第四单元 几何小实践（知识清单）数学沪教版五年级下册

第四单元 几何小实践 单元知识清单讲义 知识点一：体积 定义：物体所占空间的大小叫做物体的体积。 · 常用体积单位：立方厘米（）、立方分米（）、立方米（）；计量较小物体用立方厘米，中等物体用立方分米，较大物体用立方米。 · 体积守恒性：物体体积的大小不随位置、形状的变化而变化（如把一块橡皮泥捏成不同形状，体积不变）。 · 体积单位间的进率：相邻两个体积单位间的进率是1000；，，。 知识点二：长方体 1.定义：由6个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立体图形叫做长方体。 · 各部分名称：相交于同一顶点的3条棱的长度分别叫作长方体的长、宽、高。 · 核心特征 面：6个面，一般为长方形，特殊情况两个相对面是正方形；相对的面完全相同。 棱：12条棱，相对的棱长度相等；可分为3组（4条长、4条宽、4条高）。 顶点：8个顶点。 2.展开图特征 · 上、下面：长=长方体的长，宽=长方体的宽； · 前、后面：长=长方体的长，宽=长方体的高； · 左、右面：长=长方体的宽，宽=长方体的高。 3.表面积与体积计算 · 表面积：长方体6个面的总面积；公式（=长，=宽，=高）。 · 体积：公式，也可表示为（为底面积，）。 知识点三：正方体 1. 定义：由6个完全相同的正方形围成的立体图形叫做正方体（立方体），正方体是特殊的长方体（长、宽、高都相等的长方体）。 2. 核心特征 · 面：6个面，都是完全相同的正方形。 · 棱：12条棱，长度全部相等（棱的长度称为棱长，用表示）。 · 顶点：8个顶点。 3. 常见展开图类型（共11种） · “1-4-1”型：3行，小正方形数量1、4、1，共6种； · “2-3-1”型：3行，小正方形数量2、3、1，共3种； · “2-2-2”型：3行，每行2个小正方形，共1种； · “3-3”型：2行，每行3个小正方形，共1种。 4. 表面积与体积计算 · 表面积：（一个面的面积为，6个面总面积）。 · 体积：，也可表示为（为底面积，）。 知识点四：组合体的体积 1. 定义：由两个或多个长方体、正方体拼接/组合而成的立体图形称为组合体。 2. 体积计算方法：求和法（无重叠部分），即组合体的体积=各个基本立体图形的体积之和；若有重叠，需扣除重叠部分的体积（五年级阶段主要考查无重叠拼接）。 知识点五：表面积的变化 1. 核心规律：几个相同的正方体/长方体拼接成一个大的立体图形时，拼接处会减少面的数量，总表面积减少；减少的面的数量=拼接次数×2（每拼接1次，减少2个面）。 2. 常见题型：n个棱长为的正方体排成一排拼接成一个长方体，减少的面数为，总表面积=单个正方体表面积×n - 减少的面的面积。 3. 反向规律：把一个大的长方体/正方体切割成若干个小的正方体/长方体时，切割次数越多，增加的面越多，总表面积增加；增加的面的数量=切割次数×2。 知识点六：体积与容积 1. 容积定义：容器所能容纳物体的体积，叫做容器的容积。 2. 计量单位 · 一般容积：沿用体积单位（、、）； · 液体容积：常用升（L）、毫升（mL），。 3. 容积单位与体积单位的换算：，，。 4. 体积与容积的区别：体积是物体所占空间的大小，容积是容器内部容纳空间的大小；同一个容器，体积大于容积（容器有壁厚）。 知识点七：体积与质量 1. 核心关系：同种物质，体积与质量成正比例（密度一定），即密度=质量÷体积（）。 2. 常用表述：如“1立方厘米的水重1克”“1立方分米的水重1千克”“1立方米的水重1吨”，利用此关系可通过体积求质量，或通过质量求体积。 3. 计算方法：质量=体积×单位体积的质量；体积=质量÷单位体积的质量。 考点一：体积 【典型例题】： 1. 填空：一块橡皮的体积约是8（ ），一个冰箱的体积约是1.5（ ），一个粉笔盒的体积约是1（ ）。 解题思路：根据生活实际和体积单位的大小认知，选择合适的体积单位，立方厘米用于较小物体，立方米用于较大物体，立方分米用于中等大小物体。 规范作答： 一块橡皮的体积约是8（立方厘米），一个冰箱的体积约是1.5（立方米），一个粉笔盒的体积约是1（立方分米）。 2. 单位换算：，，。 解题思路：体积单位换算遵循进率，1立方分米=1000立方厘米，1立方米=1000立方分米；大单位化小单位乘进率，小单位化大单位除以进率。 规范作答： 答案：3500、2000、4.5 考点二：长方体 【典型例题】： 1.一个长方体的体积是，已知它的长是6cm，宽是5cm，求这个长方体的高和表面积。 解题思路：先根据长方体体积公式，推导出求出高；再根据长方体表面积公式计算表面积。 规范作答： 求高 （cm） 求表面积 （） 答：这个长方体的高是4cm，表面积是148。 2.一个长方体的棱长总和是96cm，长、宽、高的比是3:2:1，求它的体积。 解题思路：先根据长方体棱长总和公式，求出长、宽、高的和；再根据长、宽、高的比3:2:1，用按比例分配的方法分别求出长、宽、高；最后根据体积公式计算体积。 规范作答： 求长、宽、高的和 （cm） 求总份数 分别求长、宽、高 长：（cm） 宽：（cm） 高：（cm） 求体积 （） 答：它的体积是384。 考点三：正方体 【典型例题】： 1. 一个正方体的棱长为6dm，求它的表面积和体积。 解题思路：根据正方体表面积公式，体积公式，代入棱长6dm直接计算即可。 规范作答： 求表面积 （） 求体积 （） 答：它的表面积是216，体积是216。 2. 用一根72cm长的铁丝围成一个正方体框架，这个正方体的棱长是多少？体积是多少？ 解题思路：正方体有12条棱且长度都相等，用铁丝总长72cm除以12求出棱长；再根据正方体体积公式计算体积。 规范作答： 求棱长 （cm） 求体积 （） 答：这个正方体的棱长是6cm，体积是216。 3. 一个正方体的表面积是，求它的棱长和体积。 解题思路：先根据正方体表面积公式推导出，求出一个面的面积，进而确定棱长；再根据体积公式计算体积。 规范作答： 求一个面的面积 （） 因为，所以正方体的棱长为6cm。 求体积 （） 答：它的棱长是6cm，体积是216。 考点四：组合体的体积 【典型例题】： 1. 由一个长8cm、宽5cm、高3cm的长方体和一个棱长4cm的正方体拼接而成，求组合体的体积。 解题思路：组合体无重叠，体积等于长方体体积与正方体体积之和；分别根据长方体、正方体体积公式计算，再相加。 规范作答： 长方体体积 （） 正方体体积 （） 组合体体积 （） 答：组合体的体积是184。 2. 一个组合体由3个棱长为2dm的正方体拼接成一个长方体，求这个长方体的体积。 解题思路：3个正方体拼接成一个长方体，体积不变，组合体体积等于3个正方体体积之和；先算一个正方体体积，再乘3。 规范作答： 一个正方体体积 （） 长方体体积 （） 答：这个长方体的体积是24。 考点五：表面积的变化 【典型例题】： 1. 把5个棱长为4dm的正方体排成一排拼成一个大长方体，求拼成后的大长方体的表面积。 解题思路：5个棱长4dm的正方体排成一排拼成长方体，先确定拼成后长方体的长、宽、高（长：dm，宽和高都是4dm）；再根据长方体表面积公式计算表面积。 规范作答： 确定长方体的长、宽、高 长：（dm），宽=4dm，高=4dm 计算表面积 （） 答：拼成后的大长方体的表面积是352。 2.一个长方体长10cm，宽8cm，高6cm，把它切成两个完全相同的小长方体，表面积最少增加多少平方厘米？最多增加多少平方厘米？ 解题思路：把长方体切成两个完全相同的小长方体，表面积增加两个切面的面积；切面分别平行于长×宽、长×高、宽×高的面，计算出三种切面的面积，对比得出最少和最多增加的面积。 规范作答： 计算三种切面的面积 平行于宽×高的面：（），增加：（） 平行于长×高的面：（），增加：（） 平行于长×宽的面：（），增加：（） 对比结果 答：表面积最少增加96平方厘米，最多增加160平方厘米。 考点六：体积与容积 【典型例题】： 1. 一个长方体水箱，从内部量长5dm，宽4dm，高3dm，这个水箱的容积是多少升？ 解题思路：长方体水箱的容积计算方法和体积相同，根据计算出容积（立方分米），再根据1立方分米=1升进行单位换算。 规范作答： 计算容积 （） 单位换算 因为1=1升，所以60=60升 答：这个水箱的容积是60升。 2.一个正方体容器，棱长为2dm，向容器中倒入5L水，再把一个石块放入水中（石块完全浸没），这时容器内的水深1.5dm，求石块的体积。 解题思路：石块完全浸没在水中，水面上升的体积就是石块的体积；先算出放入石块后水和石块的总体积，再减去倒入的5L水的体积，注意单位统一（1L=1）。 规范作答： 单位换算 5L=5 求放入石块后总体积 （） 求石块体积 （） 答：石块的体积是1。 考点七：体积与质量 【典型例题】： 1. 已知1立方厘米的铁块重7.8克，一块体积为的铁块，重多少克？ 解题思路：已知1立方厘米铁块的质量，求200立方厘米铁块的质量，用单位体积质量×总体积即可。 规范作答： （克） 答：这块铁块重1560克。 2. 1立方米的水重1吨，一个长方体水池的容积是80立方米，这个水池能装多少吨水？ 解题思路：已知1立方米水的质量，求80立方米水的质量，用单位体积质量×总体积即可。 规范作答： （吨） 答：这个水池能装80吨水。 一、选择题 1．一个量杯中装了一些水，水面的刻度是300mL，放入一块石头后，水面的刻度上升为500mL。这块石头的体积是（    ）。 A．不能确定 B．200mL C．200cm3 D．2dm3 【答案】C 【分析】分析题目，石头的体积等于上升的水的体积，据此用500－300求出上升了多少毫升的水，再根据1mL＝1cm3把单位换算成以cm3即可求出石头的体积。 【详解】500－300＝200（mL） 200mL＝200cm3 这块石头的体积是200cm3。 故答案为：C 2．下面不是正方体展开图的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 根据正方体展开图知识，不是正方体展开图，属于正方体展开图的“1－4－1”型，属于正方体展开图的“2－3－1”型，属于正方体展开图的“3－3”型，据此结合题意分析解答即可。 【详解】 解：A．不是正方体展开图。 B．属于正方体展开图的“1－4－1”型。 C．属于正方体展开图的“1－－3－2”型。 D．属于正方体展开图的“3－3”型。 故答案为：A 3．一个长方体高减少2cm之后，表面积减少了40cm2，剩下的部分正好是个正方体（如图所示），原来长方体的体积是（    ）。 A．175cm3 B．125cm3 C．190cm3 D．无法确定 【答案】A 【分析】如果高减少2cm，就成为一个正方体，说明原来的长方体上下两面是正方形，而且原来长方体的高比长或宽多2厘米；减少的表面积40cm2就是原来长方体中高2厘米那部分的侧面积，是四个大小一样的长方形。算出一个长方形的面积，这个长方形的宽是2 cm，可以求出长（正方体的边长），长方体的高是边长加上2cm，最后再求体积即可。 【详解】40÷4＝10（cm） 10÷2＝5（cm） 5＋2＝7（cm） 5×5×7＝175（cm3） 原来长方体的体积是175cm3 故答案为：A 4．对下面的生活数据估计最合理的是（    ）。 A．成年人走一步的距离大约是70分米 B．一台冰箱的容积约是350毫升 C．通常一张数学练习卷的面积约为13平方分米 D．一个苹果约重150千克 【答案】C 【分析】要判断生活数据估计是否合理，需结合对长度、容积、面积、质量单位的实际认知，分析每个选项。成年人步长、冰箱容积、练习卷面积、苹果重量，都有常见的合理范围，据此逐一判断，最终得出合理选项，据此解答。 【详解】A．成年人走一步的距离大约是70厘米，70分米＝7米，步长过长，不符合实际，错误。 B．一台冰箱的容积约是350升，350毫升容积过小，不符合冰箱实际容积，错误。 C．通常一张数学练习卷的长约4分米，宽约3分米多，面积约为13平方分米，符合实际，正确。 D．一个苹果约重150克，150千克过重，不符合实际，错误。 故答案为：C 5．一个棱长为6厘米的正方体， 在它的一条棱的中间位置挖掉一块棱长为1厘米的正方体，下面叙述正确的是（       ）。 A．表面积不变，体积变大。 B．表面积变大，体积变小。 C．表面积变小，体积变小。 D．表面积不变，体积变小。 【答案】B 【分析】在正方体的一条棱的中间位置挖掉一个棱长为1厘米的小正方体后，会增加2个边长为1厘米的正方形的面；体积会减少棱长为1厘米的正方体的体积。 【详解】由分析可知：一个棱长为6厘米的正方体， 在它的一条棱的中间位置挖掉一块棱长为1厘米的正方体，表面积变大，体积变小。 故答案为：B 6．一个长方体的长、宽、高分别是a米，b米，h米，如果它的高增加2米后，新的长方体体积比原来增加（    ）立方米。 A．2ah B．2bh C．2ab D．ab（h＋2） 【答案】C 【分析】根据题意，长方体的长、宽不变，高增加2米，求体积比原来增加多少立方米，也就是求长是a米，宽是b米，高是2米的长方体的体积，根据长方体体积公式：V＝abh，由此解答。 【详解】通过分析可得： a×b×2＝2ab（立方米） 则新的长方体体积比原来增加2ab立方米。 故答案为：C 7．如图所示，一个底面直径是8cm的圆柱体木头，沿底面虚线处垂直切割，就能切成一个最大的正方体，这个正方体的表面积是（    ）。 A．384cm2 B．192cm2 C．128cm2 D．无法确定 【答案】B 【分析】因为切成最大的正方体，那么这个正方体的底面积要最大，即是圆柱底面圆内最大的正方形； 如下图，用一条对角线把正方形平均分成2个三角形，三角形的底等于圆的直径，高等于圆的半径； 根据三角形的面积＝底×高÷2，求出一个三角形的面积，再乘2，求出圆内最大正方形的面积，也就是正方体的底面积； 再根据正方体的表面积公式S＝6a2，用正方体的底面积乘6，即可求出这个正方体的表面积。 【详解】正方体的底面积： 8×（8÷2）÷2×2 ＝8×4÷2×2 ＝32（cm2） 正方体的表面积： 32×6＝192（cm2） 这个正方体的表面积是192cm2。 故答案为：B 8．一个长方体的长、宽、高分别是a厘米、b厘米和h厘米，如果长方体的长和高不变，宽增加3厘米，长方体的体积增加（    ）立方厘米。 A．3ah B．3abh C．abh D．3b 【答案】A 【分析】根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高；计算出原来的长方体的体积，宽增加3厘米，即宽为（b＋3）厘米，代入长方体体积公式，求出增加后长方体的体积，再减去原来长方体的体积，即可解答。 【详解】原来长方体的体积：a×b×h＝abh（立方厘米） 宽增加3厘米后长方体的体积： a×（b＋3）×h ＝ a×h×（b＋3） ＝abh＋3ah（立方厘米） abh＋3ah－abh ＝ abh－abh＋3ah ＝3ah（立方厘米） 则长方体的体积增加3ah立方厘米。 故答案为：A 二、填空题 9．下图是由( )个棱长是1分米的小正方体积木搭成的立体模型，如果在它的基础上把它堆成一个大正方体，至少还需要( )块小正方体积木。 【答案】 14 13 【分析】分别数出每层的小正方体数量，再相加即可求出现有小正方体的数量。 大正方体一行的数量、一列的数量和层数一样多，据此求出大正方体数量相减即可。 【详解】小正方体个数：1＋4＋9＝14（个） 需要的块数：3×3×3－14 ＝27－14 ＝13（块） 10．将一个长7cm、宽5cm，高6cm的长方体截成一个体积最大的正方体，这个正方体的体积是( )cm3。 【答案】125 【分析】将一个长为7cm、宽为5cm、高为6cm的长方体截成一个体积最大的正方体，则最大的正方体的棱长一定是长方体最短的一边，也就是5cm，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，据此求出正方体的体积。 【详解】 11．有一个内部长30厘米、宽15厘米和高10厘米的长方体玻璃容器，先在玻璃容器内注水，水深是5厘米。再将一根长20厘米，宽和高都是6厘米的长方体塑料放入容器内，塑料浮在水面上，且它正好有一半浮出水面。这时这根塑料与水接触面的面积是( )平方厘米，容器内的水面上升了( )厘米。 【答案】 276 0.8 【分析】先计算塑料块浸没在水中的体积：长方体的体积＝长×宽×高，由于塑料块一半浮出水面，因此浸没在水中的体积是总体积的一半；浸入水中的高度＝浸入体积÷底面积，塑料块与水接触的面包括：底面、前后面、左右面，分别计算面积相加起来即可；水面上升是因为塑料块浸入水中排开了一定体积的水，排开水的体积等于浸入水中的体积，水面上升的高度＝排开水的体积÷容器底面积。据此列式解答即可。 【详解】20×6×6＝720（立方厘米） 720÷2＝360（立方厘米） 360÷（20×6） ＝360÷120 ＝3（厘米） （20×6）＋（20×3×2）＋（6×3×2） ＝120＋120＋36 ＝276（平方厘米） 360÷（30×15） ＝360÷450 ＝0.8（厘米） 这根塑料与水接触面的面积是276平方厘米，容器内的水面上升了0.8厘米。 12．如图组合体的体积是______立方厘米。（单位：厘米） 【答案】88 【分析】将组合体补充完整，即组合图形的体积可以看作一个长是6厘米，宽是2厘米，高是厘米的长方体的体积减去2个长是4厘米，宽是2厘米，高是2厘米的长方体的体积，由此解答本题。 【详解】组合体的体积： （立方厘米） 因此该组合图形的体积是88立方厘米。 13．小丁丁用若干个1cm3小正方体搭了不同的几何体（如图），如果按照这个方法继续搭，第⑤个几何体的体积是__________cm3。 【答案】35 【分析】数出前几个几何体小正方体个数：第①个几何体：只有1个小正方体，体积1×1＝1cm3。第②个几何体：分层看，上层1个，下层3个，一共1＋3＝4个小正方体，体积4×1＝4cm3。第③个几何体：分层数，最上层1个，中间层3个，最下层6个，总共1＋3＋6＝10个小正方体，体积10×1＝10cm3。第④个几何体：分层数，从上往下，依次1个、3个、6个、10个，总和1＋3＋6＋10＝20个小正方体，体积20×1＝20cm3。 第①个：1；第②个：1＋3；第③个：1＋3＋6；第④个：1＋3＋6＋10。观察每层增加的数量，3－1＝2，6－3＝3，10－6＝4，能发现后一层比前一层多的个数依次是2、3、4……。所以第⑤个几何体，在第④个基础上，新增第五层，比第四层多5个（因为前面多的数是2、3、4，接着就是5）。第四层是10个，那第五层就是10＋5＝15个。然后相加即可得到第⑤个几何体小正方体的个数，再乘1个小正方体的体积即可解答。 【详解】②：1＋3＝4（个） ③：1＋3＋6＝10（个） ④：1＋3＋6＋10＝20（个） ⑤：1＋3＋6＋10＋15＝35（个） 35×1＝35（cm3） 第⑤个几何体体积是35cm3。 14．如下图，将一个小球放入水缸，小球的一半浸没在水中，放入小球后水位上升0.5厘米，水缸规格如图，小球的体积是________立方厘米。 【答案】96 【分析】根据题意，把小球的一半浸没在水中，放入小球后水位上升0.5厘米，那么水上升部分的体积等于小球浸没在水中的体积，也就是小球体积的一半； 水上升部分是一个长12厘米、宽8厘米、高0.5厘米的长方体，根据长方体的体积公式V＝abh，求出小球体积的一半，再乘2，就是小球的体积。 【详解】12×8×0.5×2 ＝96×0.5×2 ＝96（立方厘米） 小球的体积是96立方厘米。 15．一个长方体长8厘米，宽5厘米，高4厘米，如果长和宽都不变，高增加2厘米，那么表面积增加( )平方厘米，体积增加( )立方厘米。 【答案】 52 80 【分析】长方体的长和宽都不变，高增加2厘米，增加的部分也是个长方体，表面积增加了前后左右4个面，增加的表面积＝（长×增加的高＋宽×增加的高）×2；增加的体积＝长×宽×增加的高，据此列式计算。 【详解】（8×2＋5×2）×2 ＝（16＋10）×2 ＝26×2 ＝52（平方厘米） 8×5×2＝80（立方厘米） 表面积增加52平方厘米，体积增加80立方厘米。 三、判断题 16．如左图，在大正方体上挖去两个小正方体后，与原来的大正方体相比，体积和表面积都减少了。( ) 【答案】√ 【分析】根据题意可知，大正方体挖去两个小正方体，体积减少了两个小正方体的体积；表面积：减少的面积是小正方体的6个面的面积，增加的面积是小正方体的4个面的面积，所以表面积减少了2个面的面积，据此判断。 【详解】如图，在大正方体上挖去两个小正方体后，与原来的大正方体相比，体积和表面积都减少了，原题干的说法是正确的。 故答案为：√ 17．在长方体中，从同一个顶点引出的三条棱，每两条都互相垂直。( ) 【答案】√ 【分析】 如图，由6个长方形（也可能两个相对的面是正方形）所围成的立体图形叫做长方体，长方形和正方形的4个内角都是直角，据此分析。 【详解】长方体从同一顶点引出的三条棱分别称为长方体的长、宽、高。根据长方体的定义，从同一顶点引出的三条棱中，任意两条棱所在的平面均为长方形，对应的两条棱互相垂直，所以原题说法正确。 故答案为：√ 18．如果一个正方体的棱长扩大到原来的4倍后，那么它的表面积扩大到原来的8倍。( ) 【答案】× 【分析】正方体表面积＝棱长×棱长×6，假设原来正方体的棱长是1，那么后来正方体的棱长是（1×4）。将两个棱长分别代入到正方体表面积公式中，求出表面积，再利用除法求出表面积扩大到原来的几倍。 【详解】假设正方体的棱长是1，此时表面积是1×1×6＝6， 棱长扩大后是1×4＝4，此时表面积是4×4×6＝96， 96÷6＝16 所以，表面积扩大到原来的16倍。 故答案为：× 19．两本书一样厚，他们的体积一定一样大。( ) 【答案】× 【分析】书的形状是长方体，书的厚相当于长方体的高，长方体的体积＝长×宽×高，两个长方体的长、宽、高，分别相等，则体积一定一样大，据此分析。 【详解】两本书一样厚，即高一样，长和宽不确定，他们的体积无法确定大小关系，所以原题说法错误。 故答案为：× 20．搭一个棱长3分米的大正方体，至少需要27个棱长1厘米的小正方体。( ) 【答案】× 【分析】先统一单位，3分米＝30厘米，然后根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，分别计算大正方体和小正方体的体积，再用大正方体的体积除以小正方体的体积即可求出至少需要多少个棱长1厘米的小正方体。 【详解】3分米＝30厘米 30×30×30÷（1×1×1） ＝900×30÷1 ＝27000（个） 所以搭一个棱长3分米的大正方体，至少需要27000个棱长1厘米的小正方体。 原题说法错误。 故答案为：× 四、计算题 21．求组合体的体积。（单位：分米） 【答案】2592立方分米 【分析】如下图所示，可以把这个组合体分割成5个小长方体，其中4个长方体的长是12分米，宽是8分米，高是6分米，中间的1个长方体的长是6分米，宽是8分米，高是6分米，根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据分别求出它们的体积，再把它们加起来即可。 【详解】12×8×6                            ＝96×6                                ＝576（立方分米） 6×6×8 ＝36×8 ＝288（立方分米） 576×4＋288 ＝2304＋288 ＝2592（立方分米） 则这个组合体的体积是2592立方分米。 22．求下列组合体的体积：（单位：厘米） 【答案】780立方厘米 【分析】由图可知，此组合体是由一个长为（6＋7＋6）厘米、宽为6厘米、高为5厘米的长方体和一个长是7厘米、宽是6厘米、高是5厘米的长方体组成，根据长方体的体积＝abh，把数据代入公式即可求解。 【详解】V1＝abh                                ＝（6＋7＋6）×6×5 ＝（13＋6）×6×5                         ＝19×6×5 ＝114×5                                 ＝570（立方厘米）                         V2＝abh ＝7×6×5 ＝42×5 ＝210（立方厘米）       V＝570＋210＝780（立方厘米） 所以，这个组合体的体积是780立方厘米。 五、解答题 23．如图，这是一个中间有孔的立体玩具，它是由8个棱长是2厘米的小正方体松木块粘拼而成的。已知每立方厘米松木的质量为0.55克，请计算这个立体玩具的质量。 【答案】35.2克 【分析】分析题目，这个立体玩具是由8个棱长是2厘米的小正方体组成，根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，据此求出一个小正方体的体积，再乘8即可求出立体玩具的体积，最后用玩具的体积乘0.55即可得到玩具的质量。 【详解】2×2×2×8×0.55 ＝8×8×0.55 ＝64×0.55 ＝35.2（克） 答：这个立体玩具的质量是35.2克。 24．下图是一个长方体的展开图（两只蚂蚁分别在A点和B点处），将它折成一个长方体，这时两只蚂蚁开始沿着长方体的棱爬行，至少多少时间后它们相遇？（A点处蚂蚁的速度1厘米/秒，B点处蚂蚁速度1.5厘米/秒） 【答案】3.2秒 【分析】分析长方体的展开图，折叠成长方体后，A和B两点沿棱爬行的最短路径和是多少呢？观察展开图的尺寸（长10cm、宽6cm、高2cm），当折叠成长方体时，A到B沿棱的最短路径是：水平方向的一段（2cm）＋垂直方向的一段（6cm）（即沿棱的最短距离是“高＋宽”），总路程和为2＋6＝8（cm）。然后，根据相遇问题公式：相遇时间＝路程和÷速度和。两只蚂蚁的速度和是1＋1.5＝2.5（厘米/秒），路程和是8cm，所以相遇时间为8÷2.5＝3.2（秒）。可列综合算式为，据此计算即可。 【详解】 （秒） 答：至少3.2秒后它们相遇。 25．一辆汽车的长方体油箱，从里面量长5.5分米，宽和高都是3分米，里面还剩半箱油，如果这辆车每升汽油可行12千米，这个油箱里剩下的汽油还可行多少千米？ 【答案】297千米 【分析】先根据长方体的体积（容积）＝长×宽×高，求出长方体油箱的容积，再除以2，即是半箱油的体积，然后根据进率“1立方分米＝1升”换算成以升作单位的数； 用每升汽油可行的路程乘半箱油的体积，求出半箱汽油可行的路程。 【详解】5.5×3×3÷2 ＝16.5×3÷2 ＝49.5÷2 ＝24.75（立方分米） 24.75立方分米＝24.75升 24.75×12＝297（千米） 答：这个油箱里剩下的汽油还可行297千米。 26．如下图所示，有一块重987.5克的正方体铁块（每立方厘米重7.9克），把它浸没在长方体容器的水中，水面上升了0.5厘米，这个容器的底面积是多少平方厘米？ 【答案】250平方厘米 【分析】由题意可知，正方体铁块的体积＝正方体铁块的重量÷每立方厘米铁块的重量，上升部分水的体积等于放入铁块的体积，放入铁块后上升部分的水可以看作一个长方体，由“长方体的体积＝底面积×高”可知，容器的底面积＝铁块的体积÷水面上升的高度，据此解答。 【详解】铁块的体积：987.5÷7.9＝125（立方厘米） 容器的底面积：125÷0.5＝250（平方厘米） 答：这个容器的底面积是250平方厘米。 27．如图所示，某工厂制造一种不锈钢零配件，它的体积是多少立方厘米？ 【答案】300立方厘米 【分析】 如图所示，把这个不锈钢零件分成两个长方体，一个是长11厘米，宽是4厘米，高是（10－5）厘米，另一个长是（11－7）厘米，宽是4厘米，高是5厘米；根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高，代入数据，即可解答。 【详解】11×4×（10－5）＋（11－7）×4×5 ＝11×4×5＋4×4×5 ＝220＋80 ＝300（立方厘米） 答：它的体积是300立方厘米。 28．加工一个无盖的长方体油箱，底面边长是8分米的正方形，高6分米，需要铁皮多少平方分米？如果每升油8元，灌满这箱油要多少元？ 【答案】256平方分米；3072元 【分析】根据长方体的表面积公式求出油箱的表面积，注意它是无盖的，表面积要算一个底面；求油箱的容积就是油箱的体积，据此解答。 【详解】表面积： 8×8＋8×6×4 ＝64＋192 ＝256（平方分米） 油的体积： 8×8×6 ＝64×6 ＝384（立方分米） 384立方分米＝384升 384×8＝3072（元） 答：需要铁皮256平方分米，满这箱油要3072元。 【点睛】此题考查的是长方体的表面积和长方体的容积，解题时注意油箱是无盖的。 29．一个蓄水池（如下图），长10米，宽4米，深2米。 （1）蓄水池占地面积有多大？     （2）在蓄水池的底面和四周都抹上水泥，抹水泥的面积有多大？     （3）蓄水池最多能蓄水多少立方米？ 【答案】（1）40平方米 （2）96平方米 （3）80立方米 【分析】（1）占地面积指的是底面积，用长×宽即可； （2）用长×宽＋长×高×2＋宽×高×2，列式解答即可； （3）根据长方体体积＝长×宽×高，列式解答即可。 【详解】（1）10×4＝40（平方米） 答：蓄水池占地面积有40平方米。 （2）10×4＋4×2×2＋10×2×2 ＝40＋16＋40 ＝96（平方米） 答：抹水泥的面积有96平方米。 （3）10×4×2＝80（立方米） 答：蓄水池最多能蓄水80立方米。 【点睛】关键是掌握长方体表面积和体积公式。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四单元 几何小实践 单元知识清单讲义 知识点一：体积 1. 定义：物体所占空间的大小叫做物体的体积。 2. 常用体积单位：立方厘米（）、立方分米（）、立方米（）；计量较小物体用立方厘米，中等物体用立方分米，较大物体用立方米。 3. 体积守恒性：物体体积的大小不随位置、形状的变化而变化（如把一块橡皮泥捏成不同形状，体积不变）。 4. 体积单位间的进率：相邻两个体积单位间的进率是1000；，，。 知识点二：长方体 1. 定义：由6个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立体图形叫做长方体。 2. 各部分名称：相交于同一顶点的3条棱的长度分别叫作长方体的长、宽、高。 3. 核心特征 · 面：6个面，一般为长方形，特殊情况两个相对面是正方形；相对的面完全相同。 · 棱：12条棱，相对的棱长度相等；可分为3组（4条长、4条宽、4条高）。 · 顶点：8个顶点。 4. 展开图特征 · 上、下面：长=长方体的长，宽=长方体的宽； · 前、后面：长=长方体的长，宽=长方体的高； · 左、右面：长=长方体的宽，宽=长方体的高。 5. 表面积与体积计算 · 表面积：长方体6个面的总面积；公式（=长，=宽，=高）。 · 体积：公式，也可表示为（为底面积，）。 知识点三：正方体 1. 定义：由6个完全相同的正方形围成的立体图形叫做正方体（立方体），正方体是特殊的长方体（长、宽、高都相等的长方体）。 2. 核心特征 · 面：6个面，都是完全相同的正方形。 · 棱：12条棱，长度全部相等（棱的长度称为棱长，用表示）。 · 顶点：8个顶点。 3. 常见展开图类型（共11种） · “1-4-1”型：3行，小正方形数量1、4、1，共6种； · “2-3-1”型：3行，小正方形数量2、3、1，共3种； · “2-2-2”型：3行，每行2个小正方形，共1种； · “3-3”型：2行，每行3个小正方形，共1种。 4. 表面积与体积计算 · 表面积：（一个面的面积为，6个面总面积）。 · 体积：，也可表示为（为底面积，）。 知识点四：组合体的体积 1. 定义：由两个或多个长方体、正方体拼接/组合而成的立体图形称为组合体。 2. 体积计算方法：求和法（无重叠部分），即组合体的体积=各个基本立体图形的体积之和；若有重叠，需扣除重叠部分的体积（五年级阶段主要考查无重叠拼接）。 知识点五：表面积的变化 1. 核心规律：几个相同的正方体/长方体拼接成一个大的立体图形时，拼接处会减少面的数量，总表面积减少；减少的面的数量=拼接次数×2（每拼接1次，减少2个面）。 2. 常见题型：n个棱长为的正方体排成一排拼接成一个长方体，减少的面数为，总表面积=单个正方体表面积×n - 减少的面的面积。 3. 反向规律：把一个大的长方体/正方体切割成若干个小的正方体/长方体时，切割次数越多，增加的面越多，总表面积增加；增加的面的数量=切割次数×2。 知识点六：体积与容积 1. 容积定义：容器所能容纳物体的体积，叫做容器的容积。 2. 计量单位 · 一般容积：沿用体积单位（、、）； · 液体容积：常用升（L）、毫升（mL），。 3. 容积单位与体积单位的换算：，，。 4. 体积与容积的区别：体积是物体所占空间的大小，容积是容器内部容纳空间的大小；同一个容器，体积大于容积（容器有壁厚）。 知识点七：体积与质量 1. 核心关系：同种物质，体积与质量成正比例（密度一定），即密度=质量÷体积（）。 2. 常用表述：如“1立方厘米的水重1克”“1立方分米的水重1千克”“1立方米的水重1吨”，利用此关系可通过体积求质量，或通过质量求体积。 3. 计算方法：质量=体积×单位体积的质量；体积=质量÷单位体积的质量。 考点一：体积 【典型例题】： 1. 填空：一块橡皮的体积约是8（ ），一个冰箱的体积约是1.5（ ），一个粉笔盒的体积约是1（ ）。 2.单位换算：，，。 考点二：长方体 【典型例题】： 1.一个长方体的体积是，已知它的长是6cm，宽是5cm，求这个长方体的高和表面积。 2.一个长方体的棱长总和是96cm，长、宽、高的比是3:2:1，求它的体积。 考点三：正方体 【典型例题】： 1. 一个正方体的棱长为6dm，求它的表面积和体积。 2. 用一根72cm长的铁丝围成一个正方体框架，这个正方体的棱长是多少？体积是多少？ 3. 一个正方体的表面积是，求它的棱长和体积。 考点四：组合体的体积 【典型例题】： 1. 由一个长8cm、宽5cm、高3cm的长方体和一个棱长4cm的正方体拼接而成（无重叠），求组合体的体积。 2. 一个组合体由3个棱长为2dm的正方体拼接成一个长方体，求这个长方体的体积。 考点五：表面积的变化 【典型例题】： 1.把5个棱长为4dm的正方体排成一排拼成一个大长方体，求拼成后的大长方体的表面积。 2.一个长方体长10cm，宽8cm，高6cm，把它切成两个完全相同的小长方体，表面积最少增加多少平方厘米？最多增加多少平方厘米？ 考点六：体积与容积 【典型例题】： 1. 一个长方体水箱，从内部量长5dm，宽4dm，高3dm，这个水箱的容积是多少升？ 2.一个正方体容器，棱长为2dm，向容器中倒入5L水，再把一个石块放入水中（石块完全浸没），这时容器内的水深1.5dm，求石块的体积。 考点七：体积与质量 【典型例题】： 1. 已知1立方厘米的铁块重7.8克，一块体积为的铁块，重多少克？ 2. 1立方米的水重1吨，一个长方体水池的容积是80立方米，这个水池能装多少吨水？ 一、选择题 1．一个量杯中装了一些水，水面的刻度是300mL，放入一块石头后，水面的刻度上升为500mL。这块石头的体积是（    ）。 A．不能确定 B．200mL C．200cm3 D．2dm3 2．下面不是正方体展开图的是（    ）。 A． B． C． D． 3．一个长方体高减少2cm之后，表面积减少了40cm2，剩下的部分正好是个正方体（如图所示），原来长方体的体积是（    ）。 A．175cm3 B．125cm3 C．190cm3 D．无法确定 4．对下面的生活数据估计最合理的是（    ）。 A．成年人走一步的距离大约是70分米 B．一台冰箱的容积约是350毫升 C．通常一张数学练习卷的面积约为13平方分米 D．一个苹果约重150千克 5．一个棱长为6厘米的正方体， 在它的一条棱的中间位置挖掉一块棱长为1厘米的正方体，下面叙述正确的是（       ）。 A．表面积不变，体积变大。 B．表面积变大，体积变小。 C．表面积变小，体积变小。 D．表面积不变，体积变小。 6．一个长方体的长、宽、高分别是a米，b米，h米，如果它的高增加2米后，新的长方体体积比原来增加（    ）立方米。 A．2ah B．2bh C．2ab D．ab（h＋2） 7．如图所示，一个底面直径是8cm的圆柱体木头，沿底面虚线处垂直切割，就能切成一个最大的正方体，这个正方体的表面积是（    ）。 A．384cm2 B．192cm2 C．128cm2 D．无法确定 8．一个长方体的长、宽、高分别是a厘米、b厘米和h厘米，如果长方体的长和高不变，宽增加3厘米，长方体的体积增加（    ）立方厘米。 A．3ah B．3abh C．abh D．3b 二、填空题 9．下图是由( )个棱长是1分米的小正方体积木搭成的立体模型，如果在它的基础上把它堆成一个大正方体，至少还需要( )块小正方体积木。 10．将一个长7cm、宽5cm，高6cm的长方体截成一个体积最大的正方体，这个正方体的体积是( )cm3。 11．有一个内部长30厘米、宽15厘米和高10厘米的长方体玻璃容器，先在玻璃容器内注水，水深是5厘米。再将一根长20厘米，宽和高都是6厘米的长方体塑料放入容器内，塑料浮在水面上，且它正好有一半浮出水面。这时这根塑料与水接触面的面积是( )平方厘米，容器内的水面上升了( )厘米。 12．如图组合体的体积是______立方厘米。（单位：厘米） 13．小丁丁用若干个1cm3小正方体搭了不同的几何体（如图），如果按照这个方法继续搭，第⑤个几何体的体积是__________cm3。 14．如下图，将一个小球放入水缸，小球的一半浸没在水中，放入小球后水位上升0.5厘米，水缸规格如图，小球的体积是________立方厘米。 15．一个长方体长8厘米，宽5厘米，高4厘米，如果长和宽都不变，高增加2厘米，那么表面积增加( )平方厘米，体积增加( )立方厘米。 三、判断题 16．如左图，在大正方体上挖去两个小正方体后，与原来的大正方体相比，体积和表面积都减少了。( ) 17．在长方体中，从同一个顶点引出的三条棱，每两条都互相垂直。( ) 18．如果一个正方体的棱长扩大到原来的4倍后，那么它的表面积扩大到原来的8倍。( ) 19．两本书一样厚，他们的体积一定一样大。( ) 20．搭一个棱长3分米的大正方体，至少需要27个棱长1厘米的小正方体。( ) 四、计算题 21．求组合体的体积。（单位：分米） 22．求下列组合体的体积：（单位：厘米） 五、解答题 23．如图，这是一个中间有孔的立体玩具，它是由8个棱长是2厘米的小正方体松木块粘拼而成的。已知每立方厘米松木的质量为0.55克，请计算这个立体玩具的质量。 24．下图是一个长方体的展开图（两只蚂蚁分别在A点和B点处），将它折成一个长方体，这时两只蚂蚁开始沿着长方体的棱爬行，至少多少时间后它们相遇？（A点处蚂蚁的速度1厘米/秒，B点处蚂蚁速度1.5厘米/秒） 25．一辆汽车的长方体油箱，从里面量长5.5分米，宽和高都是3分米，里面还剩半箱油，如果这辆车每升汽油可行12千米，这个油箱里剩下的汽油还可行多少千米？ 26．如下图所示，有一块重987.5克的正方体铁块（每立方厘米重7.9克），把它浸没在长方体容器的水中，水面上升了0.5厘米，这个容器的底面积是多少平方厘米？ 27．如图所示，某工厂制造一种不锈钢零配件，它的体积是多少立方厘米？ 28．加工一个无盖的长方体油箱，底面边长是8分米的正方形，高6分米，需要铁皮多少平方分米？如果每升油8元，灌满这箱油要多少元？ 29．一个蓄水池（如下图），长10米，宽4米，深2米。 （1）蓄水池占地面积有多大？     （2）在蓄水池的底面和四周都抹上水泥，抹水泥的面积有多大？     （3）蓄水池最多能蓄水多少立方米？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $