课后限时练8 数列的新定义与重构问题（学生用书Word版）-【高考快车道】2026年高考数学大二轮专题复习与讲义

课后限时练(八)　数列的新定义与重构问题 1．(多选)(2025·广东中山市石岐区模拟)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝设{an}的前n项和为Sn，下列结论正确的是(　　) A．数列{a2n－2}是等比数列 B．a2n－1＝6－－4n C．S8＜－11 D．当n2时，数列{S2n}是递减数列 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 2．(多选)(2024·浙江绍兴二模)已知数列{an}与{bn}满足a1＝1，且an＋1＝2an＋1，bn＝log2(an＋1)，n∈N*．若数列{an}保持顺序不变，在ak与ak＋1之间插入2k个bk后，组成新数列{cn}，记{cn}的前n项和为Sn，则下列结论中正确的是(　　) A．an＋1＝2n　　　　　 B．bn＝n C．c2 024＝10 D．S2 024＝20 150 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 3．在一个数列中，如果∀n∈N*，都有anan＋1an＋2＝k(k为常数)，那么这个数列叫做等积数列，k叫做这个数列的公积．已知数列{an}是等积数列，且a1＝1，a2＝2，公积为8，则a1＋a2＋…＋a2 025＝(　　) A．4 719 B．4 721 C．4 723 D．4 725 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 4．已知数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，且Sn＝2n2＋3n，2Tn＝3bn －3，若两个数列的公共项按原顺序构成数列{cn}，则c1＋c2＋c3＝________． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 5．[易错题]已知数列{an}满足a1＝4，且an＋1＋an＝8n＋4． (1)求数列{an}的通项公式； (2)已知bn＝2n，在数列{an}中剔除{an}与{bn}的公共项后余下的项按原顺序构成一个新数列{cn}，求数列{cn}的前192项和T192． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 课后限时练(八) 1．ABD　[对于A，a2n+2－2＝a2n+1＋2n＋1－2＝(a2n－4n)＋2n－1＝a2n－1＝(a2n－2)， 且a2－2＝×1＋1－2＝－≠0，故数列{a2n－2}是等比数列，故A正确； 对于B，a2－2＝－，a2n－2＝－＝－，a2n＝2－， 由a2n＝a2n-1＋2n－1，得a2n-1＝6－4n－，故B正确； 对于C，因为a2n＋a2n-1＝8－4n－3·， 所以S2n＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(a2n-1＋a2n) ＝8n－ ＝－2n2＋6n－3＋，S8＝－11＋>－11，故C错误； 对于D，当n2时，{－2n2＋6n－3}是递减数列，也是递减数列， 所以{S2n}是递减数列，故D正确．故选ABD．] 2．BCD　[对于A，a1＝1，且an+1＝2an＋1(n∈N*)，则an+1＋1＝2(an＋1)(n∈N*)，即数列{an＋1}是以a1＋1＝2为首项，2为公比的等比数列，故an＋1＝2n，即an＝2n－1，则an+1＝2n+1－1，故A错误；对于B，bn＝log2(an＋1)＝log22n＝n，故B正确；对于C，新数列{cn}为1，1，1，3，2，2，2，2，7，…，因为＝1 022，＝2 046，所以数列{cn}从a1＝1到a10＝1 023共有1 022＋10＝ 1 032(项)，到a11共有2 046＋11＝2 057(项)．又a10和a11之间有210个10，故c2 024＝10，故C正确；对于D，由C可得S2 024＝－10＋(1×21＋2×22＋…＋9×29)＋(2 024－1 032)×10＝2 036＋8 194＋9 920＝20 150，故D正确．故选BCD．] 3．D　[依题意，由a1＝1，a2＝2及anan+1an+2＝8，可得当n＝1时，a1a2a3＝1×2×a3＝8，解得a3＝4，当n＝2时，a2a3a4＝2×4×a4＝8，解得a4＝1，当n＝3时，a3a4a5＝4×1×a5＝8，解得a5＝2，当n＝4时，a4a5a6＝1×2×a6＝8，解得a6＝4，……，所以数列{an}是以3为最小正周期的周期数列，所以an＋an+1＋an+2＝1＋2＋4＝7，n∈N*，因为2 025÷3＝675，所以a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a2 025＝7×675＝4 725．故选D．] 4．819　[因为Sn＝2n2＋3n，当n＝1时，a1＝5；当n2时，an＝Sn－Sn-1＝(2n2＋3n)－[2(n－1)2＋3(n－1)]＝4n＋1(n2)．又a1＝5也满足an＝4n＋1，所以an＝4n＋1． 因为2Tn＝3bn－3，当n＝1时，2b1＝3b1－3，解得b1＝3；当n2时，两式相减，得2bn＝3bn－3bn-1，即bn＝3bn-1，所以{bn}是以b1＝3为首项，3为公比的等比数列，则bn＝3n．因为b1＝3，b2＝9＝4×2＋1＝a2，b3＝27，b4＝81＝4×20＋1＝a20，b5＝243，b6＝729＝4×182＋1＝a182，所以c1＝9，c2＝81，c3＝729，故c1＋c2＋c3＝819．] 5．解：(1) 当n＝1时，a2＋a1＝12，所以a2＝8； 当n2时，an＋an-1＝8n－4，所以an+1－an-1＝8， 则当n为偶数时，an＝8＋×8＝4n； 当n为奇数时，an＝4＋×8＝4n， 综上，an＝4n． (2) 设{an}的前n项和为Sn，{bn}的前n项和为Hn， 由(1)可知a200＝800，b9＝29＝512， 当n200时，{an}与{bn}的公共项为4，8，16，…，512，共8项，所以数列{cn}的前192项和T192＝S200－(H9－2)＝＝80 400－1 020＝79 380． 易错提醒：解答去项问题的易错之处是不能准确确定数列中去掉的项数，或求和时不会采取原数列和减去去掉各项和的方法． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $