26 专题五 课时15 随机变量及其分布（教师用书Word版）-【高考快车道】2026年高考数学大二轮专题复习与讲义

课时15　随机变量及其分布 [备考指南]　离散型随机变量及其分布常以实际问题为背景，与计数原理、古典概型等知识相结合，考查随机变量的分布列、均值和方差，以解答题为主，难度中等． 基础考点　离散型随机变量的期望与方差 【母题】　[人教B版选择性必修第二册P89练习AT5]医学上发现，某种病毒侵入人体后，人的体温会升高．记病毒侵入后人体的体温为X ℃．医学统计发现，X的分布列如下． X 37 38 39 40 P 0.1 0.5 0.3 0.1 (1)求出E(X)，D(X)； (2)已知Y＝1.8X＋32，求E(Y)，D(Y)． [解]　(1)E(X)＝37×0.1＋38×0.5＋39×0.3＋40×0.1＝38.4， D(X)＝(37－38.4)2×0.1＋(38－38.4)2×0.5＋(39－38.4)2×0.3＋(40－38.4)2×0.1＝0.64． (2)由数学期望及方差的性质可得， E(Y)＝1.8E(X)＋32＝1.8×38.4＋32＝101.12， D(Y)＝1.82×D(X)＝1.82×0.64＝2.073 6． 链接核心知识：离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 则(1)p1＋p2＋…＋pn＝1． (2)E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn． (3)D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝ (4)若Y＝aX＋b，则E(Y)＝aE(X)＋b，D(Y)＝a2D(X)． 1．[人教A版选择性必修第三册P91复习参考题7T4改编]已知离散型随机变量X的分布列如表所示，且Y＝aX＋b，E(Y)＝，则D(Y)的值为(　　) X －1 0 1 P a A．1 B． C． D． D　[由a＋＝1，得a＝， 所以E(X)＝－1×＋0×＋1×＝－， D(X)＝＝， 所以D(Y)＝a2D(X)＝＝．] 2．(2025·河南新乡二模)如图，点A，B，C，D，E均在直线l上，且AB＝BC＝CD＝DE＝1，质点M与质点N均从点C出发，两个质点每次都只能向左或向右移动1个单位长度，两个质点每次移动时向左移动的概率均为，每个质点均移动2次．已知每个质点移动2次后到达的点所对应的积分如表所示，设随机变量X为两个质点各自移动2次后到达的点所对应的积分之和． A B C D E 积分 －200 －100 0 100 200 (1)求质点M移动2次后到达的点所对应的积分为0的概率； (2)求随机变量X的分布列及数学期望． [解]　(1)设事件F为“质点M移动2次后到达的点所对应的积分为0”， 由题意可知质点M移动两次后在点C，又起点为点C，即M的移动一次向左一次向右，所以P(F)＝＝． (2)X的所有可能取值为－400，－200，0，200，400， P(X＝－400)＝＝， P(X＝－200)＝×2＝， P(X＝0)＝×2＋＝， P(X＝200)＝×2＝， P(X＝400)＝＝， 所以随机变量X的分布列为 X －400 －200 0 200 400 P E(X)＝－400×＋(－200)×＋0×＋200×＋400×＝200． 反思领悟：1．分布列性质的应用 (1)利用“概率之和为1”可求相关参数的值或范围． (2)利用“离散型随机变量在一范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率． 2．求离散型随机变量的期望与方差的关键是确定随机变量的所有可能取值，写出随机变量的分布列，正确运用期望、方差公式进行计算． 【教用·备选题】 1．(多选)已知a>0，b>0，c>0，且a，b，c成等差数列，随机变量X的分布列为 X 1 2 3 P a b c 下列选项正确的是(　　) A．b＝　　　　　 B．a＋c＝ C．<E(X)< D．D(X)的最大值为 BCD　[对于AB，由 得A错误，B正确； 对于C，由a＋c＝，a>0，c>0，得0<c<， 则E(X)＝a＋2b＋3c＝2c＋∈，C正确； 对于D，D(X)＝a＋＋c ＝＋＋c＝－4c2＋c＋＝－4＋， 当c＝时，D(X)取得最大值，且最大值为，D正确．] 2．(2025·山西一模)新高考数学试卷中共3道多选题，每题满分为6分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分(如果有两个选项符合题目要求，选对一个得3分；如果有三个选项符合题目要求，选对一个得2分)有错选或不选，得0分， 某数学兴趣小组研究多选题时发现：随机事件“多项选择题中，有两个选项符合题目要求”和“多项选择题中，有三个选项符合题目要求”的概率均为．若学生解答某多选题时完全没有思路，只能通过随机选择的方式来完成作答，且选择四个选项的可能性是相同的． (1)已知某题有三个选项符合题目要求，小张通过随机选择选项的方式来完成作答，且只选一个选项作答的概率为，选两个选项作答的概率为，选三个选项作答的概率为，试求小张该题得0分的概率； (2)小王在解答完全没有思路的多选题时，有两种策略，一是“随机选择一个选项作答”，二是“随机选择两个选项作答”，试写出小王用两种策略得分的分布列和数学期望． [解]　(1)记Ai＝“随机选择i个选项作答”，i＝1，2，3，B＝“小张得0分”， 由题意可知，P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝，P(B|A1)＝＝，P(B|A2)＝＝，P(B|A3)＝＝， 则P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝＝＝． (2)记小王用策略一的得分为随机变量X，则X的取值为0，2，3， 记小王用策略二的得分为随机变量Y，则Y的取值为0，4，6， P(X＝0)＝＝， P(X＝2)＝＝， P(X＝3)＝＝， 所以X的分布列为 X 0 2 3 P 故E(X)＝0×＋2×＋3×＝， P(Y＝0)＝＝， P(Y＝4)＝＝， P(Y＝6)＝＝， 所以Y的分布列为 Y 0 4 6 P 故E(Y)＝0×＋4×＋6×＝． 3．(2024·北京卷改编)某保险公司为了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同保险期限届满的保单中随机抽取1 000份，记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表： 索赔次数 0 1 2 3 4 保单份数 800 100 60 30 10 假设：一份保单的保费为0.4万元；前三次索赔时，保险公司每次赔偿0.8万元；第四次索赔时，保险公司赔偿0.6万元． 假设不同保单的索赔次数相互独立．用频率估计概率． (1)估计一份保单索赔次数不少于2的概率； (2)一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差． (ⅰ)记X为一份保单的毛利润，估计X的数学期望E(X)； (ⅱ)如果无索赔的保单的保费减少4%，有索赔的保单的保费增加20%，试比较这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值与(ⅰ)中E(X)估计值的大小． [解]　(1)法一(正面计算)：记“随机抽取一份保单，索赔次数不少于2”为事件A， 由索赔次数不少于2，知索赔次数为2，3，4， 所以P(A)＝＝＝． 法二(反面计算)：记“随机抽取一份保单，索赔次数不少于2”为事件A， 由索赔次数不少于2，知可利用间接法计算， 则P(A)＝1－＝． (2)(ⅰ)由题知X的所有可能取值为0.4，－0.4，－1.2，－2.0，－2.6， 则P(X＝0.4)＝＝0.8， P(X＝－0.4)＝＝0.1， P(X＝－1.2)＝＝0.06， P(X＝－2.0)＝＝0.03， P(X＝－2.6)＝＝0.01， 故E(X)＝0.4×0.8－0.4×0.1－1.2×0.06－2.0×0.03－2.6×0.01＝0.122． (ⅱ)如果无索赔的保单的保费减少4%，有索赔的保单的保费增加20%，这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值比(ⅰ)中E(X)估计值大． 证明如下： 设调整保费后一份保单的毛利润(单位：万元)为Y，则 对于索赔次数为0的保单，Y＝0.4×(1－4%)＝0.384， 对于索赔次数为1的保单，Y＝0.4×(1＋20%)－0.8＝－0.32， 对于索赔次数为2的保单，Y＝－0.32－0.8＝－1.12， 对于索赔次数为3的保单，Y＝－1.12－0.8＝－1.92， 对于索赔次数为4的保单，Y＝－1.92－0.6＝－2.52， 故E(Y)＝0.384×0.8－0.32×0.1－1.12×0.06－1.92×0.03－2.52×0.01＝0.125 2． 所以E(X)<E(Y)． 能力考点　均值、方差在决策中的应用 【典例】　(2024·新高考Ⅱ卷)某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成．比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段．第二阶段由该队的另一名队员投篮3次，每次投篮投中得5分，未投中得0分，该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和． 某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p，乙每次投中的概率为q，各次投中与否相互独立． (1)若p＝0.4，q＝0.5，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率． (2)假设0<p<q． (ⅰ)为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ (ⅱ)为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ [解]　(1)甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分，则甲第一阶段至少投中1次，乙第二阶段也至少投中1次， ∴比赛成绩不少于5分的概率 P＝(1－0.63)(1－0.53)＝0.686． (2)(ⅰ)若甲参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为P甲＝[1－(1－p)3]q3， 若乙参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为P乙＝[1－(1－q)3]p3， ∵0<p<q， ∴P甲－P乙＝q3－(q－pq)3－p3＋(p－pq)3 ＝(q－p)(q2＋pq＋p2)＋(p－q)[(p－pq)2＋(q－pq)2＋(p－pq)(q－pq)] ＝(p－q)(3p2q2－3p2q－3pq2) ＝3pq(p－q)(pq－p－q) ＝3pq(p－q)[(1－p)(1－q)－1]>0， ∴P甲>P乙，∴应该由甲参加第一阶段比赛． (ⅱ)若甲参加第一阶段比赛，比赛成绩X的所有可能取值为0，5，10，15， P(X＝0)＝(1－p)3＋[1－(1－p)3]·(1－q)3， P(X＝5)＝q(1－q)2， P(X＝10)＝q2(1－q)， P(X＝15)＝[1－(1－p)3]·q3， ∴E(X)＝15[1－(1－p)3]q＝15(p3－3p2＋3p)·q； 若乙参加第一阶段比赛，比赛成绩Y的所有可能取值为0，5，10，15， 同理E(Y)＝15(q3－3q2＋3q)·p， ∴E(X)－E(Y)＝15[pq(p＋q)(p－q)－3pq(p－q)]＝15pq(p－q)(p＋q－3)， ∵0<p<q， ∴p－q<0，p＋q－3<1＋1－3＝－1<0， ∴pq(p－q)(p＋q－3)>0，E(X)>E(Y)， ∴应该由甲参加第一阶段比赛． 反思领悟：随机变量的期望和方差从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据．一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定． 某公司举办公司员工联欢晩会，为活跃气氛，计划举行摸奖活动，有两种方案： 方案一：不放回地从装有2个红球和4个白球(除颜色外，其余均相同)的箱子中随机摸出3个球，每摸出一个红球奖励100元； 方案二：有放回地从装有2个红球和4个白球的箱子中随机摸出3个球，每摸出一个红球奖励100元，分别用随机变量X，Y表示某员工按方案一和方案二抽奖的获奖金额(单位：元)． (1)求随机变量X的分布列和数学期望． (2)用统计知识分析，为使公司员工获奖金额相对均衡，应选择哪种方案？请说明理由． [解]　(1)由题意可知，X的可能取值为0，100，200，P(X＝0)＝＝，P(X＝100)＝＝，P(X＝200)＝＝． 所以随机变量X的分布列为 X 0 100 200 P E(X)＝0×＋100×＋200×＝100． (2)法一：用随机变量ζ表示某员工按方案二摸到的红球的个数，则ζ～B． E(ζ)＝3×＝1，D(ζ)＝3×＝，Y＝100ζ，E(Y)＝100E(ζ)＝100×1＝100，D(Y)＝10 000D(ζ)＝10 000×＝．D(X)＝(0－100)2×＋(100－100)2×＋(200－100)2×＝4 000．因为E(X)＝E(Y)，D(X)<D(Y)，所以按方案一员工抽奖的获奖金额相对均衡，应选择方案一． 法二：Y的可能取值为0，100，200，300，P(Y＝0)＝＝，P(Y＝100)＝＝，P(Y＝200)＝＝，P(Y＝300)＝＝，则E(Y)＝0×＋100×＋200×＋300×＝100，D(Y)＝(0－100)2×＋(100－100)2×＋(200－100)2×＋(300－100)2×＝．由法一知D(X)＝4 000，因为E(X)＝E(Y)，D(X)<D(Y)，所以按方案一员工抽奖的获奖金额相对均衡，应选择方案一． 【教用·备选题】 1．[人教A版选择性必修第三册P69例6]投资A，B两种股票，每股收益的分布列分别如表1和表2所示． 表1　股票A收益的分布列 收益X/元 －1 0 2 概率 0.1 0.3 0.6 表2　股票B收益的分布列 收益Y/元 0 1 2 概率 0.3 0.4 0.3 (1)投资哪种股票的期望收益大？ (2)投资哪种股票的风险较高？ [解]　(1)股票A和股票B投资收益的期望分别为 E(X)＝－1×0.1＋0×0.3＋2×0.6＝1.1， E(Y)＝0×0.3＋1×0.4＋2×0.3＝1． 因为E(X)>E(Y)，所以投资股票A的期望收益较大． (2)股票A和股票B投资收益的方差分别为 D(X)＝＝1.29， D(Y)＝02×0.3＋12×0.4＋22×0.3－12＝0.6． 因为E(X)和E(Y)相差不大，且D(X)>D(Y)，所以投资股票A比投资股票B的风险高． 2．(2025·上海长宁区二模)为响应国家促进消费的政策，某大型商场举办了“消费满减乐翻天”的优惠活动，顾客消费满800元(含800元)可抽奖一次，抽奖方案有两种(顾客只能选择其中的一种)． 方案1：从装有5个红球、3个蓝球(形状、大小完全相同)的抽奖盒中有放回地依次摸出3个球．每摸出1次红球，立减150元，若3次都摸到红球，则额外再减200元(即总共减650元)； 方案2：从装有5个红球、3个蓝球(形状、大小完全相同)的抽奖盒中不放回地依次摸出3个球．中奖规则：若摸出3个红球，则享受免单优惠；若摸出2个红球，则打5折；其余情况无优惠． (1)顾客A选择抽奖方案2，已知他第一次摸出红球，求他能够享受优惠的概率； (2)顾客B恰好消费了800元， ①若他选择抽奖方案1，求他实付金额的分布列和期望(结果精确到0.01)； ②试从实付金额的期望值分析顾客B选择哪种抽奖方案更合理． [解]　(1)设事件M表示“第一次摸到红球”，事件N表示“能够享受优惠”， 在第一次摸到红球后，抽奖盒中还剩4个红球和3个蓝球，共7个球， 从7个球中不放回地摸2个球，总情况有＝21(种)，摸出2个红球的情况有＝6(种)， 摸出1红1蓝的情况有＝12(种)， 所以P(N|M)＝＝． (2)①设顾客B选择抽奖方案1时实付金额为X元，X的可能取值为800，650，500，150，从装有5个红球、3个蓝球的抽奖盒中摸一个球， 摸到红球的概率为，摸到蓝球的概率为，当摸出0个红球时，P(X＝800)＝＝， 当摸出1个红球时，P(X＝650)＝＝， 当摸出2个红球时，P(X＝500)＝＝， 当摸出3个红球时，P(X＝150)＝＝， 所以实付金额的分布列为 X 800 650 500 150 P 实付金额的期望为： E(X)＝800×＋650×＋500×＋150×＝≈469.92． ②设顾客B选择抽奖方案2时实付金额为Y元，Y的可能取值为800，400，0，当摸出0个红球或1个红球时，P(Y＝800)＝＝，当摸出2个红球时，P(Y＝400)＝＝， 当摸出3个红球时，P(Y＝0)＝＝， 所以E(Y)＝800×＋400×＋0×＝≈442.86， 所以E(Y)＜E(X)，所以从实付金额的期望值分析，顾客B选择抽奖方案2更合理． (2021·新高考Ⅰ卷)某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题．每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束．A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分． 已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关． (1)若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列； (2)为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？请说明理由． [解]　(1)由题意得，X的所有可能取值为0，20，100， P(X＝0)＝1－0.8＝0.2， P(X＝20)＝0.8×(1－0.6)＝0.32， P(X＝100)＝0.8×0.6＝0.48， 所以X的分布列为 X 0 20 100 P 0.2 0.32 0.48 (2)当小明先回答A类问题时，由(1)可得E(X)＝0×0.2＋20×0.32＋100×0.48＝54.4； 当小明先回答B类问题时，记Y为小明的累计得分， 则Y的所有可能取值为0，80，100， P(Y＝0)＝1－0.6＝0.4， P(Y＝80)＝0.6×(1－0.8)＝0.12， P(Y＝100)＝0.6×0.8＝0.48， 所以Y的分布列为 Y 0 80 100 P 0.4 0.12 0.48 E(Y)＝0×0.4＋80×0.12＋100×0.48＝57.6． 因为57.6＞54.4，即E(Y)＞E(X)，所以为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答B类问题． 10 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $