1.2.2 第1课时 函数和差积的求导法则课件-2025-2026学年高二下学期数学湘教版选择性必修第二册

第1章 导数及其应用 1.2.2 第1课时 函数和差积的求导法则 1.(c为常数)； 2. 3. 4. 5. 6. 7. 一些基本初等函数的导数公式 幂函数 常函数 三角函数 指数函数 对数函数 探究1 函数 y =c f (x) 的导数 问题：前面计算过函数y = x²的导数，由导数的定义可以算出函数 y = 3x²的导数，并发现后者的导数恰好是前者导数的3倍．这里是不是有更一般的规律呢? 探究2 函数 y = f (x)+g(x) 的导数 探究3 函数 y = f (x)g(x) 的导数 由此可见 解：由基本初等函数的导数公式及运算法则可得 f ′ (x) = 6x²－2x－3x ． 将 x = 1代入得， f ′ (1) = 6－2－3 = 1． 所以该曲线在与直线 x = 1相交处切线的斜率k =1 ． 又 f (1) = －1，即切点坐标为(1，－1)． 故所求切线方程为y－(－1) =1×( x－1 ) ，即 y = x－2． 例1 求曲线 f (x) = 2x³－x²－3x＋1在与直线 x = 1相交处的切线方程． 要求切线的方程，需要知道哪些要素？如何转化呢？ 1.函数f(x)=x4-x3的图象在点(1,f(1))处的切线方程为( ) A.y=-x-1 B.y=-x+1 C.y=x-1 D.y=x+1 C 解：f(1)=0,切点坐标为(1,0), f'(x)=4x3-3x2, 所以切线的斜率为k=f'(1)=4×13-3×12=1,切线方程为y-0=x-1, 即y=x-1. 9 (1)此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素,其他的条件可以进行转化,从而转化为这三个要素间的关系. (2)准确利用求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步,也是解题的关键,务必做到准确. (3)分清“在某点”和“过某点”导数的不同. 方法归纳 10 解： f ′ (x) = (x³sinx)′ = (x³)′ sinx ＋ x³(sinx)′ = 3x²sinx ＋ x³cosx． 例2 求函数 f (x) = x³sinx的导数． 2.（基础版）求下列函数的导数． 合作 3.（进阶版）求下列函数的导数． 这三个式子有何特点，直接求导是否方便？与同学交流说说求导的思路. 注意：对于函数求导,一般要遵循先化简、再求导的基本原则. 例3：已知函数f (x)的导函数为f ′(x)，且满足关系式f (x)＝x2＋3xf ′(2)＋ln x，则f ′(2)＝________． -4 2.两函数之和的求导法则： 3.两函数之差的求导法则： 4.函数乘积的求导法则： 1.函数常数倍的求导法则： 本节课学习了哪些求导法则？谈谈你的收获. 由此可见，函数常数倍的导数，等于常数乘函数的导数，即 问题：前面我们计算过 在 处的导数，其结果是否等于 ， 和10，这三项在 处的导数之和呢? 你发现了什么? 由此可见，两个函数和的导数，等于两个函数的导数和，即 类似地，两个函数差的导数，等于两个函数的导数的差，即 (2)因为y＝x3＋1＋eq \f(1,x2)，所以y′＝3x2－eq \f(2,x3). 【解】　(1)y′＝(ex)′ln x＋ex(ln x)′＝exln x＋eq \f(ex,x). (1)y＝exln x； ； (3)因为y＝sineq \f(x,2)(1－2cos2eq \f(x,4))＝－sineq \f(x,2)coseq \f(x,2)＝－eq \f(1,2)sin x，所以y′＝eq \f(1,2)cos x. 【解析】　因为f(x)＝x2＋3xf′(2)＋ln x， 所以f′(x)＝2x＋3f′(2)＋eq \f(1,x)， 所以f′(2)＝4＋3f′(2)＋eq \f(1,2)＝3f′(2)＋eq \f(9,2)， 所以f′(2)＝－eq \f(9,4). 【答案】　－eq \f(9,4) 4.已知f(x)＝x2＋2xf ′(1)，则f ′(0)＝____． 解析：∵f′(x)＝2x＋2f′(1)， ∴f′(1)＝2＋2f′(1)，即f′(1)＝－2. ∴f′(x)＝2x－4，∴f′(0)＝－4. $