2.1两条直线的位置关系 导学案 2024-2025学年 北师大版七年级下册数学

2.1两条直线的位置关系 导学案 【学习目标】掌握平面内两直线的位置关系，理解对顶角、补角、余角的定义及性质． 【学习重难点】余角、补角、对顶角的性质及应用. 【导学过程】 一.情境引入 生活中处处可见，在大自然的杰作和人类的创造物中，蕴涵着无数的相交线和平行线. 我们知道： ①在同一平面内，两条直线的位置关系有_____和_____两种。 ( 图 1 )②若两条直线_____一个公共点，我们称这两条直线为__________. ③在同一平面内，不相交的两条直线叫__________. 二.探究新知 1.对顶角及其性质 （1）画图：画出直线AB和直线CD，交于点O，如图1. （2）观察所画图形：∠1与∠2的位置有什么关系？它们的大小有什么关系？ （3）定义：直线AB与CD相交于点O,∠1与∠2有公共的顶点O,它们的两边互为反向延长线,具有这种位置关系的两个角叫做__________. （4）结论：∵∠1+∠3=180°（__________）,∠2+∠3=180°（__________） ∴∠1=∠2（等量代换）,从而可以得到对顶角的性质：_______________. 练习1.下列各图中，∠1和∠2是对顶角的是（ ） ( A D O N B E 3 1 2 4 图 2 )2.补角、余角及性质 （1）如图2,点D,O,E在一条直线上,则∠DOA+∠AOE=_____. 如果两个角的和是_____，那么称这两个角互为_____. （2）如图2,∠DON=90°,∠NOE=90°,则∠1+∠3=_____,∠2+∠4=_____. 如果两个角的和是_____,那么称两个角互为_____. （3）如图2,若∠1+∠2=90°,∠1+∠3=90°,∠2与∠3有什么关系_____. 若∠α+∠β=180°,∠α+∠γ=180°,∠β与∠γ有什么关系_____. 由此得到的结论是：同角或等角的余角_____,同角或等角的补角_____. 注:①互为余角（互为补角）是对_____角而言的； ②互为余角（互为补角）仅仅表示了两个角的数量关系,而没有限制角的_____关系. 练习2.求下列各角的余角和补角： （1）∠α=5°，余角：_____，补角：_____，（2）∠α=30°，余角：_____，补角：_____， （3）∠α=95°，__________，补角：_____，（4）∠α=120°，__________，补角：_____ 三.典例与练习 ( 图 3 )例1.如图3，直线AB、CD，EF相交于点O，∠1＝40°，∠BOC＝110°，求∠AOC、∠2的度数. ( 图 4 )练习3.如图4，直线a、b相交，∠1=38°，则∠2=_____，∠3=_____，∠4=_____. 例2.若一个角的补角等于它的余角的4倍，求这个角的度数. 练习4.填空： （1）一个角和它的余角相等，这个角为_____度 （2）一个角和它的补角相等，这个角为_____度， (3)已知∠A=400，则∠A的余角是___0 ，补角是_____0 练习5.下列说法正确的是（ ） A.相等的角是对顶角 B.对顶角相等 C.两条直线相交所成的角是对顶角 D.有公共顶点且又相等的角是对顶角 四.课堂小结 1.在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：__________. 2.对顶角的性质：__________. 3.同角或等角的补角_____；同角或等角的余角_____. 五.分层过关 1.一个锐角是38度，它的余角的度数是（　　）A．38° B．52° C．142° D．62° 2.直线与，相交得如图5所示的5个角，其中互为对顶角的是　　 ( 图 8 ) ( 图 5 )A．∠3和∠5 B．∠3和∠4 C．∠1和∠5 D．∠1和∠4 ( 图 6 ) ( 图 7 ) 3.如图6,已知直线AB与CD交于点O,ON平分∠DOB,若∠BOC=110°,则∠AON的度数为　　　　. 4.如图7，直线AB和CD交于点O，OE平分∠BOC，∠FPD=90，若∠BOD：∠BOE=1：2，则∠AOF的度数为_____． 5.如图8，直线、相交于，是直角，∠1=48°，则∠2=____． ( 图 9 )6.如图9，O为直线AB上的一点，∠AOC＝48°，OD平分∠AOC，∠DOC与∠COE互余． （1）求出∠BOD的度数； （2）说明OE是∠BOC的平分线． 答案 【学习目标】掌握平面内两直线的位置关系，理解对顶角、补角、余角的定义及性质． 【学习重难点】余角、补角、对顶角的性质及应用. 【导学过程】 一.情境引入 生活中处处可见，在大自然的杰作和人类的创造物中，蕴涵着无数的相交线和平行线. 我们知道： ①在同一平面内，两条直线的位置关系有相交和平行两种。 ( 图 1 )②若两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为相交线。 ③在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线. 二.探究新知 1.对顶角及其性质 （1）画图：画出直线AB和直线CD，交于点O，如图1. （2）观察所画图形：∠1与∠2的位置有什么关系？它们的大小有什么关系？ （3）定义：直线AB与CD相交于点O,∠1与∠2有公共的顶点O,它们的两边互为反向延长线,具有这种位置关系的两个角叫做对顶角. （4）结论：∵∠1+∠3=180°（平角定义）,∠2+∠3=180°（平角定义） ∴∠1=∠2（等量代换）,从而可以得到对顶角的性质：对顶角相等. 练习1.下列各图中，∠1和∠2是对顶角的是（ D ） ( A D O N B E 3 1 2 4 图 2 )2.补角、余角及性质 （1）如图2,点D,O,E在一条直线上,则∠DOA+∠AOE=180°. 如果两个角的和是180°那么称这两个角互为补角. （2）如图2,∠DON=90°,∠NOE=90°,则∠1+∠3=90°,∠2+∠4=90°. 如果两个角的和是90°,那么称两个角互为余角. （3）如图2,若∠1+∠2=90°,∠1+∠3=90°,∠2与∠3有什么关系相等. 若∠α+∠β=180°,∠α+∠γ=180°,∠β与∠γ有什么关系相等. 由此得到的结论是：同角或等角的余角相等,同角或等角的补角相等. 注:①互为余角（互为补角）是对两个角而言的； ②互为余角（互为补角）仅仅表示了两个角的数量关系,而没有限制角的位置关系. 练习2.求下列各角的余角和补角： （1）∠α=5°，余角：85°，补角：175°，（2）∠α=30°，余角：60°，补角：150°， （3）∠α=95°，没有余角，补角：85°，（4）∠α=120°，没有余角，补角：60° 三.典例与练习 ( 图 3 )例1.如图3，直线AB、CD，EF相交于点O，∠1＝40°，∠BOC＝110°，求∠AOC、∠2的度数. 解：∵∠1＝40°，∠BOC＝110°，∴∠BOF=70° ∴∠2=∠BOF=70° ∵∠BOC+∠AOC=180°，∴∠AOC＝180°-110°=70° ( 图 4 )练习3.如图4，直线a、b相交，∠1=38°，则∠2=142°，∠3=38°，∠4=142°. 例2.若一个角的补角等于它的余角的4倍，求这个角的度数. 解：设这个角为x度，则它的补角为：（180-x）度，余角：(90-x)度. 由题意得:180-x=4（90-x），解得：x=60° 练习4.填空： （1）一个角和它的余角相等，这个角为45度 （2）一个角和它的补角相等，这个角为90度， (3)已知∠A=400，则∠A的余角是500 ，补角是1350 练习5.下列说法正确的是（ B ） A.相等的角是对顶角 B.对顶角相等 C.两条直线相交所成的角是对顶角 D.有公共顶点且又相等的角是对顶角 四.课堂小结 1.在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：相交和平行. 2.对顶角的性质：对顶角相等. 3.同角或等角的补角相等；同角或等角的余角相等. 五.分层过关 1.一个锐角是38度，它的余角的度数是（　B　）A．38° B．52° C．142° D．62° 2.直线与，相交得如图5所示的5个角，其中互为对顶角的是　A　 ( 图 8 ) ( 图 5 )A．∠3和∠5 B．∠3和∠4 C．∠1和∠5 D．∠1和∠4 ( 图 6 ) ( 图 7 ) 3.如图6,已知直线AB与CD交于点O,ON平分∠DOB,若∠BOC=110°,则∠AON的度数为35°. 4.如图7，直线AB和CD交于点O，OE平分∠BOC，∠FPD=90，若∠BOD：∠BOE=1：2，则∠AOF的度数为54°． 5.如图8，直线、相交于，是直角，∠1=48°，则∠2=42°． ( 图 9 )6.如图9，O为直线AB上的一点，∠AOC＝48°，OD平分∠AOC，∠DOC与∠COE互余． （1）求出∠BOD的度数； （2）说明OE是∠BOC的平分线． 解：（1）∵OD平分∠AOC ∴∠AOD＝∠DOC＝∠AOC＝×48°＝24°， ∴∠BOD＝180°﹣∠AOD＝180°﹣24°＝156°； （2）∵∠DOC与∠COE互余，∴∠DOC+∠COE＝90°, ∵∠DOC＝24°，∴∠COE＝90°﹣24°＝66°， ∵∠BOD＝156°，∠DOE＝∠DOC+∠COE＝90°， ∴∠BOE＝∠BOD﹣∠DOE＝156°﹣90°＝66°， ∴∠COE＝∠BOE．∴OE是∠BOC的平分线． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$