31 专题六 重点培优练4 隐圆问题（教师用书Word版）-【高考快车道】2026年高考数学大二轮专题复习与讲义

重点培优练4　隐圆问题 [总体概览]　隐圆问题在近几年高考题和各地模拟题中都出现过，难度为中高档，在题设中没有明确给出圆的相关信息，而是隐含在题目中，要通过分析、转化、发现圆(或圆的方程)，从而最终利用圆的知识来求解，我们称这类问题为“隐圆问题”． 1．(2025·驻马店模拟)在平面直角坐标系Oxy中，设A(2，4)，B(－2，－4)，动点P满足·＝－1，则tan ∠PBO的最大值为(　　) A． B． C． D． C　[设P(x，y)，则＝(－x，－y)，＝(2－x，4－y)，则·＝－x(2－x)－y(4－y)＝－1，即x2－2x＋y2－4y＋1＝0，化为(x－1)2＋(y－2)2＝4，则点P的轨迹是以D(1，2)为圆心，半径为2的圆，又kOB＝＝2＝kOD＝，所以B，O，D三点共线，显然当直线PB与此圆相切时，tan ∠PBO的值最大．又|BD|＝＝3，|PD|＝2，则|PB|＝＝＝， 则tan ∠PBO＝＝＝． 故选C．] 2．(2025·九江二模)已知圆C：(x－5)2＋(y＋2)2＝r2(r>0)，A(－6，0)，B(0，8)，若圆C上存在点P使得PA⊥PB，则r的取值范围为(　　) A．(0，5] B．[5，15] C．[10，15] D．[15，＋∞) B　[如图，由PA⊥PB可知点P的轨迹是以AB为直径的圆，设为圆M，因为A(－6，0)，B(0，8)，故圆M：(x＋3)2＋(y－4)2＝25．依题意知圆M与圆C至少有一个公共点．因为C(5，－2)，M(－3，4)，则|CM|＝＝10，由|r－5||CM|5＋r，解得5r15． 故选B．] 3．已知点P(0，4)，圆M：(x－4)2＋y2＝16，过点N(2，0)的直线l与圆M交于A，B两点，则||的最大值为(　　) A．8 B．12 C．6 D．9 B　[由题意知，M(4，0)，圆M的半径为4，设AB的中点D(x，y)，则ND⊥MD，即·＝0， 又＝(x－2，y)，＝(x－4，y)， 所以(x－2)(x－4)＋y2＝0，即点D的轨迹方程为E：(x－3)2＋y2＝1，圆心E(3，0)，半径为1， 所以|PD|的最大值为|PE|＋1＝＋1＝6， 因为||＝2||， 所以||的最大值为12．故选B．] 4．(多选)(2025·泰安二模)已知A，B是平面内两个定点，且|AB|＝6，则满足下列条件的动点P的轨迹为圆的是(　　) A．|PA|＋|PB|＝6 B．·＝－1 C．|PA|＝2|PB| D．|PA|2＋|PB|2＝18 BC　[对于A，|PA|＋|PB|＝6＝|AB|，显然点P的轨迹是线段AB，故A错误．以AB所在直线为x轴，线段AB中点O为原点，建立平面直角坐标系(图略)，则A(－3，0)，B(3，0)，设P(x，y)，则＝(x＋3，y)，＝(x－3，y)． 对于B，若·＝－1，则x2＋y2＝8，所以点P的轨迹是圆，故B正确．对于C，由两点间距离公式得|PA|＝，|PB|＝，代入|PA|＝2|PB|，化简得x2－10x＋y2＋9＝0，即(x－5)2＋y2＝16，所以点P的轨迹是圆，故C正确．对于D，代入＝18中化简得x2＋y2＝0，显然点P的轨迹是一个点，故D错误．故选BC．] 5．(多选)(2025·郑州模拟)已知点A(1，0)，B(－2，0)，动点P满足＝2，则下面结论正确的为(　　) A．点P的轨迹方程为(x＋3)2＋y2＝4 B．点P到原点O的距离的最大值为5 C．△PAB面积的最大值为4 D．·的最大值为18 ABD　[设动点P(x，y)， 则由＝2，得＝2， 即(x－1)2＋y2＝4[(x＋2)2＋y2]， 化简得x2＋y2＋6x＋5＝0， 即(x＋3)2＋y2＝4，所以A正确； 因为点P轨迹是圆心为(－3，0)，半径为2的圆，则点P到原点O的距离最大值为＋2＝5，所以B正确； 因为A，B和点P轨迹的圆心都在x轴上，且|AB|＝3， 所以当圆的半径垂直于x轴时，△PAB面积取得最大值×3×2＝3，所以C错误； 又·＝(1－x，－y)·(－2－x，－y) ＝(1－x)(－2－x)＋y2＝x2＋y2＋x－2， 因为y2＝－x2－6x－5(－5x－1)， 所以·＝－5x－7(－5x－1)， 则·－5×(－5)－7＝18， 所以D正确．故选ABD．] 6．已知点C到点A(－1，0)，B(1，0)的距离之比为，则点C到直线x－2y＋8＝0的距离的最小值为 ． 2　[设C(x，y)，则＝， 即＝，化简得(x－2)2＋y2＝3， 所以点C的轨迹是以(2，0)为圆心，半径r＝的圆，则圆心到直线x－2y＋8＝0的距离 d＝＝2， 所以点C到直线x－2y＋8＝0的距离的最小值为2．] 7．已知正三角形ABC的边长为1，P是平面ABC上一点，若|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＝5，则|PA|的最大值为 ． 　[以BC所在直线为x轴，BC中点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系， 则A，B， C，设P， 由|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＝5，得x2＋＋＋y2＋＋y2＝5， 整理得x2＋y2－y－＝0，即x2＋＝， 因此，点P的轨迹是以M为圆心，半径r＝的圆， |PA|的最大值等于＋r＝＝．] 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $