42 专题七 课时24 基本初等函数、函数的应用（教师用书Word版）-【高考快车道】2026年高考数学大二轮专题复习与讲义

课时24　基本初等函数、函数的应用 [备考指南]　1．基本初等函数的图象与性质是高考考查的重点，利用函数的性质比较大小、解不等式是常见题型．2．函数零点的个数判断及参数范围是常考题型，常以压轴题的形式出现．3．函数模型及应用是近几年高考的热点，通常考查指数函数、对数函数模型． 基础考点1　基本初等函数的运算、图象与性质 【母题1】　[人教A版必修第一册P141习题4.4T12]已知<1，则实数a的取值范围为 ． 　[因为loga<1⇔loga<logaa，当a>1时，loga<logaa成立；当0<a<1时，解得0<a<．又<1⇔<1⇔0a<1，所以实数a的取值范围是．] 链接核心知识：(1)指对互化：ax＝N⇔x＝logaN(a＞0，且a≠1)． (2)指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)互为反函数，其图象关于直线y＝x对称，它们的图象和性质分0＜a＜1，a＞1两种情况，着重关注两个函数图象的异同． 1．(2025·重庆模拟)已知2x＝3y＝5z(x，y，z≠0)，且＝，则a＝(　　) A．log23 B．log25 C．log35 D．log56 D　[设2x＝3y＝5z＝k，则x＝log2k，y＝log3k，z＝log5k， 故＝logk2＋logk3＝logk6＝alogk5，故a＝＝log56． 故选D．] 2．(2025·长沙一模)已知lg a＋lg b＝0(a＞0，b＞0，且a≠1，b≠1)，则函数f(x)＝a－x与g(x)＝logbx的图象可能是(　　) 　 A　　　　　　　　B 　 C　　　　　　　　D B　[由lg a＋lg b＝0可知，＝b， 故f(x)＝a－x＝bx， 故函数f(x)＝a－x与函数g(x)＝logbx的单调性相同． 故选B．] 3．(多选)(2025·廊坊模拟)下列不等式成立的是(　　) A．log0.30.2＞log0.20.3 B．0.30.2＞0.20.3 C．log30.2＜log20.2 D．30.2＜20.3 AB　[对于A，log0.30.2＞log0.30.3＝1， log0.20.3＜log0.20.2＝1， 故log0.30.2＞log0.20.3，A正确； 对于B，因为y＝0.3x在R上单调递减，y＝x0.3在[0，＋∞)上单调递增， 所以0.30.2＞0.30.3＞0.20.3，故0.30.2＞0.20.3，B正确； 对于C，因为＝＝＝log23>1，log30.2＜0，log20.2＜0， 所以log30.2＞log20.2，故C错误； 对于D，30.2＝，20.3＝， 因为)10＝32＝)10＝8， 所以)10，故30.2＞20.3，故D错误．故选AB．] 4．(多选)(2025·黄冈二模改编)如图，某池塘里浮萍的面积y(单位：m2)与时间t(单位：月)的关系为y＝at(a>0，且a≠1)，关于下列说法正确的是(　　) A．浮萍每月的增长率相同 B．若函数y＝f(x)与y＝ax的图象关于直线y＝x对称，则函数y＝f(x2＋bx＋1)的值域为R的充要条件是－2＜b＜2 C．若g(x)＝，则当x1≠x2时，>g恒成立 D．若浮萍蔓延到2 m2，3 m2，108 m2，所经过的时间分别是t1，t2，t3，则2t1＋3t2＝t3 ACD　[对于A，根据图象，把点(1，2)代入y＝at， 得a＝2，所以y＝2t， 因此每月的增长率相同，故A正确； 对于B，因为函数y＝f(x)与y＝2x的图象关于直线y＝x对称， 所以f(x)＝log2x， 所以函数y＝f(x2＋bx＋1)＝log2(x2＋bx＋1)， 要使函数y＝f(x2＋bx＋1)的值域为R， 则y＝x2＋bx＋1能取遍所有正数，所以Δ＝b2－40，解得b－2或b2， 所以函数y＝f(x2＋bx＋1)的值域为R的充要条件是b－2或b2，故B错误； 对于C，因为g(x)＝＝， 当x1≠x2时，＝＝＝ ＝g，故C正确； 对于D，令2t＝2，解得t1＝1；令2t＝3，解得t2＝log23；令2t＝108，解得t3＝log2108． 所以2t1＋3t2＝2＋3log23＝log24＋log227＝log2108＝t3，故D正确．故选ACD．] 反思领悟：(1)指数函数、对数函数的图象与性质受底数a的影响，解决与指数函数、对数函数有关的问题时，首先要看底数a的取值范围． (2)基本初等函数的图象和性质是统一的，在解题中可相互转化． 【教用·备选题】 1．若函数f(x)＝ln (ax＋1)在(1，2)上单调递减，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，0) B． C． D．[－1，0) C　[函数f(x)＝ln (ax＋1)在(1，2)上单调递减，因为函数y＝ln x在定义域内单调递增，所以函数g(x)＝ax＋1在(1，2)上单调递减且恒大于0，则有解得－a<0．] 2．(2025·上海卷)已知幂函数y＝xa在(0，＋∞)上是严格减函数，且其图象经过(－1，－1)，则a的值可能是(　　) A．－ B．－ C． D．3 B　[对于A，若a＝－，则y＝，当x＝－1时，y＝＝＝＝1， 所以幂函数y＝的图象过点(－1，1)，故A错误； 对于B，若a＝－，则y＝，当x＝－1时，y＝＝＝－1， 所以幂函数y＝的图象过点(－1，－1)，故B正确； 因为幂函数y＝xa在(0，＋∞)上是严格减函数，所以a＜0，故C错误，D错误． 故选B．] 3．(多选)(2025·随州模拟)已知实数a，b满足等式2 025a＝2 026b，下列式子可以成立的是(　　) A．a＝b＝0　　　　　　 B．a＜b＜0 C．0＜a＜b D．0＜b＜a ABD　[设2 025a＝2 026b＝k＞0，分别作出函数y＝2 025x，y＝2 026x的图象，如图所示． 当k＝1时，a＝b＝0，A成立； 当0＜k＜1时，a＜b＜0，B成立，C不成立； 当k＞1时，0＜b＜a，D成立． 故选ABD．] 4．(2025·南京模拟)4log33－log29×log32＋lg ＋2lg 2－＝ ． 1　[原式＝4－2log23×log32＋lg 5－lg 2＋2lg 2－2 ＝4－2＋lg 5＋lg 2－2 ＝4－2＋1－2＝1．] 基础考点2　函数与方程 【母题2】　[人教A版必修第一册P160复习参考题4T5(3)]已知函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝log2x＋x，h(x)＝x3＋x的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小顺序为(　　) A．a>b>c B．b>c>a C．c>a>b D．b>a>c B　[由h(x)＝x3＋x＝0得x＝0，所以c＝0，由f(x)＝0得2x＝－x，由g(x)＝0得log2x＝－x．在同一平面直角坐标系中画出y＝2x，y＝log2x，y＝－x的图象，由图象知a<0，b>0， 所以a<c<b．] 链接核心知识：判断函数零点个数的方法 (1)利用函数零点存在定理判断． (2)代数法：求方程f(x)＝0的实数根． (3)数形结合法：对于不易求根的方程，将它与函数y＝f(x)的图象联系起来，利用函数的性质找出零点或利用两个函数图象的交点求解．在利用函数性质时，可用求导的方法判断函数的单调性． 1．(2025·天津卷)函数f(x)＝0.3x－的零点所在区间是(　　) A．(0，0.3) B．(0.3，0.5) C．(0.5，1) D．(1，2) B　[易知f(x)在[0，＋∞)上单调递减，又f(0)＝1＞0，f(0.3)＝0.30.3－＝0.30.3－0.30.5＞0，f(0.5)＝0.30.5－＝＜0，所以f(x)的零点所在区间是(0.3，0.5)．故选B．] 2．(2025·广州模拟)已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－a恰有3个零点，则a的取值范围为(　　) A．(－1，3] B．[0，3] C．(－1，0] D．(3，＋∞) A　[作出函数y＝f(x)的图象，如图所示． 因为函数g(x)＝f(x)－a恰有3个零点， 即直线y＝a与y＝f(x)的图象有3个交点， 所以a∈(－1，3]．故选A．] 3．(2025·西宁二模)函数f(x)＝2|cos x|－x的零点个数为 ． 4　[令f(x)＝0，得x＝0或2|cos x|＝． 设y1＝2|cos x|，y2＝， 作出其图象如下： 两函数图象共有3个交点， 综上所述，函数f(x)共有4个零点．] 反思领悟：利用函数零点的情况求参数值(或取值范围)的三种方法 (1)直接法：利用函数零点存在定理构建不等式确定参数的取值范围． (2)分离参数法：将参数分离，转化成求函数的值域问题． (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中作出函数的图象，然后数形结合求解． 【教用·备选题】 1．(2025·泰安模拟)已知f(x)是定义域为R的单调递增函数，且存在函数g(x)，使f(g(x))＝2x－1，若x1，x2分别为方程f(x)＋2x＝7和g(x)＋x＝4的根，则x1＋x2＝(　　) A．8 B．4 C．－4 D．－8 B　[由题意可得f(x1)＝7－2x1，g(x2)＝4－x2， 所以f(g(x2))＝2x2－1， 即f(4－x2)＝2x2－1＝7－2(4－x2)， 又f(x)是定义域为R的单调递增函数，f(x1)＝7－2x1，所以4－x2＝x1， 所以x1＋x2＝4．故选B．] 2．(2024·新高考Ⅱ卷)设函数f(x)＝a(x＋1)2－1，g(x)＝cos x＋2ax．当x∈(－1，1)时，曲线y＝f(x)与y＝g(x)恰有一个交点．则a＝(　　) A．－1 B． C．1 D．2 D　[法一：令f(x)＝g(x)， 即a(x＋1)2－1＝cos x＋2ax，可得ax2＋a－1＝cos x， 令F(x)＝ax2＋a－1，G(x)＝cos x， 原题意等价于当x∈(－1，1)时，曲线y＝F(x)与y＝G(x)恰有一个交点， 注意到F(x)，G(x)均为偶函数，可知该交点只能在y轴上， 可得F(0)＝G(0)，即a－1＝1，解得a＝2． 若a＝2，令F(x)＝G(x)，可得2x2＋1－cos x＝0， 因为x∈(－1，1)，则2x20，1－cos x0，当且仅当x＝0时，等号成立， 可得2x2＋1－cos x0，当且仅当x＝0时，等号成立， 则方程2x2＋1－cos x＝0有且仅有一个实根0，即曲线y＝F(x)与y＝G(x)恰有一个交点， 所以a＝2符合题意． 综上所述，a＝2． 法二：令h(x)＝f(x)－g(x)＝ax2＋a－1－cos x，x∈(－1，1)， 原题意等价于h(x)有且仅有一个零点， 因为h(－x)＝a(－x)2＋a－1－cos (－x)＝ax2＋a－1－cos x＝h(x)， 则h(x)为偶函数， 根据偶函数的对称性可知h(x)的零点只能为0， 即h(0)＝a－2＝0，解得a＝2． 若a＝2，则h(x)＝2x2＋1－cos x，x∈(－1，1)， 又因为2x20，1－cos x0，当且仅当x＝0时，等号成立， 可得h(x)0，当且仅当x＝0时，等号成立， 即h(x)有且仅有一个零点0，所以a＝2符合题意． 故选D．] 3．(2025·广州模拟)已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－a恰有2个零点，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，0)　　　　　 B．(0，1] C．(0，4] D．(4，＋∞) B　[因为g(x)＝f(x)－a恰有2个零点， 所以直线y＝a与函数y＝f(x)的图象有2个交点， 当a＝0时， f(x)＝ 此时y＝0与y＝f(x)的图象没有交点，不符合题意； 当a＜0时， 当x＞0时，f(x)＝x－， 易知函数y＝f(x)在(0，)上单调递减，在(，＋∞)上单调递增， 且f(x)2>0， 此时y＝a与y＝f(x)的图象没有交点，不符合题意； 当a＞0时， 当x＞0时，f(x)＝x－在(0，＋∞)上单调递增，且f()＝0， 如图所示： 由图可知要使直线y＝a与函数y＝f(x)的图象有2个交点， 则0＜a1． 综上，a∈(0，1]． 故选B．] 基础考点3　函数模型及应用 【母题3】　[人教A版必修第一册P126例5]尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量E(单位：焦耳)与地震里氏震级M之间的关系为lg E＝4.8＋1.5M．2011年3月11日，日本东北部海域发生里氏9.0级地震，它所释放出来的能量是2008年5月12日我国汶川发生里氏8.0级地震的 倍(精确到1)(lg 32≈1.5)? 32　[设里氏9.0级和8.0级地震的能量分别为E1和E2． 由lg E＝4.8＋1.5M，可得 lg E1＝4.8＋1.5×9.0， lg E2＝4.8＋1.5×8.0． 于是，lg ＝lg E1－lg E2 ＝(4.8＋1.5×9.0)－(4.8＋1.5×8.0)＝1.5， 由lg 32≈1.5得，＝101.5≈32．] 链接核心知识：函数模型解决实际问题的一般步骤和解题关键 (1)一般步骤：⇒⇒⇒． (2)解题关键：准确地建立函数模型，然后应用函数、方程、不等式和导数等有关知识加以解答． 1．(2025·渭南三模)自然界中，大多数生物存在着世代重叠现象，它们在生活史中会持续不断地繁殖后代，且有时不同的世代能在同一时间进行繁殖．假定某类生物的生长发育不受密度制约时，其增长符合模型：N(t)＝N0ert，其中N0为种群起始个体数量，r为增长系数，N(t)为t时刻的种群个体数量．当t＝3时，种群个体数量是起始个体数量的2倍．若N(4)＝150，则N(10)＝(　　) A．300 B．450 C．600 D．750 C　[因为当t＝3时，种群个体数量是起始个体数量的2倍， 所以2N0＝N0e3r， 所以e3r＝2， 若N(4)＝150，则N0e4r＝150， 所以N(10)＝N0e10r＝N0e4r(e3r)2＝150×22＝600． 故选C．] 2．(多选)(2023·新高考Ⅰ卷)噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级Lp＝20×lg ，其中常数p0(p0>0)是听觉下限阈值，p是实际声压．下表为不同声源的声压级： 声源 与声源的距离/m 声压级/dB 燃油汽车 10 60～90 混合动力汽车 10 50～60 电动汽车 10 40 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m处测得实际声压分别为p1，p2，p3，则(　　) A．p1p2 B．p2>10p3 C．p3＝100p0 D．p1100p2 ACD　[因为Lp＝20×lg 随着p的增大而增大，且∈[50，60]，所以，所以p1p2，故A正确；由Lp＝20×lg ，得p＝，因为＝40，所以p3＝＝100p0，故C正确；假设p2＞10p3，则＞10，所以Lp2－Lp3＞20，不可能成立，故B不正确；因为＝＝1，所以p1100p2，故D正确．故选ACD．] 易错提醒：构建函数模型解决实际问题的失分点 (1)不能选择相应变量得到函数模型． (2)构建的函数模型有误． (3)忽视函数模型中变量的实际意义． 【教用·备选题】 1．(2025·莆田模拟)沙漏也叫做沙钟，是一种测量时间的装置，现有一个沙漏(如图)上方装有a cm3的细沙，细沙从中间小孔由上方慢慢漏下，经过t分钟时剩余的细沙量为y cm3，且y＝a·e－bt(b为常数)，经过16分钟时，上方还剩下一半细沙，要使上方细沙是开始时的，需经过的时间为(　　) A．24分钟　　　　　　 B．28分钟 C．32分钟 D．36分钟 C　[依题意有ae-16b＝a，即e-16b＝， 则－16b＝ln ＝－ln 2， 所以b＝，y＝， 由＝a，所以＝， 等式两边同时取对数得－t＝ln ＝－2ln 2， 所以t＝32． 故选C．] 2．(2025·东城区二模)马赫数是飞行器的运动速度与音速的比值．在不考虑空气阻力的前提下，某飞行器的最大速度v(单位：m/s)和燃料的质量M(单位：kg)、飞行器(除燃料外)的质量m(单位：kg)的函数关系是v＝2 900ln ．已知当该飞行器所处高空的音速为290 m/s，最大速度对应的马赫数分别为8和13时，燃料的质量分别为M1和M2，则下列结论一定正确的是(　　) A．＝　　　　　　　 B．＝e C．＝ D．＝e C　[由题意知，当v1＝8马赫时，8×290＝2 900ln ，所以＝e0.8－1； 当v2＝13马赫时，13×290＝2 900ln ， 所以＝e1.3－1． 所以＝≠e或≠，选项A，B错误； ＝＝e0.5＝，选项C正确，选项D错误． 故选C．] 1．(2020·全国Ⅰ卷)若2a＋log2a＝4b＋2log4b，则(　　) A．a>2b B．a<2b C．a>b2 D．a<b2 B　[令f(x)＝2x＋log2x，因为y＝2x在(0，＋∞)上单调递增，y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)＝2x＋log2x在(0，＋∞)上单调递增．又2a＋log2a＝4b＋2log4b＝22b＋log2b<22b＋log22b，所以f(a)<f(2b)，所以a<2b．故选B．] 2．(2024·北京卷)生物丰富度指数d＝是河流水质的一个评价指标，其中S，N分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数．生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数S没有变化，生物个体总数由N1变为N2，生物丰富度指数由2.1提高到3.15，则(　　) A．3N2＝2N1 B．2N2＝3N1 C．＝ D．＝ D　[由题意，得＝2.1，＝3.15．若S不变，则＝3.15ln N2，即2ln N1＝3ln N2，所以＝．] 3．(2024·全国甲卷)已知a>1且＝－，则a＝ ． 64　[由题意＝log2a＝－，整理得(log2a)2－5log2a－6＝0， 解得log2a＝－1或log2a＝6． 又a>1， 所以log2a＝6，故a＝26＝64．] 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $