12 专题二 重点培优练3 三角形中的最值、范围问题（教师用书Word版）-【高考快车道】2026年高考数学大二轮专题复习与讲义

重点培优练3　三角形中的最值、范围问题 [总体概览]　以三角函数、解三角形为背景的最值及范围问题是高考的热点之一，常用的方法主要有：函数的性质(如有界性、单调性)、基本不等式、数形结合等． 1．在△ABC中，AC＝2，BC＝4，则B的最大值为(　　) A．　　　B．　　　C．　　　D． A　[设AB＝x，x>0，由余弦定理的推论可得 cos B＝＝＝ 2＝， 当且仅当x＝2时，等号成立． 因为0<B<π，则0<B．故选A．] 2．[易错题](2025·新余模拟)在锐角三角形ABC中，若∠C＝2∠B，则的取值范围是(　　) A．(0，2) B．(，2) C．() D．(，2) C　[由正弦定理，得＝＝＝＝2cos B．因为△ABC为锐角三角形， 则所以<B<， 所以2cos B∈()，即的取值范围是()．故选C．] 易错提醒：注意题目中的隐含条件，如A＋B＋C＝π，0＜A＜π，c－b＜a＜b＋c，三角形中大边对大角，锐角三角形的三个内角均为锐角等． 3．(2025·徐州模拟)若满足条件C＝60°，AB＝，BC＝a的△ABC有两个，那么a的取值范围是(　　) A．(1，) B．() C．(，2) D．(1，2) C　[由已知条件，要满足△ABC有两个，则a sin 60°<<a，解得<a<2．则a的取值范围是(，2)．故选C．] 4．(多选)(2025·毕节市模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝，(a＋b)·(sin B－sin A)＝c(sin B－sin C)，则(　　) A．A＝ B．△ABC的周长的最大值为3 C．当b最大时，△ABC的面积为 D．b－c的取值范围为(－) BCD　[对于A，由(a＋b)(sin B－sin A)＝c(sin B－sin C)， 结合正弦定理可得(a＋b)(b－a)＝c(b－c)，整理得b2＋c2－a2＝bc， 所以cos A＝＝，结合A∈(0，π)，得A＝，故A项错误； 对于B，因为a＝，根据余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A＝3， 即b2＋c2－bc＝3，所以(b＋c)2＝3＋3bc3＋(b＋c)2， 解得(b＋c)212，故b＋c2，当且仅当b＝c时，等号成立． 所以△ABC的周长a＋b＋c3，当b＝c＝时，△ABC的周长的最大值为3，故B项正确； 对于C，由正弦定理得＝＝＝2， 所以b＝2sin B2， 当且仅当B＝时，b取最大值，此时c＝＝＝1，S△ABC＝ac＝，故C项正确； 对于D，由前面的结论，可得b＝2sin B，c＝2sin C． 所以b－c＝2sin B－2sin C＝2sin B－2sin (B＋A)＝2sin B－2 ＝sin B－cos B ＝2sin ， 因为0<B<，即－<B－<， 所以sin ∈， 可得b－c＝2sin ∈(－)，故D项正确． 故选BCD．] 5．(多选)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为△ABC的面积，且a＝2，·＝S，则下列选项正确的是(　　) A．A＝ B．若△ABC有两解，则b的取值范围是(2，4) C．若△ABC为锐角三角形，则b的取值范围是[2，4] D．若D为BC边上的中点，则AD的最大值为3 ABD　[对于选项A，·＝S，故cb cos A＝bc sin A，故tan A＝，A∈(0，π)，所以A＝，故A正确； 对于选项B，若△ABC有两解，则b sin A<a<b，即b<2<b，则b∈(2，4)，故B正确； 对于选项C，若△ABC为锐角三角形，则0<B<，A＋B＝＋B>，故<B<， 则<sin B<1，又＝，故b＝＝4sin B∈(2，4)，故C错误； 对于选项D，若D为BC边上的中点，则＝， 故＝)2＝(c2＋2bc cos A＋b2)＝， 又a2＝b2＋c2－2bc cos A＝b2＋c2－bc＝12，b2＋c2＝12＋bc， 由基本不等式得b2＋c2＝12＋bc2bc，当且仅当b＝c＝2时等号成立，故bc12， 所以＝[(12＋bc)＋bc]＝3＋bc3＋6＝9， 故||3，故D正确．故选ABD．] 6．(2025·湘豫名校联考二模)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，BC边上的高为h．若a＝4，h＝，则bc的最小值为 ；若h＝a，则的最大值为 ． 6　4　[若a＝4，h＝，则△ABC的面积S＝ah＝3， 由S△ABC＝bc sin A＝3，可得bc＝6， 当sin A＝1，即A＝时，等号成立， 所以bc的最小值为6． 若h＝a，则S△ABC＝bc sin A＝ah＝a2，可得bc＝． 根据余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos A，得b2＋c2＝a2＋2bc cos A， 所以＝＝＋2cos A＝＋2cos A＝2sin A＋2cos A＝4sin ， 当A＋＝时，即A＝时，取得最大值4．] 7．[易错题]已知函数f(x)＝2sin x·．则f(x)的最小正周期为 ；f(x)在上的最大值为 ． π　　[f(x)＝2sin x· ＝2sin x ＝3sin x cos x＋sin2x ＝sin2x－cos 2x＋ ＝sin ， 因此，函数f(x)的最小正周期T＝＝π． 当x∈时，2x－∈， 所以2x－＝，即x＝时， 函数f(x)在上取得最大值，为＝．] 易错提醒：求三角函数式的最值、范围问题的注意点 (1)把三角函数式正确地化简成单一函数形式； (2)根据所给自变量的范围正确地确定ωx＋φ的范围，从而根据三角函数的单调性求三角函数式的范围． 8．(2025·上海春季高考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c＝5． (1)若＝，C＝，求a； (2)若ab＝20，求△ABC的面积的最大值． [解]　(1)由＝，根据正弦定理得＝，化简得a＝2b， 因为C＝，c＝5，所以a2＋b2＝c2＝25，即4b2＋b2＝25，解得b＝，a＝2b＝2． (2)根据ab＝20，c＝5，由余弦定理的推论，得cos C＝＝(a2＋b2－25)(2ab－25)＝， 当且仅当a＝b时，等号成立． 所以cos2C，即1－sin2C，可得sin2C， 结合sinC＞0，解得0<sin C． 因为△ABC的面积S＝ab sin C＝10sin C10×＝， 所以当a＝b＝2时，△ABC的面积取得最大值． 9．(2022·新高考Ⅰ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝． (1)若C＝，求B； (2)求的最小值． [解]　(1)因为＝＝＝， 即sin B＝cos A cos B－sin A sin B＝cos (A＋B)＝－cos C＝， 而0＜B＜，所以B＝． (2)由(1)知，sin B＝－cos C＞0，所以＜C＜π，0＜B＜， 而sin B＝－cos C＝sin ， 所以C＝＋B，即有A＝－2B． 所以＝＝ ＝＝4cos2B＋－52－5＝4 －5， 当且仅当cos2B＝时取等号， 所以的最小值为4－5． 题后反思：三角形中的最值、范围问题的解题策略 (1)定基本量：根据题意画出图形，找出三角形中的边、角，利用正弦、余弦定理求出相关的边、角，并选择边、角作为基本量，确定基本量的范围． (2)构建函数：根据正弦、余弦定理或三角恒等变换，将所求范围的变量表示成函数形式． (3)求最值：利用基本不等式或函数的单调性等求最值． 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $