2.2 探索直线平行的条件（第1课时 同位角相等 两直线平行）（教学课件）数学北师大版七年级下册

2 探索直线平行的条件 第1课时 利用同位角判定两直线平行 第二章 相交线与平行线 北师大版（新教材）·七年级下册 学 习 目 标 1 2 3 理解同位角的概念，能在图形中准确识别同位角。掌握判定方法：同位角相等，两直线平行，会用几何语言表达。掌握平行线基本事实及其推论。 经历观察、操作、想象、推理、交流的过程，探索平行线的判定条件。会用同位角相等判定两直线平行，进行简单推理和说理。 感受数学与生活的联系，体验几何探究的乐趣。 培养言之有据、规范表达的几何学习习惯。 两直线的位置关系 平行 在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线. 相交 在同一平面内，若两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为相交线. 知识回顾 垂直的定义： 当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足. O 相交线 平行线 ∟ 特殊相交 知识回顾 互余 互补 两角间的数量关系 对应图形 性质 同角或等角的 余角相等 同角或等角的 补角相等 互余与互补只与角的数值有关，与位置无关。而对顶角是根据角的位置来判断的 知识回顾 垂线、垂线段和点到直线的距离这三个概念的区别与联系 垂线 垂线段 点到直线的距离 图示 区别 联系 垂线是一条直线 垂线段是一条线段 垂线段的长度，是一个数量 它们都与垂直有关 l P O l P O l P O 学习了两条直线的位置关系，对顶角、补角、余角、垂直，有初步画图、观察、说理能力。今天继续探究两条直线的另外一种关系——平行 导入新课 (1)如图2-13，装修工人要在墙上钉木条，如果木条b与竖直木条垂直 图2-13 在日常生活中， 人们经常用到平行线。 (2)如图2-14，如果木条b不与竖直木条垂直呢？ 图2-14 b a 木条a 与竖直木条所成的角为多少度时，才能使木条a与木条b平行？ 那么木条a 与竖直木条所成的角为多少度时，才能使木条a与木条b平行？ 根据什么条件可判断两条直线互相平行？ 操作•交流 探究点1 认识同位角 议一议 c a 2 1 如图，三根木条相交成∠1， ∠2，固定木条b，c，转动木条a，观察∠2的变化以及木条 a 与木条 b 的位置关系 当∠1＞∠2时 当∠1＝∠2时 当∠1＜∠2时 ①直线 a 和 b 不平行 ②直线 a∥b ③直线 a 和 b 不平行 木条 a 与木条 b 的位置关系由不平行变成平行又变成不平行。 操作•交流 探究点1 认识同位角 议一议 c a 2 1 如图，三根木条相交成∠1， ∠2，固定木条b，c，转动木条a， （1）木条 a 与木条 b 的位置关系发生了什么变化？ c a 2 1 木条 a 与木条 b 相交 木条 a 与木条 b 平行 c a 2 1 ①∠1，∠2都在被截直线a，b的_____________。 操作•交流 探究点1 认识同位角 议一议 观察图形： ∠1与 ∠2 的位置是在被截两根木条的同一方，且在所截木条的同一侧的一对角。 ② ∠1，∠2都在截线c的__________。 同一方(上方) 同旁(右侧) 具有∠1与∠2这样位置关系的角称为同位角。 （2）你能描述图中∠1与 ∠2 的位置关系吗？ ∠1，∠2的位置可以看成是两根木条a、b被第三条木条c所截形成的角 同位角 c a 2 1 c a 2 1 操作•交流 探究点1 认识同位角 归一归 两条直线被第三条直线所截，形成三线八角。 同位角定义：两直线被第三条直线所截，在被截两直线的同一方，且在截线的同一侧的一对角，叫做同位角。 （3）同位角定义 2 1 a b c 三线八角 3 1 7 5 4 2 8 6 截线 被截线 操作•交流 探究点1 认识同位角 议一议 （3）图中还有其它同位角吗？若有，说出来。 （4）观察同位角的图形有什么特征。 C D A B l 3 1 7 5 4 2 8 6 ∠3和∠4是同位角 ∠5和∠6是同位角 5 6 1 2 3 4 7 8 总结 图形特征：在形如字母“ F ”的图形中有同位角。 ∠7和∠8是同位角 操作•交流 探究点1 认识同位角 做一做 c a 2 1 （5） 当∠1与 ∠2满足什么条件时，木条 a 与木条 b 平行？与同伴进行交流。 c a 2 1 当∠1＝∠2时木条 a 与木条 b 平行 c a 1 2 猜想：当同位角相等时，两直线平行。 ∠1＝∠2 a 平行于b 转动木条，观察同位角大小变化。 尝试•思考 探究点2 平行线判定方法——同位角相等，两直线平行 归一归 平行线判定方法1 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。 简记：同位角相等，两直线平行 c a 1 2 表示方法： 两直线平行， 用符号“∥” 表示。 直线 a 与直线 b 平行， 记作 a∥b。 几何语言： ∵∠1 =∠2 (已知)， ∴ a∥b (同位角相等，两直线平行) 尝试•思考 探究点3 平行线基本事实及其推论 画一画 你能借助三角尺，过直线外一点画已知直线的平行线？ a (1)落 (2)靠 (3)推 (4)画 P b 尝试•思考 探究点3 平行线基本事实及其推论 议一议 2.上图所示的方法画出了已知直线的平行，请说明其中的道理。 同位角相等，两直线平行 b A 2 1 a B 尝试•思考 探究点3 平行线基本事实及其推论 议一议 3.你能过直线AB外一点C画直线AB的平行线吗？能画出几条？ A B C 过点C平行于AB的直线只有一条。 总结 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行。 操作•思考 探究点3 平行线基本事实及其推论 画一画 已知，过点C和D画直线AB的平行线EF和GH，那么EF与GH有怎样的位置关系? 几何语言： 如果 EF ∥ AB ，GH∥ AB ， 那么 EF∥GH。 C D A B F E G H 几何语言： 如果 b∥a，c∥a， 那么 b∥c。 c b a 操作•思考 探究点3 平行线基本事实及其推论 归一归 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行。 平行于同一直线的两条直线平行。 平行线基本事实及其推论 典例分析 例1．下列说法错误的是（    ） ①过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行； ②同一平面内，两条直线如果不相交，那么一定平行 ③平行于同一条直线的两条直线互相平行 A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 解：①②③均正确 D 典例分析 例2：在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行吗?为什么? 解:这两条直线平行，理由如下: ∵b⊥a, ∴∠1=90°. 同理∠2=90°. ∴∠1-∠2. 又∠1和∠2是同位角， ∴b//c(同位角相等，两直线平行). c a 1 2 ∟ ∟ 典例分析 例3.如图，直线a, b被c所截，∠1=60°，∠3=120°。判断a与b是否平行，并说明理由。 解:这两条直线平行，理由如下: ∵ ∠3+ ∠4 = 180° （邻补角定义） 又∵∠3 = 120°（已知）， ∴∠4= 180°－ 120°= 60° ∵ ∠1=60° ∴∠1= ∠4　且∠1与∠4是同位角， ∴ a∥b（同位角相等，两直线平行）。 c a 1 2 3 4 1.找出下面点阵(点阵中相邻的四个点构成正方形)中互相平行的线段 新知巩固 A B C D E F G H 解： AB∥CD EF∥GH 【教材 P43 】 随堂练习 新知巩固 2.如图，∠1=∠2 = 55°，直线 AB 与 CD 平行吗？ 【教材 P43 随堂练习 第2题】 A B C D 1 2 解： 3 因为 ∠1=∠3（对顶角相等）， 又因为 ∠1=∠2（已知条件）， 所以 ∠3=∠2（等量代换）， 所以 AB∥CD（同位角相等，两直线平行）。 【教材 P43 】 随堂练习 新知巩固 3.对于同一平面内的三条直线a，b，c，如果 a 与 b 平行，c 与 a 相交，那么 c 与 b 的位置关系是相交还是平行？请画图说明。 答：c与b的位置关系是相交。 a b c 解： 【教材 P43 】 随堂练习 拓展提升 1.．如图，直线，被直线所截，平分，，．求证：． 解：∵平分，， ∴． 又， ∴． ∴． 真题感知 1．（2025.湖州校测）如图所示，若，则（    ） A． B． C． D． 解：∵， ∴（同位角相等，两直线平行）， D 真题感知 2．（2025•甘肃）如图1，三根木条a，b，c相交成∠1＝80°，∠2＝110°，固定木条b，c，将木条a绕点A顺时针转动至如图2所示，使木条a与木条b平行，则可将木条a旋转（　　） 解：如图2所示，旋转后∠2＝∠1＝80°时，a∥b， ∴要使木条a与b平行， 木条a绕点A顺时针旋转的度数是110°－80°＝30°． A 真题感知 3．（2025.柳州校考）已知：如图，直线与被所截，．求证：． 解：∵（对顶角相等）， 又∵（已知）， ∴， ∴（同位角相等，两直线平行）． 课堂小结 知 识 总 结 方 法 总 结 易 错 提 醒 （1）同位角：同一方、同一侧，形如“F”型。 （2）判定平行：同位角相等，两直线平行。 （3）基本事实：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。 （4）推论：平行于同一直线的两条直线互相平行。 （1）找同位角：两直线被第三条直线所截，在被截两直线的同一方，且在截线的同一侧的一对角。 （2）证平行：先找同位角相等，再判两直线平行。 （3）几何推理：先写条件，再写结论，注明依据。 （1）同位角必须是三线八角中：两直线被第三条直线所截形成的角。 （2）只有同位角相等才能推平行，不能看到位置像就说平行。 （3）推论中三条直线互相平行，不能漏掉“互相”。 课后练习 教材p47 1.找出下图中互相平行的直线。 m n a b 130° 50° 50° 解：m∥n， a∥b。 习题2.2 课后练习 2.如果只有直尺，你能在图中的方格纸上画出平行线吗？你是怎么画的？ 教材p47 习题2.2 课后练习 7.直线l的同侧有 A，B，C 三点，如果 A、B 两点确定的直线 l1与 B，C两点确定的直线 l2 都与 l 平行，那么 A，B，C 三点的位置关系如何? 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以A，B，C三点共线。 l A B C 教材p48 习题2.2 课后练习 8.观察下面每幅图中的直线 a，b，它们分别平行吗？如何验证它们是否平行呢？你有几种方法？ 答：它们分别平行。用三角尺的一边对准一条边，推动三角尺使它和另一条边重合，得出图中的a，b两条直线是平行的。 教材p48页 习题2.2 谢谢聆听 $