33 专题六 重点培优练5 圆锥曲线中的离心率问题（教师用书Word版）-【高考快车道】2026年高考数学大二轮专题复习与讲义

重点培优练5　圆锥曲线中的离心率问题 [总体概览]　圆锥曲线中的离心率问题是高考的热点题型，对圆锥曲线中已知特征关系的转化是解决此类问题的关键，相关平面几何关系的挖掘应用也可使问题的求解更简洁． 1．(2025·新高考Ⅰ卷)已知双曲线C的虚轴长是实轴长的倍，则C的离心率为(　　) A． B．2 C． D．2 D　[依题意知2b＝×2a，又c2＝a2＋b2，所以c2＝a2＋(a)2＝8a2，即c＝2a，故e＝2．故选D．] 2．(2025·天津卷)双曲线＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，以右焦点F2为焦点的抛物线y2＝2px(p＞0)与双曲线在第一象限的交点为P，若|PF1|＋|PF2|＝3|F1F2|，则双曲线的离心率e＝(　　) A．2 B．5 C． D． A　[由题意知c＝，所以抛物线方程为y2＝4cx． 因为|PF1|＋|PF2|＝3|F1F2|，|F1F2|＝2c， 所以|PF1|＋|PF2|＝6c，又点P在双曲线上且在第一象限，由双曲线的定义可得|PF1|－|PF2|＝2a，所以|PF1|＝3c＋a，|PF2|＝3c－a，如图所示，过点P作抛物线准线的垂线，垂足为P′，因为点P在抛物线上，所以|PF2|＝|PP′|＝xP＋c＝3c－a， 所以xP＝2c－a，yP＝＝ ＝2，把点P的坐标代入抛物线方程，可得(2)2＝4c(2c－a)，化简得＝2．故选A．] 3．(2025·广州二模)已知椭圆C：＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线与C相交于A，B两点，且|AF1|＝|AB|，|BF1|＝a，则C的离心率为(　　) A． B． C． D． D　[设|AF1|＝m，由椭圆的定义可得|AF2|＝2a－m， 又因为|AF1|＝|AB|，所以|BF2|＝m－|AF2|＝2m－2a， 再由椭圆的定义可得|BF1|＋|BF2|＝2a， 而|BF1|＝a，所以2m－2a＋a＝2a， 可得m＝a，|AF2|＝a， 在△ABF1中，由余弦定理的推论可得 cos A＝ ＝＝， 在△AF1F2中，由余弦定理的推论可得 cos A＝， 即＝，整理可得3c2＝a2， 解得e＝＝． 故选D．] 题后反思：此类题型的一般方法是利用圆锥曲线的定义，以及余弦定理或勾股定理，构造关于a，b，c的方程或不等式(组)求解，要注意椭圆、双曲线离心率自身的范围． 4．(多选)已知双曲线C：＝1，则(　　) A．λ的取值范围是(－6，3) B．C的焦点可在x轴上也可在y轴上 C．C的焦距为6 D．C的离心率e的取值范围为(1，3) AC　[对于A，∵＝1表示双曲线， ∴(λ＋6)(3－λ)>0，解得－6<λ<3，故A正确； 对于B，由A项可得－6<λ<3，故λ＋6>0，3－λ>0， ∴C的焦点只能在x轴上，故B错误； 对于C，设C的焦距为2c(c>0)，则c2＝λ＋6＋3－λ＝9， ∴c＝3，即焦距2c＝6，故C正确； 对于D，离心率e＝， ∵－6<λ<3， ∴0<<3， ∴e的取值范围是(1，＋∞)，故D错误．故选AC．] 5．椭圆＝1(a>b>0)上存在一点P满足F1P⊥F2P，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，则椭圆的离心率的取值范围是(　　) A． B． C． D． D　[当点P位于短轴的端点时，∠F1PF2最大， 要使椭圆＝1(a>b>0)上存在一点P满足F1P⊥F2P， 只要∠F1PF2最大时大于等于即可， 即当点P位于短轴的端点时，∠OPF1， 所以sin ∠OPF1＝sin ＝， 又椭圆的离心率e∈(0，1)， 所以椭圆的离心率的取值范围是．] 6．[学科内综合](2025·渭南三模)如图，在圆锥SO中，AB为底面圆O的直径，过SB的中点M与SO平行作平面截圆锥，得到截面与圆锥侧面的交线是双曲线的一部分．若SO＝OB，则该双曲线的离心率为(　　) A． B． C． D． C　[如图，设OB＝2m(m＞0)，该曲线与圆锥的底面圆周交于点H，P，因为SO＝OB＝2m， 所以SB＝SA＝AB＝4m， 即△SAB为等边三角形， 又M为SB的中点，取OB的中点Q，过S作SN∥AB，交直线MQ于点N，过点N作y轴∥HP， 以直线QN为x轴，N为坐标原点，建立平面直角坐标系， 设双曲线方程为＝1(a>0，b>0，x<0)， 所以a＝MN＝m，又HP⊥OB， 所以PQ＝＝＝m， 则点P(－2m，m)，所以＝1， 解得b＝m(负值舍去)， 所以双曲线的离心率e＝＝＝＝． 故选C．] 7．已知椭圆C：＝1(a>b>0)，点F1，F2为椭圆C的左、右焦点，在椭圆C上存在点P，使·＝2c2，则椭圆的离心率的取值范围是 ． 　[设P(x，y)，则·＝x2＋y2－c2， ∴x2＋y2＝3c2， ∴点P在以原点为圆心，c为半径的圆上，该圆与椭圆C有交点， ∴bca，则e，解得e．] 题后反思：利用几何图形中几何量的大小，例如线段的长度、角的大小等，构造几何量之间的关系求离心率范围． 8．已知P为椭圆＝1(a>b>0)上一点，F1，F2为椭圆焦点，且|PF1|＝3|PF2|，则椭圆离心率的取值范围是 ． 　[由P为椭圆＝1(a>b>0)上一点，|PF1|＋|PF2|＝2a． 又|PF1|＝3|PF2|， 所以|PF2|＝， 又a－c|PF2|a＋c，即a－ca＋c． 即得c，即e<1．] 题后反思：利用圆锥曲线的性质，如：椭圆的最大角，通径，三角形中的边角关系，曲线上的点到焦点距离的范围等，建立不等式(组)求离心率范围． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $