重难点 新定义问题（专项训练）（上海专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

重难点 新定义问题 目录 题型一、相似三角形 1 题型二、直角三角形 26 题型三、函数 34 题型四、勾股定理及逆定理 49 题型五、四边形 58 题型六、圆 65 题型七、锐角三角函数 73 题型一、相似三角形 1．（2025·上海徐汇·一模）定义一个三角形中一内角的平分线和该角对边上高，以及这条边围成的新三角形是它的“内拐三角形”．命题“两三角形相似，它们的内拐三角形相似”和其逆命题中，（  ）正确． A．两个都 B．仅原命题 C．仅原命题的逆命题 D．没有一个 【答案】B 【知识点】写出命题的逆命题、相似三角形的判定综合 【分析】本题考查了命题与定理的知识，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定，根据“内拐三角形”的定义分别画出图形，再判断原命题和逆命题的真假即可． 【详解】解：如图1情况，若、相似，的“内拐三角形”为、的“内拐三角形”为， 则，， ∴， 又∵， ∴； 如图3情况，也可同理得出此结论． 即：原命题为真命题． 逆命题：若两三角形的内拐三角形相似，则它们相似； 如图2，在直线上取一点，将沿翻折后与直线交于点， 此时、的内拐三角形都是，但、不相似， 因此逆命题为假命题． 综上所述，原命题为真命题，逆命题为假命题，即仅原命题正确． 故选：B． 2．（2024·上海嘉定·二模）定义：如果三角形有两个内角的差为，那么这样的三角形叫做准直角三角形．已知在直角中，，，，如图，如果点在边上，且是准直角三角形，那么____． 【答案】或． 【知识点】用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，勾股定理，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．分两种情况讨论，由相似三角形的性质和锐角三角函数可求解 【详解】当时，如图，过点D作于H， 在中，，，， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 当时， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述：或； 3．（2025·上海·二模）定义：一三角形中有两角与，若角的两倍与角的和为，则此三角形叫作准直角三角形，其中叫作二倍角．已知在准直角三角形中， ，是二倍角，且．连接中点D与中点E，将绕点B旋转，点D落在点处，点E落在直线上，则___________． 【答案】或或或 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算、用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解 【分析】本题涉及准直角三角形的定义、三角函数、相似三角形的性质及判定以及旋转的性质．首先根据准直角三角形的定义和已知条件求出三角形的各个角，再利用三角函数求出边的长度，结合中位线定理得到相关线段的长度，最后根据旋转的性质和勾股定理及相似三角形的性质和判定求出的长度． 【详解】解：⑴当时， ∵是准直角三角形，是二倍角， ∴， ∵三角形内角和为，即， ∴， 根据新定义：，且， 作，交的延长线于点， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， 中，，， 即， 解得（负值已舍）， ， 中，， 将绕点B旋转，点E落在直线上， 设E′为E旋转后的点， 根据旋转的性质，，， 分以下两种情况： ①当E′在上时， 在中，， ， ， ， ， ， ， ； ②当E′在延长线上时， 在中，同理可求， ， 同理可证明， ， ， ； （2）当时， ∵是准直角三角形，是二倍角， ∴， ∵三角形内角和为，即， ∴， 根据新定义：，且， 作，交的延长线于点， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， , , ， 中，, 中，， 将绕点B旋转，点E落在直线上， 设E′为E旋转后的点， 根据旋转的性质，，， 分以下两种情况： ①当E′在上时， 作于， ,即， , 在中，， , , ， ， ， ， ， ， ； ②当E′在延长线上时， 在中，同理可求， ， 同理可证明， ， ， ； 综上所述，或或或． 故答案为：或或或． 【点睛】本题考查了准直角三角形的定义、三角函数、相似三角形的性质和判定、旋转的性质以及勾股定理，掌握根据准直角三角形的定义和三角函数求出三角形的边，利用勾股定理得到相关线段长度，再结合旋转的性质和相似三角形的性质和判定分情况计算的长度是解题的关键． 4．（2024·上海·三模）新定义1：多边形顶点之间最长距离与最短距离的比值叫做多边形的特征值，如：正五边形的特征值为． 新定义2：同中心同边数的两个正多边形称为双同正多边形． (1)如图，已知四边形为圆O的内接矩形，是圆O的内接三角形，若四边形的特征值为，的特征值为1，求证： (2)设正边形（且n为整数）的一边长与边数值恰好相同，一个内角的余弦值为x，特征值为y，求：y关于x的函数解析式（注：当时，） (3)如图，在梯形中，（），，点B，D在以C为圆心，6为半径的圆上，将梯形绕点C按逆时针方向旋转，使点B与点D重合，此时A，D的对应点是点E，F，设是一个正多边形的中心角，联结，请说明以线段为边的正多边形是双同正多边形的理由．当这两个正多边形的面积比是时，求：双同正多边形的特征值． 【答案】(1)见详解 (2) (3)2 【知识点】用勾股定理解三角形、正多边形和圆的综合、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）连接，记交于点K，在上取点Q，使得，可知矩形是正方形，为等边三角形，求出，则，设，则，，故，即可证明； （2）当时，则，则正边形中心角为，而中心角与外角相等，故外角，故每一个内角为钝角，画出正边形的局部，设内角，外角，则，故，设正边形的半径为，由题意得：，过点A作，，解直角三角形得，则，，故，化简得：，故，当时，此时每一个内角为，也符合该函数解析式； （3）连接，过点作于点，由旋转得，，设，则以线段为边的正多边形边数为，故以线段为边的正多边形同中心点C，同边数，因此以线段为边的正多边形是双同正多边形，可证明，则，设，由勾股定理得，，则，故，因此双同正多边形的边数为，则该正多边形为正六边形，故特征值为：． 【详解】（1）解：连接，记交于点K，在上取点Q，使得， 对于矩形，由题意得，最长，或最短， ∵四边形的特征值为， ∴或， ∵四边形是矩形， ∴， ∴，是直径， ∴矩形是正方形， ∴中心角： ∵的特征值为1， ∴或或， ∴为等腰三角形， 若底边不与腰相等，则则不满足特征值为1， ∴为等边三角形， ∴中心角：，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， 由勾股定理得：， ∴ ∴； （2）解：当时，则， ∴正边形中心角为， 而中心角与外角相等，故外角， ∴每一个内角为钝角， 画出正边形的局部，如图： 设内角，外角， ∵， ∴， 设正边形的半径为， 由题意得：， 过点A作，， 由中心角等于外角得，， ∴， 则， 而， ∴， 化简得：， ∴， 当时，此时每一个内角为，也符合该函数解析式， ∴综上，y关于x的函数解析式为：； （3）解：连接，过点作于点， 由旋转得，， 设， ∴以线段为边的正多边形边数为， ∴以线段为边的正多边形同中心点C，同边数， ∴以线段为边的正多边形是双同正多边形， 当两个正多边形面积比为时， 则， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴, ∴， 设， ∵， ∴， ∴由勾股定理得，， ∴， ∴， ∴双同正多边形的边数为， ∴该正多边形为正六边形，如图： ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴则最长距离为，最短距离为， ∴特征值为：． 【点睛】本题考查了圆与正多边形，勾股定理，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，难度较大，正确理解题意是解决本题的关键． 5．（2025·上海·模拟预测）定义：将对应角相等，对应边成比例的两个四边形称为相似四边形． (1)已知：如图1，四边形是矩形，E、F分别在、上，且．如果，求证：； (2)已知：如图2，四边形是梯形，，，E、F分别在、上，且．如果，求证． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【知识点】相似多边形、相似三角形的判定与性质综合、利用平行四边形性质和判定证明 【分析】（1）先证四边形和四边形的四个角都是直角，从而可得四边形和四边形都是矩形，再证这两个矩形的四组对应边成比例即可得证． （2）由四边形是梯形，，，可得，从而可得梯形和的四个角对应相等．梯形是等腰梯形可推出梯形和都是等腰梯形，则，．作交于G，作交于H，则可得则四边形和 都是平行四边形，进而得，从而可得，结合和等比性质可得，则可得． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∴，，，， ∴四边形和四边形都是矩形， ∴， ， ，， 又∵， ∴， ∴， ∴． （2）证明：∵四边形是梯形，， 又∵， ∴， ∴，，，， ∵梯形中，， ∴梯形是等腰梯形， ∴， ∴， ∴梯形和都是等腰梯形， ∴，， 如图，作交于G，作交于H， 则四边形和 都是平行四边形， ∴，，，， ，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 根据等比性质可得，即， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了相似多边形的定义，相似三角形的判定和性质，比例的性质，平行四边形的判定和性质等．熟练掌握以上知识，正确理解相似多边形的定义是解题的关键． 6．（2025·上海宝山·模拟预测）新定义：平行四边形一组邻边的中点与不在这组邻边上的顶点顺次连接而成的三角形如果是直角三角形，则称这个三角形为平行四边形的“中直三角形”，并且把该平行四边形的长边与短边之比成为该平行四边形的“度量值” (1)如图1，已知矩形，为其“中直三角形”，其中，求：矩形的“度量值”； (2)如图2，为的“中直三角形”，其中，，求：的“度量值”； (3)在中，，，请直接写出以为中直三角形的平行四边形的“度量值”． 【答案】(1) (2) (3)或或 【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的判定与性质求解、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）证明，则，由题意知，，则，计算求解，然后作答即可； （2） 如图1，作于G，作的延长线于点H，同理，，，由题意得，，，则，计算求解，然后作答即可； （3） 由题意知，分C点与邻边上的顶点重合，B点与邻边上的顶点重合，A点与邻边上的顶点重合，三种情况，利用相似三角形的判定与性质以及线段的等量关系求解即可． 【详解】（1）解：∵为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由题意知，， ∴， 解得，， ∴矩形ABCD的“度量值”为， （2）解：如图1，作于G，作的延长线于点H， 同理，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∴， 由勾股定理可得，， ∴，， ∴，整理得，， 解得，或（舍去）； ∴； ∴的“度量值”为； （3）解：由题意知，分C点与邻边上的顶点重合，B点与邻边上的顶点重合，A点与邻边上的顶点重合，三种情况求解； 当点与邻边上的顶点重合时，如图2，作以为中直三角形的平行四边形，作的延长线于点H，作于G， ∴，， ∴， ∴， 设，则， 同理，， ∴，即， 解得，， ∴，， ∵， ∴， 解得，， ∴， 由勾股定理得，， ∴； 当点与邻边上的顶点重合，如图3，作以为中直三角形的平行四边形，作的延长线于点H，作于G， 同理，，， 设，则， 同理，， ∴，即， 解得，， ∴，， ∵， ∴， 解得，， ∴， 由勾股定理得，， ∴； 当点与邻边上的顶点重合，如图4，作以为中直三角形的平行四边形，作于Q，作于H，作的延长线于点G，则四边形是矩形， ∵， ∴， ∴， 设，则，， 同理，， ∴，即， 解得，， ∴，，， ∵， ∴， 解得， ∴， 由勾股定理得，， ∴； 综上所述：的值为或或． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，含的直角三角形，勾股定理，相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质等知识．熟练掌握各知识并分情况求解是解题的关键． 7．（2025·上海奉贤·二模）定义：如果一个三角形的三个顶点分别在另一个三角形的三边上，且这两个三角形相似，那么我们把这个三角形称为另一个三角形的镶嵌相似形：已知中，点P、D、E分别在，，上，连接，，． (1)如图1，P是中点，，时，求证：是的镶嵌相似形； (2)如图2，当，，是的镶嵌相似形，．求的值； (3)如图3，如果，，，是的镶嵌相似形，且与不平行，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2) (3) 【知识点】由平行判断成比例的线段、相似三角形的判定与性质综合、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由平行线分线段成比例定理可得，，又是中点，则，所以，故，从而求证； （）由是的镶嵌相似形，，，则，，证明，所以，然后代入即可求解； （）由 是的镶嵌相似形，，则分当 时，当 时两种情况分析即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴，， ∵是中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是的镶嵌相似形； （2）解：∵是的镶嵌相似形，，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：∵是的镶嵌相似形，， 当 时， ∴， 过点作于，作于， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，     ∴， ∵， ∴，       设，， ∵， ∴，       设，， ∴， ∴， ∴， ∵中，，， ∴； 当 时，不成立，舍去． 综上， ． 8．（2025·上海宝山·模拟预测）定义：如果一个三角形的三个顶点分别在另一个三角形的三边上，且这两个三角形相似，那么我们把这个三角形称为另一个三角形的镶嵌相似形；已知中，点P，D，E分别在，，上，连接，，． (1)如图1，P是中点，，时，求证：是的镶嵌相似形； (2)如图2，当，，是的镶嵌相似形，，求：的值； (3)如图3，当，，，是的镶嵌相似形，且与不平行时，试求：边的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 (3) 【知识点】等腰三角形的性质和判定、相似三角形的判定与性质综合、由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，由平行截得线段成比例，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）由平行线分线段成比例可得，，根据P是中点得，所以，即可得到，从而得证； （2）由题易得和是等腰三角形，所以易得，利用三等角模型可得，进而转化比例线段可得，由可求得的值，进而得解； （3）分①，②两种情况讨论，再利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴，， ∵P是中点， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴是的镶嵌相似形； （2）∵是的镶嵌相似形，， ∴也是等腰三角形，， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）∵是的镶嵌相似形，， ①当时， 有， 过点P作于H，作于I， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 设，， ∵， ∴， 设，， ∴，解得：， ∴， ∴， ∵在中，， ∴ ∵， ∴， 解得：（舍去负值） ∴； ②当时， 此时，则， 显然不成立，舍去； 综上所述，． 题型二、直角三角形 9．（2025·上海杨浦·一模）定义：如图1，已知点、是的边上的两个定点，点是边上的一个动点，当时，称点是线段的最佳视野点．如图2，某商业广场上安装了一块巨型显示屏，点到水平地面的距离为5米，在水平地面的处有一个自动扶梯，点、、在同一直线上．已知自动扶梯的坡度是，点到点的距离是10米．    (1)当行人行走在水平地面时，发现点恰好是屏幕的最佳视野点，且从点测得点的仰角为．求的长；（忽略行人的高度） (2)在（1）的条件下，如果要在自动扶梯上找到屏幕的最佳视野点，有人说“最佳视野点就是屏幕的垂直平分线与的交点”．你同意这个说法吗？请通过计算说明理由．（忽略行人的高度） 【答案】(1)的长是10米 (2)不同意，理由见解析 【知识点】因式分解法解一元二次方程、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用-仰角俯角． （1）连接，由题意得，，，设为，则为，根据点H恰好是屏幕的最佳视野点列方程求出x即可解答； （2）作的垂直平分线交于，交于点，分别延长与交于点，分别求出，，，计算得出，从而判断点不是屏幕的最佳视野点． 【详解】（1）解：如图，连接，    由题意得，，，， 设，则，， ∵点恰好是屏幕的最佳视野点， ∴， ∴， 解得：（舍去），， ∴（米）， ∴（米）， ∴的长是10米； （2）解：不同意．理由如下： 作的垂直平分线交于，交于点，分别延长与交于点，    由题意，可得：，， ∵自动扶梯的坡度是， ∴， ∵， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点不是自动扶梯上的最佳视野点． 10．（2024·上海·模拟预测）定义：如果三角形两边的乘积是第三条边上高线平方的倍，则称这个三角形是“小屋三角形”，这条高线叫做“小屋线”． (1)如图1，中，，，求证：是“小屋三角形”． (2)如图2，是圆的内接三角形，是钝角，是的“小屋线”，设长为，圆的面积为，求的值． (3)如图3，在（2）的条件下，是优弧的中点，连结，，当与的平方差为时，求圆的周长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）过点作于，根据等边对等角可得，再根据直角三角形中角所对边等于斜边的一半可得，进而可得，即可得证． （2）作于，作直径，连接，表示出，结合，进而即可求解． （3）连接并延长，交于，作于点．设圆的半径为， ．先证四边形是矩形，则可得，，，．在和中，根据勾股定理将和用含有和的式子表示出来，再根据求出的值，即可知圆的直径，即可求解． 【详解】（1） 解：如图，过A点作于D ∵中，，， ∴， ， ， ， ∴是“小屋三角形”． （2）解：如图， 作于E，作直径，连接， 则，， ， ， ， ， ， ， ， ∵是的“小屋线”， ， ， ， ， ∵长为，圆的面积为， ∴， 即 ∴ （3） 解：如图，连接并延长，交于，作于点， 设圆的半径为， ， ∵是优弧的中点， ， ， 又， ∴四边形是矩形， ， ，，， 在中，，， 在中，， ∴， 在中， 在中，， ， ， ， ， ， 圆的直径为． ∴圆的周长为 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、解直角三角形、垂径定理、勾股定理等知识．正确的做出辅助线并且能够设未知数，列方程是解题的关键． 11．（2024·上海崇明·三模）新定义：有两边之比为1：的三角形叫做“勤业三角形”． (1)下列各三角形中，一定是“勤业三角形”的是________；（填序号） ①等边三角形；②等腰直角三角形；③含角的直角三角形；④含角的等腰三角形． (2)如图1，是⊙O的内接三角形，为直径，为上一点，且，作，交线段于点，交⊙O于点，连接交于点．试判断和△是否是“勤业三角形”并证明 (3)如图2，在（2）的条件下，当时，求的余弦值 【答案】(1)③④ (2)都是“勤业三角形”，证明见解析 (3) 【知识点】含30度角的直角三角形、圆周角定理、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）根据“勤业三角形”的定义进行计算，即可一一判定； （2）如图，连接，设，可证得，，可得，结合，可得，即可判定和都是“勤业三角形”； （3）如图，过点G作交DE于点I，可得， ，可证得，设，则，利用，可求得，，从而可得答案． 【详解】（1）解：①等边三角形各边的比值为1，故等边三角形不是“勤业三角形”； ②等腰直角三角形两直角边的比值为1，直角边与斜边的比为，故等腰直角三角形不是“勤业三角形”； ③设含角的直角三角形的最短边长为a，则斜边长为2a，另一条直角边长为，，故含角的直角三角形是“勤业三角形”； ④如图：中，AB=AC，，过点A作于点D， ， 设，则， ， ， ， 含角的等腰三角形是“勤业三角形”； 故答案为：③④； （2）解：△和△都是“勤业三角形”， 证明如下： 如图：连接，设 ， ， ， ， 又 ， ，即 ， ， 又 ， ， ， ， ， ， ， ， ，， 和都是“勤业三角形”； （3）解：如图：过点G作交DE于点I， ， ， ， ， ， ， ， ， 设， 由（2）知， ， ， ， ， ， ， 在中，， 即． 【点睛】本题考查的是新定义问题，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，相似三角形的性质与判定，圆周角定理，锐角三角函数的定义等有关知识，作出辅助线是解决本题的关键． 题型三、函数 12．（2025·上海·模拟预测）定义：若在同一个三角形的三边中，一条边是另外两边的比例中项，则称该三角形是关于这条边的“边积三角形”．记的三边长为a、b、c，若且是“边积三角形”，则下列说法错误的是（   ） A．a、b、c一定满足 B．的取值范围是 C．的取值范围是 D．事件“是直角三角形”的概率为0 【答案】D 【知识点】不等式的性质、三角形三边关系的应用、y=a（x-h）²+k的图象和性质、判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题考查了成比例线段、一元二次方程的解法、勾股定理，解决本题的关键是根据“边积三角形”的定义和勾股定理找到三角形各边之间的关系．根据“边积三角形”的定义可得：，根据比例的性质可得：；设，根据三角形三边之间的关系可得：，解得：，根据三角形的三边长度必须是正数，可得：；根据，，由得，则有；根据勾股定理可知，当是直角三角形时，可知，，得，在选项的取值范围中，所以可能是直角三角形． 【详解】解：A选项：且是“边积三角形”， ， ，故A选项正确，不符合题意； 设， B选项：则有，， ， ，， ， ， 是的边， ， 不等式两边同时除以，可得：， 移项得：， 令， 则二次函数的图象开口向上， 当时，可得：， 解得：，， 当时，成立， 又， ， 当时，， ，故选项正确，不符合题意； 选项：由得，， 又， ∴，则， ∴， ∴， 即，故选项正确，不符合题意； 选项：若是直角三角形，则有， ， 等号两边同时除以，得， 则有，解得 由选项可知， 在取值范围内， 故存在“边积三角形”是直角三角形的概率不为， 故选项错误，符合题意． 故选：． 13．（2025·上海·模拟预测）定义：对于定义域为的函数，若任取在中的实数、（），都有，则称为上的“下阶梯函数”；若，则为“上阶梯函数”，二者统称“阶梯函数”．若函数是定义域为全体实数的“阶梯函数”，且的图像连续不断，则下列说法错误的是（   ） A．可以是任意的一次函数 B．若对任意实数都有，则是“上阶梯函数” C．若是“下阶梯函数”，则对任意实数、，都有 D．若存在实数、使得，则的图像与轴有且只有一个交点 【答案】B 【知识点】从函数的图象获取信息、根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况 【分析】本题考查函数的性质，一次函数的性质，根据新定义得到为上的“下阶梯函数”，则随增大而减小；为上的“上阶梯函数”，则随增大而增大，据此求解即可． 【详解】解：根据新定义可得：为上的“下阶梯函数”，则随增大而减小；为上的“上阶梯函数”，则随增大而增大； ∵函数是定义域为全体实数的“阶梯函数”，且的图像连续不断， ∴A、可以是任意的一次函数，选项说法正确，不符合题意； B、当时，由得到，此时是“下阶梯函数”，选项说法错误，符合题意； C、若是“下阶梯函数”，则对任意实数、，都有，，则，选项说法正确，不符合题意； D、若存在实数、使得，则和中一正一负，得到的图像与轴有且只有一个交点，选项说法正确，不符合题意； 故选：B． 14．（2025·上海杨浦·模拟预测）定义：在平面直角坐标系中，横纵坐标均为整数的点称之为：整点，已知双曲线与抛物线在第一象限内所围成的区域内的整点有4个，那么的取值范围是___________． 【答案】 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、反比例函数与几何综合 【分析】 本题考查二次函数与反比例函数的综合问题，结合图象利用二次函数与反比例函数的交点是解决本题的关键；利用图象可得满足题意的k的临界值，进而求解． 【详解】解：抛物线与x轴所围成的区域内整点的个数是7个，坐标分别为：，，，，，，， 要使双曲线与抛物线在第一象限内所围成的区域内的整点只有4个， 结合图象可得：当双曲线恰好经过点时，k取临界值3，当双曲线恰好经过点时，k取临界值2， ∴的取值范围为． 故答案为：． 15．（2026·上海·一模）定义：对于一个开口向下的抛物线，将其图像先关于轴翻折，再将所得图像向上平移2个单位，若平移后的图像与原图像有两个交点，且这两个交点之间的距离为，则称这个抛物线为“哎呦喂函数”．已知某“哎呦喂函数”的解析式为，其中，则__________． 【答案】8 【知识点】二次函数图象的平移、抛物线与x轴的交点问题 【分析】本题考查二次函数的图像变换以及交点距离的计算，抛物线平移遵循“上加下减”的规律． 根据“哎呦喂函数”的定义，先确定翻折并平移后的函数解析式，再联立原函数求交点横坐标满足的方程，利用根与系数的关系和交点距离为的条件求解． 【详解】解：原函数为，关于轴翻折后，函数变为， 再向上平移2个单位，得平移后的函数为， 联立原函数与平移后的函数：，整理得 ， 即， 设交点的横坐标为和，则根据根与系数的关系，有，， 交点距离为， 由题意，，两边平方得，所以． 故答案为：8． 16．（2025·上海·二模）定义符号代表在平面直角坐标系xOy中，函数的图像两两相交(每两个函数图像有且仅有1个交点)得到三个交点组成的三角形．那么，的最短边长度为______． 【答案】 【知识点】已知两点坐标求两点距离、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】先画简易图象，并求解函数的交点坐标，再利用勾股定理求解三边的长度，从而可得答案. 【详解】解：如图， 当时，，解得：， ∴， 当时，，解得：， ∴， 当时，则， 解得：或（舍去）， ∴， ∴， ∴，， ， ∴， ∴的最短边长度为； 故答案为： 【点睛】本题考查的是一次函数，反比例函数的应用，勾股定理的应用，一元二次方程的解法，新定义的含义，理解题意是解本题的关键. 17．（2025·上海奉贤·一模）新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，那么称这个点为三倍点．已知反比例函数的图象经过点，二次函数的图象经过点A及反比例函数图象上的三倍点，求二次函数的解析式． 【答案】 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、求反比例函数解析式 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，反比例函数解析式，解题的关键是熟练掌握待定系数法．先求出反比例函数解析式为，然后再求出反比例函数图象上的三倍点，然后用待定系数法求出二次函数解析式即可． 【详解】解：设反比例函数解析式为 ， ∵经过点， ∴， ∴反比例函数为， 设三倍点坐标为，代入反比例函数得 ， 解得：或， 则三倍点为或， 把，，代入二次函数得： 解得， ∴二次函数解析式为：． 18．（2025·上海闵行·二模）定义：如果一条抛物线的顶点坐标满足条件，那么称该抛物线为“优雅”抛物线．例如：抛物线的顶点坐标为，此时由于，，顶点坐标符合定义的条件，所以这条抛物线是“优雅”抛物线． (1)如果抛物线是“优雅”抛物线，求的值． (2)如图，把（1）中的抛物线向下平移得到抛物线，抛物线与轴负半轴交于点，顶点为点，对称轴与轴交于点． ①点在延长线上，点是轴上一点，且四边形是矩形，求点的坐标． ②如果抛物线为“优雅”抛物线，它的顶点在轴上，抛物线与交于点，且，求抛物线的解析式． 【答案】(1) (2)①；② 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质、二次函数图象的平移 【分析】（1）抛物线的对称轴为直线，则顶点坐标为，即可求解； （2）①由点的坐标得，直线的表达式为，可得，四边形是矩形，由解得，进而可得，，由于是的中点，从而求出点坐标； ②抛物线为“优雅”抛物线，求出，由于，可得，结合，求出，联立与，求得坐标，进而求出的解析式． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线，则顶点坐标为， 即， ； （2）解：①如图：由（1）知，点，设， ，，， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ，， ， ②， ， ， ， ， ， ， ，， 解方程组，得，， 将代入得：， 解得 ， 【点睛】本题考查了二次函数综合运用，涉及到新定义、图象的平移、一次函数的图象和性质、平行四边形的性质等，利用新定义确定函数表达式是解题的关键. 19．（2025·上海·模拟预测） 定义  平面直角坐标系中，抛物线的顶点和图像上两点、组成一个等腰直角三角形，且直线平行于轴，那么称为抛物线的“特征三角形”，线段的长称为抛物线的“特征值”． 根据定义完成下列问题． (1)已知平面直角坐标系中，抛物线的顶点是点，且经过点． ①求抛物线的表达式，并求“特征三角形”的面积（在的左侧）． ②若抛物线的顶点为点，其“特征三角形”另外两个顶点为、（在的左侧），若以点、、、组成的四边形是正方形，求抛物线的表达式． (2)现对定义提出以下命题： 命题一 若两抛物线二次项系数绝对值相同，它们的“特征值”一定相等． 命题二 若两抛物线二次项系数比设为，它们的“特征值”比值一定为． 以上命题中，成立的是 （填写命题序号），尝试通过举例证明你的选择． 【答案】(1)①，的“特征三角形”的面积为；②或或或 (2)一，二；证明见解析 【知识点】已知二次函数的函数值求自变量的值、特殊三角形问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式、正方形性质理解 【分析】（1）①设抛物线的表达式为，得，得出抛物线的表达式为，再联立，解得：或，得，，求出，，，证明是等腰直角三角形，即得出称为抛物线的“特征三角形”，可得结论； ②由①知：轴，根据正方形的性质得，，然后分两种情况：当在下方时；当在上方时，分别求解即可； （2）先判断出命题一和命题二都成立，然后分别举例证明命题一和命题二即可． 【详解】（1）解：（1）①∵抛物线的顶点是点，且经过点， 设抛物线的表达式为， ∴， 解得：， ∴， 即抛物线的表达式为， 如图，设直线与抛物线：交于点，（在的左侧）， ∴轴， 联立，解得：或， ∴，， ∴，，， ∴，， ∴是等腰直角三角形， 又∵轴， ∴称为抛物线的“特征三角形”， 此时， ∴抛物线的表达式为，“特征三角形”的面积为； ②由①知：轴， ∵以点、、、组成的四边形是正方形（在的左侧）， ∴，， 如图， 当在下方时，则，， 当在上方时， ∵为的“特征三角形”（在的左侧）， ∴， 设的表达式为，过点， ∴，得：， ∴， 此时抛物线的表达式为； 当在下方时，， 设的表达式为，过点， ∴，得：， ∴， 此时抛物线的表达式为； 当在上方时，则，， 当在上方时，， 设的表达式为，过点， ∴，得：， ∴， 此时抛物线的表达式为； 当在下方时，， 设的表达式为，过点， ∴，得：， ∴， 此时抛物线的表达式为； 综上所述，抛物线的表达式为或或或； （2）解：命题一和命题二都成立， 故答案为：一，二； 证明： 命题一：设两抛物线的表达式为和， 它们的二次项系数分别和，且 即两抛物线二次项系数绝对值相同， 设抛物线的顶点为，则，设直线与抛物线交于点，（在的左侧），则轴，如下图， 联立，解得：或， ∴，， ∴，，， ∴，， ∴是等腰直角三角形， 又∵轴， ∴称为抛物线的“特征三角形”， “特征值”为； 设抛物线的顶点为，则，设直线与抛物线交于点，（在的左侧），则轴， 联立，解得：或， ∴，， ∴，，， ∴，， ∴是等腰直角三角形， 又∵轴， ∴称为抛物线的“特征三角形”， “特征值”为， ∴这两个抛物线的“特征值”相等， ∴若两抛物线二次项系数绝对值相同，它们的“特征值”一定相等； 命题二：设两抛物线的表达式为和， 它们的二次项系数分别和，比值为， 设抛物线的顶点为，则，设直线与抛物线交于点，（在的左侧），则轴，如上图， 联立，解得：或， ∴，， ∴，，， ∴，， ∴是等腰直角三角形， 又∵轴， ∴称为抛物线的“特征三角形”， “特征值”为； 设抛物线的顶点为，则，设直线与抛物线交于点，（左的左侧），则轴， 联立，解得：或， ∴，， ∴，，， ∴，， ∴是等腰直角三角形， 又∵轴， ∴称为抛物线的“特征三角形”， “特征值”为， ∴， ∴若两抛物线二次项系数绝对值相同，它们的“特征值”一定相等； 和，命题一的证明可以基于第（1）②小题） ∴若两抛物线二次项系数比设为，它们的“特征值”比值一定为． 【点睛】本题考查待定系数法确定函数解析式，抛物线与直线的交点问题，两点间的距离，勾股定理定理的逆定理，等腰直角三角形的判定，正方形的性质等知识，理解“特征三角形”和“特征值”是解题的关键． 题型四、勾股定理及逆定理 20．（25-26九年级上·上海·月考）定义：在同一平面内，如果两条线段所在直线形成的夹角是，且这两条线段相等，则称其中一条线段是另一条线段的双关联线段，也称这两条线段互为双关联线段．如图，在中，点D、E分别在边、上，于D，与相交于点若边是边的双关联线段，且，则_________． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】过点E作于点H，如图所示：证明是直角三角形，直角三角形，得出，证明，根据边是边的双关联线段，得出，，根据，设，则，在中，得出，则，由勾股定理得，，，在中，，设，则，由勾股定理得：，则，，，表示出，证明，得出，则，可得，即可求解． 【详解】解：过点E作于点H，如图所示： ， 是直角三角形， 于D， ， 直角三角形，， ， 边是边的双关联线段， ，， ， 设，则， 在中，， ， 由勾股定理得：， ， ， 在中，， 设，则， 由勾股定理得：， ，， ， ， ， ， ， 点H是的中点， ∵， ， ∴， ， ， ， ， 故答案为： 【点睛】该题考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，平行线的判定，直角三角形的性质等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 21．（2024·上海嘉定·三模）定义：若一个圆内接四边形的两条对角线互相垂直，则称这个四边形为圆美四边形． (1)请在特殊四边形中找出一个圆美四边形，该四边形的名称是 ；如图1，在等腰中，，经过点A、B的交边于点D，交于点E，连接，若四边形为圆美四边形，则的值恰与 °角的余切值相等 (2)如图2，在中，经过点A、B的交边于点D，交于点E，连接交于点F，若在四边形的内部存在一点P，使得，连接交于点G，连接，若． ①试说明：四边形为圆美四边形； ②若，，，当最小时，求：的值 【答案】(1)正方形； (2)①见解析；②1 【知识点】用勾股定理解三角形、圆周角定理、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】此题考查的是圆的综合题，主要考查了新定义圆美四边形的定义的理解和运用，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解答本题的关键． （1）根据圆美四边形的定义即可直接得出结论；连接，先判断出，得出，得到，得到，再求出，即可得到答案； （2）①先判断出，得出，进而判断出，得出，即可得出结论； ②先判断出，再证，进而得出，设，则，， 即可得出关于x、y的等式，进一步即可求出最终结果． 【详解】（1）根据圆美四边形的定义可知，正方形是圆美四边形， 连接，如图， ∵， ∴是的直径， ∴， ∵四边形为圆美四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴在等腰中，， ∴， ∴， ∵， ∴； 如图所示，是等腰直角三角形，，点D是延长线上一点，且， 则，， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴的值恰与角的余切值相等； 故答案为：正方形； （2）①∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， 即， ∴， ∴， 又∵，， ∴，即， ∴， 又∵A，B，E，D在同一个圆上， ∴四边形为圆美四边形； ②∵， ∴，， ∴， ∵ A，B，E，D在同一个圆上，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， 设，则，， ∵， ， ∴在中，， ∴， 则利用勾股定理可得， 同理在中可求得：， 根据 得：， 即有 ∴当时，y取最小值，最小值为， 此时． 22．（2024·上海闵行·二模）沪教版九年级第二学期的教材给出了正多边形的定义：各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形．同时还提到了一种用直尺和圆规作圆的内接正六边形和圆的内接正五边形的方法，但课本上并未证明．我们现开展下列探究活动． 活动一：如图1，展示了一种用尺规作的内接正六边形的方法． ①在上任取一点，以为圆心、为半径作弧，在上截得一点； ②以为圆心，为半径作弧，在上截得一点；再如此从点逐次截得点、、； ③顺次连接、、、、、． (1)根据正多边形的定义，我们只需要证明__________，________ （请用符号语言表示，不需要说明理由），就可证明六边形是正六边形． 活动二：如图2，展示了一种用尺规作的内接正五边形的方法． ①作的两条互相垂直的直径和； ②取半径的中点；再以为圆心、为半径作弧，和半径相交于点； ③以点为圆心，以的长为半径作弧，与相截，得交点． 如此连续截取3次，依次得分点、、，顺次连接、、、、，那么五边形是正五边形． (2)已知的半径为2，求边的长，并证明五边形是正五边形． （参考数据：，，，，．） 【答案】(1)， (2)，证明五边形是正五边形见详解 【知识点】用勾股定理解三角形、圆周角定理、正多边形和圆的综合、尺规作图——正多边形 【分析】（1）各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形，据此即可获得答案； （2）首先结合题意并根据勾股定理解得，进而可得，易得，再在中，由勾股定理解得，即可确定的值；连接，，，，，结合为直径易得，利用三角函数可得，由圆周角定理可得，进而可得，然后利用全等三角形的性质可证明，，即可证明结论． 【详解】（1）解：根据正多边形的定义，我们只需要证明，，就可证明六边形是正六边形． 故答案为：，； （2）解：根据题意，可得，， ∵点为半径的中点， ∴， ∴在中，， ∵以为圆心、为半径作弧，和半径相交于点， ∴， ∴， ∴在中，， ∵以点为圆心，以的长为半径作弧，与相截，得交点， ∴； 如下图，连接，，，，， ∵为直径， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∴五边形是正五边形． 【点睛】本题主要考查了尺规作图、多边形的定义和性质、全等三角形的判定与性质、圆周角定理、解直角三角形等知识，正确理解题意，熟练掌握相关知识是解题关键． 题型五、四边形 23．（2024·上海浦东新·二模）定义：四边形中，点E在边上，连接、，如果的面积是四边形面积的一半，且的面积是及面积的比例中项，我们称点E是四边形的边上的一个面积黄金分割点． 已知：如图，四边形是梯形，且，，如果点E是它的边上的一个面积黄金分割点，那么的值是________． 【答案】 【知识点】公式法解一元二次方程、相似三角形的判定与性质综合、梯形中位线定理 【分析】设，，，结合题意可得：，，可得，如图，过作交于，过作于，交于，证明是的中位线，同理可得：，证明是梯形中位线，可得，从而可得答案． 【详解】解：设，，， ∴结合题意可得：，， ∴， ∴， ∴，， 如图，过作交于，过作于，交于， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， 过作交于， ∴四边形，，是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是的中位线， 同理可得：， ∴是梯形中位线， ∴， ∴； 故答案为： 【点睛】本题考查的是新定义的含义，三角形的中位线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，一元二次方程的解法，理解题意是解本题的关键． 24．（2024·上海·模拟预测）新定义：正n边形最短对角线与最长对角线长度的比值为正n边形的特征值，则n的取值范围为_______，正六边形的特征值为______． 【答案】 / 【知识点】等边三角形的判定和性质、多边形对角线的条数问题、正多边形和圆的综合、求角的余弦值 【分析】本题主要考查了多边形对角线的定义、正六边形的性质、等边三角形的判定与性质、余弦的定义等知识点，发现正六边形的最短对角线和最长对角线的关系成为解题的关键． 根据对角线的形成条件可确定n的取值范围，再根据正六边形的性质、等边三角形的判定与性质、余弦的定义即可求得正六边形的特征值． 【详解】解：由于正多边形存在对角线，则， 如图，正六边形中，对角线交于点O，连接． 易知是正六边形最长的对角线，是正六边形的最短的对角线， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形， ∴． 故答案为,． 25．（2024·上海浦东新·一模）新定义1：将宽与长的比等于黄金分割比的矩形称为黄金矩形   新定义2：将顶角为的等腰三角形称为黄金三角形 ①在一张矩形纸片的一端，利用图1的方法折出一个正方形，然后把纸片展平 ②如图2，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平 ③折出内侧矩形的对角线，并把折到图3中所示的处 ④展平纸片，按照所得到的点D折出 (1)根据以上折纸法，求证：矩形为黄金矩形 (2)如图5，已知为黄金三角形，，求：的长 (3)在（2）的条件下，截取交AC于D，截取交线段于E，过E作任意直线与边交于P，Q两点，试判断：是否为定值，若是，请求出定值，若不是，请说明理由 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【知识点】等腰三角形的性质和判定、矩形与折叠问题、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）根据折叠的性质得出，，结合，即可判定四边形是正方形，可得，再求出，则由勾股定理可得，再证明即可； （2）作的角平分线交于D，先求出，再证明，得到，进一步证明，根据相似三角形的性质列出比例式求解即可； （3）如图所示，过点E分别作的垂线，垂足分别为F，G，过点Q作于H，根据，得到；再证明，进而得到，解直角三角形得到，则，再解直角三角形得到，则；证明，得到，则，可得；如图所示，连接，由勾股定理得到，根据，得到，据此代值计算即可． 【详解】（1）证明：由折叠可知：， 又∵， 四边形是矩形， 又由折叠可知：， 四边形是正方形， ∴， 由题意得， ∴； 由折叠得， ∴， ∴，， ∴矩形是黄金矩形； （2）解：如图所示，作的角平分线交于D， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 解得或（舍去）， 经检验，是原方程的解． （3）解：如图所示，过点E分别作的垂线，垂足分别为F，G，过点Q作于H， ∵， ∴； 由（2）可知，当平分时有， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 如图所示，连接， 在中，， ∵， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，解直角三角形，勾股定理，矩形与折叠问题，等腰三角形的性质与判定等等，正确理解题意作出辅助线构造相似三角形是解题的关键． 题型六、圆 26．（2024·上海·三模）新定义：如果一个三角形中有两个内角，满足，那我们称这个三角形为“近直角三角形”． (1)若是“近直角三角形”，，，则______度； (2)如图1，在中，，，．若是的平分线，在边上是否存在点（异于点），使得是“近直角三角形”？若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由． (3)如图2，在中，，点为边上一点，以为直径的圆交于点，连接交于点，若为“近直角三角形”，且，，求的值． 【答案】(1)20 (2)存在， (3)的值为或 【知识点】全等三角形综合问题、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算、圆与三角形的综合(圆的综合问题) 【分析】（1）不可能是或，当时，，，不成立；故，，，则 （2）由，则，即，即，解得：，即可求解 （3）①如图2所示，当时，设，则，则，即，解得：，即可求解； ②如图3所示，当时，，则，则（圆的半径），点是的中点，则，在中，，由三角函数可求解． 【详解】（1）解：不可能是或， 当时，，，不成立； 故，，，则， 故答案为20； （2）存在，理由： 在边上是否存在点（异于点，使得是“近直角三角形”， ，，则， 则， 设，则， ∴， ∴， ∵， 则， 即，即，解得：， 则； （3）①如图2所示，当时， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，则，则， ， 过点作于点， 设，则， 则，即，解得：； ，则， 则； ②如图3所示，当时， 过点作交于点，交于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为的垂直平分线， ∴点是圆的圆心（的中垂线与直径的交点）， ∴， ，， ， ∴， 则， 则，则（圆的半径）， ∵点是的中点，G为中点， ∴， 在中，， 在中，，，， ，， ， ， 综上，的值为或． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定以及性质，全等三角形的判定与性质，三角函数值，圆周角等知识．属于圆的综合题，解决本题需要我们熟练各部分的内容，对学生的综合能力要求较高，一定要注意将所学知识贯穿起来． 27．（2024·上海杨浦·二模）定义：我们把平面内经过已知直线外一点并且与这条直线相切的圆叫做这个点与已知直线的点切圆．如图1，已知直线l外有一点H，圆Q经过点H且与直线l相切，则称圆Q是点H与直线l的点切圆．阅读以上材料，解决问题： 已知直线外有一点P，，，，圆M是点P与直线的点切圆． (1)如果圆心M在线段上，那么圆M的半径长是_____（直接写出答案）． (2)如图2，以O为坐标原点、为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，点P在第一象限，设圆心M的坐标是． ①求y关于x的函数解析式； ②点B是①中所求函数图象上的一点，连接 并延长交此函数图象于另一点C．如果，求点B的坐标． 【答案】(1) (2)①；②或 【知识点】切线的性质定理、相似三角形问题(二次函数综合) 【分析】本题考查了二次函数与相似三角形的综合题，以新定义的形式出现，理解题意是解决本题的关键． （1）过点M作，设圆M的半径为R，根据点切圆的定义，先通过勾股定理求，再利用同角三角函数值相等得：，求解即可； （2）①过点M作,，则，，则，对运用勾股定理即可建立y关于x的函数关系式； ②设点，过点C、B作的垂线交于点D、E，构造相似三角形，用x，y的代数式表示出B点坐标，再代入抛物线解析式，联立即可求解． 【详解】（1）解：过点M作，设圆M的半径为R， ∵，， ∴， ∵圆M是点P与直线的点切圆， ∴， ∴， 解得：． 故答案为：． （2）解：①过点M作,， 由（1）得，则，，则， 在中，得：，化简得：． ②设点，过点C、B作的垂线交于点D、E， ∵， ∴， ∴，则， ∴点代入得： 解得：或， ∴点或． 28．（2024·上海普陀·二模）如图，在梯形中，（），，．将梯形绕点按顺时针方向旋转，使点与点重合，此时点、的对应点分别是点、． (1)当点正好落在的延长线上时，求的度数； (2)联结，设，． ①求关于的函数解析式； ②定义：同中心同边数的两个正多边形称为双同正多边形．设是一个正多边形的中心角，联结，请说明以线段、为边的正多边形是双同正多边形的理由．当这两个正多边形的面积比是时，求双同正多边形的边数． 【答案】(1) (2)①；②理由见解析，双同正多边形的边数为 【知识点】求正多边形的中心角、已知正多边形的中心角求边数、根据旋转的性质求解、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）当点正好落在的延长线上时，连接，根据平行线的性质、旋转的性质、等边对等角的性质，得出，结合三角形内角和为求出度数即可； （2）①连接、、、，过点作于点，根据旋转的性质、相似三角形的判定定理，证明，得出，结合勾股定理，用含的代数式表示出、，代入中整理得出关于的函数解析式即可；②根据①过程中，，，已知，说明以线段、为边的正多边形是双同正多边形即可；根据当这两个正多边形的面积比是时，相似多边形的面积比等于相似比的平方，得出相似比为，求出的长，结合勾股定理计算，求出，得出，计算即可得出双同正多边形的边数． 【详解】（1）解：如图，当点正好落在的延长线上时，连接， ∵，，将梯形绕点按顺时针方向旋转，使点与点重合，此时点、的对应点分别是点、， ∴（两直线平行，内错角相等），，， ∴， ∴； （2）解：①如图，连接、、、，过点作于点， ∵将梯形绕点按顺时针方向旋转，使点与点重合，此时点、的对应点分别是点、， ∴， 和都等于旋转角，即， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴，， ， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ， ， 整理得：； ②以线段、为边的正多边形是双同正多边形，理由如下， 如图，由①过程得：，，， ∵，是一个正多边形的中心角，将梯形绕点按顺时针方向旋转，使点与点重合，此时点、的对应点分别是点、， ∴， ∴也是一个正多边形的中心角， ∴以线段、为边，以点为的中心的两个正多边形的中心角也相等，即这两个正多边形是双同正多边形， ∴这两个正多边形也是相似多边形， ∵当这两个正多边形的面积比是时， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴这两个正多边形的中心角， ∴这两个正多边形的边数， ∴当这两个正多边形的面积比是时，双同正多边形的边数为． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、正多边形的性质等，熟练掌握相似三角形的判定与性质、推理证明是解题的关键． 题型七、锐角三角函数 29．（2024·上海·模拟预测）新定义：无理数的被开方数（T为正整数）满足（其中n为正整数），则称无理数的“青一区间”为，在平面直角坐标系中建立点为的青一坐标，同理可得的青一区间为，为的青一坐标，两坐标的距离，叫做的青一距． (1)的青一坐标与的青一坐标关于_________对称； (2)的青一区间为_______，的青一区间为_________，的青一距为_______； (3)实数x，y满足关系式：，若直线过的青一坐标和的青一坐标，求：的青一距和直线与x轴夹角的正弦值． 【答案】(1)原点 (2)，， (3)青一距为，正弦值为 【知识点】无理数的大小估算、其他问题(一次函数的实际应用)、判断两个点是否关于原点对称、求角的正弦值 【分析】本题考查坐标与中心对称，无理数的估算，求一次函数的解析式，求正弦值： （1）根据点的坐标特征，进行判断即可； （2）根据青一区间和青一距的定义，进行求解即可； （3）非负性求出的值，进而求出青一区间和青一距，待定系数法求出函数解析式，数形结合求出角的正弦值即可． 【详解】（1）解：和的横纵坐标均为相反数， 故的青一坐标与的青一坐标关于原点对称； 故答案为：原点； （2）∵， ∴的青一区间为； ∵ ∴的青一区间为； ∵， ∴的青一区间为，的青一区间为； ∴的青一距为； 故答案为：；；； （3）∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴的青一区间为：，的青一区间为：， ∴的青一距为； ∵直线过的青一坐标和的青一坐标，即直线过和， ∴，解得：， ∴， 如图：不妨设，过点作轴，则：， ∴， ∴ ∴的青一距青一距为，直线与x轴夹角的正弦值为． 30．（2025·上海杨浦·一模）新定义：直线上顺次排列的四个点、、、如果满足，则、；、是调和点列 (1)求证：①若、；、是调和点列，则； ②为线段外任意一点，联结、、、，直线截、、、，分别交于、、、，则、；、为调和点列； (2)尺规作图： ①如图，若直线上顺次排列的四个点、、、（已知点、、）如果满足・，请直接作出一组可行的、、，并用尺规作图求作点（保留痕迹）； ②思考：是否可以利用调和点列的条件作出某两点的黄金分割点，若能，则在图中作出此点E，并在横线处写出E为哪两点的黄金分割点（保留痕迹）；若不能，请在横线处写“不能”，并说明理由．_______________； (3)已知二次函数，，直线过点，与二次函数交于两点、（在左上侧），与轴交于点，且，是否存在，使得、；、是调和点列？若是，求的值，若不是，请说出理由． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)①见解析；②能，见解析，是的黄金分割点 (3)不存在，理由见解析 【知识点】解直角三角形的相关计算、黄金分割、由平行判断成比例的线段、其他问题(二次函数综合) 【分析】本题考查了调和点列的定义，解直角三角形，平行线分线段成比例，黄金分割，二次函数的性质． ①根据题意得出，进而计算得出，即可得证； ②设，根据得出化简得出，进而可得，，即可得证； （2）①取点，，，根据调和点列定义可得 ②取点，，连接，设，则，进而得出，即可求解； （3）设直线的解析式为，与轴交于点，根据得出则，，过点分别作轴的垂线，垂足分别为，设，根据平行线分线段成比例得出，，进而根据、；、是调和点列得出，即，进而得出，与已知矛盾，即可求解． 【详解】（1）证明：①∵， ∴， ∵ ， 即， ∴； ②如图，设， ∵， ∴， ∴， ∴. ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴、、为调和点列； （2）解：①如图，取点，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴点； 或如图， 则 ②如图， 取点，，连接，设，则， ∴， 以为圆心为半径作弧交轴于点，则， 取的中点，则， 取点，则， 以为圆心为半径，在轴上截取， 取的中点，则， ∴， ∴是的黄金分割点， （3）设直线的解析式为，与轴交于点， ∵在左上侧， ∴， 当时，，解得：，即， ∵， ∴，即，则， ∴，， ∵， ∴抛物线开口向上， 如图，过点分别作轴的垂线，垂足分别为， 联立， ∴， ， 设， ∴， ∵， ∴，， ∵、；、是调和点列， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，与已知矛盾， ∴不存在，使得、；、是调和点列． 31．（2025·上海松江·一模）在平面直角坐标系中（如图），已知二次函数的图像与轴负半轴交于点，与轴交于点，且． (1)当时，求该二次函数的函数值； (2)定义：对于一个函数，满足的实数叫做这个函数的不动点．如果二次函数存在唯一的一个不动点，试求出这个不动点； (3)将绕点逆时针旋转，点落在点处，点落在点处，当四边形是梯形时，点恰好落在该二次函数图像上，求该二次函数的解析式． 【答案】(1)0 (2)这个不动点是 (3)或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、根据旋转的性质求解、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）令，得，得，进而得，代入解析式得得，从而得，再把代入解析式即可得解； （2）由得：，根据函数有唯一的不动点得或．把代入，得，求解即可； （3）分和利用解直角三角形，旋转的性质及二次函数的图像及性质即可求解． 【详解】（1）解：令，得， ． 代入解析式得得 ∴ 当时 当时，． （2）解：由得： ∵有唯一的不动点 解得：（舍）或． 当时， ∴， 这个不动点是． （3）解：①当时，如图 由旋转可得，， ， ∴ ， ②当时，如图，过作于点， 由旋转得， ∴， ，， ∴ 解得， ． 故二次函数解析式为或， 【点睛】本题主要考查了二次函数的图形及性质，一元二次方程根的判别式，解直角三角形及旋转的性质，熟练掌握二次函数的图形及性质是解题的关键． 32．（2024·上海杨浦·一模）新定义：由边长为1的小正方形构成的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，已知在的网格图形中，的顶点A、B、C都在格点上．请按要求完成下列问题： (1)___________；___________； (2)请仅用无刻度的直尺在线段AB上求作一点P，使．（不要求写作法，但保留作图痕迹，写出结论） 【答案】(1)4， (2)作图见解析 【知识点】勾股定理与网格问题、相似三角形的判定与性质综合、求角的正弦值、利用网格求三角形面积 【分析】（1）由正方形面积减去三个小三角形面积即可求出；过点A作于点D．根据勾股定理可求出．再根据三角形面积公式可求出，最后由正弦的定义求解即可； （2）如图，取格点M和N，连接交于点P，连接，则，即可证，得出．再根据和同高，即得出，进而得出，即说明点P即为所作． 【详解】（1） ； 如图，过点A作于点D． 由图可知． ∵， ∴ ∴， ∴． 故答案为：4，； （2）如图，点P即为所作． 【点睛】本题考查利用网格求三角形的面积，求角的正弦值，三角形相似的判定和性质等知识．利用数形结合的思想是解题关键． 2 / 85 1 / 85 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点 新定义问题 目录 题型一、相似三角形 1 题型二、直角三角形 26 题型三、函数 34 题型四、勾股定理及逆定理 49 题型五、四边形 58 题型六、圆 65 题型七、锐角三角函数 73 题型一、相似三角形 1．（2025·上海徐汇·一模）定义一个三角形中一内角的平分线和该角对边上高，以及这条边围成的新三角形是它的“内拐三角形”．命题“两三角形相似，它们的内拐三角形相似”和其逆命题中，（   ）正确． A．两个都 B．仅原命题 C．仅原命题的逆命题 D．没有一个 2．（2024·上海嘉定·二模）定义：如果三角形有两个内角的差为，那么这样的三角形叫做准直角三角形．已知在直角中，，，，如图，如果点在边上，且是准直角三角形，那么________． 3．（2025·上海·二模）定义：一三角形中有两角与，若角的两倍与角的和为，则此三角形叫作准直角三角形，其中叫作二倍角．已知在准直角三角形中， ，是二倍角，且．连接中点D与中点E，将绕点B旋转，点D落在点处，点E落在直线上，则___________． 4．（2024·上海·三模）新定义1：多边形顶点之间最长距离与最短距离的比值叫做多边形的特征值，如：正五边形的特征值为． 新定义2：同中心同边数的两个正多边形称为双同正多边形． (1)如图，已知四边形为圆O的内接矩形，是圆O的内接三角形，若四边形的特征值为，的特征值为1，求证： (2)设正边形（且n为整数）的一边长与边数值恰好相同，一个内角的余弦值为x，特征值为y，求：y关于x的函数解析式（注：当时，） (3)如图，在梯形中，（），，点B，D在以C为圆心，6为半径的圆上，将梯形绕点C按逆时针方向旋转，使点B与点D重合，此时A，D的对应点是点E，F，设是一个正多边形的中心角，联结，请说明以线段为边的正多边形是双同正多边形的理由．当这两个正多边形的面积比是时，求：双同正多边形的特征值． 5．（2025·上海·模拟预测）定义：将对应角相等，对应边成比例的两个四边形称为相似四边形． (1)已知：如图1，四边形是矩形，E、F分别在、上，且．如果，求证：； (2)已知：如图2，四边形是梯形，，，E、F分别在、上，且．如果，求证． 6．（2025·上海宝山·模拟预测）新定义：平行四边形一组邻边的中点与不在这组邻边上的顶点顺次连接而成的三角形如果是直角三角形，则称这个三角形为平行四边形的“中直三角形”，并且把该平行四边形的长边与短边之比成为该平行四边形的“度量值” (1)如图1，已知矩形，为其“中直三角形”，其中，求：矩形的“度量值”； (2)如图2，为的“中直三角形”，其中，，求：的“度量值”； (3)在中，，，请直接写出以为中直三角形的平行四边形的“度量值”． 7．（2025·上海奉贤·二模）定义：如果一个三角形的三个顶点分别在另一个三角形的三边上，且这两个三角形相似，那么我们把这个三角形称为另一个三角形的镶嵌相似形：已知中，点P、D、E分别在，，上，连接，，． (1)如图1，P是中点，，时，求证：是的镶嵌相似形； (2)如图2，当，，是的镶嵌相似形，．求的值； (3)如图3，如果，，，是的镶嵌相似形，且与不平行，求的长． 8．（2025·上海宝山·模拟预测）定义：如果一个三角形的三个顶点分别在另一个三角形的三边上，且这两个三角形相似，那么我们把这个三角形称为另一个三角形的镶嵌相似形；已知中，点P，D，E分别在，，上，连接，，． (1)如图1，P是中点，，时，求证：是的镶嵌相似形； (2)如图2，当，，是的镶嵌相似形，，求：的值； (3)如图3，当，，，是的镶嵌相似形，且与不平行时，试求：边的长． 题型二、直角三角形 9．（2025·上海杨浦·一模）定义：如图1，已知点、是的边上的两个定点，点是边上的一个动点，当时，称点是线段的最佳视野点．如图2，某商业广场上安装了一块巨型显示屏，点到水平地面的距离为5米，在水平地面的处有一个自动扶梯，点、、在同一直线上．已知自动扶梯的坡度是，点到点的距离是10米．    (1)当行人行走在水平地面时，发现点恰好是屏幕的最佳视野点，且从点测得点的仰角为．求的长；（忽略行人的高度） (2)在（1）的条件下，如果要在自动扶梯上找到屏幕的最佳视野点，有人说“最佳视野点就是屏幕的垂直平分线与的交点”．你同意这个说法吗？请通过计算说明理由．（忽略行人的高度） 10．（2024·上海·模拟预测）定义：如果三角形两边的乘积是第三条边上高线平方的倍，则称这个三角形是“小屋三角形”，这条高线叫做“小屋线”． (1)如图1，中，，，求证：是“小屋三角形”． (2)如图2，是圆的内接三角形，是钝角，是的“小屋线”，设长为，圆的面积为，求的值． (3)如图3，在（2）的条件下，是优弧的中点，连结，，当与的平方差为时，求圆的周长． 11．（2024·上海崇明·三模）新定义：有两边之比为1：的三角形叫做“勤业三角形”． (1)下列各三角形中，一定是“勤业三角形”的是________；（填序号） ①等边三角形；②等腰直角三角形；③含角的直角三角形；④含角的等腰三角形． (2)如图1，是⊙O的内接三角形，为直径，为上一点，且，作，交线段于点，交⊙O于点，连接交于点．试判断和△是否是“勤业三角形”并证明 (3)如图2，在（2）的条件下，当时，求的余弦值 题型三、函数 12．（2025·上海·模拟预测）定义：若在同一个三角形的三边中，一条边是另外两边的比例中项，则称该三角形是关于这条边的“边积三角形”．记的三边长为a、b、c，若且是“边积三角形”，则下列说法错误的是（   ） A．a、b、c一定满足 B．的取值范围是 C．的取值范围是 D．事件“是直角三角形”的概率为0 13．（2025·上海·模拟预测）定义：对于定义域为的函数，若任取在中的实数、（），都有，则称为上的“下阶梯函数”；若，则为“上阶梯函数”，二者统称“阶梯函数”．若函数是定义域为全体实数的“阶梯函数”，且的图像连续不断，则下列说法错误的是（   ） A．可以是任意的一次函数 B．若对任意实数都有，则是“上阶梯函数” C．若是“下阶梯函数”，则对任意实数、，都有 D．若存在实数、使得，则的图像与轴有且只有一个交点 14．（2025·上海杨浦·模拟预测）定义：在平面直角坐标系中，横纵坐标均为整数的点称之为：整点，已知双曲线与抛物线在第一象限内所围成的区域内的整点有4个，那么的取值范围是___________． 15．（2026·上海·一模）定义：对于一个开口向下的抛物线，将其图像先关于轴翻折，再将所得图像向上平移2个单位，若平移后的图像与原图像有两个交点，且这两个交点之间的距离为，则称这个抛物线为“哎呦喂函数”．已知某“哎呦喂函数”的解析式为，其中，则__________． 16．（2025·上海·二模）定义符号代表在平面直角坐标系xOy中，函数的图像两两相交(每两个函数图像有且仅有1个交点)得到三个交点组成的三角形．那么，的最短边长度为______． 17．（2025·上海奉贤·一模）新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，那么称这个点为三倍点．已知反比例函数的图象经过点，二次函数的图象经过点A及反比例函数图象上的三倍点，求二次函数的解析式． 18．（2025·上海闵行·二模）定义：如果一条抛物线的顶点坐标满足条件，那么称该抛物线为“优雅”抛物线．例如：抛物线的顶点坐标为，此时由于，，顶点坐标符合定义的条件，所以这条抛物线是“优雅”抛物线． (1)如果抛物线是“优雅”抛物线，求的值． (2)如图，把（1）中的抛物线向下平移得到抛物线，抛物线与轴负半轴交于点，顶点为点，对称轴与轴交于点． ①点在延长线上，点是轴上一点，且四边形是矩形，求点的坐标． ②如果抛物线为“优雅”抛物线，它的顶点在轴上，抛物线与交于点，且，求抛物线的解析式． 19．（2025·上海·模拟预测） 定义  平面直角坐标系中，抛物线的顶点和图像上两点、组成一个等腰直角三角形，且直线平行于轴，那么称为抛物线的“特征三角形”，线段的长称为抛物线的“特征值”． 根据定义完成下列问题． (1)已知平面直角坐标系中，抛物线的顶点是点，且经过点． ①求抛物线的表达式，并求“特征三角形”的面积（在的左侧）． ②若抛物线的顶点为点，其“特征三角形”另外两个顶点为、（在的左侧），若以点、、、组成的四边形是正方形，求抛物线的表达式． (2)现对定义提出以下命题： 命题一 若两抛物线二次项系数绝对值相同，它们的“特征值”一定相等． 命题二 若两抛物线二次项系数比设为，它们的“特征值”比值一定为． 以上命题中，成立的是 （填写命题序号），尝试通过举例证明你的选择． 题型四、勾股定理及逆定理 20．（25-26九年级上·上海·月考）定义：在同一平面内，如果两条线段所在直线形成的夹角是，且这两条线段相等，则称其中一条线段是另一条线段的双关联线段，也称这两条线段互为双关联线段．如图，在中，点D、E分别在边、上，于D，与相交于点若边是边的双关联线段，且，则_________． 21．（2024·上海嘉定·三模）定义：若一个圆内接四边形的两条对角线互相垂直，则称这个四边形为圆美四边形． (1)请在特殊四边形中找出一个圆美四边形，该四边形的名称是 ；如图1，在等腰中，，经过点A、B的交边于点D，交于点E，连接，若四边形为圆美四边形，则的值恰与 °角的余切值相等 (2)如图2，在中，经过点A、B的交边于点D，交于点E，连接交于点F，若在四边形的内部存在一点P，使得，连接交于点G，连接，若． ①试说明：四边形为圆美四边形； ②若，，，当最小时，求：的值 22．（2024·上海闵行·二模）沪教版九年级第二学期的教材给出了正多边形的定义：各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形．同时还提到了一种用直尺和圆规作圆的内接正六边形和圆的内接正五边形的方法，但课本上并未证明．我们现开展下列探究活动． 活动一：如图1，展示了一种用尺规作的内接正六边形的方法． ①在上任取一点，以为圆心、为半径作弧，在上截得一点； ②以为圆心，为半径作弧，在上截得一点；再如此从点逐次截得点、、； ③顺次连接、、、、、． (1)根据正多边形的定义，我们只需要证明__________，________ （请用符号语言表示，不需要说明理由），就可证明六边形是正六边形． 活动二：如图2，展示了一种用尺规作的内接正五边形的方法． ①作的两条互相垂直的直径和； ②取半径的中点；再以为圆心、为半径作弧，和半径相交于点； ③以点为圆心，以的长为半径作弧，与相截，得交点． 如此连续截取3次，依次得分点、、，顺次连接、、、、，那么五边形是正五边形． (2)已知的半径为2，求边的长，并证明五边形是正五边形． （参考数据：，，，，．） 题型五、四边形 23．（2024·上海浦东新·二模）定义：四边形中，点E在边上，连接、，如果的面积是四边形面积的一半，且的面积是及面积的比例中项，我们称点E是四边形的边上的一个面积黄金分割点． 已知：如图，四边形是梯形，且，，如果点E是它的边上的一个面积黄金分割点，那么的值是________． 24．（2024·上海·模拟预测）新定义：正n边形最短对角线与最长对角线长度的比值为正n边形的特征值，则n的取值范围为_______，正六边形的特征值为______． 25．（2024·上海浦东新·一模）新定义1：将宽与长的比等于黄金分割比的矩形称为黄金矩形   新定义2：将顶角为的等腰三角形称为黄金三角形 ①在一张矩形纸片的一端，利用图1的方法折出一个正方形，然后把纸片展平 ②如图2，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平 ③折出内侧矩形的对角线，并把折到图3中所示的处 ④展平纸片，按照所得到的点D折出 (1)根据以上折纸法，求证：矩形为黄金矩形 (2)如图5，已知为黄金三角形，，求：的长 (3)在（2）的条件下，截取交AC于D，截取交线段于E，过E作任意直线与边交于P，Q两点，试判断：是否为定值，若是，请求出定值，若不是，请说明理由 题型六、圆 26．（2024·上海·三模）新定义：如果一个三角形中有两个内角，满足，那我们称这个三角形为“近直角三角形”． (1)若是“近直角三角形”，，，则______度； (2)如图1，在中，，，．若是的平分线，在边上是否存在点（异于点），使得是“近直角三角形”？若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由． (3)如图2，在中，，点为边上一点，以为直径的圆交于点，连接交于点，若为“近直角三角形”，且，，求的值． 27．（2024·上海杨浦·二模）定义：我们把平面内经过已知直线外一点并且与这条直线相切的圆叫做这个点与已知直线的点切圆．如图1，已知直线l外有一点H，圆Q经过点H且与直线l相切，则称圆Q是点H与直线l的点切圆．阅读以上材料，解决问题： 已知直线外有一点P，，，，圆M是点P与直线的点切圆． (1)如果圆心M在线段上，那么圆M的半径长是_____（直接写出答案）． (2)如图2，以O为坐标原点、为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，点P在第一象限，设圆心M的坐标是． ①求y关于x的函数解析式； ②点B是①中所求函数图象上的一点，连接 并延长交此函数图象于另一点C．如果，求点B的坐标． 28．（2024·上海普陀·二模）如图，在梯形中，（），，．将梯形绕点按顺时针方向旋转，使点与点重合，此时点、的对应点分别是点、． (1)当点正好落在的延长线上时，求的度数； (2)联结，设，． ①求关于的函数解析式； ②定义：同中心同边数的两个正多边形称为双同正多边形．设是一个正多边形的中心角，联结，请说明以线段、为边的正多边形是双同正多边形的理由．当这两个正多边形的面积比是时，求双同正多边形的边数． 题型七、锐角三角函数 29．（2024·上海·模拟预测）新定义：无理数的被开方数（T为正整数）满足（其中n为正整数），则称无理数的“青一区间”为，在平面直角坐标系中建立点为的青一坐标，同理可得的青一区间为，为的青一坐标，两坐标的距离，叫做的青一距． (1)的青一坐标与的青一坐标关于_________对称； (2)的青一区间为_______，的青一区间为_________，的青一距为_______； (3)实数x，y满足关系式：，若直线过的青一坐标和的青一坐标，求：的青一距和直线与x轴夹角的正弦值． 30．（2025·上海杨浦·一模）新定义：直线上顺次排列的四个点、、、如果满足，则、；、是调和点列 (1)求证：①若、；、是调和点列，则； ②为线段外任意一点，联结、、、，直线截、、、，分别交于、、、，则、；、为调和点列； (2)尺规作图： ①如图，若直线上顺次排列的四个点、、、（已知点、、）如果满足・，请直接作出一组可行的、、，并用尺规作图求作点（保留痕迹）； ②思考：是否可以利用调和点列的条件作出某两点的黄金分割点，若能，则在图中作出此点E，并在横线处写出E为哪两点的黄金分割点（保留痕迹）；若不能，请在横线处写“不能”，并说明理由．_______________； (3)已知二次函数，，直线过点，与二次函数交于两点、（在左上侧），与轴交于点，且，是否存在，使得、；、是调和点列？若是，求的值，若不是，请说出理由． 31．（2025·上海松江·一模）在平面直角坐标系中（如图），已知二次函数的图像与轴负半轴交于点，与轴交于点，且． (1)当时，求该二次函数的函数值； (2)定义：对于一个函数，满足的实数叫做这个函数的不动点．如果二次函数存在唯一的一个不动点，试求出这个不动点； (3)将绕点逆时针旋转，点落在点处，点落在点处，当四边形是梯形时，点恰好落在该二次函数图像上，求该二次函数的解析式． 32．（2024·上海杨浦·一模）新定义：由边长为1的小正方形构成的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，已知在的网格图形中，的顶点A、B、C都在格点上．请按要求完成下列问题： (1)___________；___________； (2)请仅用无刻度的直尺在线段AB上求作一点P，使．（不要求写作法，但保留作图痕迹，写出结论） 2 / 85 1 / 85 学科网（北京）股份有限公司 $