第26讲 三角恒等变换（6考点+11题型）讲义-2027届高三数学一轮复习

第26讲 三角恒等变换 目录 Part 1 考点突破 【考点1：两角和与差的正余弦与正切】 【考点2：二倍角公式】 【考点3：降次（幂）公式】 【考点4：半角公式】 【考点5：辅助角公式】 【考点6：恒等变换常用变形与拆分角技巧】 Part2 题型探究 【题型一：两角和与差公式的证明】 【题型二：两角和与差的三角函数公式】 【题型三：两角和与差的三角函数公式的逆用与变形】 【题型四：利用角的拆分求值】 【题型五：给角求值】 【题型六：给值求值】 【题型七：给值求角】 【题型八：正切恒等式及求非特殊角】 【题型九：三角恒等变换的综合应用】 【题型十：辅助角公式的高级应用】 【题型十一：积化和差、和差化积公式【拓展了解】】 Part3 分层通关 Part 1 考点突破 【考点1：两角和与差的正余弦与正切】 ①； ②； ③； 四个公式里最容易被忽略的是正切：它只在 cos(α±β)≠0 时成立，所以题目出现 tan(α+β) 一定要先想清楚分母不为零这件事。正用的时候按"和角先算、差角后算"的顺序展开，别把 (α+β) 的展开写成 (α+β)=2α 这种拆开算。还有一条经验：题干出现 α+β、α−β 同时出现，先把它们设成 x、y 两个整体，能避开大部分符号错误。 【例1】利用和（差）公式，求下列各式的值 (1) (2) (3) (4) 【考点2：二倍角公式】 ①； ②； ③； 二倍角公式是本讲使用频率最高的一个，四个式子（sin2α / cos2α / tan2α / 升幂 sin²α=(1−cos2α)/2）要能正背反用。关键是记住它省掉了根号：算 sin(α/2) 或 cos(α/2) 时不要去凑半角公式，直接用升幂公式代 2α=半角更快。另外二倍角公式必须"整体代"，把 sin2α 里的 2α 换成 β 时，sin2α 变 sinβ 而不是 sin2β，这是最常见的记错。 【例2】若，则（    ） A． B． C． D． 【考点3：降次（幂）公式】 降次公式的价值只有一个：把奇次幂变成偶次幂，从而能用平方关系。所以看到 sin⁴α、cos⁶α 这类，第一反应应该是"降次"，而不是"配凑"。升幂公式反过来用，可以把 1 变成 sin²α＋cos²α 塞进分母，这招在化简分式型的三角式时几乎是万能的。 【例3】（25-26高一上·全国·单元测试）（    ） A． B． C． D． 【考点4：半角公式】 半角公式带根号，所以唯一的麻烦是符号。符号判断的口诀：半角看原角 —— cosα>0 推出 sin(α/2) 与 cos(α/2) 同号，cosα<0 推出二者异号。教材里还给了万能公式 sinα＝2tan(α/2)/(1+tan²(α/2))，碰到"已知 tan(α/2) 求 sinα＋cosα"这类题，直接用万能公式一步到位。 【例4】已知为第一象限角，，则 ． 【考点5：辅助角公式】 （其中）． 辅助角公式是把 asinx＋bcosx 压成一个正弦型，关键是定出辅助角 φ：tanφ＝b/a，且 a、b 都要带上原来的符号。实战里更常用的是逆用 —— 从 sin(ωx＋φ) 展开回去求系数。所以"配凑"这一步的判断标准是：能不能把系数比值凑成一个 tan 值。凑不出来就说明这题该用别的方法，别硬凑。 【例5】（24-25高一下·安徽·期中）函数的最大值为 . 【考点6：恒等变换常用变形与拆分角技巧】 1、两角和与差正切公式变形 ； ． 2、降幂公式与升幂公式 ； ． 3、其他常用变式 ． 4、拆分角问题：①；；②；③； ④；⑤． 注意：特殊的角也看成已知角，如． 5、和化积公式 6、积化和公式 这六条变形是恒等变换的"工具箱"，尤其第 4 条拆分角：已知角里出现 3α、4α，或者出现 α+β 与 α−β，都可以拆成已知角的组合。拆角的判断标准是"目标式的角能不能写成已知角加减已知角"，能写成就拆，写不出来就换思路。和差化积与积化和差属于化简的"最后一招"，看到分子分母能凑成 sinA±sinB 就想和差化积，能凑成 sinA·sinB 就想积化和差。 【例6】当，时，，则（   ） A． B．0 C． D．1 Part 2 题型探究 【题型一：两角和与差公式的证明】 【例1】已知，． (1)求和的值； (2)若向量，，证明：． 【变式1】已知， (1)若，求的值； (2)若，且，求的值． 【题型二：两角和与差的三角函数公式】 【例2】（24-25高一下·江苏南京·期中）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式2】化简： (1)； (2)； (3)； (4). 【变式3】（24-25高一下·江苏南京·月考）已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式4】（24-25高一下·四川绵阳·期中）若，，且，，则（    ） A． B． C． D． 【题型三：两角和与差的三角函数公式的逆用与变形】 【例3】（25-26高一上·全国·课后作业）已知，且及，求的值； 【变式5】（24-25高一下·全国·课后作业）将化简，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式6】已知，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式7】已知，那么 ． 【题型四：利用角的拆分求值】 【例4】（24-25高一下·四川南充·期末）在三角恒等变化中，积化和差实际上就是把与，与相加或相减而变形得到的；和差化积实际上就是一种角的变化，如：. 如果角与满足，，则 . 【变式8】已知，则 ． 【变式9】若，则（    ） A． B． C． D． 【变式10】（23-24高一下·辽宁·期末） （    ） A． B． C． D． 【题型五：给角求值】 【例5】（24-25高一上·上海·随堂练习）化简求值： . 【变式11】 的值为（ ） A． B． C． D． 【变式12】（    ） A． B． C． D． 【变式13】（25-26高一上·湖南邵阳·月考）若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【题型六：给值求值】 【例6】（24-25高一下·江苏南通·月考）已知，则 . 【变式14】已知，则 . 【变式15】已知，，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式16】已知，，则（    ） A． B． C． D． 【题型七：给值求角】 【例7】已知为锐角，且，则角等于 . 【变式17】已知角，满足，，且，. (1)求的值； (2)求的大小. 【变式18】已知锐角满足，则（    ） A． B． C． D． 【变式19】（24-25高一上·黑龙江牡丹江·期末）若角，满足，，且，，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【题型八：正切恒等式及求非特殊角】 【例8】已知，，则（） A． B． C． D． 【变式20】（2025高一上·全国·专题练习）已知，则 ． 【变式21】（24-25高一下·浙江·月考）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【变式22】已知，，求下列各式的值． (1)； (2)． 【题型九：三角恒等变换的综合应用】 【例9】已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式23】已知函数，设，，则 ， . 【变式24】化简： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）. 【变式25】（24-25高一下·上海·月考）已知，，，，则 ． 【变式26】已知，且，则（ ） A． B． C． D． 【题型十：辅助角公式的高级应用】 【例10】已知函数，，若P，Q分别为函数和的图象上的两个最高点，则|PQ|的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式27】函数在上的最大值是 ． 【变式28】若关于的方程在上有实数根，则实数的取值范围是 ． 【变式29】（23-24高一下·江苏南通·月考）已知函数，则的最小值为 . 【题型十一：积化和差、和差化积公式【拓展了解】】 【例11】 ． 【变式30】若，则 ． Part 3 分层通关 【基础通关练】 1．（24-25高一下·江苏苏州·期末）计算（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·河南平顶山·期末）（   ） A． B． C． D． 3．已知，则（    ） A．-3 B．-5 C．5 D．3 4．化简 ． 5．（24-25高一下·甘肃天水·期末）（    ） A． B． C．0 D．1 6．若，则 . 7．已知锐角满足，则 ． 8．（24-25高一下·广东佛山·月考）已知满足，则 ． 【提升通关练】 9．（25-26高一上·全国·单元测试）下列计算结果是的是（   ） A． B． C． D． 10．（24-25高一下·辽宁沈阳·期中）对于角，满足，则（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高一下·河南南阳·期末）已知是第四象限角，若，则（   ） A． B． C． D． 12．已知，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 13．已知 ，则 . 14．已知，则（    ） A． B． C． D． 15．（23-24高一下·云南楚雄·月考）已知，，则 . 【培优通关练】 16．若，化简得（    ） A． B． C． D． 17．如图，已知扇形的周长为6，当该扇形的面积取最大值时，弦长（    ） A． B． C． D． 18．（23-24高一下·全国·课后作业）的值是 .. 19．（24-25高一下·江苏南京·月考） ． 20．已知函数，，若有两个零点，则（    ） A． B． C． D． 21．已知，，且，，则（    ） A．或 B．或 C． D． 22．已知 ，则的值为（    ） A． B． C． D． 23．(1)求函数的最小正周期； (2)当时，求函数的最大值，以及相应的值. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第26讲 三角恒等变换 目录 Part 1 考点突破 【考点1：两角和与差的正余弦与正切】 【考点2：二倍角公式】 【考点3：降次（幂）公式】 【考点4：半角公式】 【考点5：辅助角公式】 【考点6：恒等变换常用变形与拆分角技巧】 Part2 题型探究 【题型一：两角和与差公式的证明】 【题型二：两角和与差的三角函数公式】 【题型三：两角和与差的三角函数公式的逆用与变形】 【题型四：利用角的拆分求值】 【题型五：给角求值】 【题型六：给值求值】 【题型七：给值求角】 【题型八：正切恒等式及求非特殊角】 【题型九：三角恒等变换的综合应用】 【题型十：辅助角公式的高级应用】 【题型十一：积化和差、和差化积公式【拓展了解】】 Part3 分层通关 Part 1 考点突破 【考点1：两角和与差的正余弦与正切】 ①； ②； ③； 四个公式里最容易被忽略的是正切：它只在 cos(α±β)≠0 时成立，所以题目出现 tan(α+β) 一定要先想清楚分母不为零这件事。正用的时候按"和角先算、差角后算"的顺序展开，别把 (α+β) 的展开写成 (α+β)=2α 这种拆开算。还有一条经验：题干出现 α+β、α−β 同时出现，先把它们设成 x、y 两个整体，能避开大部分符号错误。 【例1】利用和（差）公式，求下列各式的值 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4)2- 【分析】利用和（差）公式的三角函数公式求解. 【详解】（1）解：， ； （2）， ； （3）， ； （4）， . 【考点2：二倍角公式】 ①； ②； ③； 二倍角公式是本讲使用频率最高的一个，四个式子（sin2α / cos2α / tan2α / 升幂 sin²α=(1−cos2α)/2）要能正背反用。关键是记住它省掉了根号：算 sin(α/2) 或 cos(α/2) 时不要去凑半角公式，直接用升幂公式代 2α=半角更快。另外二倍角公式必须"整体代"，把 sin2α 里的 2α 换成 β 时，sin2α 变 sinβ 而不是 sin2β，这是最常见的记错。 【例2】若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用二倍角的正弦公式以及弦化切可求得的值. 【详解】. 故选：A. 【考点3：降次（幂）公式】 降次公式的价值只有一个：把奇次幂变成偶次幂，从而能用平方关系。所以看到 sin⁴α、cos⁶α 这类，第一反应应该是"降次"，而不是"配凑"。升幂公式反过来用，可以把 1 变成 sin²α＋cos²α 塞进分母，这招在化简分式型的三角式时几乎是万能的。 【例3】（25-26高一上·全国·单元测试）（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解法一：利用降幂公式运算求解即可；解法二：利用诱导公式可得，结合倍角公式运算求解. 【详解】解法一：． 解法二：， 所以． 故选：B. 【考点4：半角公式】 半角公式带根号，所以唯一的麻烦是符号。符号判断的口诀：半角看原角 —— cosα>0 推出 sin(α/2) 与 cos(α/2) 同号，cosα<0 推出二者异号。教材里还给了万能公式 sinα＝2tan(α/2)/(1+tan²(α/2))，碰到"已知 tan(α/2) 求 sinα＋cosα"这类题，直接用万能公式一步到位。 【例4】已知为第一象限角，，则 ． 【答案】/0.5 【分析】利用同角三角函数的平方关系求出，再利用半角公式即可求解. 【详解】为第一象限角，是第一象限角或第三象限角，，， ，， 根据半角公式可得. 故答案为：. 【考点5：辅助角公式】 （其中）． 辅助角公式是把 asinx＋bcosx 压成一个正弦型，关键是定出辅助角 φ：tanφ＝b/a，且 a、b 都要带上原来的符号。实战里更常用的是逆用 —— 从 sin(ωx＋φ) 展开回去求系数。所以"配凑"这一步的判断标准是：能不能把系数比值凑成一个 tan 值。凑不出来就说明这题该用别的方法，别硬凑。 【例5】（24-25高一下·安徽·期中）函数的最大值为 . 【答案】 【分析】利用和角公式展开，再用辅助角公式将其化成正弦型函数即可求得最大值. 【详解】由 ， 可得. 故答案为：. 【考点6：恒等变换常用变形与拆分角技巧】 1、两角和与差正切公式变形 ； ． 2、降幂公式与升幂公式 ； ． 3、其他常用变式 ． 4、拆分角问题：①；；②；③； ④；⑤． 注意：特殊的角也看成已知角，如． 5、和化积公式 6、积化和公式 这六条变形是恒等变换的"工具箱"，尤其第 4 条拆分角：已知角里出现 3α、4α，或者出现 α+β 与 α−β，都可以拆成已知角的组合。拆角的判断标准是"目标式的角能不能写成已知角加减已知角"，能写成就拆，写不出来就换思路。和差化积与积化和差属于化简的"最后一招"，看到分子分母能凑成 sinA±sinB 就想和差化积，能凑成 sinA·sinB 就想积化和差。 【例6】当，时，，则（   ） A． B．0 C． D．1 【答案】D 【分析】先根据降幂扩角公式化简，再进行拆角，结合两角和差的正弦公式化简即可求出，最后根据角的范围求出即可. 【详解】因为， 所以， 所以，因 所以， 所以，即 因为，时，， 所以，则. 故选：D. Part 2 题型探究 【题型一：两角和与差公式的证明】 【例1】已知，． (1)求和的值； (2)若向量，，证明：． 【答案】(1)，．(2)证明见解析 【分析】（1）根据同角三角函数的基本关系计算可得； （2）利用二倍角公式及同角三角函数的基本关系求出，再根据平面向量共线的坐标表示计算可得. 【详解】（1）因为，， 所以． 所以． （2）证明：因为 ， 所以，所以． 【变式1】已知， (1)若，求的值； (2)若，且，求的值． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）依题意可得，即可求出，再由同角三角函数的基本关系将弦化切，代入计算可得； （2）首先求出，，的坐标，再由向量共线的坐标表示得到方程，解得即可. 【详解】（1）因为，且， 所以，所以， 则. （2）当时， 所以， ， 因为， 所以，解得. 【题型二：两角和与差的三角函数公式】 【例2】（24-25高一下·江苏南京·期中）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两角和差正弦公式及二倍角余弦公式计算求解. 【详解】因为，所以， 所以． 故选:A． 【变式2】化简： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1) (2) (3) (4)． 【分析】（1）用诱导公式变形后应用两角和的余弦公式变形； （2）用诱导公式变形后应用两角差的正弦公式变形； （3）把变形后应用两角和的正弦公式变形； （4）把变形后应用两角和的余弦公式变形； 【详解】（1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 【变式3】（24-25高一下·江苏南京·月考）已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用两角和公式对已知等式整理求得的值，使之平方即可求得的值． 【详解】∵， ， ， ， 故选：． 【变式4】（24-25高一下·四川绵阳·期中）若，，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据角的范围和题设条件求出与的值，再由和角的余弦公式求出，即可求得. 【详解】由可得， 因，则， 又，则， 因， 则， 故 ， 因，故. 故选：B. 【题型三：两角和与差的三角函数公式的逆用与变形】 【例3】（25-26高一上·全国·课后作业）已知，且及，求的值； 【答案】 【分析】由同角三角函数的基本关系可得的值，结合两角和的正弦公式即可得的值. 【详解】由可得， 由，得， 则， 由于，所以. 【变式5】（24-25高一下·全国·课后作业）将化简，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两角和差正弦化简即可. 【详解】 . 故选：B. 【变式6】已知，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，求得，得到，结合，利用两角和正弦公式，即可求解. 【详解】因为，可得， 又因为，可得，所以， 由 . 故选：B. 【变式7】已知，那么 ． 【答案】 【分析】由三角恒等变换化简表达式得，代入即可得解. 【详解】 . 故答案为：. 【题型四：利用角的拆分求值】 【例4】（24-25高一下·四川南充·期末）在三角恒等变化中，积化和差实际上就是把与，与相加或相减而变形得到的；和差化积实际上就是一种角的变化，如：. 如果角与满足，，则 . 【答案】/ 【分析】根据已知及和差化积公式得、，进而有，再由，即可求值. 【详解】由， 所以， 由， 所以， 所以，而. 故答案为： 【变式8】已知，则 ． 【答案】 【分析】解法一：根据和差化积即可求解；解法二：用和、差角的正余弦公式结合和差化积公式化简、求值即可． 【详解】解法一：由已知及和差化积公式： ， ， 得①， ②， ①②，得 ，． 解法二：由，，得 ， ， 由于，故两式相除可得. 故答案为：． 【变式9】若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由诱导公式计算出，在代入正切二倍角公式即可. 【详解】原方程可化为，故. 故选：D 【变式10】（23-24高一下·辽宁·期末） （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据利用两角和的正弦公式计算可得. 【详解】 . 故选：D 【题型五：给角求值】 【例5】（24-25高一上·上海·随堂练习）化简求值： . 【答案】 【分析】根据余弦的两角和差公式，结合诱导公式即可化简求值 【详解】 【变式11】 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件逆用二倍角的正弦公式，再用诱导公式化简即得. 【详解】. 故选：A 【变式12】（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将代入所求式子通分化简，再结合二倍角公式、两角差的正弦公式，即可得解． 【详解】解： ． 故选：A． 【变式13】（25-26高一上·湖南邵阳·月考）若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用二倍角公式和诱导公式求值. 【详解】由二倍角公式得 由诱导公式得 故选：C 【题型六：给值求值】 【例6】（24-25高一下·江苏南通·月考）已知，则 . 【答案】/ 【分析】利用三角恒等变换化简得出的值，再利用二倍角的余弦公式可求得的值. 【详解】因为， 所以，. 故答案为：. 【变式14】已知，则 . 【答案】/-0.6 【分析】先利用诱导公式将进行变形，再结合二倍角公式进行求解. 【详解】因为， q， 已知，将其代入可得： . 因为，所以. 故答案为：. 【变式15】已知，，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对平方得，根据及同角三角函数基本关系式得，进而得出且；根据及，利用同角三角函数基本关系式得，再由二倍角公式得出，进而有，，最后由两角和的余弦公式计算即可. 【详解】由题意得，所以， 因为，所以，所以， 又，所以，且, 所以，且. 因为，所以，又，所以， 所以， 又，所以. 因为，所以，所以. 所以. 故选：A. 【变式16】已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知结合两角差的余弦公式可先求出，然后结合二倍角公式及和差化积公式进行化简即可求解． 【详解】由得， 又，所以， 所以 ． 故选：C． 【题型七：给值求角】 【例7】已知为锐角，且，则角等于 . 【答案】/ 【分析】根据已知角与未知角之间的关系，先用已知角表示出的正切值，从而再求出的正切值． 【详解】， ． 又因为是锐角，所以． 故答案为：． 【变式17】已知角，满足，，且，. (1)求的值； (2)求的大小. 【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据题意和同角三角函数基本关系式、二倍角公式分别求出，，，，再利用两角差的正弦公式计算即可； （2）先根据题意缩小角的范围到和，进而得出，再计算的值即可得到结果. 【详解】（1）因为，，所以， 所以，； 因为，所以； 所以. （2）因为，，所以； 因为，所以，故， 所以； 又因为，所以，； 所以， 又因为，所以. 【变式18】已知锐角满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出，由两角和的正切公式展开，结合已知求得和，然后求得，再由两角差的正弦公式计算． 【详解】由得，所以， 又，所以， 由，解得，或（舍去，此时不是锐角）， ，是锐角，， ，则， 所以． 故选：C． 【点睛】思路点睛：本题考查两角和正切公式，万能公式，同角间的三角函数关系，两角差的正弦公式．解题关键是确定选用公式的顺序，解题时由函数名及角的关系确定选用的公式及顺序．． 【变式19】（24-25高一上·黑龙江牡丹江·期末）若角，满足，，且，，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知可得，，，，则，应用余弦倍角公式可得、，再应用正弦和角公式求，即可确定角的大小. 【详解】由，，则，， 由，，则，， 所以，，， ， 而，故. 故选：C 【题型八：正切恒等式及求非特殊角】 【例8】已知，，则（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知先利用和差角的正切公式进行化简可求，然后结合二倍角公式及同角基本关系对所求式子进行化简，即可求解. 【详解】因为，， 所以，， 解得或（舍， 则 . 故选：A. 【变式20】（2025高一上·全国·专题练习）已知，则 ． 【答案】 【分析】利用齐次式下的弦切互化和和差角的正切公式求解. 【详解】由条件知， 则，因为，所以． 故 ． 故答案为： 【变式21】（24-25高一下·浙江·月考）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，利用两角差的正切公式，准确计算，即可求解. 【详解】因为，， 可得. 故选：B． 【变式22】已知，，求下列各式的值． (1)； (2)． 【答案】(1)8(2)7 【分析】（1）直接利用三角函数的定义求出三角函数的值，由二倍角公式以及弦切互化即可求解 （2）利用正切的和差角公式，即可代入求解． 【详解】（1）已知,,故 所以， 故 （2）由得：． 【题型九：三角恒等变换的综合应用】 【例9】已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据三角恒等变换求出，再根据已知条件缩小范围，从而确定符号进而求解即可. 【详解】由已知， 则， 平方得， 即，解得， 又，，且， 则，即，所以 由，得，故， 所以. 故选：C. 【变式23】已知函数，设，，则 ， . 【答案】 【分析】先利用三角函数恒等变换公式对函数化简变形得，则由已知条件可得，再利用同角三角函数的关系求出，则，展开化简计算即可. 【详解】 ， 所以， 所以. 因为，所以， 所以， 所以 ， . 故答案为：， 【变式24】化简： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）. 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）. 【分析】（1）用诱导公式把题目中的角都化到小于等于的正角，然后逆用两角和的正弦公式求解即可； （2）用诱导公式把题目中的角都化到小于等于的正角，然后逆用两角和的正弦公式求解即可； （3）结合诱导公式、逆用两角和的正弦公式直接求解即可； （4）结合诱导公式、逆用两角差的余弦公式直接求解即可； （5）结合诱导公式、逆用两角差的正切公式直接求解即可； （6）根据两角和的正弦公式和余弦公式展开计算，再逆用两角差的正弦和余弦公式化简，最后根据同角三角函数的商数关系化简即可. 【详解】（1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5）； （6）. 【点睛】本题考查了正用、逆用两角和差的正弦、余弦、正切公式，考查了诱导公式，考查了特殊角的三角函数值，考查了同角三角函数的商数关系. 【变式25】（24-25高一下·上海·月考）已知，，，，则 ． 【答案】 【分析】首先分别求出，，再利用两角和差的正弦和余弦公式即可得到答案. 【详解】由得， 因，则，则， 因为，，则，则， 则，则， 则 ， ， 则. 故答案为：. 【变式26】已知，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二倍角公式化简和同角三角函数关系求出，利用余弦二倍角公式求出答案. 【详解】因为，所以，， 因为， 所以， 所以， 解得或舍， 则 故选：C 【题型十：辅助角公式的高级应用】 【例10】已知函数，，若P，Q分别为函数和的图象上的两个最高点，则|PQ|的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二倍角公式与辅助角公式可得，，进而可得取最大值的的值，进而可求的最小值. 【详解】因为，， 所以当时，所以； 当时，， 可得的最小值为． 故选：D． 【变式27】函数在上的最大值是 ． 【答案】2 【分析】结合辅助角公式化简成正弦型函数，再求给定区间最值即可. 【详解】，当时，， 当时，即时，. 故答案为：2 【变式28】若关于的方程在上有实数根，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】首先利用降幂公式，辅助角公式，化简等式为，并求的范围，转化为函数在上的图象有交点，利用数形结合，即可求解. 【详解】， 即，即 设，则在上有实数根， 在上的图象有交点，如图 由于，由图象可知，，即． 故答案为： 【变式29】（23-24高一下·江苏南通·月考）已知函数，则的最小值为 . 【答案】 【分析】将函数解析式利用和角公式展开，运用降幂公式和辅助角公式将其化成正弦型函数，再结合正弦函数的图象即可求得. 【详解】由 ， 因，故， 当且仅当时，即时，. 故答案为：. 【题型十一：积化和差、和差化积公式【拓展了解】】 【例11】 ． 【答案】 【分析】利用和差化积公式即可求解． 【详解】由． 故答案为：． 【变式30】若，则 ． 【答案】 【分析】根据积化和差公式及二倍角公式即可得解. 【详解】已知积化和差公式 则 ． 故答案为：. Part 3 分层通关 【基础通关练】 1．（24-25高一下·江苏苏州·期末）计算（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由两角差的正切计算可得. 【详解】. 故选：B. 2．（24-25高一下·河南平顶山·期末）（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由和诱导公式结合两角差的正弦公式即可计算求解. 【详解】 . 故选：A 3．已知，则（    ） A．-3 B．-5 C．5 D．3 【答案】A 【分析】利用化弦为切及和差公式即可求解. 【详解】，可得， 所以. 故答案为：. 4．化简 ． 【答案】2 【分析】运用降幂公式将化成，整理后再用诱导公式将化成，化简即得. 【详解】． 故答案为：2. 5．（24-25高一下·甘肃天水·期末）（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】C 【分析】利用正弦和余弦的差角公式及诱导公式，即可求解. 【详解】 . 故选：C. 6．若，则 . 【答案】 【分析】根据同角的三角函数关系式，结合余弦的二倍角公式进行求解即可． 【详解】因为， 所以，即， 整理得且， 所以或（舍）. 故答案为： 7．已知锐角满足，则 ． 【答案】2 【分析】由方程求出，再由诱导公式化简后代入即可得解. 【详解】由可得，且为锐角， 解得或（舍去）， 所以， 故答案为：2 8．（24-25高一下·广东佛山·月考）已知满足，则 ． 【答案】 【分析】由条件可得，结合两角差的正切公式即可求解. 【详解】由， 可得：， 即， 所以， 故答案为： 【提升通关练】 9．（25-26高一上·全国·单元测试）下列计算结果是的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由倍角公式计算即可. 【详解】，A错误； ，B错误； ，C错误； 正确． 故选：D 10．（24-25高一下·辽宁沈阳·期中）对于角，满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二倍角公式的化简已知，结合角度范围确定的范围，结合平方公式即可得的值. 【详解】因为，所以， 由于，所以，则， 整理得，又，所以 所以，解得， 故选：B. 11．（24-25高一下·河南南阳·期末）已知是第四象限角，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用差角的正切公式求得，结合角的象限求出角的正余弦，利用二倍角公式代入计算即得. 【详解】由可得，解得， 因为是第四象限角，所以，， 由解得 所以. 故选：D. 12．已知，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由条件可得，然后化为，利用均值不等式可得出答案. 【详解】，即； 即，故 令，则（当且仅当时等号成立） 故选：B． 13．已知 ，则 . 【答案】 【分析】利用三角恒等变形，即可求解出，再把弦化切，即可求出结果. 【详解】由可得：， 化简得：， 因为，所以， 则，即， 而， 故答案为：. 14．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据和角差角公式展开，得到，代入所求式子计算即可． 【详解】因为， 所以，即， 则． 故选：A. 15．（23-24高一下·云南楚雄·月考）已知，，则 . 【答案】 【分析】根据，由二倍角正切公式及两角差的正切公式计算即可. 【详解】由， 所以， 故答案为：. 【培优通关练】 16．若，化简得（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出的范围，再利用半角公式和辅助角公式、诱导公式化简计算即可， 【详解】，，，， . 故选：C. 17．如图，已知扇形的周长为6，当该扇形的面积取最大值时，弦长（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设扇形的圆心角为，半径为，弧长为，可得出，利用基本不等式可求得扇形面积的最大值及其对应的的值，进而可求出，，然后线段的中点，可得出，进而可求得线段的长. 【详解】设扇形的圆心角为，半径为，弧长为，可得出， 由可得， 所以，扇形的面积为， 当且仅当，即时，扇形的面积最大，此时． 因为，则扇形的圆心角， 取线段的中点，由垂径定理可知， 因为，则， 所以，. 故选：A. 18．（23-24高一下·全国·课后作业）的值是 .. 【答案】/0.25 【分析】综合运用两角和的余弦公式、辅助角公式、降幂的余弦公式结合诱导公式进行化简即可求值. 【详解】原式 . 故答案为： 19．（24-25高一下·江苏南京·月考） ． 【答案】2 【分析】利用余弦二倍角，辅助角公式和诱导公式化简求解即可. 【详解】 . 故答案为：2 20．已知函数，，若有两个零点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】AB选项，根据题目条件得到，或，，结合得到答案；C选项，，利用和差化积公式得到答案；D选项，根据得到D错误. 【详解】AB选项，令得， 故或， 所以，或，， 解得，或，， 由，故当时，解得，，A、B错误； C选项， ，C正确， D选项，因为，所以，D错误. 故选：C． 【点睛】和差化积公式：， ， ， . 21．已知，，且，，则（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】D 【分析】根据三角恒等变换的知识先求得对应的三角函数值，进而求得. 【详解】因为，，所以， 所以，. 因为，所以，所以. 因为，所以. 因为，所以， 则， 故（）. 因为，所以. 因为，所以. 因为，所以， 所以，所以. 故选：D. 22．已知 ，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据同角三角关系求，再结合两角差的正切公式分析分析求解. 【详解】因为，则， 可得， 所以. 故选：D. 23．(1)求函数的最小正周期； (2)当时，求函数的最大值，以及相应的值. 【答案】(1)(2)2， 【分析】（1）利用三角恒等变换得到，利用求出最小正周期； （2）时，，整体法求出函数的最大值及相应的的值. 【详解】（1）， 所以周期； （2）因为，所以，则， 的最大值为2，此时，即. 学科网（北京）股份有限公司 $