精品解析：山东青岛第五十八中学2026届高三下学期一模调研检测数学试题

山东青岛第五十八中学2026届高三下学期一模调研检测数学试题 本试卷共4页，19题．全卷满分150分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷与答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 的展开式中的系数为（ ） A. 1 B. 7 C. 21 D. 42 【答案】C 【解析】 【分析】根据二项式展开式通项公式计算求解. 【详解】展开式中的系数为. 故选：C. 2. 已知集合，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用对数函数的单调性解不等式求得B，再利用交集的概念计算即可. 【详解】由，即，， 又，所以. 故选：B 3. 设非零向量，满足，，则向量的夹角等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先将等式两边平方，可得，再用平面向量的夹角公式计算即可. 【详解】由等式，两边平方得：， 则，且，所以. ，即. 故选：B. 4. 已知函数在 处取得极小值，则 （ ） A. B. C. 1 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】先对函数求导，利用极值点的导数等于0求出 的可能值，再利用导数分析函数的单调性讨论求出 ． 【详解】函数求导得， 由题意知， 则，解得或 ， 当时，， 由 或；由 . 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数在 处取得极小值. 当 时，， 由 或 ；由 . 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数在 处取得极大值. 满足条件的是． 5. 已知正项等差数列的前 项和为，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列的通项公式结合等差中项的性质求出，再结合已知条件，利用基本不等式求的最大值． 【详解】由题意得，解得， 由等差中项的性质可得，解得， ， 由题意知， 根据基本不等式，当且仅当时等号成立， 的最大值为 ． 6. 将函数的图象按向量平移后所得的图象关于点中心对称，则向量的坐标可能为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设平移向量，写出平移后的函数解析式，由对称性求得平移向量，取特殊值可得结论． 【详解】设平移向量，则函数按向量平移后的表达式为 ，因为图象关于点中心对称， 故代入得：，， 时，， 故选：C． 7. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，直线与C的左、右两支分别交于A，B两点，若四边形为矩形，则C的离心率为（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】联立直线与C的方程，求出弦AB长，由求解即得. 【详解】显然直线与交于原点O， 由双曲线对称性知，若四边形是矩形，则， 设点，而 由得，解得， 则， 则，化简得，即，， 解得， 则. 故选：C. 8. 有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为 的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，则 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分类讨论底面三角形的形状，再根据三角形三边关系列出不等式，求解即可． 【详解】根据两根长都为 的直铁条的相对位置，将底面三角形的三边长分为两种情况： ①当底面是边长为2的正三角形，三条侧棱长为，即两根长都为 的直铁条相邻， 取 中点为 ，连接，如图所示， 由正三角形可知，， 在中，由于，即， 解得； ②当底面三角形边长分别为，三条侧棱长为，即两根长都为 的直铁条不相邻， 取 中点为 ，连接 ，如图所示， 由为等腰三角形，得， 在中，，即，解得； 综上所述， 的取值范围是， 故选：A． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 复数，满足，，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由题意根据韦达定理建立一元二次方程，求得复数，根据模长公式以及复数四则运算，可得答案. 【详解】依题意得，复数，是方程的两个根， 可得， 解得，则，， 所以，故选项A正确； ，故选项B正确； ，故选项C错误； ，故选项D正确． 故选：ABD． 10. 函数在一个周期内的图象可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】由函数，利用平移变换判断. 【详解】函数， 其中， 因为，所以， 又函数是由向左或向右平移个单位得到的， AC符合题意， 故选：AC 11. 已知圆 过抛物线上的两点，则（ ） A. 圆 面积的最小值为 B. 圆 与抛物线 的公共点个数为3 C. 若圆 与抛物线 还有另外两个交点P、Q，则P、Q的纵坐标之和为2 D. 若圆 与抛物线 还有另外两个交点P、Q，则直线PQ的斜率为4 【答案】AC 【解析】 【分析】由已知求得抛物线的方程，对于A，圆C以 为直径时，圆的面积最小，求出半径，可得圆C的面积；对于B，根据圆和抛物线的对称性，当圆心在 轴上时，有 个交点；对于D，设出直线的方程为 ，设出过的曲线方程，由方程中 的系数为0，可求得直线的斜率的值；对于C，由直线的方程 与联立，消元后利用韦达定理可得的纵坐标之和. 【详解】因为点在抛物线 ：上， 所以，解得，所以抛物线的方程为， 对于A，因为圆 过抛物线上的两点，， 则以 为直径时，圆的面积最小，半径， 此时圆 的面积为，故A正确； 对于B，直线 方程为， 线段 中垂线方程为，与 轴交点为， 当圆心坐标为时，根据对称性，可知圆 与抛物线 的公共点个数为 ，故B错误； 对于D，由已知可知直线的斜率存在，设为， 则直线的方程设为 ， 设过的曲线方程为， 方程左边 的系数为， 因为的曲线方程为圆， 所以，即 ，故D错误； 对于C，直线的方程为 ，与联立， 得，设的纵坐标为，则，故C正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】将题干中的两个式子均平方，再相加即可求出. 【详解】由题意可得，， ， 两式相加得，，即. 故答案为： 13. 已知曲线与曲线只有一个公共点，则 ______． 【答案】1 【解析】 【分析】把两曲线与有一个公共点，转化为方程只有一个实数解，通过分离常数，构造新函数求出 值。 【详解】由已知曲线与曲线只有一个公共点， 得方程只有一个实数解，而 ，， 则，即， 故，令， 则， 而在单调递增，且， 所以当时，单调递减， 当时，单调递增， 故， 而当时，；当 时，， 所以． 故答案为：1 14. 组合数学常应用于计算机编程，计算机中著名的康威生命问题与开关问题有相似的地方．下图为一个开关阵列，每个开关只有“开”和“关”两种状态，按其中一个开关一次，将导致自身和周围所有相邻的开关改变状态，例如，按将导致 ， ，， 改变状态．如果要求只改变的状态，则需按开关的最少次数为__________． 【答案】5 【解析】 【分析】分析可知，要只改变的状态，则只有在及周边按动开关才可以实现开关的次数最少，利用表格分析即可. 【详解】根据题意可知：只有在及周边按动开关，才可以使按开关的次数最少，具体原因如下： 假设开始按动前所有开关均为闭合状态，要只改变的状态，在按动后，，也改变， 下一步可同时恢复或逐一恢复，同时恢复需按动，但会导致周边的，也改变，因此会按动开关更多的次数；所以接下来逐一恢复，至少需按开关 次； 这样沿着周边的开关再按动，可以实现最少的开关次数，即按动 次可以满足要求. 如下表所示：（按顺时针方向开关，逆时针也可以） 按动 开 开 关 开 关 关 关 关 关 按动 开 关 开 开 关 开 关 关 关 按动 开 关 关 开 开 关 关 关 开 按动 开 关 关 开 关 关 开 开 关 按动 开 关 关 关 关 关 关 关 关 则需按开关的最少次数为 . 故答案为：5. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，正方体的棱长为2. （1）证明：平面； （2）求平面 与平面所成角的正弦值； （3）求点到平面的距离. 【答案】（1）证明：由正方体的性质可知， 因为 平面，平面， 所以平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先利用正方体的性质得到，然后利用线面平行的判定可证结论； （2）利用垂直关系找到两平面夹角的平面角，利用直角三角形可求正弦值； （3）建立坐标系，求出平面法向量，利用点到平面的距离公式可求答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设交于点，连接，由正方形的性质可知，且； 因为正方体的棱长为2，所以， 所以,且， 所以为平面 与平面所成角的平面角， 因为底面 ，所以， 所以，即平面 与平面所成角的正弦值为. 【小问3详解】 以 为坐标原点，所在直线分别为 轴，建立空间直角坐标系， 则， ， 设平面的一个法向量为 ，则， 令 可得， 设到平面的距离为 ， 则，即点到平面的距离为. 16. 设函数. （Ⅰ）讨论 的导函数的零点的个数； （Ⅱ）证明：当时. 【答案】（Ⅰ）当 时， 没有零点；当 时， 存在唯一零点. （Ⅱ）由（Ⅰ），可设 在的唯一零点为，当时， ; 当 时， . 故 在单调递减，在单调递增，所以当时，取得最小值，最小值为. 由于 ，所以. 故当 时，. 【解析】 【详解】试题分析：（Ⅰ）先求出导函数，分 与 考虑 的单调性及性质，即可判断出零点个数；（Ⅱ）由（Ⅰ）可设 在的唯一零点为，根据 的正负，即可判定函数的图像与性质，求出函数的最小值，即可证明其最小值不小于，即证明了所证不等式. 试题解析：（Ⅰ）的定义域为，. 当 时, ， 没有零点； 当 时，因为单调递增，单调递增，所以 在单调递增.又,当b满足且时，,故当 时， 存在唯一零点. （Ⅱ）略 考点：常见函数导数及导数运算法则；函数的零点；利用导数研究函数图像与性质；利用导数证明不等式；运算求解能力. 17. 记 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知． （1）求 ； （2）若 ，， ， 边上的中线 ， 相交于点 ． （i）求 ； （ii）求． 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）通过正弦定理将边化为角，结合两角和的正弦公式以及辅助角公式得到关于 的方程进而得解； （2）（i）通过求向量的模长即可得结果；（ii）通过余弦定理求出 ，（法一）根据重心的性质求出和 ，最后通过余弦定理可得结果；（法二）通过求得到结果. 【小问1详解】 由正弦定理得， ∴， ∴， ∵ ，∴， ∴． ∵ ∴，即． 【小问2详解】 （i）∵， ∴． （ii）在 中，由余弦定理得， 即 （法一）由题知 是 的重心， ∴，∴， 在中，由余弦定理得． （法二）又， ∴． ∴． 18. 箱中装有大小相同的黄､白两种颜色的乒乓球，黄､白乒乓球的数量比为 . （1）求取球一次分别取到黄球､白球的概率 （2）现从箱中每次任意取出一个球，若取出的是黄球则结束，若取出的是白球，则将其放回箱中，并继续从箱中任意取出一个球，但取球的次数最多不超过 次，以 表示取球结束时已取到白球的次数. （i）求 的分布列； （ii）求 的数学期望. 【答案】（1），； （2）（i） 0 1 2 （ii）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用古典概率求解即得. （2）（i）求出 的可能取值，由（1）的结论，结合相互独立事件的概率公式求出所对应的概率并列出分布列；（ii）由（i）中分布列结合期望公式表示出 ，再利用错位相减法求和即得. 【小问1详解】 依题意，取球一次取到黄球的概率，取到白球的概率. 【小问2详解】 （i） 的可能取值为： ， 由（1）得，，，， 所以 的分布列为 0 1 2 （ii） 的数学期望， 因此， 两式相减得， 所以 . 19. 已知半椭圆与半椭圆组成的曲线称为“果圆”，其中， ，．如图，设点，，是相应椭圆的焦点，，和，是“果圆”与 ， 轴的交点， （1）若三角形是边长为 的等边三角形，求“果圆”的方程； （2）若，求的取值范围； （3）一条直线与果圆交于两点，两点的连线段称为果圆的弦．是否存在实数，使得斜率为的直线交果圆于两点，得到的弦的中点的轨迹方程落在某个椭圆上？若存在，求出所有的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1），； （2）； （3）当时，“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上； 当 时，以为斜率过的直线 与半椭圆的交点是， 由此，在直线 右侧，以为斜率的平行弦的中点为，轨迹在直线上，即不在某一椭圆上； 当 时，可类似讨论得到平行弦中点轨迹不都在某一椭圆上． 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的三边关系可得各参数值，进而可得方程； （2）根据椭圆性质可得与，进而可得的取值范围； （3）分别计算不同在不同范围内时直线与果圆的交点，进而可得弦中点及其轨迹，即可判断. 【详解】（1），，， ，， 得，， 所求“果圆”方程为，； （2）由题意，得，，所以，即， 又，，即， ， 得； 又， ，即， ； （3）设“果圆” 的方程为，， 记平行弦的斜率为， 当时，设直线 与半椭圆的交点是， 与半椭圆的交点是， ， 的中点满足得， ，， 综上所述，当时，“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上；当 时，以为斜率过的直线 与半椭圆的交点是， 由此，在直线 右侧，以为斜率的平行弦的中点为，轨迹在直线上，即不在某一椭圆上． 当 时，可类似讨论得到平行弦中点轨迹不都在某一椭圆上． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东青岛第五十八中学2026届高三下学期一模调研检测数学试题 本试卷共4页，19题．全卷满分150分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷与答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 的展开式中的系数为（ ） A. 1 B. 7 C. 21 D. 42 2. 已知集合，则 （ ） A. B. C. D. 3. 设非零向量，满足，，则向量的夹角等于（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数在 处取得极小值，则 （ ） A. B. C. 1 D. 3 5. 已知正项等差数列的前 项和为，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 6. 将函数的图象按向量平移后所得的图象关于点中心对称，则向量的坐标可能为 A. B. C. D. 7. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，直线与C的左、右两支分别交于A，B两点，若四边形为矩形，则C的离心率为（ ） A. B. 3 C. D. 8. 有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为 的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，则 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 复数，满足，，则（ ）． A. B. C. D. 10. 函数在一个周期内的图象可以是（ ） A. B. C. D. 11. 已知圆 过抛物线上的两点，则（ ） A. 圆 面积的最小值为 B. 圆 与抛物线 的公共点个数为3 C. 若圆 与抛物线 还有另外两个交点P、Q，则P、Q的纵坐标之和为2 D. 若圆 与抛物线 还有另外两个交点P、Q，则直线PQ的斜率为4 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，，则______． 13. 已知曲线与曲线只有一个公共点，则 ______． 14. 组合数学常应用于计算机编程，计算机中著名的康威生命问题与开关问题有相似的地方．下图为一个开关阵列，每个开关只有“开”和“关”两种状态，按其中一个开关一次，将导致自身和周围所有相邻的开关改变状态，例如，按将导致 ， ，， 改变状态．如果要求只改变的状态，则需按开关的最少次数为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，正方体的棱长为2. （1）证明：平面； （2）求平面 与平面所成角的正弦值； （3）求点到平面的距离. 16. 设函数. （Ⅰ）讨论 的导函数的零点的个数； （Ⅱ）证明：当时. 17. 记 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知． （1）求 ； （2）若 ，， ， 边上的中线 ， 相交于点 ． （i）求 ； （ii）求． 18. 箱中装有大小相同的黄､白两种颜色的乒乓球，黄､白乒乓球的数量比为 . （1）求取球一次分别取到黄球､白球的概率 （2）现从箱中每次任意取出一个球，若取出的是黄球则结束，若取出的是白球，则将其放回箱中，并继续从箱中任意取出一个球，但取球的次数最多不超过 次，以 表示取球结束时已取到白球的次数. （i）求 的分布列； （ii）求 的数学期望. 19. 已知半椭圆与半椭圆组成的曲线称为“果圆”，其中， ，．如图，设点，，是相应椭圆的焦点，，和，是“果圆”与 ， 轴的交点， （1）若三角形是边长为 的等边三角形，求“果圆”的方程； （2）若，求的取值范围； （3）一条直线与果圆交于两点，两点的连线段称为果圆的弦．是否存在实数，使得斜率为的直线交果圆于两点，得到的弦的中点的轨迹方程落在某个椭圆上？若存在，求出所有的值；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $