2.1 两条直线的位置关系（第2课时 垂直的概念和性质）（教学课件）数学北师大版七年级下册

2.1 两条直线的位置关系 第2课时 垂线 第二章 相交线与平行线 北师大版（新教材）·七年级下册 学 习 目 标 1 2 3 理解垂直的定义，会用符号表示垂直，会写几何语言。掌握两条性质：① 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；② 垂线段最短。理解点到直线的距离的概念，并能简单应用。 经历画图、观察、猜想、归纳的过程，体会几何性质的形成过程。会用垂直的定义和性质进行简单推理与计算。 感受垂直在生活中的广泛应用，培养严谨、规范的几何表达习惯。 知识回顾 对顶角、余角与补角 核心要点 1.在同一平面内，两条直线的位置关系有 和 两种。 若两条直线只有 个公共点，我们称这两条直线为相交线。 在同一平面内， 的两条直线叫做平行线。 相交 平行 一 不相交 O 相交线 平行线 知识回顾 对顶角、余角与补角 核心要点 2.如果两个角有 个公共点，且它们的两边互为 ，则这样的的两个角叫做对顶角； 反向延长线 一 对顶角的性质： 2 1 3 4 ∠1=∠2 （或 ∠3=∠4） 对顶角相等. 下列说法正确的有(　　) ①对顶角相等； ②相等的角是对顶角； ③若两个角不相等，则这两个角一定不是对顶角； ④若两个角不是对顶角，则这两个角不相等． A．1个　 B．2个　 C．3个　 D．4个 B 议一议 知识回顾 对顶角、余角与补角 核心要点 3.如果过两个角的和是 ，那么这两个角互为补角， 如果两个角的和是 ，那么这两个角互为余角。 180。 90。 余角和补角的性质： 同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等. 同角：是一个角； 等角：是两个角. 一个角的余角与这个角的补角的和比平角的 多1°。求这个角。 解：设这个角为α，则这个角的余角为90。－α， 补角为180°－α，根据题意：得 90°－α+180°－α=180°× +1° 解得： α=67° ∴这个角为67° 练一练 导入新课 这是一张城市十字路口的航拍图，大家可以看到，道路的标线形成了清晰的直角。 导入新课 观察下列图片，你能找出其中相交的线吗？它们有什么特殊的位置关系？ 你还能举出哪些例子呢？ 垂直 这些两两相交直线的夹角是多少度？ 两两相交的直线的夹角为90° 导入新课 城市街道：十字路口的标线形成直角 日常家具：书架隔板与侧板垂直相交 建筑结构：建筑物的墙角呈现垂直关系 这些在生活中随处可见的现象，都指向了我们今天要学习的一个重要概念 ——垂直。 在数学上，我们该如何给垂直下一个精确的定义呢？ 新知探究 探究点1 认识垂直定义 做一做 （1）取两根木条 a、b，将它们钉在一起，固定木条 a ，转动木条 b，a、b 所成的夹角 α 。 a b α 转动木条的同时观察其夹角的变化。 α α α α b b b b (2)当 ∠α 为 90°木条 a 和木条 b 所在的直线有什么样的位置关系 a 与 b 垂直 a b α 35° 145° 145° 35° a α 90° 90° 90° 90° b 新知探究 探究点1 认识垂直定义 归一归 （3）垂直定义： 当两条直线相交所成的四个角中，如果有一个角是直角时，我们就说这两条直线互相垂直。其中一条直线叫做另一条直线的垂线. O 它们的交点叫做垂足 直线AB垂直于CD，O为垂足 从垂直的定义可知，判断两条直线互相垂直的关键： 只要找到两条直线相交时四个交角中有一个角是直角。 A B C D 新知探究 探究点1 认识垂直定义 议一议 （4）如图直线AB与CD垂直，如何用符号表示？ 表示方法： C D A B O ① 如图① 记作： AB⊥CD 如图② 记作： l ⊥ m O ② l m 1）图形：图形上标出直角符号“┓” 2）文字：a、b互相垂直, 垂足为O 3）符号：垂直用符号 “⊥”来表示，读作“垂直于” l ⊥ m或m ⊥l,读作“a垂直于b” 注意：若要强调垂足， 则记为： a⊥b， 垂足为O 新知探究 探究点1 认识垂直定义 议一议 （5）如何用几何语言叙述垂直？ ②性质： ∵ AB ⊥ CD 于 O， ∴ ∠AOC = ∠COB = ∠BOD = ∠DOA = 90°。 O A B C D ┓ 如图，当直线AB与CD相交于O点，∠AOD=90°时，AB⊥CD，垂足为O。 符号语言： ①判定：∵∠AOD=90°（已知） ∴AB⊥CD（垂直的定义） 符号语言： 若直线AB与CD垂直，垂足为O，那么，∠AOD=90°。 直角(90°) 线 垂直 直角(90°) 线 垂直 思考•交流 探究点2 垂直定义的简单推理 议一议 A B C O 如图，O为直线AB上一点。 (1)如果∠AOC=∠BOC，那么OC与AB垂直吗？为什么？ 以下是小颖的思考过程，她的想法正确吗？你知道她每一步的依据吗？与同伴进行交流。 由∠AOC=∠ BOC 且∠AOC+∠ BOC=180° 可得∠AOC =∠ BOC = 90° 所以 OC⊥AB 垂直的判定： 因为∠AOC ＝ 90°(已知)， 所以 AB⊥OC (垂直的定义) （ 已知 ） （ 平角定义 ） （ 垂直定义 ） 思考•交流 探究点2 垂直定义的简单推理 议一议 A B C O （2）如果OC⊥AB，那么∠AOC=∠BOC吗？为什么？与同伴进行交流。 已知两条直线垂直，那么这两条直线相交成的四个角中必有一个是直角，进而可以推出其他三个角也都是直角。 如果OC⊥AB，那么∠AOC=∠BOC=90°。 垂直的性质： 因为 AB⊥OC(已知) ， 所以∠AOC = 90°(垂直的定义) 新知探究 探究点3 垂直的画法 议一议 (1)你能用折叠的方法折出互相垂直的直线吗?试试看. 如下图折叠： 新知探究 探究点3 垂直的画法 议一议 如果只用直尺，你画出如图方格纸上已知直线的垂线吗？你还能再面出两条互相垂直的直线吗？ 尝试•交流 探究点3 垂直的画法 议一议 （3）如图，点A在直线上，你能用三角尺过点A画直线的垂线吗？ l A B 则所画直线AB是过点A的直线l的垂线. 问题： 这样画l的垂线可以画几条？ 1 条 1靠（线）:把三角板的一直角边靠在直线上; 2过（点）:三角板的另一条直角边过已知点; 3画（线）:沿着三角板的另一直角边画出垂线. 尝试•交流 探究点3 垂直的画法 议一议 （3）如图，点A在直线，你能用三角尺过点A画直线的垂线吗？ l A B 3画（线）:沿着三角板的另一直角边画出垂线. 2过（点）:三角板的另一条直角边过已知点; 1靠（线）:把三角板的一直角边靠在直线上; 则所画直线AB是过点A的直线L的垂线. 问题： 这样画L的垂线可以画几条？ 1 条 在同一平面内， 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 存在性(有) 唯一性(只有一条) 尝试•交流 探究点3 垂直的画法 归一归 （4）垂线的性质1 情况一：点在直线上 情况二：点在直线外 ∟ ∟ 前提条件：同一平面内 特点： 尝试•交流 探究点4 垂线段最短和点到直线的距离 议一议 （5）如图，点P是直线l外一点，PO⊥l，点O是垂足。点A，B，C在直线l上，比较线段PO，PA，PB，PC的长短，你发现了什么？ P A B C O l 比较线段PO，PA，PB，PC，可得: 线段PO 的长度最短 线段 PO 的长度叫作点P到直线l的距离。 尝试•交流 探究点4 垂线段最短和点到直线的距离 议一议 p O （4）垂线段的性质 在连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短. 提示：垂线段是连接直线外一点与垂足形成的线段) 直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离. （5）点到直线的距离 （6）概 念 辨 析：垂直、垂线、垂线段、点到直线距离 垂直 是两条直线相交成直角的一种位置关系。 关注的是角度特征，本身无长度概念。 垂线 是一条直线，特指与已知直线垂直的线。 向两端无限延伸，不可度量，无长度。 垂线段 是一条线段，连接直线外一点与垂足。 有两个端点，有长度，可度量。 点到直线的距离 是一个数量（长度值）。 特指垂线段的长度，是一个非负实数。 尝试•交流 探究点4 垂线段最短和点到直线的距离 议一议 典例分析 例1.如图，AB⊥CD，垂足为O，∠AOC=90°，求∠AOC、∠AOD、∠BOC、∠BOD的度数。 解:因为AB⊥CD，垂足为O，根据垂直定义， 得∠AOC=∠AOD＝∠BOC＝∠BOD＝90°. 典例分析 例2.如图，过点P画出射线AB或线段AB的垂线. 解:如图所示： B A P · · · · · · P B A O B A P · · · O 典例分析 例3.如图，要从水渠引水到村庄A，在水渠的什么地方开沟，才能使沟最短？画出图形，并说明理由． 解：如图，线段即为所求． 水渠l 村庄A D · 理由：垂线段最短． 典例分析 例4.如图，，垂足为，经过点，求、的度数． 解：直线交于点， ∴（对顶角相等），且， ∴， ∵，即， ∴，且， ∴． 新知巩固 1.画一条直线 l，在直线 l 上取一点 A，在直线 l 外取一点 B，用三角尺或量角器分别经过点 A，B 画直线 l 的垂线。 l l1 A 【教材 P38 】 l B l O 随堂练习 新知巩固 2.下面是画在方格纸上的两个图形，请你分别找出图中互相垂直的线段。 OA⊥OC， OD⊥OB DC⊥BC， DC⊥CE 【教材 P39 】 A B C D O （1） A B C D E （2） 随堂练习 新知巩固 3.请你说说体育课上老师是怎样测量跳远成绩的，并解释其中的道理。 P O 两点之间垂线段最短，所以线段PO的长度即为所求。 【教材 P39 】 方法： 在距离起跳线最近的跳远落地点做上标记，以此标记的位置为尺子的零点，将尺子拉直，并使之与起跳线边缘所在直线垂直，则尺子上表示零点与垂足两点间距离的数字即为跳远成绩。 随堂练习 王嘉男夺世锦赛男子跳远金牌 拓展提升 1．如图，分别过点P作的两边的垂线． 解：如图所示，即为所求． A 真题感知 1.（2025蒙城检测）如图，于点，于点，其中长度能表示点到直线（或线段）的距离的线段有 条． 解：∵，， ∴线段是点B到直线距离的线段； 线段是点A到直线距离的线段； 线段是点C到直线距离的线段； 线段是点A到直线距离的线段； 线段是点B到直线距离的线段； 5 真题感知 2.（2025淮安检测）直线与直线相交于C，画图：过点P作，垂足为R，交于N． 解：如图所示，即为所求． R N 真题感知 3．（2025包河校检测）如图，直线相交于点O，，垂足为O．若，求的度数． 解：，（已知） ，（垂直定义） ，（平角定义） ， . 课堂小结 知 识 总 结 （1）垂直：相交成90°，记作 ⊥。 （2）垂直性质：同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。垂线段最短。 （3）点到直线的距离：垂线段的长度。 方 法 总 结 （1）几何学习：观察→画图→归纳→应用。 （2）垂直问题：见垂直想90°，见90°可判垂直。 （3）实际问题：找垂线段就是找最短距离。 易 错 提 醒 （1）“有且只有”：存在且唯一。 （2）垂线段是图形，距离是长度（数值），不能混淆。 （3）画垂线要画直线，不是线段或射线。（4）射线/线段的垂线，要先延长再画垂直线。 垂直定义的双重作用 判定：由数到形 如果已知两条直线相交所成的角为90°，那么可以判定这两条直线互相垂直。 ∵ ∠AOC = 90° (已知) ∴ AB ⊥ CD (垂直的定义) 性质：由形到数 如果已知两条直线互相垂直，那么可以得出它们相交所成的角为90° ∵ AB ⊥ CD (已知) ∴ ∠AOC = 90° (垂直的定义) 课堂小结 课后练习 教材p39页 工人体育场北路 朝阳北路 建国路 东二环 东三环北路 东四环中路 解： 互相平行的街道 工人体育场北路，朝阳北路与建国路； 东二环，东三环北路与东四环中路； 互相垂直的街道 东二环与工人体育场北路、朝阳北路、建国路分别垂直； 东三环北路与工人体育场北路、朝阳北路、建国路分别垂直； 东四环中路与工人体育场北路、朝阳北路、建国路分别垂直。 3.如图，如果把街道近似地看成直线，那么哪些街道互相平行？哪些街道互相垂直？ 习题2.1 课后练习 5.如图，在长方形的台球桌面上，∠1+∠3=90°，∠2=∠3。 (1)如果∠2=58°，那么∠1等于多少度？ (2)请你以台球桌面为背景，自编一道题并解答。 2 3 1 解： (1)因为 ∠1+∠3=90°，∠2=∠3， 所以 ∠1+∠2=90°。 又因为 ∠2=58°， 所以 ∠1=90°- 58°=32°。 教材p40页 习题2.1 课后练习 5.如图，在长方形的台球桌面上，∠1+∠3=90°，∠2=∠3。 (1)如果∠2=58°，那么∠1等于多少度？ (2)请你以台球桌面为背景，自编一道题并解答。 2 3 1 解： (2)如图中∠4，如果∠4=40°那么∠1等于多少度？ 因为 ∠2+∠4=90°，∠4=40°， 所以 ∠2=90°- 40°=50°。 又因为 ∠2=∠3，∠1+∠3=90°， 所以 ∠1=90°- 50°=40°。 教材p40页 习题2.1 4 课后练习 6.如图，一棵树生长在30°的山坡上，树干与山坡所成的锐角是多少度？ 30° 1 解：设树干与山坡所成角为∠1。 因为 ∠1+30°=90°， 所以 ∠1=90°- 30°=60°。 答：树干与山坡所成的锐角为60°。 教材p40页 习题2.1 课后练习 7.如图，要把水渠中的水引到 C 点，在渠岸 AB 的什么地方开沟，才能使沟最短？画出图形，并说明理由。 A B C D 解：如图，过点 C 作 CD ⊥ AB ，垂足为 D， 沿线段 CD 开渠最短， 依据是“垂线段最短”。 教材p40页 习题2.1 课后练习 8.请举出一些日常生活中应用“垂线段最短”的实例。 线路铺设 道路及桥梁的建造 教材p40页 习题2.1 课后练习 9.如图所示，当光线从空气斜射入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是光的折射现象。图中∠1和∠2是对顶角吗？ 1 2 解：入射光线和折射光线并不在同一条直线上，不满足对顶角的定义， 所以∠1和∠2不是对顶角。 教材p40页 习题2.1 谢谢聆听 $