课后限时练16 二项分布、超几何分布和正态分布（学生用书Word版）-【高考快车道】2026年高考数学大二轮专题复习与讲义

课后限时练(十六)　二项分布、超几何分布和正态分布 1．(2025·陕西西安模拟)盲盒中有大小相同的3个红球，2个黑球，随机有放回地摸两次球，记X为摸到黑球的个数，随机无放回地摸两次球，记Y为摸到黑球的个数，则(　　) A．E(X)＜E(Y)，D(X)＞D(Y) B．E(X)＝E(Y)，D(X)＞D(Y) C．E(X)＜E(Y)，D(X)＜D(Y) D．E(X)＝E(Y)，D(X)＜D(Y) 2．(多选)(2025·西南名校联盟二模)下列说法正确的是(　　) A．一组样本数据x1，x2，…，xn的平均数等于x1＋1，x2＋1，…，xn＋1的平均数 B．样本数据1，1，1，0，2的标准差大于方差 C．若随机变量ξ服从二项分布ξ～B，则D(ξ)＝2 D．若随机变量ξ服从正态分布ξ～N(2，σ2)，且P(ξ4)＝0.21，则P(ξ＞0)＝0.79 3．(多选)(2025·福建龙岩模拟)随机变量X，Y分别服从正态分布和二项分布，且X～N(3，1)，Y～B，则(　　) A．E(X)＝E(Y) B．D(X)＝D(Y) C．P(X1)＝P(X5) D．P(Y1)＝P(Y5) 4．(2025·广东惠州模拟)一试验田某种作物一株生长果实个数X服从正态分布N(90，σ2)，且P(X＜70)＝0.2，从试验田中随机抽取10株，果实个数在[90，110]的株数记作随机变量Y，且Y服从二项分布，则Y的方差为________． 5．(2025·北京通州区模拟)某艺术研究中心对春节档6部影片的观众满意度进行了调查，评分如下． 第一部 第二部 第三部 第四部 第五部 第六部 普通观 众评分 87.2 85.4 84.9 84.9 84.7 83.6 专业观 众评分 88.7 80.0 81.6 77.4 76.1 72.2 (1)从这6部影片中随机选取1部，求恰好选到普通观众评分与专业观众评分都低于85分的影片的概率； (2)现有4名观众，每位观众从这6部影片中各随机选取1部观看． (ⅰ)若不同观众可选相同影片(假设每位观众的选择相互独立)，记X为选到普通观众评分与专业观众评分都低于85分的影片的人数，求X的分布列及数学期望E(X)． (ⅱ)若任意2名观众不能选看相同影片，记Y为选到普通观众评分与专业观众评分都低于85分的影片的人数，试比较这种情况下数学期望E(Y)与(ⅰ)中E(X)的大小关系．(结论不要求证明) 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 课后限时练(十六) 1．B　[盲盒中有大小相同的3个红球，2个黑球，随机有放回地摸两次球，记X为摸到黑球的个数， 则X~B， 所以E(X)＝2×，D(X)＝2××， 随机无放回地摸两次球，记Y为摸到黑球的个数，则Y的所有可能取值为0，1，2， 则P(Y＝0)＝， P(Y＝1)＝， P(Y＝2)＝， 所以E(Y)＝0×＋1×＋2×， D(Y)＝×××， 所以E(X)＝E(Y)，D(X)>D(Y)． 故选B．] 2．BCD　[设样本数据x1，x2，…，xn的平均数为，则x1＋1，x2＋1，…，xn＋1的平均数等于＋1，故A选项错误； 样本数据1，1，1，0，2的均值为＝1， 故其方差为＝0.4，标准差为>0.4，故B选项正确； D(ξ)＝9××＝2，C选项正确； 根据正态曲线的对称性有P(ξ4)＝P(ξ0)＝0.21， 因此P(ξ>0)＝1－P(ξ0)＝0.79，故D选项正确，故选BCD．] 3．ACD　[随机变量X，Y分别服从正态分布和二项分布，且X~N(3，1)，Y~B，则E(X)＝3，D(X)＝1，E(Y)＝6×＝3，D(Y)＝6××，故A正确，B错误； 又根据正态曲线的对称性可得该曲线关于μ＝3对称，则P(X1)＝P(X5)，故C正确； 又P(Y1)＝P(Y＝0)＋P(Y＝1)＝×， P(Y5)＝P(Y＝5)＋P(Y＝6) ＝×， 则P(Y1)＝P(Y5)，故D正确．故选ACD．] 4．2.1　[∵X~N(90，σ2)，且P(X<70)＝0.2， ∴P(X>110)＝0.2， ∴P(90<X<110)＝0.5－0.2＝0.3， ∴Y~B(10，0.3)， Y的方差为10×0.3×(1－0.3)＝2.1．] 5．解：(1)由题意可知，这6部影片中普通观众评分与专业观众评分都低于85分的影片有4部， 所以从这6部影片中随机选取1部，恰好选到普通观众评分与专业观众评分都低于85分的影片的概率P＝． (2)(ⅰ)由(1)可知，每位观众选到普通观众评分与专业观众评分都低于85分的影片的概率为， 所以X~B，X的所有可能取值为0，1，2，3，4， 则P(X＝0)＝， P(X＝1)＝××， P(X＝2)＝××， P(X＝3)＝××， P(X＝4)＝， 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P E(X)＝4×． (ⅱ)E(Y)＝E(X)，理由如下： 由题意可知，Y服从参数N，M，n分别为6，4，4的超几何分布， 所以E(Y)＝×4＝， 所以E(Y)＝E(X)． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $