课后限时练10 与球有关的“切”“接”问题（学生用书Word版）-【高考快车道】2026年高考数学大二轮专题复习与讲义

多学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 课后限时练（十） 与球有关的“切”“接” 问题 1.[人教A版必修第二册P20习题8.3T5改编]已知正方体的棱长为a,其外接球 体积与内切球表面积的比值为号，则α的值为() A.5 B.2 c.5 D.3 2.在直三棱柱ABCA1B1C1内有一个体积为V的球，若AB⊥BC,AB=6,BC =8,A41=6,则V的最大值是( A.16元 B. C.36元 D.s 3.(2025·海南模拟)已知圆锥的底面半径为1，圆锥内能容纳的最大球的表面积 为2π，则圆锥的表面积为() A.(2十1元 B.(W5+1)元 C.3π D.4π 4.(2025·贵州三模)在正四棱台ABCD-4A1B1C1D1中，A1B1=AA1=2,AB=4, 则该正四棱台的外接球的表面积为( ) A.40元 B.40W10元 C.元 D. 40w0π 3 1/2 独家授权侵权必究· 多学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 5.(多选(2025·河南郑州期中)已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为3， 球O与圆台的两个底面和侧面都相切，则( A.圆台的母线长为4 B.圆台的高为4 C.圆台的表面积为26元 D.球O的表面积为12元 6.在三棱锥PABC中，PA⊥底面ABC,PA=6,S△ABC=V5,若三棱锥的内切 球的半径为号，则此三棱锥的侧面积为 7.(2025·湖南永州三模)已知在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥BC,tan∠BAC =是，且此三棱柱有内切球，则此三棱柱的内切球与外接球的表面积之比为 2/2 ·独家授权侵权必究 课后限时练(十) 1．A　[因为正方体的棱长为a，所以其外接球与内切球的半径分别为a，， 所以外接球体积与内切球表面积的比值为， 解得a＝．故选A．] 2．B　[由题意，因为AB⊥BC，AB＝6，BC＝8， 所以AC＝10， 可得△ABC的内切圆的半径为＝2． 又由AA1＝6，故在直三棱柱ABC-A1B1C1内部的球的半径最大为2，所以此时V的最大值为×π×23＝．故选B．] 3．D　[因为圆锥的底面半径r＝1，设母线长为l，则圆锥的高为h＝， 圆锥内能容纳的最大球的表面积为2π， 即圆锥的内切球的表面积为2π，则内切球的半径为， 因此该圆锥的轴截面等腰三角形的内切圆半径为， 所以×(2＋2l)＝×2，解得l＝3， 所以圆锥的表面积为πrl＋πr2＝4π． 故选D．] 4．A　[因为在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，A1B1＝AA1＝2，AB＝4， 所以上下底面中心到相应正方形顶点的距离分别为，2， 所以高为， 设该正四棱台的外接球的半径为R，球心到下底面的距离为t， 则t2＋(2)2＝R2＝()2＋(＋t)2，解得t＝， 所以R2＝2＋8＝10， 所以该正四棱台的外接球的表面积为4πR2＝40π． 故选A．] 5．ACD　[设梯形ABCD为圆台的轴截面，如图，设圆台上、下底面的圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2， 球O的半径为R，则O1，O，O2共线，且O1O2⊥AB，O1O2⊥CD， 连接OD，OE，OA，则OD，OA分别平分∠ADC，∠DAB，且OE⊥AD， 故DE＝DO1＝r1，AE＝AO2＝r2， 由题意可知，∠OAD＋∠ODA＝， 即∠DOA＝，所以△AOE∽△ODE， 故，即OE2＝DE·AE， 即R2＝r1r2＝3，解得R＝， 母线长为r1＋r2＝4，A正确； 圆台的高为2R＝2，B错误； 圆台的表面积为π×12＋π×32＋π×(1＋3)×4＝26π，C正确； 球O的表面积为4×π×()2＝12π，D正确． 故选ACD．] 6．3　[设三棱锥内切球球心为O，以O为顶点将三棱锥P-ABC分为四个小三棱锥，则三棱锥P-ABC的体积V＝××S△PAC＋××S△PAB＋××S△PBC＋××S△ABC＝××S总．因为PA⊥底面ABC，所以三棱锥P-ABC的体积V＝×S△ABC×PA＝2，则S总＝4， 所以S侧＝S总－S△ABC＝4＝3．] 7．　[设BC＝3a，因为AB⊥BC，tan∠BAC＝， 所以AB＝4a，AC＝5a． 设△ABC的内切圆的半径为r，则(AB＋BC＋AC)r＝AB·BC， 即(4a＋3a＋5a)r＝×4a×3a，解得r＝a． 因为三棱柱ABC-A1B1C1有内切球， 所以AA1＝2a，因为AB⊥BC，BB1⊥AB，BB1⊥BC， 所以直三棱柱ABC-A1B1C1的外接球的直径就是以BA，BC，BB1为棱的长方体的对角线，其长为 ＝ a，所以三棱柱ABC-A1B1C1的内切球的表面积为4πa2，三棱柱的外接球的表面积为29πa2，所以三棱柱ABC-A1B1C1的内切球与外接球的表面积之比为．] 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $