62 回归原点5 概率与统计（教师用书Word版）-【高考快车道】2026年高考数学大二轮专题复习与讲义

回归原点5　概率与统计 [考前必背要点] 一、计数原理 排列数与组合数的公式、性质 类型 排列数 组合数 公式 ＝n(n－1)… (n－m＋1) ＝ ＝＝ 性质 0！＝1；＝n！ ＝1；＝； ＝ 二、二项式定理 1．二项式定理：(a＋b)n＝bn(n∈N*)． 2．二项式系数：二项展开式中各项的系数(k＝0，1，…，n)． 3．二项展开式的通项：Tk＋1＝an－kbk，它表示第k＋1项． 4．二项式系数的性质 (1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等． (2)增减性：当k<时随k的增加而增大；当k>时随k的增加而减小． (3)最大值：当n是偶数时，展开式中间一项的二项式系数取得最大值；当n是奇数时，展开式中间的两项的二项式系数与相等，且同时取得最大值． (4)(a＋b)n的展开式的各二项式系数的和等于2n． (5)奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即＋…＝＋…＝2n-1． 三、事件间的关系 设A，B是两个事件， 1．一般地，如果事件A与事件B不能同时发生，则称事件A与事件B互斥． 2．一般地，如果事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生，则称事件A与事件B互为对立． 3．如果P(AB)＝P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立． 四、概率的基本性质 1．对任意的事件A，都有P(A)0． 2．必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0． 3．如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)． 4．如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B)． 5．如果A⊆B，那么P(A)P(B)． 6．设A，B是一个随机试验中的两个事件，有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)． 五、概率模型及其计算 1．古典概型的概率公式 P(A)＝＝．其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数． 2．条件概率 (1)条件概率：P(B|A)＝，P(A)>0． (2)乘法公式：P(BA)＝P(A)P(B|A)，P(A)>0． (3)全概率公式：P(B)＝其中A1，A2，…，An两两互斥，且A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，3，…，n． 六、统计中的数字特征 1．描述总体集中趋势的量：众数、中位数、平均数． 2．描述总体离散程度的量：极差、方差、标准差． 其中方差s2＝ )2． 3．总体百分位数的估计 (1)按从小到大排列原始数据； (2)计算i＝n×p%； (3)若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数；若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据． 4．注意：频率分布直方图中的数字特征． 七、三种常见分布 1．二项分布 若X～B(n，p)，则P(X＝k)＝pk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n．其中E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)． 2．超几何分布 在含有M件次品的N件产品中，随机抽取n件(不放回)，其中恰有X件次品，则X的分布列为P(X＝k)＝，k＝m，m＋1，m＋2，…，r．其中r＝min{n，M}，m＝max{0，n－N＋M}，且nN，MN，n，M，N∈N*，此时称随机变量X服从超几何分布．其中E(X)＝． 3．正态分布 若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝μ，D(X)＝σ2． (1)P(μ－σXμ＋σ)≈0.682 7； (2)P(μ－2σXμ＋2σ)≈0.954 5； (3)P(μ－3σXμ＋3σ)≈0.997 3． 4．均值、方差的性质 (1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b． (2)D(aX＋b)＝a2D(X)． (3)D(X)＝E(X2)－[E(X)]2． 八、一元线性回归模型 设满足一元线性回归模型的两个变量的n对样本数据为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其经验回归方程为＝x＋， 其中＝，． 九、列联表与独立性检验 1．2×2列联表： X Y 合计 Y＝0 Y＝1 X＝0 a b a＋b X＝1 c d c＋d 合计 a＋c b＋d n＝a＋b＋c＋d 2．卡方公式： χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d． [规避教材易混] 1．(2025·承德模拟)若展开式的二项式系数之和为32，则展开式中含x4项的系数为(　　) A．－80 B．80 C．－40 D．40 B　[由题可得2n＝32，故n＝5， ∴展开式的第k＋1项为Tk＋1＝·＝·25-k·(－1)kx10-3k， 由10－3k＝4，得k＝2， ∴T3＝·23·(－1)2x4＝80x4，即含x4项的系数为80． 故选B．] 易错提醒：二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念，二项式系数是指，它只与各项的项数有关，而与a，b的值无关；项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，还与a，b的值有关． 2．(2025·开封二模)将5名学生分配到3个社区当志愿者，每个社区至少分配1名学生，则不同的分配方法种数为(　　) A．24 B．50 C．72 D．150 D　[可以分组为1，1，3，或1，2，2两种情况， 若分组为1，1，3，则有＝60(种)； 若分组为1，2，2，则有＝90(种)； 则不同分法为60＋90＝150种．故选D．] 易错提醒：正确应用计数原理，分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事． 3．(多选)某工厂进行产品质量抽测，两位员工随机从生产线上各抽取数量相同的一批产品，已知在两人抽取的一批产品中均有5件次品，员工A从这一批产品中有放回地随机抽取3件产品，员工B从这一批产品中无放回地随机抽取3件产品．设员工A抽取到的3件产品中次品数量为X，员工B抽取到的3件产品中次品数量为Y，k＝0，1，2，3．则下列判断正确的是(　　) A．随机变量X服从二项分布 B．随机变量Y服从超几何分布 C．P(X＝k)<P(Y＝k) D．E(X)＝E(Y) ABD　[对于A，B选项，由超几何分布和二项分布的概念可知两个选项均正确； 对于D选项，设该批产品有M件，则E(X)＝3·＝，E(Y)＝3·＝，因此D正确；对于C选项，若C正确，可得E(X)<E(Y)，则D错误，矛盾，故C错误．故选ABD．] 易错提醒：涉及求分布列时，要注意区分是二项分布还是超几何分布，要注意二项分布与超几何分布、正态分布间的区别与联系． 4．(2025·郑州模拟)某中学共有3 000名学生，为了了解学生书籍阅读量情况，该校从全校学生中随机抽取200名，统计他们2025年阅读的书籍数量，由此来估计该校学生当年阅读书籍数量的情况，下列估计中正确的是(　　) A．阅读量的众数估值为8 B．阅读量的中位数估值为6.5 C．阅读量的平均数估值为6.76 D．阅读量的第70百分位数估值为8.86 D　[众数估值为＝6，A错误； 中位数x在[4，8]内，所以0.06×4＋0.1×(x－4)＝0.5，解得x＝6.6，B错误； 由频率分布直方图的数据可知，平均数＝0.24×2＋0.4×6＋0.28×10＋0.06×14＋0.02×18＝6.88，C错误； 第70百分位数y在[8，12]内，所以0.06×4＋0.1×4＋0.07×(y－8)＝0.7， 解得y＝≈8.86，即阅读量的第70百分位数估值为8.86，D正确． 故选D．] 易错提醒：不理解频率分布直方图中的样本数据特征致误．事实上，给出频率分布直方图，那么①众数估计值为最高的小矩形底边中点的横坐标；②中位数估计值为平分频率分布直方图面积，且垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标；③平均数估计值为频率分布直方图中每个小矩形底边中点的横坐标与相应小矩形的面积的乘积之和． 5．(多选)(教材改编)袋子中有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中随机取出两个球，设事件A＝“取出的球的数字之积为奇数”，事件B＝“取出的球的数字之积为偶数”，事件C＝“取出的球的数字之和为偶数”，则(　　) A．P(A)＝ B．P(B|C)＝ C．事件A与B是互斥事件 D．事件B与C相互独立 AC　[因为“取出的球的数字之积为奇数”，就是“取出的两个数都是奇数”，所以P(A)＝＝＝．故A正确； “取出的球的数字之积为偶数”就是“取出的球的两个数不能都是奇数”， 所以P(B)＝＝1－＝． “取出的球的数字之和为偶数”就是“取出的两个数都是奇数或都是偶数”，所以P(C)＝＝． A＋B表示“取出的两个数的积可以是奇数，也可以是偶数”，所以P(A＋B)＝1． BC表示“取出的两个数的积与和都是偶数”，就是“取出的两个数都是偶数”，所以P(BC)＝＝． 所以P(B|C)＝＝，故B错误； 因为P(A＋B)＝P(A)＋P(B)，所以A，B互斥，故C正确；因为P(BC)≠P(B)·P(C)，所以B，C不相互独立，故D错误．故选AC．] 易错提醒：对互斥事件、对立事件、独立事件的概念理解不透彻导致错误，要通过概念把握它们的本质． 6．(多选)(教材改编)在某次调查中，利用分层随机抽样选取了25名学生的测试得分，其中15名男生得分的平均数为75，方差为6，其余10名女生的得分分别为67，69，71，67，71，73，72，72，69，69，则下列选项正确的是(　　) A．女生得分的平均数小于75 B．女生得分的方差大于6 C．女生得分的70%分位数是71.5 D．25名学生得分的方差为11.2 ACD　[A项，女生得分的平均数为×(67＋69＋71＋67＋71＋73＋72＋72＋69＋69)＝70<75，故A正确； B项，女生得分的方差为×[2×(67－70)2＋3×(69－70)2＋2×(71－70)2＋2×(72－70)2＋(73－70)2]＝4<6，故B错误； C项，将女生得分从小到大排列：67，67，69，69，69，71，71，72，72，73，又10×0.7＝7，所以女生得分的70%分位数是＝71.5，C正确； D项，25名学生得分的平均数为＝73，25名学生得分的方差为＋＝11.2，D正确．故选ACD．] 易错提醒：对统计学的有关概念不清晰，如混淆样本数据的平均数(方差)与总体样本数据的平均数(方差)的概念． 7．(多选)(教材改编)有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为5%，第2，3台加工的次品率均为3%，加工出来的零件混放在一起，第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的15%，25%，60%．随机取一个零件，记A＝“零件为次品”，Bi＝“零件为第i台车床加工” (i＝1，2，3)，下列结论正确的有(　　) A．P(A)＝0.03 B．＝1 C．P(B1|A)＝P(B2|A) D．P(B1|A)＋P(B2|A)＝P(B3|A) BC　[对于A，因为P(A)＝0.05×0.15＋0.03×0.25＋0.03×0.60＝0.033，故A错误； 对于B，因为＝0.15＋0.25＋0.60＝1，故B正确； 对于C，因为P(B1|A)＝ ＝＝， P(B2|A)＝＝＝， 所以P(B1|A)＝P(B2|A)，故C正确； 对于D，由上可得P(B1|A)＋P(B2|A)＝， 又因为P(B3|A)＝ ＝＝，故D错误．故选BC．] 易错提醒：要注意概率P(A|B)与P(AB)的区别． (1)在P(A|B)中，事件A，B的发生有时间上的差异，B先A后；在P(AB)中，事件A，B同时发生． (2)样本空间不同，在P(A|B)中，事件B成为样本空间；在P(AB)中，样本空间仍为Ω，因而有P(A|B)P(AB)． 8．(2024·全国甲卷)的展开式中，各项系数中的最大值为 ． 5　[展开式的通项为Tk＋1＝·xk，0k10且k∈Z． 设展开式中第k＋1项系数最大， 则⇒ 即k，又k∈Z，故k＝8， 所以展开式中系数最大的项是第9项，且该项系数为＝5．] 易错提醒：注意区分“项的系数的最值”与“二项式系数的最值”． 4 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $