（23-24高二上江苏徐州期末）若实数t是方程的根，则的值为____________. 题型二：同构求最值 5．（23-24高二下江西九江期末）函数的最大值为（   ） A．1 B．2 C． D． 6．（23-24高二下湖北武汉期末）设函数，若存在实数，使得，则的最小值为（    ） A． B．2 C．1 D． 7．（24-25高一上河南漯河期末）已知函数，若，则的最小值为__________. 8．（23-24高三上山东烟台期末）已知函数，，若，，使得，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高二下辽宁本溪期末）已知分别是函数与的零点，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D． 10．（2023广西玉林模拟预测）已知正实数x，y满足，则的最大值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 题型三：指对同构小题 11．（23-24高二下湖北期中）已知函数对定义域内任意，都有 ，则正实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 12．（23-24高二下辽宁期末）若关于x的不等式在上恒成立，则实数的取值范围___________． 13．（2022安徽模拟预测）若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 14．【多选题】（23-24高二下吉林期末）已知函数，若对任意的恒成立，则正实数的取值可以为（    ） A． B． C． D． 15．（23-24高二下吉林月考）已知函数，若对任意的恒成立，则正实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型四：指对同构大题 16．（24-25高二下全国课后作业）对下列不等式进行同构变形，并写出相应的同构函数. (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6). 17．（23-24高二下江西期末）已知函数. (1)当时，求函数极值； (2)讨论在区间上单调性； (3)若恒成立，求实数的取值范围. 18．（23-24高二下贵州期中）已知函数，． (1)当时，求函数的极值； (2)，都有，求实数a的取值范围． 19．（23-24高二下湖南期末）已知函数，（）. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间； (3)若对任意恒成立，求整数a的最小值. 20．（23-24高二下江苏扬州期末）已知函数. (1)当时，直线（为常数）与曲线相切，求的值； (2)若恒成立，求的取值范围； (3)若有两个零点，求证：. 题型五：同构+放缩 21．【多选题】（23-24高二下内蒙古期中）已知函数，若对任意的成立，则的取值可能是（    ） A．1 B． C．3 D． 22．（23-24高二下黑龙江期中）已知函数，． (1)求函数在区间上的最大值； (2)若，恒成立，求实数a的取值范围． 23．（23-24高二下黑龙江大庆期中）已知. (1)求的单调区间及极值； (2)（i）恒成立，求a的取值范围； （ii）证明时，； (3)时，恒成立，求a的取值范围. 24．（23-24高二下辽宁大连期末）经研究发现：任意一个三次多项式函数的图象都有且只有一个对称中心点，其中是的根，是的导数，是的导数.若函数图象的对称中心点为，且不等式对任意恒成立，则的取值范围是__________. 题型六：双变量同构 25．（21-22高三上河南月考）若对任意的，x1，x2∈(0，e2]，且，不等式恒成立，则的最大值为（    ） A．－e2 B．－e C．－2 D．－1 26．（23-24高二下重庆期末）若对任意的恒成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 27．（23-24高二下江苏盐城期末）已知函数． (1)若函数的图象在处的切线与直线平行． ①求实数的值； ②对于任意，，当时，不等式恒成立，求实数的取值范围； (2)若函数存在极小值，试用零点存在定理证明：存在，使得等于函数的极小值． 28．（23-24高二下重庆万州期中）已知函数． (1)若函数的图象在点处的切线方程为，求函数的极小值； (2)若，对于任意，，当时，不等式恒成立，求实数m的取值范围． 29．（23-24高二下江苏常州期中）已知函数． (1)若，求函数在区间上的最大值； (2)若对于任意的，，都有，则实数的取值范围． 30．（24-25高三上湖北宜昌月考）函数的导函数记为，若对函数的定义域内任意实数，存在实数，使得不等式成立，则称函数为上的＂函数＂． (1)判断函数是否是上的“函数”，请说明理由； (2)若函数是上的“函数”，求实数的取值范围； (3)已知函数是上的“函数”．若对任意的，当时，都有成立，求实数的最大值． 题型七：同构证明类型 31．（23-24高二下四川乐山期末）已知函数． (1)当时，求函数的极值； (2)当时，若，求证：． 32．（24-25高三上江苏宿迁月考）已知函数． (1)讨论函数的单调区间； (2)当时，证明：； (3)函数有两个零点、，求证：． 33．（23-24高二下湖北武汉期末）已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)证明时，； (3)若对于任意的，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围． 题型八：同构零点类型 34．【多选题】（23-24高二下安徽合肥期中）已知函数和有相同的最大值，直线与两曲线和恰好有三个交点，从左到右三个交点横坐标依此为，则以下说法正确的是（    ） A． B． C．成等差数列 D．成等比数列 35．（2023四川成都三模）已知函数和函数有相同的最大值. (1)求实数的值； (2)直线与两曲线和恰好有三个不同的交点，其横坐标分别为，且.下列两个结论①；②.其中只有一个正确，请选择正确的结论，并证明. 36．（25-26高三上上海月考）已知曲线和，它们的图像分别为曲线和． (1)求函数和的最大值； (2)证明：曲线和有唯一交点； (3)设直线与两条直线、共有三个不同交点，并且从左到右的三个交点的横坐标依次为，，，求证：，，成等比数列． 37．（23-24高三上福建泉州月考）已知函数和有相同的最大值． (1)求； (2)证明：存在直线，其与两条曲线和有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标满足． 38．（23-24高二下河南商丘期末）已知函数． (1)若，讨论的单调性； (2)若函数恰有2个零点，求的取值范围． 39．（23-24高二下湖南期中）已知函数，函数，若函数有两个零点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 40．【多选题】（2023全国模拟预测）已知，若关于 的方程存在正零点，则实数的值可能为（    ） A． B． C．e D．2 4 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题07 导数中的同构 题型一：同构求值 2 题型二：同构求最值 3 题型三：指对同构小题 3 题型四：指对同构大题 5 题型五：同构+放缩 6 题型六：双变量同构 8 题型七：同构证明类型 8 题型八：同构零点类型 8 【题型方法指导】 一：同构求值 方法原理 1同构式是指除了变量不同其余地方均相同的表达式 2同构式的应用 （1）在方程中的应用如果方程和呈现同构特征则可视为方程的两个根 （2）在不等式中的应用如果不等式的两侧呈现同构特征则可将相同的结构构造为一个函数进而和函数的单调性找到联系可比较大小或解不等式 3常见变形 （1）指对数恒等式 ①当且时有 ②当且时有 （2）五个常见变形 拓展 （3）相对跨阶想同构同左同右取对数 三种基本模式 ①积型 说明在对“积型”同构时取对数是最快捷的同构出的函数单调性一看便知 ②商型 ③和差型 如 二：指对同构小题 方法原理 1同构法求参数范围 通过对原函数进行适当的代换或者变换可以得到一个与之相同（同构结构相同性质相同）的新函数新函数更容易处理 2常见变形（） （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8）乘法同构即乘同构如 （9）加法同构即加同构如 3解题步骤 （1）寻找原函数及其特点 （2）进行适当的变形方式 （3）对构造的新函数进行求导分析 （4）根据新函数极值最值等得到参数范围 三：同构+放缩 方法原理 结合常用切线放缩不等式等可以得到更多结论比如 （1） （2） 题型一：同构求值 1．（24-25高二下山东聊城月考）已知实数分别满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将变形为，观察可发现这与形式相同，且易知，.构造，求导可得在上单调递增.从而可推出，代入即可得到结果. 【详解】由可得，，则， 即，又， 所以，且，. 令，则，当时，恒成立， 所以，在上单调递增. 又，，，所以. 所以，. 故选：A. 2．【多选题】（24-25高二下江苏扬州月考）设定义在上的函数的导函数为，若满足，且，则下列结论正确的是（    ） A．在上单调递增 B．不等式的解集为 C．若恒成立，则 D．若，则 【答案】ACD 【分析】构造函数，根据条件计算得，利用导数研究其单调性可判定A、B；分离参数结合函数的单调性与最值可判定C；由题意得出，结合的单调性得出，计算后即可判定D. 【详解】由可得， 设，则，所以（为常数）， 所以因为，所以，即 对于A，因为，所以时，，单调递减； 时，，单调递增，所以在上单调递增.故A正确； 对于B，当时，，不合题意； 当时，，不合题意； 当时，，且由A可知，在单调递增. 所以，解得，故B不正确； 对于C，若即，当时，恒成立； 当时，等价于，即， 设，则， 所以在上单调递增，在上单调递减，， 所以，故C正确； 对于D，，即， 因为当时，，当时，在单调递增，且， 所以，且，则， 又因为，所以，即，故D正确. 故选：ACD. 3．【多选题】（23-24高二下贵州六盘水期中）已知函数图象上的点与方程的解一一对应，则下列选项中正确的是（    ） A． B．0是的极值点 C．在上单调递增 D．的最小值为0 【答案】ABC 【分析】根据题意，令，易得，是单调递增函数且是奇函数，从而求出，可判定A；利用导函数研究函数单调性及极值点，最小值，可判定其他选项. 【详解】由， 则， 令，易得，是单调递增函数且是奇函数， 由上可得， ，则，故A正确； ， 由恒成立， 所以时，，则单调递减， 时，，则单调递增， 且0是的极值小点，， 所以最小值为，故BC正确，D错误. 【点睛】关键点点睛：根据方程的对称性转化为，从而，由函数的单调性可解函数. 4．（23-24高二上江苏徐州期末）若实数t是方程的根，则的值为____________. 【答案】 【分析】将方程进行合理变形可得，利用同构函数并结合定义域可构造函数，即可得出，利用对数运算即可得出结果. 【详解】由可得，即 即可得实数t是方程的根，即； 易知，所以； 令函数，则在上恒成立； 所以在上单调递增，因此需满足； 可得， 同时取对数得，即； 所以，即. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题关键在于将方程变形后利用同构函数构造出，再结合定义域可知，可得定义域为，再利用单调性即可求得结果. 题型二：同构求最值 5．（23-24高二下江西九江期末）函数的最大值为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】解法一：求出，令，根据的正负确定的单调性即可求解； 解法二：令，通过求导判断函数的单调性即可求解. 【详解】解法一：，则， 令，则在上单调递增， 且，， 故存在，使得，，即， 当时，，，单调递增， 当时，，，单调递减， 所以. 解法二：，令， 则，因为， 所以时，，在上单调递增， 时，，在上单调递减， ，即. 故选：. 【点睛】关键点点睛：求导之后，的零点存在，但无法求出，可采用虚设零点，分析零点所在的区间，结合函数的单调性即可推断. 6．（23-24高二下湖北武汉期末）设函数，若存在实数，使得，则的最小值为（    ） A． B．2 C．1 D． 【答案】C 【分析】变形得到，故，二次求导得到在R上单调递增，从而得到，故，构造，求导得到其单调性，确定最值，得到答案. 【详解】， 存在实数，使得，即， ， 令，则， 当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 故在处取得极小值，也是最小值， ， 故在R上单调递增， 所以， 故， 令，，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 故， 所以，当且仅当，时，等号成立. 故选：C 【点睛】关键点点睛：变形得到，故，结合在R上单调递增，得到，进而将二元问题转化为单元问题进行求解. 7．（24-25高一上河南漯河期末）已知函数，若，则的最小值为__________. 【答案】5 【分析】由已知可得，即，结合函数单调性可知，再结合基本不等式可得最值. 【详解】由，则，即， 又是上的增函数，是上的增函数， 所以是上的增函数，则，， ， 当且仅当，即，时等号成立， 所以的最小值为5. 故答案为：5. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是由，得，利用函数单调性得. 8．（23-24高三上山东烟台期末）已知函数，，若，，使得，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合题意构造函数 ，得到，化为，借助导数求函数 的单调性，从而确定函数的最小值即可. 【详解】因为，，使得，所以， 即，令，， 则，所以函数在上单调递增，所以，即， 所以，令，，则，令，可得， 所以时，，单调递减，时，，单调递增， 所以函数在处取得极小值即最小值，，所以的最小值为. 故选：C 【点睛】结论点睛：指对同构的常见形式： 积型：，①，构建； ②，构建； 商型：，①，构建； ②，构建； 和型：，①，构建； ②，构建. 9．（23-24高二下辽宁本溪期末）已知分别是函数与的零点，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题将两个函数的零点代入函数式，得到等式，再同构函数，，利用导数分析单调性求出最值即可. 【详解】由题意可知，则， 即，又 所以，则.设，则， 所以在上单调递增，所以，则，所以， 则. 设，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 则，所以的最大值为. 故选：C. 【点睛】方法点睛：（1）利用等式同构函数；（2）化简，同构函数；（3）利用导数分析单调性并求出最值. 10．（2023广西玉林模拟预测）已知正实数x，y满足，则的最大值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】由得，构造函数，利用单调性得，记，求导，利用函数单调性求最值即可. 【详解】因为正实数x，y满足， 所以， 设，则，当时，， 所以函数在上单调递增，由得， 所以，所以， 所以，记， 则，所以，记， 则， 所以函数在上单调递减，且， 所以在上，，，单调递增， 在上，，，单调递减， 所以，当时，，即的最大值为. 故选：B 题型三：指对同构小题 11．（23-24高二下湖北期中）已知函数对定义域内任意，都有 ，则正实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过分析得出在上恒成立，变形成同构不等式求参问题，构造函数，对进行分类讨论，得出只需讨论当时，即可，进一步构造函数求出它的最大值即可. 【详解】因为，所以. 令函数，则在上单调递减， 所以在上恒成立，所以， 即. 令函数，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增. 当时，，当时，，且由题干可知，即， 所以当时，恒成立，此时可以是任意实数， 当时，恒成立， 等价于，当时，， 所以当时，，即当时，. 令函数，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以的最大值，所以； 综上所述，正实数m的取值范围为. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：关键是逐步分析得出只需当时，恒成立，即可构造函数顺利得解. 12．（23-24高二下辽宁期末）若关于x的不等式在上恒成立，则实数的取值范围___________． 【答案】 【分析】构造函数，利用的单调性得到，通过变形，将问题转化成在上恒成立，构造函数，对求导，得到，再对进行分类讨论，利用导数与函数的单调性间的关系，求出函数的最小值，即可求解. 【详解】令且，则在区间上恒成立， 所以在区间上单调递增，得到， 因为 又在上恒成立，所以在上恒成立， 令，， 当时，，满足题意， 当时，在上恒成立，即在区间上单调递增， 又当时，，所以时，不满足题意， 当时，当时，，时，， 即在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以，即，得到， 综上，实数的取值范围为， 故答案为：. 【点睛】关键点点晴：本题的关键在于利用同构，通过换元，将问题转化成在上恒成立，构造函数，将问题转化成求函数的最值，即可求解. 13．（2022安徽模拟预测）若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，故，原不等式变为，进而令，利用最值分析法，通过对的导数进行讨论，利用导数的性质，即可得到原不等式恒成立时，的取值范围. 【详解】由题意得，，令，故，故.令，则. 若，则，则在上单调递增，又，则当时，，不合题意，舍去； 若，则当时，，当时，，则函数在上单调递减，在上单调递增. 因为，所以若，则当，，舍去；若，则当，，舍去；若，则，符合题意，故. 故选：A 14．（23-24高二下吉林期末）已知函数，若对任意的恒成立，则正实数的取值可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据已知条件得，即，并化为，构造函数求导利用导数求出函数的单调性，即可得到，构造函数并求导，根据函数的单调性即可求出函数的最大值，即可求解. 【详解】因为，对任意的恒成立， 所以， 所以. 令，则. 因为， 所以在上单调递增. 因为，所以， 所以. 令，则， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以， 即. 故选：CD. 【点睛】结论点睛：隐蔽性指对同构，需要补因式，如：，两边同乘以，化为，即. 15．（23-24高二下吉林月考）已知函数，若对任意的恒成立，则正实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件得，即，化为，构造函数求导利用导数求出函数的单调性，即可得到，构造函数，求导，根据函数的单调性即可求出的最大值，即可求解. 【详解】由题意可得对任意的恒成立， 即，对任意的恒成立； 因为，所以，化为， 令，则有，因为， 在上恒大于，所以单调递增，所以有， 因为，所以，即在上恒成立； 令， ，所以在上恒成立； 因为，令，解得， 所以当时， 单调递增，当时， 单调递减， 由此可知在时，取得最大值，所以，所以. 故选：D 【点睛】结论点睛：隐蔽性指对同构，需要补因式，如：，两边同乘以，化为，即. 题型四：指对同构大题 16．（24-25高二下全国课后作业）对下列不等式进行同构变形，并写出相应的同构函数. (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6). 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 (4)答案见解析 (5)答案见解析 (6)答案见解析 【分析】对原式处理，构造同构函数，从而得解. 【详解】（1）显然，则 ， 同构函数为； （2）显然，则 ，同构函数为； （3）显然，则 ， 同构函数为； （4）显然，则 ， 同构函数为； （5） ， 同构函数为； （6） ， 同构函数为. 17．（23-24高二下江西期末）已知函数. (1)当时，求函数极值； (2)讨论在区间上单调性； (3)若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)极大值，无极小值 (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）求导，由导函数的正负确定函数单调性，即可根据极值点定义求解， （2）求导，分类讨论导函数的正负即可求解， （3）构造函数，利用导数求解函数的最值即可求解，或者利用对数运算，结合换元法将不等式转化为，设，求导求解即可. 【详解】（1）函数的定义域为， 当时，， 求导得，由，得， 由，得，由，得， 因此在上单调递增，在上单调递减， 在处取得极大值，无极小值. （2）由， 在时，， 若，,即在区间上单调递增； 若，,即在区间上单调递减； 若，令，令， 可知在上单调递增，在上单调递减； 综上所述：时，在区间上单调递增； 时，在区间上单调递减； 时，在上单调递增， 在上单调递减. （3）方法1： 根据题意可知， ， 设， 则， 令， 则定义域上单调递增，易知， 即，使得， 即时，，故，此时单调递减， 时，，，此时单调递增， 则， ，即. 方法2：由， ， 设，则， 设，则， 当单调递减； 当单调递增； . 【点睛】方法点睛： 1. 导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 2.利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用. 3.证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效. 18．（23-24高二下贵州期中）已知函数，． (1)当时，求函数的极值； (2)，都有，求实数a的取值范围． 【答案】(1)极小值0；无极大值． (2)． 【分析】（1）对求导，构建新函数，对求导，可判断单调性，根据题意知，可判断符号，即可确定单调性及极值点； （2）设新的函数，可转化为恒成立，即小于最小值，在构新的函数，，对求导，即可判断单调性，以及最小值点，即可求解. 【详解】（1）当时， 定义域为． ，． 令．则． 所以在上单调递增． 又因． 可知当时，；时，． 得时取极小值； 无极大值． （2）根据题意知当时，都有， ， 令，显然在上单调递增．则， 所以， 令， ， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 可得，所以， 即a的取值范围． 19．（23-24高二下湖南期末）已知函数，（）. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间； (3)若对任意恒成立，求整数a的最小值. 【答案】(1) (2)函数的单调递减区间为，单调递增区间为. (3)1 【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线斜率即可得解； （2）求出函数导数，再利用求导数判断导函数的符号，即可得到原函数的单调区间； （3）原不等式恒成立转化为，构造函数，根据单调性转化为对任意恒成立，分离参数后得，由导数求出的最大值即可. 【详解】（1）当时，， 所以， 所以切线方程为，即. （2）因为， 所以， 设， 则， 又因为，所以，即单调递增， 又因为，所以时，，即； 时，，即， 综上可知，函数的单调递减区间为，单调递增区间为. （3）因为对任意恒成， 即，， 即， 即， 设，则， 易知单调递增，所以， 所以单调递增，则原不等式等价于， 即 对任意恒成立， 所以，令，则， 又因为， 令，则，所以单调递减; 又因为，， 所以， 所以时，，即，单调递增； 时，，即，单调递减； 所以， 所以，而， 所以整数的最小值为. 【点睛】关键点点睛：第三问关键点之一在于对原不等式进行恰当转化，第二关键点在于结合构造函数再对不等式变形后构造出恰当函数，利用导数判断出所构造函数的单调性，再次转化恒成立结论，第三关键点在于会找函数的隐零点，得到，难度较大. 20．（23-24高二下江苏扬州期末）已知函数. (1)当时，直线（为常数）与曲线相切，求的值； (2)若恒成立，求的取值范围； (3)若有两个零点，求证：. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据导数几何意义先求切点，即可得解； （2）方法一：利用导数求函数的最小值； 方法二：分离参数法，等价于恒成立； 方法三：由题意，分离参数法，等价于恒成立； （3）方法一：思路一：构造函数，利用导数研究函数单调性；思路二：要证，即证，令，即证；思路三：令，要证，即证，即证，即证，利用导数证明； 方法二：由，令，求其最小值，由的单调性可知，思路一：构造函数，利用导数得证；思路二：令，要证，即证，即证；思路三：令，则，要证，即证，即证；思路四：对两边取对数，得，下面同方法一. 【详解】（1）当时，. 设切点，则 消得，解得，代入得. （2）方法一：因为， 所以， 当时，设，则， 所以当时，单调递减； 当时，单调递增. 所以. 又-axe，故恒成立，所以成立. 当时，， 所以当时，单调递减； 当时，单调递增. 故，解得，又，所以， 综上所述，的取值范围为. 方法二：因为恒成立， 又，所以上式等价于恒成立. 记，则， 设，则. 当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增. 所以. 所以当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增. 所以. 故的取值范围为. 方法三：因为恒成立， 又，所以上式等价于恒成立. 记，则， 所以当时，在上单调递减；当时，在上单调递增.所以. 令，则，则恒成立. 记，则， 所以在上单调递增，所以，所以. 故的取值范围为. （3）方法一：因为有两个零点，不妨设， 则， 即，即， 令，则， 所以当时，单调递减； 当时，单调递增. 所以. 令，则单调递增， 又，所以，即. 由的单调性可知. 思路一：构造函数. 则， 故在上单调递减， 又，所以，则，即， 又，所以， 又在上单调递增，所以. 故. 思路二：要证，即证，即证. 令，即证. 构造函数. 则， 故在内单调递减，则，即. 故. 思路三：因为，即， 令，则 即 要证，即证， 即证，即证， 下同思路一，略. 方法二：因为有两个零点，不妨设， 则， 即. 令，则， 所以当时，单调递减；当时，单调递增. 所以. 令，则单调递增， 又，所以，即 由的单调性可知. 思路一：构造函数. 则 ， 令，则， 所以当时，单调递减， 所以当时，，则，所以， 故在上单调递减，又，所以，则，即， 又，所以， 又在上单调递增，所以. 故. 思路二：因为，所以， 即， 令，要证，即证， 即证. 构造函数. 则， 故在上单调递减，则. 故. 注：要证明，即证，构造函数. 则， 故在上单调递减，则.故. 思路三：令，则即. 要证，即证，即证. 下同思路二，略. 思路四：对两边取对数，得，下面同方法一. 【点睛】方法点睛： 导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效. 题型五：同构+放缩 21．【多选题】（23-24高二下内蒙古期中）已知函数，若对任意的成立，则的取值可能是（    ） A．1 B． C．3 D． 【答案】AB 【分析】根据已知不等式进行常变量分离，得到，观察分母，联想不等式，结合指数的运算性质进行放缩进行求解即可.. 【详解】由题意可得， 则 . 设，则. 由，得，由，得，则在上单调递减， 在上单调递增，故，即. 因为，所以， 当且仅当时，等号成立， 则，故. 故选：AB 【点睛】关键点点睛：本题的关键是常变量分离后，利用不等式和指数的运算性质进行放缩. 22．（23-24高二下黑龙江期中）已知函数，． (1)求函数在区间上的最大值； (2)若，恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）利用导数分类讨论求最值； （2）根据题意，分离参数得恒成立，借助不等式，可求的最小值. 【详解】（1）函数的定义域为. 由已知可得． 当时，，故在区间上单调递增， 所以函数在区间上的最大值为； 当时，由，解得；由，解得． 所以函数在上单调递增，在上单调递减.， 则当时，，则函数在区间上单调递增， 所以最大值为； 当时，，则函数在区间上先增后减， 所以最大值为； 当时，，则函数在区间上单调递减， 所以最大值为； 综上所述，当时， 函数在区间上的最大值为， 当时，函数在区间上的最大值为， 当时，函数在区间上的最大值为； （2）设，则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以，则， 依题意，，恒成立，即恒成立， 而 ， 当且仅当时，等号成立， 因为函数在上单调递增，， 所以存在，使得成立， 所以，即实数a的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：第（2）问中借助不等式,求最值. 23．（23-24高二下黑龙江大庆期中）已知. (1)求的单调区间及极值； (2)（i）恒成立，求a的取值范围； （ii）证明时，； (3)时，恒成立，求a的取值范围. 【答案】(1)在上递减，在上递增，极小值0，无极大值 (2)（i），（ii）证明见解析 (3) 【分析】（1）对函数求导后，再令，可求得在上递减，在上递增，而当时，， ，从而可求出函数的单调区间，从而可求出函数的极值； （2）（i）由，得，构造函数，利用导数求出其最大值即可；（ii）由（i）知，当时，，令，利用导数可求得，则得，从而可证得结论； （3）由，得，由（2）可知，且当时，取等号，设，结合零点存在性定理可得，，从而可求出a的取值范围. 【详解】（1）由，得， 令，则， 当时，，当时，， 所以在上递减，在上递增， 即在上递减，在上递增， 因为当时，，而， 所以当时，，当时，， 所以在上递减，在上递增， 所以当时，取得极小值，无极大值； （2）（i）由，得， 所以，令， 则， 当时，，当时，， 所以在上递增，在上递减， 所以，所以，得， 即a的取值范围为； （ii）由（i）知，当时，， 令，则， 当时，，当时，， 所以在上递减，在上递增， 所以，所以， 所以，所以， 因为， 所以时，； （3）由，得， 所以， 所以 由（2）知，当且仅当时，取等号，即时，， 设，其在上递增， 因为当时，，当时，， 所以存在唯一，使， 所以， 所以， 所以当时，在上恒成立， 当时，显然时，不成立， 综上 【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的单调区间，考查利用导数证明不等式，考查利用导数解决不等式恒成立问题，第（3）问解题的关键是将转化为，再结合恒成立可求得结果，考查数学转化思想和计算能力，属于难题. 24．（23-24高二下辽宁大连期末）经研究发现：任意一个三次多项式函数的图象都有且只有一个对称中心点，其中是的根，是的导数，是的导数.若函数图象的对称中心点为，且不等式对任意恒成立，则的取值范围是__________. 【答案】 【分析】首先求得，，而原不等式等价于，可以利用不等式放缩即可求解. 【详解】， 因为图象的对称中心点为，所以，所以， 由，所以， 原不等式为， 因为，所以， 设，则， 当时，，当时，， 所以当时，单调递减，当时，单调递增， 所以，即， 因为，当且仅当，即时等号成立， 所以，所以其最小值为，故. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：关键是得到恒成立，结合切线放缩不等式即可顺利得解. 题型六：双变量同构 25．（21-22高三上河南月考）若对任意的，x1，x2∈(0，e2]，且，不等式恒成立，则的最大值为（    ） A．－e2 B．－e C．－2 D．－1 【答案】D 【分析】由已知条件将不等式转化为恒成立，构造函数，可得在上为增函数，再由可求出的范围，从而可求出的最大值 【详解】因为，且，所以， 所以不等式恒成立，等价于恒成立， 所以，即恒成立， 令，则， 所以在上为增函数， 所以在上恒成立，即， 所以在上恒成立， 所以， 所以的最大值为， 故选：D 26．（23-24高二下重庆期末）若对任意的恒成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将已知变形为，然后构造函数，将问题转化为在上恒成立，转化为的最大值问题，利用导数求解可得. 【详解】因为，所以，则可化为， 整理得， 因为，所以， 令，则函数在上单调递减， 则在上恒成立， 所以在上恒成立， 令，则在上恒成立， 则在上单调递减， 所以，故， 所以得最小值为. 故选：D. 【点睛】关键点睛：本题解题关键在于对进行合理变形，通过构造函数，将问题转化为在上恒成立，然后可解. 27．（23-24高二下江苏盐城期末）已知函数． (1)若函数的图象在处的切线与直线平行． ①求实数的值； ②对于任意，，当时，不等式恒成立，求实数的取值范围； (2)若函数存在极小值，试用零点存在定理证明：存在，使得等于函数的极小值． 【答案】(1)①；② (2)证明见解析 【分析】（1）①求出函数的导函数，依题意，求出的值，再代入检验即可；②依题意可得恒成立，所以在上单调递减，令，，则在上恒成立，再参变分离可得在上恒成立，利用导数说明函数的单调性，求出函数的最值，即可得解； （2）首先分、两种情况讨论，说明函数的单调性，求出函数的极小值点，令，结合零点存在性定理说明存在零点，即可得证. 【详解】（1）①函数的定义域为，， 因为函数的图象在处的切线与直线平行，即，解得或； 当时，则， 则函数的图象在处的切线为，与直线平行，符合题意； 当时，则， 则函数的图象在处的切线为，与直线重合，不符合题意； 所以. ②对于任意，，当时，不等式恒成立， 即恒成立， 所以在上单调递减， 令，， 则在上恒成立， 所以在上恒成立， 令，， 则在上单调递递增， 所以， 所以在上单调递递增，所以， 所以，即实数的取值范围为； （2）函数的定义域为， 且， 当时恒成立，所以在上单调递增，则无极值，不符合题意； 当时，，的关系如下所示： 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以在处取得极小值， 令， 则，， （，所以，则，所以）， 所以，又在上为连续函数， 所以在上存在零点， 即使得，此时， 所以存在，使得等于函数的极小值. 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 28．（23-24高二下重庆万州期中）已知函数． (1)若函数的图象在点处的切线方程为，求函数的极小值； (2)若，对于任意，，当时，不等式恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）借助导数的几何意义计算可得，即可得函数的单调性，即可得函数的极小值； （2）原条件可转化为函数在上单调递减．构造相应函数后借助导数计算即可得. 【详解】（1）的定义域为， ． 由函数的图象在点处的切线方程为， 得，解得， 此时， 当和时，； 当时，． 所以函数在和上单调递增，在上单调递减， 所以当时，函数取得极小值； （2）由得． 因为对于任意，，当时，恒成立， 所以对于任意，，当时，恒成立， 所以函数在上单调递减． 令，， 所以在上恒成立， 则在上恒成立． 设， 则在单调递减． 当时，，所以函数在上单调递减， 所以， 所以，故实数m的取值范围为． 29．（23-24高二下江苏常州期中）已知函数． (1)若，求函数在区间上的最大值； (2)若对于任意的，，都有，则实数的取值范围． 【答案】(1) (2). 【分析】（1）求导，分，，，讨论导数的正负判断单调性，求出最值； （2）题意转化为不妨设，，即函数在上单调递减，则在上恒成立，即在上恒成立，构造函数，利用导数求出最大值得解. 【详解】（1）因为，，      ①当时，因为，所以， 所以函数在上单调递增，则； ②当，即时，，， 所以函数在上单调递增，则； ③当，即时， ，，，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 则；                                ④当，即时，，，函数在上单调递减，则．                                      综上，. （2）对于任意的，，有， 不妨设时，，               令，根据题意对任意的， 当时，，所以函数在上单调递减， 所以在上恒成立，即在上恒成立， 令，则， 所以当时，，单调递增，当时，单调递减. 所以，所以. 【点睛】关键点睛：本题第二问解题的关键是问题转化为函数在上单调递减，在上恒成立. 30．（24-25高三上湖北宜昌月考）函数的导函数记为，若对函数的定义域内任意实数，存在实数，使得不等式成立，则称函数为上的＂函数＂． (1)判断函数是否是上的“函数”，请说明理由； (2)若函数是上的“函数”，求实数的取值范围； (3)已知函数是上的“函数”．若对任意的，当时，都有成立，求实数的最大值． 【答案】(1)不是，理由见解析； (2)； (3)6. 【分析】（1）根据定义直接判断即可； （2）结合定义可得对任意的恒成立，进而得到对任意的恒成立，令，进而结合导数分析单调性求得最值即可求解； （3）先根据定义得到对任意的恒成立，分类讨论求得，再结合题意可得，令，，进而结合导数分析求解即可. 【详解】（1）不是，理由如下： 因为，则， 由于，即对任意的不恒成立， 所以函数不是上的“函数”. （2）因为，所以， 因为函数是上的“函数”， 所以对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 令，则， 当时，；当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，即， 所以实数的取值范围为. （3）因为，所以， 因为函数是上的“函数”， 所以对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 当时，对任意的，上式恒成立，符号题意； 当时，恒成立， 设，， 则，所以函数在上单调递减， 所以，即； 当时，恒成立， 设，， 则，所以函数在上单调递减， 所以，即. 综上所述，. 若对任意的，当时，都有成立， 不妨设，则，于是有， 即， 令，， 则存在，使得在上为增函数， 于是存在，使得， 即对任意的恒成立， 可得对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 而函数在上单调递增，所以，即， 另一方面，当，时，，， 可得知恒成立，满足题意， 所以实数的最大值为6. 【点睛】方法点睛：与函数的新定义有关的问题的求解策略： 1.通过给出一个新的函数定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的； 2.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决. 题型七：同构证明类型 31．（23-24高二下四川乐山期末）已知函数． (1)当时，求函数的极值； (2)当时，若，求证：． 【答案】(1)极小值为，无极大值 (2)证明见解析 【分析】（1）当时，，对求导，得到，令，得到，再利用极值的定义，即可求解； （2）构造函数，对求导，利用导数与函数单调性间的关系，再结合条件，得到，再构造函数，求出函数的单调区间，进而求出的最小值，即可证明结果. 【详解】（1）当时，，所以， 令，得到，当时，，时，， 所以在处取到极小值，极小值为，无极大值. （2）因为，， 由，得到， 令，则， 令，则，由，得到， 当时，，时，， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 得到，又，所以，当且仅法时取等号， 所以在区间上单调递增，得到， 又， 所以， 令，所以，令，得到， 当时，，时，， 即在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以，故. 【点睛】关键点点晴：本题的关键在于第二次，利用同构，即，构造函数，利用函数的单调性得到，从而得到，再构造函数，求出函数的最小值，即可求解. 32．（24-25高三上江苏宿迁月考）已知函数． (1)讨论函数的单调区间； (2)当时，证明：； (3)函数有两个零点、，求证：． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）求得，对实数的取值进行分类讨论，利用函数的单调性与导数的关系可得出函数的增区间和减区间； （2）当时，即证不等式，令，即证不等式，构造函数，利用导数求函数的最小值，即可证得结论成立； （3）设，由已知等式推导出，将所证不等式等价变形为，令，即证，令，其中，令导数分析函数的单调性，即可证得结论成立. 【详解】（1）函数的定义域为， ， 当时，对任意的，， 由可得，由可得， 此时，函数的减区间为，增区间为； 当时，由可得，由可得或， 此时函数的减区间为，增区间为、； 当时，对任意的，， 此时函数的增区间为； 当时，由可得，由可得或， 此时，函数的减区间为，增区间为、. 综上所述，当时，函数的减区间为，增区间为； 当时，函数的减区间为，增区间为、； 当时，的增区间为，无减区间； 当时，函数的减区间为，增区间为、. （2）当时，， 即证， 令，即证，即证， 因为，则函数在上单调递增， 当时，；当时，， 所以函数的值域为， 令，其中，则， 由可得，由可得， 所以函数的减区间为，增区间为，则， 故，即，故原不等式得证. （3）， 因为函数有两个零点、，不妨设， 则，所以，， 整理可得，即， 要证，即证， 即证， 令，即证， 令，其中，则， 所以函数在上为增函数，则， 即，即，故原不等式得证. 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下： （1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数； （2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论； （3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 33．（23-24高二下湖北武汉期末）已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)证明时，； (3)若对于任意的，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)增区间为，减区间为 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）求导即可得到函数的单调区间； （2）令，即可得到，原不等式化为，再结合函数的单调性，即可化为，然后构造函数，求导即可证明； （3）根据题意，由（2）中的结论可得符合题意，然后证明当时，不符合题意，即可得到结果. 【详解】（1）， 当时，；当时，， 的增区间为，减区间为． （2）令， 当时，；当时，， 当时，，即， 原不等式等价于， 为上的减函数，， 只需证明，即， 令， 当时，，当时，， 原不等式成立． （3）当时，由（2）知,又， ， 原不等式在上恒成立． 当时，令． ， 在内必有零点，设为，则， ， ，而， 综上所述实数的取值范围是． 题型八：同构零点类型 34．【多选题】（23-24高二下安徽合肥期中）已知函数和有相同的最大值，直线与两曲线和恰好有三个交点，从左到右三个交点横坐标依此为，则以下说法正确的是（    ） A． B． C．成等差数列 D．成等比数列 【答案】ABD 【分析】根据导数分类讨论求最值，然后数形结合，利用指数与对数之间的转化求解即可. 【详解】对于AB，， 当时，当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以当时，函数有最大值，即； 当时，当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以当时，函数有最小值，没有最大值，不符合题意， 由， 当时，当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以当时，函数有最大值，即； 当时，当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以当时，函数有最小值，没有最大值，不符合题意， 于是有，因此选项AB正确， 对于CD，两个函数图像如下图所示： 由数形结合思想可知：当直线经过点时， 此时直线与两曲线和恰好有三个交点， 不妨设， 且， 由，又， 又当时，单调递增，所以， 又，又， 又当时，单调递减，所以， ， ，于是有， 且，所以选项C错误，D正确， 故选：ABD 【点睛】关键点睛：利用数形结合思想，结合等式是解题的关键. 35．（2023四川成都三模）已知函数和函数有相同的最大值. (1)求实数的值； (2)直线与两曲线和恰好有三个不同的交点，其横坐标分别为，且.下列两个结论①；②.其中只有一个正确，请选择正确的结论，并证明. 【答案】(1)1 (2)正确结论②，证明见解析 【分析】（1）分别对，求导，得出，的单调性，求出，的最大值，即可求出实数的值； （2）画出，的图象，设，图象的交点为A，直线经过点A时，此时直线与两曲线和恰好有三个交点，可得，再利用指对同构及的单调性，即可证明． 【详解】（1）的定义域为，且 时，无意义，不合题意； 时，当时，递减；当时，递增；所以，无最大值，不合题意， 时，当时，递增；当时，递减；所以， 的定义域为，且， 当时，递增，当时，递减；所以 所以， 又和有相同的最大值，所以，解得，又，所以； （2）正确结论为②，证明如下： 由（1）可知：在递增，在递减，且，在递增，在递减，且， 和的图象如图所示：    设和的图象交于点A， 则当直线经过点A时， 直线与两条曲线和共有三个不同的交点， 则， 且， 因为，所以，即， 因为，且在递增，所以， 所以， 因为，所以，即， 因为，且在递减， 所以，所以， 所以，即. 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的最值、零点问题，属于难题.利用导数在研究函数性质时，离不开研究函数的单调性，判断单调性的方法是：递减；递增. 36．（25-26高三上上海月考）已知曲线和，它们的图像分别为曲线和． (1)求函数和的最大值； (2)证明：曲线和有唯一交点； (3)设直线与两条直线、共有三个不同交点，并且从左到右的三个交点的横坐标依次为，，，求证：，，成等比数列． 【答案】(1)的最大值为，最大值为 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）通过导数研究、的单调性即可求解； （2），令，求导研究的单调性，再结合零点定理即可求解； （3）直线与两条曲线、共有三个不同交点，则直线必过曲线和的交点，在此条件下，列出等式，并求证即可． 【详解】（1）对求导，， 令，即，所以1，解得， 当时，，，单调递增； 当时，，，单调递减， 所以在处取得极大值，也是最大值，， 对求导，， 令，即，解得， 当时，，，单调递增；当时，，，单调递减， 所以在处取得极大值，也是最大值，， 因此，的最大值为，的最大值为． （2）， 设，则， 令，则， 所以，当，，单调递减， 当，，单调递增，所以，即，令，则， 所以，当，，单调递减， 当，，单调递增，所以，即， 所以， 所以， 所以在为减函数， 又，，即， 所以，由零点存在定理知，在存在唯一的零点， 即方程有唯一解，所以，曲线和有唯一交点． （3）由（1）知，， 由（2）知，要使直线与两条曲线、共有三个不同交点， 则直线必过曲线和的交点，且， 所以，故有， 因为，且， 由（1）知在上递增，所以， 同理，且， 由（1）知在上递减， 所以，即， 所以，即，，成等比数列． 37．（23-24高三上福建泉州月考）已知函数和有相同的最大值． (1)求； (2)证明：存在直线，其与两条曲线和有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标满足． 【答案】(1)0 (2)证明见解析 【分析】（1）先求，确定函数的单调性得其最大值，再讨论确定函数的最大值，利用得的值； （2）利用数形结合得到，再利用同构法证得与，从而得证. 【详解】（1）因为函数，，则 ， 所以当时，，则函数单调递增， 当时，，则函数单调递减； 故； 因为函数，所以， 令，则. ①当时，是减函数， 所以时，，则函数单调递增； 时，，则函数单调递减； 故，则成立； ②当时，令，则， 当时，，则单调递增； 当时，，则单调递减； 所以，即，即，当且仅当时，等号成立， 用替换，则，即，所以， 故， 显然当，，则，故无最大值，故不成立； ③当时，，故单调递减， 又，， 设，使得，即（*）. 则，，则单调递增； ，，则单调递减； 故， 由，有，即， 代入（*）得不成立； 综上，. （2）由（1）知，两个函数图象如下图所示： 由图可知：当直线经过点时， 此时直线与两曲线和恰好有三个交点， 不妨设， 且， 由，又， 又当时，单调递增，所以，即， 又，又， 又当时，单调递减，所以，即， 所以. 【点睛】关键点睛：本题第2小问解决的关键是作出和的图象，数形结合得到，再利用同构造即可得证. 38．（23-24高二下河南商丘期末）已知函数． (1)若，讨论的单调性； (2)若函数恰有2个零点，求的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）求出函数的导数，讨论a的取值情况，判断函数单调性，即得答案； （2）将函数恰有2个零点，转化为方程恰有2个正实数解．继而利用函数单调性转化为方程恰有2个正实数解．继而设，则恰有2个零点，利用导数结合零点存在定理即可求解. 【详解】（1）由已知，得的定义域为， ， 若，则当时，，当时，， 在区间上单调递增，在区间上单调递减； 若，则，当或时，， 当时，， 在区间上单调递减，在区间上单调递增，在区间上单调递减． 综上所述，当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减； 当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 在区间上单调递减． （2）由题知，， 恰有2个零点，方程恰有2个正实数解， 即方程恰有2个正实数解， 即方程恰有2个正实数解． 设，即方程恰有2个正实数解， 显然在上单调递增， ，即方程恰有2个正实数解． 设，则恰有2个零点， ， 若，则， 在区间上单调递减，至多有1个零点，不符合题意； 若，当时，，当时，， 在区间上单调递增，在区间上单调递减， 要使函数恰有2个零点， 则， ，即． 当时， ， 存在，使得， ， 设，则， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增，故， 即，当且仅当时取等号； 由于，故， 设， 则当时，， 在区间上单调递增， ， 存在，使得， 当时，恰有2个零点， 实数的取值范围为． 【点睛】关键点睛：本题综合考查了导数的综合应用问题，难度较大，解答的关键在于第二问根据函数零点个数求解参数范围，解答时要利用指对数的运算将原问题转化为方程恰有2个正实数解，继而结合函数单调性转化为方程恰有2个正实数解． 39．（23-24高二下湖南期中）已知函数，函数，若函数有两个零点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】变形为有两个实根，变形得到，设，求导得到单调性，进而求出，只需使有两个根，设，求导,即可求解最值得出的取值范围． 【详解】要使函数有两个零点，即有两个实根， 即有两个实根， 即，整理为， 设函数，则上式为， 因为恒成立，所以单调递增，所以， 所以只需使有两个根，设， ， 易知，函数的单调递增区间为，单调递减区间为， 故函数在处取得极大值，也是最大值，则， 当时，；当时，， 要想有两个根，只需，解得， 即的取值范围是． 故选：C． 【点睛】关键点点睛：由指对数运算等价变换为，即可由的单调性得. 40．【多选题】（2023全国模拟预测）已知，若关于 的方程存在正零点，则实数的值可能为（    ） A． B． C．e D．2 【答案】CD 【分析】将式子变形为，构造函数，和，即可利用导数求解单调性，即可求最值. 【详解】依题意，，令， 故问题转化为有解. 设，则， 故当时，，单调递减，当时，，单调递增， 故，而，所以存在唯一零点， 即在有解，即， 令，则， 故当时，，当时，， 故函数在上单调递减，在上单调递增， 故，解得，故实数的取值范围为， 故选：CD. 【点睛】本题考查了导数的综合运用，求某点处的切线方程较为简单，利用导数求单调性时，如果求导后的正负不容易辨别，往往可以将导函数的一部分抽离出来，构造新的函数，利用导数研究其单调性，进而可判断原函数的单调性.在证明不等式时，常采用两种思路：求直接求最值和等价转化.无论是那种方式，都要敢于构造函数，构造有效的函数往往是解题的关键. 4 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $