27 专题五 课时16 二项分布、超几何分布和正态分布（教师用书Word版）-【高考快车道】2026年高考数学大二轮专题复习与讲义

课时16　二项分布、超几何分布和正态分布 [备考指南]　高考中关于概率模型的考查，主要涉及二项分布、超几何分布、正态分布等知识，在选择题、填空题、解答题中都有出现，难度中等． 基础考点1　二项分布 【母题1】　[人教A版选择性必修第三册P77练习T2节选]鸡接种一种疫苗后，有80%不会感染某种病毒．如果5只鸡接种了疫苗，则恰好有1只鸡感染病毒的概率为(　　) A．　　　　　 B． 　 C． 　 D． D　[由题意得，鸡接种一种疫苗后，感染某种病毒的概率为20%，设恰好有1只鸡感染病毒为事件A，则P(A)＝×(20%)1×(80%)4＝．故选D．] 【母题2】　[人教A版选择性必修第三册P81习题7.4T3]如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点0出发，每隔1 s等可能地向左或向右移动1个单位长度，共移动6次． (1)质点回到原点的概率为 ； (2)质点位于4的位置的概率为 ． (1)　(2)　[(1)设质点向右移动的次数为X，又质点每隔1 s等可能地向左或向右移动1个单位长度，共移动6次，且每次移动相互独立，则X～B．质点回到原点，则X＝3，P(X＝3)＝＝，所以质点回到原点的概率是． (2)若质点位于4的位置，则X＝5，P(X＝5)＝＝，所以质点位于4的位置的概率是．] 链接核心知识：一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X＝k)＝pk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n．E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)． (2025·湖南永州三模节选)某学校为调查高三年级的体育开展情况，随机抽取了20位高三学生作为样本进行体育综合测试，体育综合测试成绩分4个等级，每个等级对应的分数和人数如表所示： 等级 不及格 及格 良 优 分数 1 2 3 4 人数 3 9 5 3 (1)若从样本中随机选取2位学生，求所选的2位学生分数不同的概率； (2)用样本估计总体，以频率代替概率，若从高三年级学生中随机抽取3位学生，记所选学生分数不小于3的人数为X，求X的分布列与数学期望． [解]　(1)设事件M＝“选取的2位学生分数不同”，则P(M)＝1－P()＝＝， 故所选的2位学生分数不同的概率为． (2)设A＝“学生分数不小于3”，则P(A)＝＝， X的可能取值为0，1，2，3，由题意可得X～B， 又P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝， P(X＝3)＝＝， 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 由于X～B，则E(X)＝3×＝． 反思领悟：在根据n重伯努利试验中求二项分布的有关问题时，关键是理清事件与事件之间的关系，确定二项分布的试验次数n和变量的概率，进而求得概率． 【教用·备选题】 1．小王到某公司面试，一共要回答3道题，每道题答对得2分，答错倒扣1分，设他每道题答对的概率均为p(0＜p＜1)，且每道题答对与否相互独立．记小王答完3道题的总得分为X，则当E(X)＋D(X)取得最大值时，p＝(　　) A． B． C． D． C　[设答对题的个数为Y，则 Y～B(3，p)， 所以E(Y)＝3p，D(Y)＝3p(1－p)， 由题意知，X＝2Y－(3－Y)＝3Y－3， 所以 E(X)＝3E(Y)－3＝9p－3， D(X)＝9D(Y)＝27p(1－p)， 所以E(X)＋D(X)＝－27p2＋36p－3 ＝－27＋9， 所以当p＝时，E(X)＋D(X) 取得最大值． 故选C．] 2．(2024·湘豫名校联考三模)甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则：每一局比赛中，胜者得1分，负者得0分，且比赛中没有平局．根据以往战绩，每局比赛甲获胜的概率为，每局比赛的结果互不影响． (1)经过3局比赛，记甲的得分为X，求X的分布列和期望； (2)若比赛采取3局制，试计算3局比赛后，甲的累计得分高于乙的累计得分的概率． [解]　(1)由题意，得X～B，X的所有可能取值为0，1，2，3， 则P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝， P(X＝3)＝＝， 所以X的分布列如下： X 0 1 2 3 P 因为X～B，所以X的期望E(X)＝3×＝2． (2)3局比赛后，甲的累计得分高于乙的累计得分有两种情况：甲获胜2局或甲获胜3局，所以所求概率为P＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝＝． 3．(2019·天津卷)设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为．假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立． (1)用X表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量X的分布列和数学期望； (2)设M为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件M发生的概率． [解]　(1)因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7：30之前到校的概率均为，故X～B，从而P(X＝k)＝·(k＝0，1，2，3)， 所以随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P 随机变量X的数学期望E(X)＝3×＝2． (2)设乙同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数为Y，则Y～B，且M＝{X＝3，Y＝1}∪{X＝2，Y＝0}．由题意知事件{X＝3，Y＝1}与{X＝2，Y＝0}互斥，且事件{X＝3}与{Y＝1}，事件{X＝2}与{Y＝0}均相互独立，从而由(1)知，P(M)＝P({X＝3，Y＝1}∪{X＝2，Y＝0})＝P({X＝3，Y＝1})＋P({X＝2，Y＝0})＝P(X＝3)P(Y＝1)＋P(X＝2)·P(Y＝0)＝＝． 基础考点2　超几何分布 【母题3】　[人教A版选择性必修第三册P80练习T2]学校要从12名候选人中选4名同学组成学生会，已知有4名候选人来自甲班．假设每名候选人都有相同的机会被选到，则甲班恰有2名同学被选到的概率为 ． 　[从12名候选人中选4名有种选法，其中有2名甲班同学有种选法，故甲班恰有2名同学被选到的概率为＝．] 【母题4】　[苏教版选择性必修第二册P132习题8.2(4)T1]已知15件同类型的零件中有2件不合格品，从中任取3件，用随机变量X表示取出的3件中不合格品的件数．求： (1)X的概率分布列； (2)X的均值E(X)． [解]　(1)随机变量X的可能取值为0，1，2， P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝． ∴X的分布列为 X 0 1 2 P (2)法一：E(X)＝0×＋1×＋2×＝． 法二：E(X)＝＝． 链接核心知识：一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品．从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X＝k)＝，k＝m，m＋1，m＋2，…，r．其中n，N，M∈N*，MN，nN，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}．E(X)＝n·． (2025·广西模拟)某校党委在教师党员中开展“学党史”知识竞赛．甲老师从装有6个不同问题的纸盒中依次不放回地抽取4个问题作答．已知这6个问题中，甲老师能正确回答其中的4个问题，且甲老师对每个问题回答正确与否都是相互独立、互不影响的． (1)求甲老师答对2个问题的概率； (2)若测试过程中答对1个问题得2分，答错得0分，设随机变量X表示甲老师的得分，求E(X)，D(X)． [解]　(1)设甲老师答对2个问题为事件B，则P(B)＝＝，所以甲老师答对2个问题的概率为． (2)由题意，X的可能取值为4，6，8，P(X＝4)＝＝，P(X＝6)＝＝，P(X＝8)＝＝，则E(X)＝4×＋6×＋8×＝，D(X)＝＋＋＝． 反思领悟：(1)超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．超几何分布的特征：①考察对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的分布列． (2)二项分布是有放回随机试验模型，超几何分布是无放回随机试验模型，当样本数量无限大时，超几何分布可转化为二项分布． 【教用·备选题】 1．(2024·河南名校联考)在一个不透明的密闭纸箱中装有10个大小、形状完全相同的小球，其中8个白球，2个黑球．小张每次从纸箱中随机摸出一个小球观察其颜色，连续摸4次，记随机变量X为小张摸出白球的个数． (1)若小张每次从纸箱中随机摸出一个小球后放回纸箱，求E(X)和D(X)； (2)若小张每次从纸箱中随机摸出一个小球后不放回纸箱，求X的分布列． [解]　(1)因为小张每次从纸箱中随机摸出一个小球观察其颜色，连续摸4次，且每次从纸箱中随机摸出一个小球后放回纸箱，所以随机变量X～B(4，0.8)，所以E(X)＝4×0.8＝3.2，D(X)＝4×0.8×(1－0.8)＝0.64． (2)因为小张每次从纸箱中随机摸出一个小球观察其颜色，连续摸4次，且每次从纸箱中随机摸出一个小球后不放回纸箱，所以随机变量X服从超几何分布， 则P(X＝k)＝，k＝2，3，4， 可得P(X＝2)＝＝， P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝， 所以X的分布列为 X 2 3 4 P 2．(2025·吉林三模)为提高某软件的应用能力，某公司组织A，B两部门的50名员工参加软件培训． (1)参加此次软件培训的员工中共有6名部门领导，其中恰有3人来自A部门．从这6名部门领导中随机选取2人，记X表示选取的2人中来自A部门的人数，求X的分布列和数学期望； (2)此次软件培训分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为，每轮培训结果相互独立，至少两轮培训达到“优秀”的员工才能合格． (ⅰ)求每位员工培训合格的概率； (ⅱ)经过预测，开展软件培训后，合格的员工每人每年平均为公司创造利润30万元，不合格的员工每人每年平均为公司创造利润20万元，且公司需每年平均为每位参加培训的员工支付3万元的其他成本和费用．试估计该公司A，B两部门培训后的年利润(公司年利润＝员工创造的利润－其他成本和费用)． [解]　(1)X的所有可能取值为0，1，2，且X服从超几何分布． P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝， 所以X的分布列为 X 0 1 2 P X的数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＝1． (2)(ⅰ)记C＝“员工培训合格”，Ai＝“员工第i轮培训达到优秀”(i＝1，2，3)， C＝A1A2A3， 根据概率加法公式和事件相互独立的定义得， P(C)＝P(A1A2A3)＋P(A2A3)＋P(A1) ＝P(A1)P(A2)P(A3)＋P() ＝＝， 即每位员工培训合格的概率为． (ⅱ)记A，B两部门开展软件培训后合格的人数为Y，则Y～B， E(Y)＝50×＝25，则25×30＋25×20－50×3＝1 100(万元)， 即估计A，B两部门的员工参加软件培训后为公司创造的年利润为1 100万元． 基础考点3　正态分布 【母题5】　[人教A版选择性必修第三册P87习题7.5T4]袋装食盐标准质量为400 g，规定误差的绝对值不超过4 g就认为合格．假设误差服从正态分布，随机抽取100袋食盐，误差的样本均值为0，样本方差为4，则估计这批袋装食盐的合格率为 ．(附：P(μ－σXμ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σXμ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σXμ＋3σ)≈0.997 3) 95.45%　[设这批袋装食盐质量的误差为X，则X～N(0，4)，P(|X|4)＝P(－4X4)＝P(μ－2σXμ＋2σ)≈0.954 5，故合格率约为95.45%．] 链接核心知识：解决正态分布问题的三个关键点 (1)对称轴x＝μ． (2)样本标准差σ． (3)分布区间．利用3σ原则求概率时，要注意利用μ，σ分布区间的特征把所求的范围转化为3σ的特殊区间． 1．(2025·贵州遵义三模)已知随机变量X服从正态分布N(3，σ2)，且P(X＞2)＝0.7，则P(3＜X＜4)＝(　　) A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 B　[∵X～N(3，σ2)， ∴P(X3)＝0.5， ∴P(X＞2)＝P(2＜X＜3)＋P(X3)＝0.7， ∴P(2＜X＜3)＝0.2， ∴P(3＜X＜4)＝P(2＜X＜3)＝0.2． 故选B．] 2．(多选)(2024·新高考Ⅰ卷)随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口．为了解推动出口后的亩收入(单位：万元)情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值＝2.1，样本方差s2＝0.01，已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布N(1.8，0.12)，假设推动出口后的亩收入Y服从正态分布N(，s2)，则(　　) (若随机变量Z服从正态分布N(μ，σ2)，则P(Z<μ＋σ)≈0.841 3) A．P(X>2)>0.2 B．P(X>2)<0.5 C．P(Y>2)>0.5 D．P(Y>2)<0.8 BC　[依题可知，＝2.1，s2＝0.01， 所以Y～N(2.1，0.12)， 故P(Y>2)＝P(Y>2.1－0.1)＝P(Y<2.1＋0.1)≈0.841 3>0.5，C正确，D错误； 因为X～N(1.8，0.12)， 所以P(X>2)＝P(X>1.8＋2×0.1)． 因为P(X<1.8＋0.1)≈0.841 3， 所以P(X>1.8＋0.1)≈1－0.841 3＝0.158 7<0.2， 而P(X>2)＝P(X>1.8＋2×0.1)<P(X>1.8＋0.1)<0.2，B正确，A错误．故选BC．] 3．(2025·山东菏泽二模)某区学生参加模拟大联考，假设联考的数学成绩服从正态分布，其正态密度函数为f(x)＝，且P(70X100)＝0.7，若参加此次联考的学生共有8 000人，则数学成绩超过100分的人数大约为 ． 1 200　[因为正态密度函数为f(x)＝，则μ＝85， 由P(70X100)＝0.7得P(X>100)＝＝0.15， 所以超过100分的人数大约为8 000×0.15＝1 200．] 反思领悟：利用正态曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线x＝μ对称及曲线与x轴之间的面积为1，注意下面三个结论的活用： (1)对任意的a，有P(X＜μ－a)＝P(X＞μ＋a)． (2)P(X＜x0)＝1－P(Xx0)． (3)P(a＜X＜b)＝P(X＜b)－P(Xa)． 【教用·备选题】 1．(2025·江苏南通模拟)为推广新能源汽车，某地区决定对续航里程达到一定标准的新能源汽车进行补贴．已知某品牌新能源汽车的续航里程ξ(单位：km)服从正态分布N(400，502)．补贴政策：续航里程不低于350 km的车辆补贴2万元，超过450 km的车辆额外再补贴1万元，则该品牌每辆新能源汽车的平均补贴金额约为(　　) 附：若X～N(μ，σ2)则P(|X－μ|σ)≈0.682 6)． A．1.52万元　　　　　 B．1.68万元 C．1.84万元 D．2.16万元 C　[因为续航里程ξ(单位：km)服从正态分布N(400，502)，所以P(ξ350)＝0.5＋×0.682 6＝0.841 3，P(ξ450)＝×(1－0.682 6)＝0.158 7，因为续航里程不低于350 km的车辆补贴2万元，超过450 km的车辆额外再补贴1万元，所以该品牌每辆新能源汽车的平均补贴金额约为2×0.841 3＋1×0.158 7≈1.84(万元)．故选C．] 2．某教学研究机构从参加高考适应性考试的20 000名优秀考生中随机抽取了200人对其数学成绩进行了整理分析，作出了如图所示的频率分布直方图． (1)根据频率分布直方图，同一组数据用该组区间的中点值作代表，求得这200名考生数学成绩的平均数为＝110．据此估计这20 000名优秀考生数学成绩的标准差s； (2)根据以往经验，可以认为这20 000名优秀考生的数学成绩X近似服从正态分布N(μ，σ2)，其中参数μ和σ可以分别用(1)中的和s来估计．记考生本次考试的各科总成绩为Y，若Y＝5X－10，试估计这20 000名优秀考生中总成绩Y∈[600，660]的人数． 注：≈2.4；若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σXμ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σXμ＋2σ)≈0.954 5． [解]　(1)抽取200名考生数学成绩的方差估计值为s2＝(80－110)2×0.02＋(90－110)2×0.09＋(100－110)2×0.22 ＋(110－110)2×0.33＋(120－110)2×0.24＋(130－110)2×0.08＋(140－110)2×0.02＝150． 故估计这20 000名考生数学成绩的方差为150，标准差s＝＝5≈5×2.4＝12． (2)由(1)知μ可用＝110来估计，σ可用s＝12来估计．故X～N(110，122)． 又P(μ＋σXμ＋2σ) ＝ ≈＝0.135 9， 故P(122X134)≈0.135 9． 又Y＝5X－10， 所以P(600Y660)＝P(6005X－10660)＝P(122X134)≈0.135 9． 故这20 000名考生中成绩在[600，660]的人数约为20 000×0.135 9＝2 718(人)． 1．(2025·天津卷)已知r为相关系数，则下列说法中错误的是(　　) A．若X～N(μ，σ2)，则P(Xμ－σ)＝P(Xμ＋σ) B．若X～N(1，22)，Y～N(2，22)，则P(X<1)<P(Y<2) C．|r|越接近1，线性相关性越强 D．|r|越接近0，线性相关性越弱 B　[对于A，由正态分布的性质可知，若X～N(μ，σ2)，则P(Xμ－σ)＝P(Xμ＋σ)，故A正确； 对于B，由正态分布的性质可知，若X～N(1，22)， Y～N(2，22)，则P(X＜1)＝P(Y＜2)＝，故B错误； 对于C，D，由相关系数的性质可知，当|r|越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强；当|r|越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱，故C，D正确．故选B．] 2．(2022·新高考Ⅱ卷)随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，若P(2<X2.5)＝0.36，则P(X>2.5)＝ ． 0.14　[由题意可知，P(X>2)＝0.5，故P(X>2.5)＝P(X>2)－P(2<X2.5)＝0.14．] 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $