35 专题六 课时20 直线与圆锥曲线（教师用书Word版）-【高考快车道】2026年高考数学大二轮专题复习与讲义

课时20　直线与圆锥曲线 [备考指南]　直线与圆锥曲线的位置关系是高考的必考内容，涉及直线与圆锥曲线的相交、相切、弦长、面积以及中点弦等问题，难度中等． 基础考点1　中点弦问题 【母题1】　[人教A版选择性必修第一册P128习题3.2T13]已知双曲线x2－＝1，过点P(1，1)的直线l与双曲线相交于A，B两点，P能否是线段AB的中点？为什么？ [解]　这样的直线l不存在． 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1≠x2， 代入双曲线方程，得＝＝1， 两式相减得＝，可得 (x1－x2)(x1＋x2)＝， 若P(1，1)是线段AB的中点，则x1＋x2＝2，y1＋y2＝2， ∴＝2，得直线AB的斜率为2， ∴直线AB的方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0． 联立得2x2－4x＋3＝0， 则Δ＝16－4×2×3＝－8<0，方程无解， ∴直线l不存在，P不能是线段AB的中点． 链接核心知识：已知A(x1，y1)，B(x2，y2)为圆锥曲线E上两点，AB的中点C(x0，y0)，直线AB的斜率为k． (1)若椭圆E的方程为＝1(a>b>0)，则k＝－·； (2)若双曲线E的方程为＝1(a>0，b>0)，则k＝·； (3)若抛物线E的方程为y2＝2px(p>0)，则k＝＝． 1．(2023·全国乙卷)设A，B为双曲线x2－＝1上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是(　　) A．(1，1) B．(－1，2) C．(1，3) D．(－1，－4) D　[结合选项可知，直线AB的斜率存在且不为零．设，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为M(x0，y0)，由点A，B在双曲线上，得两式作差，得＝，即(x1－x2)(x1＋x2)＝＝9， 即·＝kAB·＝9，因此kAB＝9·． 由双曲线方程可得渐近线方程为y＝±3x，如图．对于A选项，因为kAB＝9×＝9>3，所以直线AB与双曲线无交点，不符合题意；对于B选项，因为kAB＝9×＝－<－3，所以直线AB与双曲线无交点，不符合题意；对于C选项，kAB＝9×＝3，此时直线AB与渐近线y＝3x重合，与双曲线不可能有两个交点，不符合题意；对于D选项，因为kAB＝9×＝<3，所以直线AB与双曲线有两个交点，满足题意．故选D． ] 2．(多选)(2025·河北模拟)已知抛物线E：x2＝2py(p＞0)的焦点为F，准线交y轴于点P，抛物线E上一点T(x0，4)到点F的距离为6，点A，B是抛物线C上的两点，点M是AB的中点，则下列说法正确的是(　　) A．p＝4 B．若中点M的横坐标为4，则直线AB的斜率为2 C．若OA⊥OB，则AB恒过点(0，8) D．若直线AB过点F，则kAP＋kBP＝0 ACD　[对于选项A，易知点T(x0，4)到点F的距离为4＋＝6， 解得p＝4，故A选项正确； 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，对于选项B， 因为A，B两点均在抛物线上， 所以两式作差得＝8(y1－y2)， 所以直线AB的斜率为＝＝1，故选项B错误； 对于选项C，易知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y＝kx＋b(b＞0)， 联立消去y并整理得x2－8kx－8b＝0，Δ＝64k2＋32b>0， 由根与系数的关系得x1＋x2＝8k，x1x2＝－8b，所以y1y2＝＝b2， 因为OA⊥OB，所以·＝0，即x1x2＋y1y2＝0，所以－8b＋b2＝0，解得b＝8， 则直线AB恒过点(0，8)，故选项C正确； 对于选项D，易知F(0，2)，P(0，－2)， 易知直线AB的斜率存在， 设直线AB的方程为y＝tx＋2， 联立 消去y并整理得x2－8tx－16＝0，Δ＝64t2＋64>0， 由根与系数的关系得x1＋x2＝8t，x1x2＝－16， 所以kAP＋kBP＝ ＝ ＝ ＝＝0，故选项D正确． 故选ACD．] 反思领悟：处理中点弦问题的常用方法 (1)根与系数的关系；(2)点差法． 提醒：利用根与系数的关系解题时，需注意直线的斜率是否存在(为零)． 【教用·备选题】 1．已知椭圆C：＝1(a>b>0)的左焦点为F，过点F的直线x－y＋＝0与椭圆C相交于不同的两点A，B．若P为线段AB的中点，O为坐标原点，直线OP的斜率为－，则椭圆C的方程为(　　) A．＋y2＝1　　　　　 B．＝1 C．＝1 D．＝1 B　[因为过椭圆上两点A，B的直线x－y＋＝0过点F(－，0)， 所以c＝且kAB＝1，设P(x0，y0)， 可得kAB＝－·＝－·＝1， 所以＝，即a2＝2b2＝b2＋c2， 所以b＝c＝，a＝2， 所以椭圆C的方程为＝1． 故选B．] 2．(2025·曲靖模拟改编)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，过点F的直线l与抛物线C相交于A，B两点，且|AB|＝，线段AB中点的横坐标为． (1)求抛物线C的方程； (2)若直线l的倾斜角为锐角，求直线l的方程． [解]　(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 因为|AB|＝，线段AB中点的横坐标为， 所以解得p＝2， 则抛物线C的方程为y2＝4x． (2)易知直线l不与x轴重合，又F(1，0)， 设直线l的方程为x＝my＋1， 联立消去x并整理得y2－4my－4＝0，Δ＝16m2＋16>0， 由根与系数的关系得y1＋y2＝4m， 又x1＋x2＝(my1＋1)＋(my2＋1)＝m(y1＋y2)＋2＝4m2＋2＝， 所以m＝±， 因为直线l的倾斜角为锐角，所以m＝， 所以直线l的方程为4x－3y－4＝0． 3．已知双曲线＝1(a>0，b>0)的离心率为，且经过点(，1)． (1)求双曲线的方程； (2)若直线l：y＝kx＋1与双曲线左支有两个交点，求k的取值范围； (3)是否存在过点M的直线m与双曲线交于P，Q两点，且使得M是PQ的中点？若存在，求出直线m的方程；若不存在，请说明理由． [解]　(1)因为双曲线＝1(a>0，b>0)的离心率为，且经过点(，1)， 则解得 所以双曲线的方程为x2－y2＝1． (2)设直线l交双曲线左支于点，y2， 联立可得(k2－1)x2＋2kx＋2＝0， 因为直线l：y＝kx＋1与双曲线左支有两个交点， 则 解得1<k<，故实数k的取值范围是(1，)． (3)若直线m⊥x轴，则直线m与双曲线x2－y2＝1相切，不符合题意，所以直线m的斜率存在． 设点P(x3，y3)，Q(x4，y4)， 因为M为线段PQ的中点， 则 将点P，Q的坐标代入双曲线的方程，可得 作差可得＝0， 即(x3－x4)(x3＋x4)＝(y3－y4)(y3＋y4)， 即2(x3－x4)＝(y3－y4)， 所以直线PQ的斜率kPQ＝＝3， 所以直线m的方程为y－＝3(x－1)， 即y＝3x－， 联立可得8x2－16x＋＝0， 则Δ＝162－4×8×＝－<0， 因此，不存在满足题设条件的直线m． 基础考点2　弦长与面积问题 【母题2】　[北师大版选择性必修第一册P90复习题二C组T3]已知直线l：mx－y＋1＝0与椭圆C：＋y2＝1交于A，B两点，求|AB|的最大值． [解]　设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立 得(1＋4m2)x2＋8mx＝0，Δ＝64m20，则x1＋x2＝，x1x2＝0， 所以|AB|＝ ＝2＝2， 当8m2－1>0时，|AB|取得最大值． 设8m2－1＝t，t>0，则m2＝， ＝＝＝，当且仅当t＝3，即m＝±时，等号成立， 故的最大值为，故|AB|的最大值为． 链接核心知识：已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的斜率为k(k≠0)， 则|AB|＝＝·|x1－x2|＝ 或|AB|＝|y1－y2| ＝． 1．(2020·新高考Ⅱ卷)斜率为的直线过抛物线C：y2＝4x的焦点，且与C交于A，B两点，则|AB|＝ ． 　[设A(xA，yA)，B(xB，yB)，由题意得直线方程为y＝(x－1)，联立得3x2－10x＋3＝0，Δ>0，∴xA＋xB＝，故|AB|＝1＋xA＋1＋xB＝2＋＝．] 2．(2024·新高考Ⅰ卷)已知A(0，3)和P为椭圆C：＝1(a>b>0)上两点． (1)求C的离心率； (2)若过P的直线l交C于另一点B，且△ABP的面积为9，求l的方程． [解]　(1)由题意得解得 所以e＝＝＝． (2)由(1)知C：＝1，kAP＝＝－，则直线AP的方程为y＝－x＋3，即x＋2y－6＝0， |AP|＝＝， 设点B到直线AP的距离为d，则d＝＝， 则将直线AP沿着与AP垂直的方向平移个单位长度即可， 此时该平行线与椭圆的交点即为点B， 设该平行线的方程为x＋2y＋D＝0， 则＝，解得D＝6或D＝－18． 当D＝6时，联立 解得或 即B(0，－3)或， 当交点为B(0，－3)时，此时kl＝，直线l的方程为y＝x－3，即3x－2y－6＝0； 当交点为B时，此时kl＝，直线l的方程为y＝x，即x－2y＝0． 当D＝－18时，联立得2y2－27y＋117＝0， Δ＝272－4×2×117＝－207<0，此时该直线与椭圆无交点． 综上，直线l的方程为3x－2y－6＝0或x－2y＝0． 易错提醒：(1)设直线方程时，需考虑特殊直线，如直线的斜率不存在、斜率为0． (2)涉及直线与圆锥曲线相交时，Δ>0易漏掉． (3)|AB|＝x1＋x2＋p是抛物线过焦点的弦的弦长公式，其他情况该公式不成立． 【教用·备选题】 1．(2024·四川绵阳模拟)设椭圆＝1的左、右顶点分别为A1，A2，左、右焦点分别为F1，F2．已知＝3，＝1． (1)求椭圆的方程； (2)若斜率为1的直线l交椭圆于A，B两点，与以F1F2为直径的圆交于C，D两点．若|AB|＝·|CD|，求直线l的方程． [解]　(1)由题意知，＝3＝a＋c，＝1＝a－c，解得a＝2，c＝1，所以b2＝a2－c2＝3， 所以椭圆方程为＝1． (2)设直线l的方程为y＝x＋m，A，B，由题意，以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝1， 则圆心到直线l的距离d＝<1，即m2<2， 所以＝2＝2 ＝． 由消去y，整理得7x2＋8mx＋4m2－12＝0， 所以Δ＝64m2－4×7×(4m2－12)>0，解得m2<7，又m2<2，所以m2<2． x1＋x2＝－，x1x2＝， 所以＝＝＝， 因为＝，所以＝， 解得m2＝1，又m2<2， 所以m＝±1， 所以直线l的方程为y＝x＋1或y＝x－1． 2．已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的实轴长为2，左、右两顶点分别为A1，A2，C上的一点P(x0，y0)(y0≠0)分别与A1，A2连线的斜率之积为3． (1)求C的方程； (2)经过点(0，1)的直线l分别与C的左、右两支交于M，N两点，O为坐标原点，△OMN的面积为，求l的方程． [解]　(1)由题意知a＝1， 则A1(－1，0)，A2(1，0)，C的方程为x2－＝1． 因为P(x0，y0)在C上，则＝1， 即＝， 则P(x0，y0)分别与A1，A2连线的斜率之积为 ·＝＝＝b2＝3， 所以C的方程为x2－＝1． (2)由题意知，直线l的斜率存在，设为k， 则l的方程为y＝kx＋1， 联立 消去y得(3－k2)x2－2kx－4＝0， 设M(x1，y1)，N(x2，y2)， 因为直线l分别交C的左、右两支于M，N两点， 则Δ＝4k2＋16(3－k2)>0，x1x2＝<0， 则－<k<，x1＋x2＝， 由于直线l经过点(0，1)， 则△OMN的面积S＝|x1－x2|＝， 则|x1－x2|2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝＋＝24， 解得k2＝2或k2＝(舍去)，则k＝±， 所以l的方程为y＝±x＋1． 1．(2023·新高考Ⅱ卷)已知椭圆C：＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，直线y＝x＋m与C交于A，B两点，若△F1AB面积是△F2AB面积的2倍，则m＝(　　) A． B． C．－ D．－ C　[将直线方程y＝x＋m与椭圆方程联立得消去y可得4x2＋6mx＋3m2－3＝0，因为直线与椭圆相交于A，B点，则Δ＝36m2－4×4(3m2－3)＞0，解得－2＜m＜2．易知F1(－，0)，F2(，0)，△F1AB面积是△F2AB面积的2倍，所以点F1到直线AB的距离是点F2到直线AB的距离的2倍，即＝2×，解得m＝－或m＝－3(舍去)，故选C．] 2．(2024·北京卷)若直线y＝k(x－3)与双曲线－y2＝1只有一个公共点，则k的一个取值为 ． 　[由题意，该双曲线的渐近线方程为y＝±x，直线y＝k(x－3)过定点(3，0)．因为点(3，0)在双曲线内，所以要使过该点的直线与双曲线只有一个公共点，则该直线与双曲线的渐近线平行，所以k＝±．] 10 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $