回归原点2 三角函数、解三角形与平面向量（学生用书Word版）-【高考快车道】2026年高考数学大二轮专题复习与讲义

回归原点2　三角函数、解三角形与平面向量 [考前必背要点] 一、三角函数的概念、诱导公式及同角三角函数的基本关系 1．三角函数：设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x，y)，则y＝sin α，x＝cos α，＝tan α(x≠0)．各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦． 2．同角三角函数的基本关系：sin2α＋cos2α＝1，tan α 3．诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 2kπ＋α (k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α 正弦 sin α －sin α －sin α sin α cos α cos α 余弦 cos α －cos α cos α －cos α sin α －sin α 正切 tan α tan α －tan α －tan α 记忆 口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变， 符号看象限 二、三角函数的图象与性质 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 单调性 在(k∈Z)上单调递增；在(k∈Z)上单调递减 在[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)上单调递增；在[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)上单调递减 在(k∈Z)上单调递增 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 对称性 对称中心：(kπ，)(k∈Z)； 对称轴：x＝＋kπ(k∈Z) 对称中心：(k∈Z)；对称轴：x＝kπ(k∈Z) 对称中心：(k∈Z) 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 三、两角和与差的正弦、余弦、正切公式 sin (α±β)＝sin αcos β±cos αsin β； cos (α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β； tan (α±β)＝ 四、二倍角公式及其变形、辅助角公式 1．二倍角公式 sin 2α＝2sin αcos α； cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α； tan2α＝ 2．辅助角公式 y＝a sinα＋b cos α＝(sin αcos φ＋cos αsin φ)＝sin (α＋φ)，其中角φ的终边所在象限由a，b的符号确定，角φ的值由tan φ＝(a≠0)确定． 3．半角公式 sin ＝±；cos ＝±； tan ＝±＝＝ 4．和差化积公式 sin α＋sin β＝2sin cos ； sin α－sin β＝2cos sin ； cos α＋cos β＝2cos cos ； cos α－cos β＝－2sin sin 5．积、化和差公式 sin αsin β＝； cos αcos β＝； sin αcos β＝； cos αsin β＝ 五、平面向量基本运算与正弦、余弦定理 运算 几何表示 坐标运算 内容 (1)数量积：a·b＝|a||b|cos θ； (2)模：|a|＝； (3)夹角的余弦值：cos θ＝； (4)共线定理：a∥b⇔a＝λb(λ∈R，b≠0)； (5)向量数量积的运算律： a·b＝b·a(交换律)； (λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)； (a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律) a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)： a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)； a－b＝(x1－x2，y1－y2)； λa＝(λx1，λy1)，λ∈R； a·b＝x1x2＋y1y2； a∥b⇔x1y2－x2y1＝0； a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0； |a|＝； cos θ＝ (θ为a，b的夹角) 定理 正弦定理 余弦定理 内容 ＝ ＝＝2R(其中R为△ABC外接圆的半径) a2＝b2＋c2－2bc cos A； b2＝c2＋a2－2ca cos B； c2＝a2＋b2－2ab cos C 变形 (1)a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C； (2)sin A＝，sin B＝，sin C＝； (3)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C； (4)a sin B＝b sin A，b sin C＝c sin B， a sin C＝c sin A cos A＝； cos B＝； cos C＝ 六、常考结论 1．三角函数 (1)公式的变形：tan α±tan β＝(1∓tan αtan β)·tan (α±β)，tan αtan β＝1－＝－1，sin αcos α＝sin 2α． (2)降幂公式：sin2α＝cos2α＝sin2α＝ 升幂公式：1＋cos α＝2cos2，1－cosα＝2sin2 (4)万能公式：sinα＝，cosα＝，tanα＝ (5)若y＝A sin(ωx＋φ)(A，ω≠0)为偶函数，则φ＝kπ＋(k∈Z)； 若y＝A sin (ωx＋φ)(A，ω≠0)为奇函数，则φ＝kπ(k∈Z)； 若y＝A cos (ωx＋φ)(A，ω≠0)为偶函数，则φ＝kπ(k∈Z)； 若y＝A cos (ωx＋φ)(A，ω≠0)为奇函数，则φ＝kπ＋(k∈Z)； 若y＝A tan (ωx＋φ)(A，ω≠0)为奇函数，则φ＝(k∈Z)． 2．解三角形 (1)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其面积为S，则 ①S＝ah(h表示边a上的高)； ②S＝ab sin C＝ac sin B＝bc sin A； ③S＝r(a＋b＋c)(r为△ABC的内切圆的半径)． (2)三角形中的三角函数关系式： sin (A＋B)＝sin C，cos (A＋B)＝－cos C，tan (A＋B)＝－tan C，sin ＝cos ，cos ＝sin ； (3)射影定理：a＝b cos C＋c cos B； b＝a cos C＋c cos A； c＝a cos B＋b cos A． 3．平面向量 (1)A，P，B三点共线⇔＝(1－t)＋t(t∈R，O为平面内任意一点)．特别地，若P为线段AB的中点，则＝)． (2)在△ABC中，AD，BE，CF分别为三角形三边上的中线，它们交于点G(如图所示)，易知点G为△ABC的重心，则 ①＝0； ②＝)． [规避教材易混] 1．(教材改编)将函数f(x)＝sin (ω>0)的图象向右平移个单位长度后与函数g(x)＝cos ωx的图象重合，则ω的最小值为(　　) A．7 B．5 C．9 D．11 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 易错提醒：三角函数图象变换时对ω和φ的变换把握不准致误，有两处易错：一是平移的方向与“＋”“—”的对应，二是如何处理x的系数． 2．(多选)已知单位向量a，b的夹角为θ，则下列结论正确的有(　　) A．(a＋b)⊥(a－b) B．a在b方向上的投影向量为(a·b)b C．若|a＋b|＝，则θ＝ D．若(a＋b)·a＝(a－b)·a，则a∥b 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 3．(教材改编)关于函数f(x)＝sin ，下面结论成立的是(　　) A．f(x)在区间上的最大值为－ B．f(x)在区间上单调递增 C．f(x)＝f D．f(x)的图象关于点对称 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 易错提醒：求函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)的单调区间时，要注意A与ω的符号，当ω<0时，需把ω化为正值后再求解． 4．(多选)(2025·市中区模拟)下列命题中，正确的是(　　) A．在△ABC中，A＞B，则sin A＞sin B B．在锐角△ABC中，不等式sin A＞cos B恒成立 C．在△ABC中，若a cos A＝b cos B，则△ABC必是等腰直角三角形 D．在△ABC中，若B＝60°，b2＝ac，则△ABC必是等边三角形 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 易错提醒：利用正弦定理解三角形时，易忽视三角形解的个数致误．由于正弦函数在区间(0，π)上不单调，此时三角形解的情况可能是无解、一解、两解，可通过“大边对大角”判断三角形解的个数． 5．(多选)(2025·杭州模拟)已知f(x)＝A sin (ωx＋φ)的部分图象如图所示，则(　　) A．f(x)的最小正周期为π B．f(x)的图象可由y＝2sin 2x的图象向左平移个单位长度得到 C．f(x)的对称轴为x＝＋kπ(k∈Z) D．f(x)在区间上的最大值为 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 易错提醒：三角函数的图象和性质要结合研究，注意函数y＝A sin (ωx＋φ)中的“ωx＋φ”可视为一个整体，令t＝ωx＋φ，然后利用y＝A sin t的图象和性质进行求解． 6．(教材改编)已知△ABC的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，B＝，c＝2．若△ABC有两解，则b的取值范围是________． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 7．已知sin α＝，sin β＝，且α，β为锐角，则α＋β＝________． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 易错提醒：忽视角的范围致误． 8．(教材改编)如图，在△ABC中，D为边BC的中点，E为AD上靠近A点的三等分点，若＝m＋n，则m＋n＝________． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 易错提醒：利用向量的线性运算法则和平面向量基本定理时，不会利用“共线、基向量”等要素解题． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 回归原点2　三角函数、解三角形与平面向量 规避教材易混 1．D　[y＝f ＝sin， 而cos ωx＝sin，k∈Z， 由题可知，－＝2kπ＋，k∈Z， 解得ω＝－12k－1，k∈Z， 又ω>0，当k＝－1时，ω取得最小值11． 故选D．] 2．AB　[对于A，因为a，b是单位向量，所以(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝1－1＝0，所以(a＋b)⊥(a－b)，故A正确；对于B，因为a，b是单位向量，所以a在b方向上的投影向量为＝(a·b)b，故B正确；对于C，因为|a＋b|＝，所以(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋2cos θ＋1＝3，所以cos θ＝，又因为0θπ，所以θ＝，故C错误；对于D，因为(a＋b)·a＝(a－b)·a，所以a2＋b·a＝a2－b·a，所以b·a＝0，所以a⊥b，故D错误．故选AB．] 3．D　[对于A，当x∈，可得sin∈[－1，0]， 所以f(x)在区间上的最大值为0，故A项不正确； 对于B，当x∈时，2x－， 可知y＝sin上单调递增， 所以f(x)＝－sin上单调递减，故B项不正确； 对于C，由f＝－sin 2x≠f(x)，可知C项不正确； 对于D，当x＝时，f(x)＝sin ＝sin(－π)＝0， 所以为f(x)的图象的一个对称中心，故D项正确． 故选D．] 4．ABD　[对于A，在△ABC中，由A>B，可得a>b，利用正弦定理可得sin A>sin B，A正确； 对于B，在锐角△ABC中，A，B，C∈， ∵A＋B>，∴－B>0， ∴sin A>sin＝cos B，因此不等式sin A>cos B恒成立，B正确； 对于C，在△ABC中，由acos A＝bcos B，利用正弦定理可得sin Acos A＝sin Bcos B， ∴sin 2A＝sin 2B， ∵A，B∈(0，π)， ∴2A＝2B或2A＝π－2B， ∴A＝B或A＋B＝， ∴△ABC是等腰三角形或直角三角形，C错误； 对于D，由于B＝60°，b2＝ac，由余弦定理可得b2＝ac＝a2＋c2－ac，可得(a－c)2＝0，解得a＝c，可得A＝C＝B＝60°，D正确． 故选ABD．] 5．ABD　[根据函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象，得T＝4×＝π，所以ω＝＝2． 由图象可得，2×＋φ＝2kπ＋，k∈Z， 因为0<φ<，所以φ＝， 又f(x)的最大值为2，所以f(x)＝2sin． f(x)的最小正周期为π，选项A正确； f(x)的图象可由y＝2sin 2x的图象向左平移个单位长度得到，选项B正确； 令2x＋＋kπ，k∈Z，则x＝，k∈Z， 所以f(x)的对称轴为x＝，k∈Z，选项C错误； 当x∈时，2x＋，f(x)在区间上单调递增， 所以当x＝2π时，f(x)取最大值，f(x)max＝，选项D正确． 故选ABD．] 6．(，2)　[过点A作AD⊥BC，垂足为D． 当AD<AC<AB时，△ABC有两解， 又AD＝2×<b<2．] 7．　[因为α，β为锐角，所以cos α＝， cos β＝， 所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝， 又因为0<α＋β<π，所以α＋β＝．] 8．－　[因为点E为AD上靠近A点的三等分点，所以． 因为点D为边BC的中点，所以， 故， 所以． 又， 所以m＝－，n＝， 所以m＋n＝－．] 学科网（北京）股份有限公司 $