重难点 解答题压轴几何综合（专项训练）（上海专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

重难点 解答题压轴几何综合 目录 题型一、三角形、四边形综合题 1 题型二、圆的综合题 16 题型三、相似形综合题 86 题型一、三角形、四边形综合题 例（2025•静安区二模）如图，在△中，，点在的延长线上，，，点在边上，，的延长线交线段于点． （1）求证：△△； （2）当点是的中点时，求证：； （3）已知，，设，，求关于的函数解析式，并写出的取值范围． 【变式1-1】（2025•崇明区模拟）如图，在△中，，，，过点作射线，点、是射线上的两点（点不与点重合，点在点右侧），联结、分别交边于点、，． （1）当时，求的长； （2）设，，求关于的函数关系式，并写出的取值范围； （3）联结并延长交边于点，如果△是等腰三角形，请直接写出的长． 【变式1-2】（2025•徐汇区一模）如图，在△中，，，点是边的中点，点、是射线上的动点（点在左边），以为一边作． （1）求的长； （2）当点是△的重心时，求的值； （3）如果△是以为腰的等腰三角形，求的长． 【变式1-3】（2024•上海）新定义：平行四边形一组邻边的中点与不在这组邻边上的顶点顺次连接而成的三角形如果是直角三角形，则称这个三角形为平行四边形的“中直三角形”，并且把该平行四边形的长边与短边之比成为该平行四边形的“度量值” （1）如图1，已知矩形，△为其“中直三角形”，其中，求：矩形的“度量值”； （2）如图2，△为的“中直三角形”，其中，，求：的“度量值”； （3）在△中，，，请直接写出以△为中直三角形的平行四边形的“度量值”． 题型二、圆的综合题 例2（2023•上海）如图（1）所示，已知在中，，在边上，点是边中点，以为圆心，为半径的圆分别交，于点，，连接交于点． （1）如果，求证：四边形为平行四边形； （2）如图（2）所示，连接，如果，，，求边的长； （3）连接，如果是以为腰的等腰三角形，且，求的值． 【变式2-1】（2025•闵行区二模）如图，在中，直径长为，弦的长为8，点是上一点，过点作的垂线交直线于点． （1）求的正切值． （2）当△与△相似时，求的长． （3）以点为圆心，长为半径画，试根据线段的长度情况探究和的位置关系． 【变式2-2】（2025•崇明区二模）如图，△中，，，，过点的直线与边平行，点在射线上，是以为圆心，为半径的圆． （1）当直线与相切时，求的长； （2）当直线与相交时，交点记为点、，且点在点的右边；以为圆心、为半径长作，与的另一个交点记为． ①若四边形是矩形，求的长； ②若△是以为腰的等腰三角形，求的正切值． 【变式2-3】（2025•宝山区二模）如图，已知梯形，，，以点为圆心、为半径画弧，与、分别交于点、，且． （1）如果设，，求的长； （2）求的值； （3）如果是弧的中点，求的值． 【变式2-4】（2024•上海）如图1，和是半径为2的的两条直径，点是延长线上的一点．联结交于点（点在线段上，且不与点、点重合）． （1）当时，求证：； （2）联结，交半径于点，已知． ①联结，如图2，当点是△的重心时，求的余弦值； ②联结、，当△为等腰三角形时，求线段的长． 【变式2-5】（2025•长宁区二模）已知在△中，，是边上的中线．以点为圆心，为半径的圆交线段于点（点不与点、点不重合）． （1）如图1，如果与边交于点，，求的度数； （2）如图2，当时，求的正切值； （3）如图3，以点为圆心，为半径的与相交，其中一个交点在边上．如果，求的长． 【变式2-6】（2024•上海）如图，在中，，，，点是边上的动点，以点为圆心、为半径的圆交边于点．设． （1）当点是边的中点时，求的值； （2）已知点是线段的中点（规定：当点与点重合时，点也与点重合），以点为圆心、为半径作． ①当与边有公共点时，求的取值范围； ②如果经过边的中点，求此时与的公共弦长． 【变式2-7】（2025•浦东新区校级模拟）在△中，，，点是射线上一点（点不与点、重合），连接，以点为圆心，为半径画弧交射线于点，连接，直线交直线于点． （1）如图①，当点在边上时，，求此时半径的长； （2）当点在边上时，如图②，设，，求与之间的函数解析式，并写出其定义域； （3）连接，若△是以为腰的等腰三角形时，请直接写出此时的长． 【变式2-8】（2025•杨浦区二模）已知圆的直径上有一点（不与、重合），，过点作弦，点是弧的中点，联结，交于点． （1）如图1，当点与点重合时，求的长； （2）如图2，联结，当时，求的值； （3）设，，求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围． 【变式2-9】（2025•黄浦区二模）已知，在△中，，，，是边上一动点，联结．点在线段上，且，以点为圆心，为半径作，交边于点． （1）当点与点重合时，判断与边的位置关系并说明理由； （2）已知点在上，且，与边交于点，当经过圆心时（如图），求的值； （3）过点作，交边于点，当与线段只有一个交点时，求的取值范围． 【变式2-10】（2025•普陀区二模）如图，分别以等边三角形的每个顶点为圆心，以等边三角形的边长为半径，以另两个顶点为端点画圆弧，由首尾相连的三段圆弧可组成一个曲线图形，这个曲线图形叫做莱洛三角形． （1）下面结论中，正确的是　 　 （写出所有正确结论的序号）． ①莱洛三角形是轴对称图形； ②莱洛三角形上的任意一点到等边三角形的中心的距离相等； ③莱洛三角形的每段圆弧所对的圆心角都为； ④莱洛三角形的面积等于． （2）如果、是莱洛三角形上的两点，联结、，满足且，求此时的正切值； （3）已知、分别是、上的两个动点；点沿从点运动到点，点沿从点运动到点，它们同时出发且速度相同，联结．试表述线段的中点的轨迹． 【变式2-11】（2025•松江区二模）已知是半圆的直径，是弦延长线上一点． （1）联结与半圆交于点． ①如图1，如果点是弧的中点，且，求的长； ②如图2，如果点是弧的中点，且，求的值． （2）设是弦的中点，如果以点为圆心、为半径的圆与相切，以点为圆心、为半径的圆与直线相切，求的值． 【变式2-12】（2025•金山区二模）已知：矩形的对角线与以为圆心为半径的圆弧相交于点，过点作的垂线分别与直线、、交于点、、． （1）当点在边延长线上时，如图所示． ①联结，与交于点，求证：； ②若，求的比值； （2）联结，若△为等腰三角形，求的值． 【变式2-13】（2025•嘉定区二模）△为的内接等腰三角形，．联结并延长，交于点，交于点，过点作，垂足为点（点不与点重合）． （1）如图1，如果，求的大小； （2）如图2，联结，如果，，求关于的函数解析式（不用写自变量的取值范围）； （3）如果点是线段的黄金分割点，求的值． 【变式2-14】（2025•虹口区二模） 阅读材料： 我们学过有关直角三角形的性质定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．这条定理的逆命题“如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形”也是真命题． 如图1，在△中，为上的中线，如果，那么．也可以说，在△中，如果，那么． 根据上面的阅读材料，完成下列问题：（若需要，可直接运用直角三角形性质定理的逆命题）如图2，为半圆的直径，是半圆的弦，以为直径作． （1）如图2①，过点作，垂足为． ①求证：； ②已知，，如果经过点（如图2②，求直线与直线夹角的正弦值； （2）已知与线段相交于点、，，如果，求的长． 【变式2-15】（2025•青浦区二模）已知：为的直径，，点在上．联结、，过点作，交于点． （1）如图，联结，当时，求证：四边形是菱形； （2）作，垂足为． ①如图，联结、，交半径于点，当时，求线段的长； ②如图，联结、、，设△的面积为，四边形的面积为，如果，求线段的长． 【变式2-16】（2025•浦东新区校级模拟）已知是的直径，是的弦，是弧的中点（如图），弦与交于点． （1）当为的中点时，求证：； （2）求证：； （3）当时，求的正弦值． 【变式2-17】（2024•上海）如图，在矩形中，，，点在边上（点与端点、不重合），以为圆心，为半径作圆，圆与射线的另一个交点为点，直线与射线交于点．点为线段的中点，联结．设，． （1）求关于的函数解析式，并写出该函数的定义域； （2）联结，当时，求的值； （3）如果射线与圆的另一个公共点为点，当为直角三角形时，求的面积． 【变式2-18】（2025•浦东新区校级一模）如图，已知在△中，，，，点是射线上一点（不与点、重合），过作，垂足为点，以为圆心，长为半径的圆与边相交的另一个交点为点，点是边上一点，且，联结． （1）如果圆与直线相切，求圆的半径长； （2）如果点在线段上，设线段，线段，求关于的函数解析式及的取值范围； （3）如果以为直径的圆与以为直径的圆外切于边上的点，求线段的长． 题型三、相似形综合题 例3（2024•上海）在梯形中，，点在边上，且． （1）如图1所示，点在边上，且，联结，求证：； （2）已知； ①如图2所示，联结，如果△外接圆的圆心恰好落在的平分线上，求△的外接圆的半径长； ②如图3所示，如果点在边上，联结、、，与交于．如果，，且，求边的长． 【变式3-1】（2025•奉贤区二模）定义：如果一个三角形的三个顶点分别在另一个三角形的三边上，且这两个三角形相似，那么我们把这个三角形称为另一个三角形的镶嵌相似形：已知△中，点、、分别在，，上，联结，，． （1）如图1，是中点，，时，求证：△是△的镶嵌相似形； （2）如图2，当，，△是△的镶嵌相似形，．求的值； （3）如图3，如果，，，△是△的镶嵌相似形，且与不平行，求的长． 1 / 94 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 重难点解答题压轴几何综合 。目录预览核心知晓o 目录 题型一、三角形、四边形综合题.1 题型二、 圆的综合题… 16 题型三、相似形综合题 .86 。核心解题法提升能力⊙ 题型一、三角形、四边形综合题 例(2025静安区二模)如图，在△ABC中，4B=AC，点D在8C的延长线上，CE1AB, DEIIAC,点F在边AC上，FDIIAE,BF的延长线交线段AE于点M· (1)求证：△ABF兰△CAE; (2)当点M是AE的中点时，求证：BF2=4BM·FM; D已知cosS∠ABC25,BC=2,设CDx,y,求y关于x的函数解析武，并写出x的取值 围。 M F E 【答案】(1)证明见解答； (2)证明见解答： (3》y=4-2x-0<x5-》. 2x 【分析】(1)根据等边对等角即平行线的性质，证得四边形AFDE是平行四边形，进而可证明△ABF兰△ CAE(SAS): (2)根据全等三角形的性质，可证明△MAF∽△MBA,列出比例式得到MA=BM·FM,根据M是AE 的中点，MA=4E=BF,再进行代换即可得证： 22 (3)延长BM交CE的延长线于点N,过A作AH⊥BC于点H,过E作EG⊥CD于点G,根据题意求 出CE=AF=5x,CF=AC-AF=5-5x,根据平行线分线段成比例，列出比例式，求出CE、EN, 2 1/94 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 即可解答。 【解答】(1)证明：：AB=AC, ·LABC=LACB, 又：CEIIAB, :ZABC ZECD,ZBAF ZACE, 又：ED//AC,FDI/AE, ∴四边形AFDE是平行四边形，EDC=LACB, :ED=AF =CE, 在△ABF和△CAE中， AB=AC ∠BAF=∠ACE, AF=CE ∴△ABF兰△CAE(SAS): (2)证明：由(1)知△ABF兰△CAE, ∠MAC=∠MBA,BF=AE, 又：∠AMF=∠AMB, ∴.△MAF∽△MBA, .MA MB MFMA' ∴.MA2=BM.FM, 又：M是AE的中点， ..MA=AE=BF 22 5=8wM, .BF2=4BM·FM; (3)解：如图，延长BM交CE的延长线于点N,过A作AH⊥BC于点H,过E作EG⊥CD于点G, M. ⊙ D H 2/94 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 :BC=2,CD=x,且cos∠ABC=5 =cos∠ECG, .CE-AF=5x,CF-AC-AF-5-5x 2 又：CN//AB, CN CF AB AF 2 5x 2 :CN-25-5r,Ew=CN-CE-52-95x_45-25x-v5x 2x .y= EMEN_4-2x-t0<x5-). AM AB 2x 【点评】本题考查三角形的综合应用，主要考查全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，平 行四边形的判定与性质，平行线的性质，函数关系式，掌握全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定 与性质，平行四边形的判定与性质是解题的关键. 【点评】本题考查二次函数的性质、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用新定义解答. 【变式1-1】(2025·崇明区模拟)如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=3,BC=4,过点A作射线 AM I/BC,点D、E是射线AM上的两点（点D不与点A重合，点E在点D右侧），联结BD、BE分别 交边AC于点F、G,LDBE=LC· (1)当AD=1时，求FB的长： (2)设AD=x,FG=y,求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围； (3)联结DG并延长交边BC于点H,如果△DBH是等腰三角形，请直接写出AD的长. D E -M C 备用图 【分析】(1)利用勾股定理计算AC和BD的长，再证明△ADF∽△CBF,列比例式可得BF的长； ②)卖国1，先证明△0F△BG,9部P瓷，再证明△40Fu△C8F,符怎祝- DF AF AD x ,分别表示DF,AF和BF的长，代入比例式计算即可；根据∠DBE无限接近∠DBC时，AD的值接近4， 可得x的取值； 3/94 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (3)分三种情况：①当BD=DH时，②当BD=BH时，③当BH=DH时，分别根据平行线分线段成比 例定理列比例式，结合方程可解答. 【解答】解：(1)：AM/BC, ∠DAB+LABC=180°， :ABC=90°， ∠DAB=90°， 由勾股定理得：BD=√AD2+AB2=V2+32=√10， AM //BC, .△ADF∽△CBF, AD DF BC BF AD=1, 1-0-BF 4 BF BF=40 (2)如图1，：AM1/BC, D -M 公 G 图1 :ZC ZCAM :ZDBE ZC, ∠DBE=LCAM, :ZBFG ZAFD .△ADF∽△BGF, F、DF BF FG AF·FG=BF·DF, AM //B C ∴.△ADFn△CBF, 4/94 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 DF AF AD x BF CF BC4 DF =_x AF x 2+9x+4’ ACx+4' DF=x+9 AF= 5x x+4 x+41 同理得：BF= 4r2+9 x+4 y.5x=WR+9.4+9 x+4x+4x+4 4x2+36 ∴.y= 5x+20 如图2，当点E在直线BC上时，∠DBC=∠ACB=LADB, D 图2 :AB=BA,∠ABC=∠DAB, ∴△DAB=△CBA(AAS), :AD BC=4, x的取值范围是0<x<4: (3)分三种情况： ①当BD=DH时，如图3，过点D作DP⊥BC于P, D E M G B 图3 5/94 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 BD=DH, :BP PH AD =x, CH=4-2x,∠DBP=∠DHP, :∠DBE+LGBH=LC+LCGH, :LCGH=∠GBH, ZC=2C, ∴.△CHG∽△CGB, CG CH ·BCCG CG2=4(4-2x), AD IICH AD AG CH CG 即AD+CH-AG+CG CH CG x+4-2x 5 4-2xCG CG=54-2) 4-x .4(4-2x)= 25(4-2x)2 (4-x)2, 2x2+9x-18=0, 3 六x=26=-6（舍)， 0 ②当BD=BH时，如图4， E M H C 图4 由勾股定理得：BD=BH=Vx2+9, 由(2)同理得：CG=CF-FG=20-4x2+36_44-) x+45(x+4)5 AD/CH, 6/94 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 AD AG CH CG 40+CH.4G+CG,即4-F+944,0· x+4-Vx2+9 5 CH CG 5 (9+4x)Vx2+9=4x2+9), 7 解得：x= :AD=8 ③当BH=DH时，如图5，过点D作DK⊥BC于K, A D E M G B K H C 图5 设KH=a, BK AD=x, :DH BH x+a, 在R1△DKH中，由勾股定理得：DK2+KH2=DH, 32+a2=(a+x)2, a=9-r2 2x CH=4-BH=4-x-9-X-2+8x-9 2x 2x :AD /ICH, AD_AG CH CG' x+-r2+8x-9 2x 5 P+C1=4CC,即+8x-9447 CH 2x x2+8x-925 x2-8x+94(x-4)' (x2+9)(4x-9)=0, 7/94 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 x=4 9 ·A0=9 , 综上，A0的长是安安？ 2 【点评】本题属于三角形的综合题，考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质和判 定等知识，解题的关键是学会利用分类讨论的思想解决问题，并与方程相结合，本题计算量大，属于中考 压轴题。 【点评】本题考查二次函数的性质、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用新定义解答 【变式1-2】(2025·徐汇区一模)如图，在△ABC中，AB=AC=V5,BC=2,点D是边AC的中点， 点M、N是射线BD上的动点（点M在左边），以CM为一边作∠MCN=LABC. (1)求BD的长： (2)当点M是△ABC的重心时，求CN:BN的值； (3)如果△MCN是以MN为腰的等腰三角形，求BM的长. O M B (备用图) 【分析】(1)过A、D作BC的垂线，垂足分别为E、F,通过解直角三角形求出CF,BF,利用勾股 定理求出DF,即可解答； (2)连接AM并延长交BC于点H,根据题意得到AM是BC的垂直平分线，证明△NCD∽△NBC,列 出比例式即可解答： (3)若△MCN是以MN为腰的等腰三角形，分以下两种情况，①当MN=NC时，证明△DMC∽△ DCB,求出DM,即可解答：②当MN=MC时，证明△BCDn△BNC,求得BN=8正，NC=2 13 13， 过M作MH⊥NC,垂足为H,求出MN=5 ,即可解答。 13 【解答】解：(1)如图，过A、D作BC的垂线，垂足分别为E、F, 8/94 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 N : M B E F C :AB=AC,AE⊥BC,AB=AC=√5，BC=2, CB-BC=1.cosC-CE-1-15 Ac5=5 点D是边AC的中点， ·CDs 2 在Rt△CFD中，cos= ，CD= 5 5 2 BF=BC-CF=2-1-3 22 oF-cp-c 医RM△BDP中，BD=VBF2+DF-G1V3 2； (2)如图，连接AM并延长交BC于点H, M 14 H :点M是△ABC的重心， .点M是△ABC的三条中线的交点， AH是△ABC的中线， :AB=AC, 9/94 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 :AM是BC的垂直平分线， :BM =CM ∠1=∠4， :∠1+∠2=∠2+∠3， :∠1=∠3， ∠3=∠4， :∠N=∠N, .△NCD∽△NBC, 5 BN BC 2 4 CN:N5 (3)若△MCN是以MN为腰的等腰三角形，分以下两种情况， ①当MN=NC时，如图， N 名 B :∠1+∠2=∠3+∠2， ∠1=∠3， :M N =NC ∠NMC=∠2+∠3， :∠NMC=∠1+L4, .∠2=∠4， :∠MDC=∠CDB, .△DMC∽△DCB, DM DC DC BD 10/94