28 专题五 课时17 统计与成对数据的统计分析（教师用书Word版）-【高考快车道】2026年高考数学大二轮专题复习与讲义

课时17　统计与成对数据的统计分析 [备考指南]　高考对本讲内容的考查往往以实际问题为背景，考查随机抽样与用样本估计总体、经验回归方程的求解与运用、独立性检验问题，常与概率综合考查，中等难度． 基础考点1　统计图表与数字特征 【母题1】　[人教A版必修第二册P224复习参考题9T2]四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6的是(　　) A．平均数为3，中位数为2 B．中位数为3，众数为2 C．平均数为2，方差为2.4 D．中位数为3，方差为2.8 C　[对于A，当投掷结果为1，1，2，5，6满足A，但出现6，故A错误；对于B，当投掷结果为2，2，3，4，6满足B，但出现6，故B错误；对于C，若出现6，则s2>×(6－2)2＝3.2>2.4，所以一定没出现6，故C正确；对于D，当投掷结果为2，3，3，6，6满足D，但出现6，故D错误．故选C．] 【母题2】　[人教A版必修第二册P198练习1] 从某小区抽取100户居民用户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在50～350 kW·h之间，进行适当分组后(每组为左闭右开的区间)，画出如图所示的频率分布直方图． (1)直方图中x的值为 ； (2)在被调查的用户中，用电量落在区间[100，250)内的户数为 ． (1)0.004 4　(2)70　[(1)由(0.006 0＋x＋0.003 6＋0.002 4×2＋0.001 2)×50＝1，得x＝0.004 4． (2)结合(1)，得用电量落在区间[100，250)的户数为(0.003 6＋0.006 0＋0.004 4)×50×100＝70．] 链接核心知识：(1)频率分布直方图中相邻两横坐标之差表示组距，纵坐标表示，频率＝组距×． (2)在频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1． (3)利用频率分布直方图求众数、中位数与平均数 ①最高的小长方形底边中点的横坐标即众数． ②中位数左边和右边的小长方形的面积和相等． ③平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和． 1．(2024·新高考Ⅱ卷)某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量(单位：kg)并整理得下表： 亩产量 [900， 950) [950， 1 000) [1 000， 1 050) [1 050， 1 100) [1 100， 1 150) [1 150， 1 200) 频数 6 12 18 30 24 10 根据表中数据，下列结论中正确的是(　　) A．100块稻田亩产量的中位数小于1 050 kg B．100块稻田中亩产量低于1 100 kg的稻田所占比例超过80% C．100块稻田亩产量的极差介于200 kg至300 kg之间 D．100块稻田亩产量的平均值介于900 kg至1 000 kg之间 C　[对于A，根据频数分布表可知，6＋12＋18＝36<50， 所以亩产量的中位数不小于1 050 kg，故A错误； 对于B，亩产量不低于1 100 kg的频数为24＋10＝34， 所以亩产量低于1 100 kg的稻田占比为＝66%，故B错误； 对于C，稻田亩产量的极差最大为1 200－900＝300，最小为1 150－950＝200，故C正确； 对于D，平均值为×(6×925＋12×975＋18×1 025＋30×1 075＋24×1 125＋10×1 175)＝1 067，故D错误． 故选C．] 2．(多选)(2025·甘肃模拟)某校举行了交通安全知识主题演讲比赛，甲、乙两位同学演讲后，6位评委对他们的演讲分别进行打分(满分100分)，得到如图所示的统计图，则(　　) A．甲得分的中位数大于乙得分的中位数 B．甲得分的极差大于乙得分的极差 C．甲得分的第75百分位数大于乙得分的第75百分位数 D．甲得分的方差大于乙得分的方差 AC　[由统计图可知，甲得分从小到大排列为81，81，82，83，84，87， 乙得分从小到大排列为78，79，80，81，82，86． 对于A，甲得分的中位数为＝82.5，乙得分的中位数＝80.5， 所以甲得分的中位数大于乙得分的中位数，故A正确； 对于B，甲得分的极差为87－81＝6，乙得分的极差为86－78＝8， 所以甲得分的极差小于乙得分的极差，故B错误； 对于C，因为6×75%＝4.5， 所以甲得分的第75百分位数为84，乙得分的第75百分位数为82， 所以甲得分的第75百分位数大于乙得分的第75百分位数，故C正确； 对于D，由折线图可知，甲的得分比较集中，乙的得分比较分散， 所以甲得分的方差小于乙得分的方差，故D错误．故选AC．] 3．(多选)(2025·广东揭阳模拟)洛阳是我国著名的牡丹之乡，以“洛阳地脉花最宜，牡丹尤为天下奇”流传于世．某种植基地通过植株高度研究牡丹的生长情况，从同一批次牡丹中随机抽取100株的植株高度(单位：cm)作为样本，得到如图所示的频率分布直方图，则下列结论正确的是(　　) A．基地牡丹植株高度的极差的估计值大于50 B．基地牡丹植株高度不高于70的频率估计值为30% C．基地牡丹植株高度的众数与中位数的估计值相等 D．基地牡丹植株高度的第75百分位数的估计值小于80 BC　[根据题意，最高值为100，最低值为50，则极差小于或等于50，故A错误； 基地牡丹植株高度不高于70的频率估计值为0.01×10＋0.02×10＝0.3，故B正确； 牡丹植株高度的众数为75，根据图表可得，[50，60)的频率为0.1，[60，70)的频率为0.2，[70，80)的频率为0.4， 0.1＋0.2＋0.4＝0.7＞0.5， 设中位数为x，则(x－70)×0.04＝0.5－0.1－0.2＝0.2，则x＝75，故众数等于中位数，故C正确； 设第75百分位数为m，又[50，60)的频率为0.1，[60，70)的频率为0.2，[70，80)的频率为0.4，[80，90)的频率为0.25， 则0.7＋(m－80)×0.025＝0.75，则m＝82＞80，故D错误． 故选BC．] 易错提醒：(1)对于给出的统计图表，一定要结合问题背景理解图表意义．(2)频率分布直方图中纵坐标不要误以为是频率． 【教用·备选题】 1．(多选)(2025·广东模拟)为了丰富学生的课余生活，减轻学生的学习压力，某校提倡师生全民健身，口号为“全民健身，与奥运同行”．该校跳绳社团组织学生校内跳绳比赛，得到10名同学的跳绳数分别为：180，166，190，176，180，200，170，198，160，220(单位：个)，则这组样本数据的(　　) A．极差为60　　　　　 B．平均数是184 C．方差为400 D．60%分位数是185 ABD　[根据题意，10个数据从小到大排列：160，166，170，176，180，180，190，198，200，220． 对于A，极差为220－160＝60，A正确； 对于B，平均数为(160＋166＋170＋176＋180＋180＋190＋198＋200＋220)＝184，B正确； 对于C，其方差s2＝[(160－184)2＋(166－184)2＋(170－184)2＋(176－184)2＋(180－184)2＋(180－184)2＋(190－184)2＋(198－184)2＋(200－184)2＋(220－184)2]＝297.6，C错误； 对于D，10×60%＝6，则其60%分位数是(180＋190)＝185，D正确． 故选ABD．] 2．(2023·全国乙卷)某厂为比较甲、乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率，甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为xi，yi(i＝1，2，…，10)，试验结果如下： 试验 序号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 伸缩 率xi 545 533 551 522 575 544 541 568 596 548 伸缩 率yi 536 527 543 530 560 533 522 550 576 536 记zi＝xi－yi(i＝1，2，…，10)，z1，z2，…，z10的样本平均数为，样本方差为s2． (1)求，s2． (2)判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高(如果2，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高)． [解]　(1)由题意，求出zi的值如表所示， 试验序号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 zi 9 6 8 －8 15 11 19 18 20 12 则＝×(9＋6＋8－8＋15＋11＋19＋18＋20＋12)＝11， s2＝×[(9－11)2＋(6－11)2＋(8－11)2＋(－8－11)2＋(15－11)2＋(11－11)2＋(19－11)2＋(18－11)2＋(20－11)2＋(12－11)2]＝61． (2)因为2＝2＝＝11＝>， 所以可认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高． 基础考点2　变量的相关性及回归分析 【母题3】　[人教A版选择性必修第三册P138复习参考题8T2]根据变量Y和x的成对样本数据，由一元线性回归模型 得到经验回归模型＝x＋，对应的残差如图所示．模型误差(　　) A．满足一元线性回归模型的所有假设 B．不满足一元线性回归模型的E(e)＝0的假设 C．不满足一元线性回归模型的D(e)＝σ2的假设 D．不满足一元线性回归模型的E(e)＝0和D(e)＝σ2的假设 C　[由一元线性回归模型得到经验回归模型＝x＋，根据对应的残差图，残差的均值E(e)＝0可能成立，但明显残差在x轴上方的数据更分散，D(e)＝σ2不满足一元线性回归模型，正确的只有C．] 【母题4】　[苏教版选择性必修第二册P168练习T2]某种产品的广告费支出x与销售额y之间有如下对应数据： x/106元 2 4 5 6 8 y/106元 30 40 60 50 70 (1)画出散点图； (2)求出经验回归方程． [解]　(1)如图． (2)由表中数据知＝5，＝50， 由 得＝6.5，＝17.5， 故所求经验回归方程为＝6.5x＋17.5． 链接核心知识：求经验回归方程的步骤 (1)依据成对样本数据画出散点图，确定两个变量具有线性相关关系(有时可省略)． (2)计算出，，． (3)写出经验回归方程． 1．(多选)(2025·江苏三模)下列说法正确的是(　　) A．成对样本数据(xi，yi)(i＝1，2，3，…，10)中，根据最小二乘法求得经验回归方程为y＝3x－1，去除一个样本点(x1，y1)后，得到的新经验回归方程一定会发生改变 B．在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合精度越高 C．在一元线性回归模型中，若决定系数R2＝1，则残差的平方和为0 D．具有相关关系的两个变量x，y的样本相关系数为r，那么r越大，x，y之间的线性相关程度越强 BC　[A选项，若去除的点恰好在原经验回归直线上，则去除该点后，经验回归方程不会发生改变，故A错误； B选项，在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明波动越小，即模型的拟合精度越高，故B正确． C选项，由决定系数R2＝1－，当R2＝1时，可得残差平方和(yi－)2＝0，故C选项正确； D选项，|r|越接近于1，则x，y之间的线性相关程度越强，故D错误． 故选BC．] 2．(多选)(2025·湖南模拟)小王经过调查获得如下数据： x 2 4 7 17 30 y 1 2 3 4 5 参考公式： 下列说法正确的有(　　) A．该数据组的经验回归方程(系数精确到0.01)为＝0.13x＋1.44 B．以＝cekx拟合一组数据时，经z＝ln y代换后的经验回归方程为＝0.2x＋0.3，则c＝e0.3，k＝0.2 C．所有数据点中残差最小的是(2，1) D．去掉数据点(4，2)后，经验回归直线会向上移动 ABC　[对于A，由题意可知，＝＝12， ＝＝3， 所以 ≈0.13， 所以≈3－0.13×12＝1.44， 所以该数据组的经验回归方程(系数精确到0.01)为＝0.13x＋1.44，故A正确； 对于B，以＝cekx拟合一组数据时，经z＝ln y代换后的经验回归方程为＝0.2x＋0.3， 即ln ＝0.2x＋0.3，可得＝e0.2x+0.3＝e0.3·e0.2x＝cekx，故c＝e0.3，k＝0.2，故B项正确； 对于C，点(2，1)对应的残差为1－(0.13×2＋1.44)＝－0.7， 点(4，2)对应的残差为2－(0.13×4＋1.44)＝0.04， 点(7，3)对应的残差为3－(0.13×7＋1.44)＝0.65， 点(17，4)对应的残差为4－(0.13×17＋1.44)＝0.35， 点(30，5)对应的残差为5－(0.13×30＋1.44)＝－0.34， 所以所有数据点中残差最小的是(2，1)，故C正确； 对于D，因为数据点(4，2)对应的残差为0.04＞0， 所以数据点(4，2)在经验回归直线的上方， 故去掉数据点(4，2)后，经验回归直线会向下移动，故D错误．故选ABC．] 3．(2025·上海卷)2024年巴黎奥运会，中国获得了男子4×100米混合泳接力金牌，以下是历届奥运会男子4×100米混合泳接力项目冠军成绩记录(单位：秒)，数据按照升序排列． 206.78　207.46　207.95　209.34　209.35 210.68　213.73　214.84　216.93　216.93 (1)求这组数据的极差与中位数； (2)从这10个数据中任选3个，求恰有2个数据在211以上的概率； (3)若比赛成绩y关于年份x的回归方程为＝－0.311x＋，年份x的平均数为2 006，预测2028年冠军队的成绩(精确到0.01秒)． [解]　(1)这组数据的极差为216.93－206.78＝10.15， 中位数为＝210.015． (2)记“从这10个数据中任选3个，恰有2个数据在211以上”为事件A， 由题可知，这10个数据中在211以上的有4个，故P(A)＝＝＝． (3)由题可知，＝211.399， 代入＝－0.311x＋，得211.399＝－0.311×2 006＋， 解得＝835.265， 则＝－0.311x＋835.265， 将x＝2 028代入，得＝204.557≈204.56， 故预测2028年冠军队的成绩为204.56秒． 易错提醒：(1)样本点不一定在经验回归直线上，但点()一定在经验回归直线上． (2)求b时，灵活选择公式，注意公式的推导和记忆． (3)利用样本相关系数判断线性相关程度强弱时，看|r|的大小，而不是r的大小． (4)区分样本相关系数r与决定系数R2． (5)通过经验回归方程求的都是估计值，而不是真实值． 【教用·备选题】 1．(2023·天津卷)调查某种群花萼长度和花瓣长度，所得数据如图所示．其中相关系数r＝0.824 5，下列说法正确的是(　　) A．花瓣长度和花萼长度没有相关性 B．花瓣长度和花萼长度呈负相关 C．花瓣长度和花萼长度呈正相关 D．若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数一定是0.824 5 C　[因为相关系数r＝0.824 5，所以花瓣长度和花萼长度的相关性较强，并且呈正相关，所以选项A，B错误，选项C正确；因为相关系数与样本的数据有关，所以当样本发生变化时，相关系数也会发生变化，所以选项D错误．故选C．] 2．随着电商行业的快速发展，网络购物交易额也快速提升，某网上交易平台工作人员对2020年至2024年每年的交易额(取近似值)进行统计分析，结果如下表： 年份 2020 2021 2022 2023 2024 年份代码t 1 2 3 4 5 交易额y/百亿 1.5 2 3.5 8 15 (1)据上表数据，计算y与t的样本相关系数r(精确到0.01)，并说明y与t的线性相关性的强弱；(若0.75＜|r|＜1，则认为y与t线性相关性很强；若0.3＜|r|0.75，则认为y与t线性相关性一般；若|r|0.3，则认为y与t线性相关性较弱．) (2)利用最小二乘法建立y关于t的经验回归方程，并预测2026年该平台的交易额． 参考数据：)(yi－)＝33，)2＝127.5，≈7.14． 参考公式：样本相关系数 经验回归方程＝＋t中，斜率和纵截距的最小二乘估计分别为b＝ ＝－b． [解]　(1)由已知得，＝＝3， )＝33，)2＝127.5， )2＝(1－3)2＋(2－3)2＋(3－3)2＋(4－3)2＋(5－3)2＝10， 故 ＝ ＝≈≈0.92>0.75， 由题意可知若0.75＜|r|＜1，则认为y与t线性相关性很强， 所以y与t的线性相关性程度很强． (2)＝＝6， ＝＝＝3.3， 则＝＝6－3.3×3＝－3.9， 所以y关于t的经验回归方程为＝3.3t－3.9， 当t＝7时，＝3.3×7－3.9＝19.2， 所以预计2026年该平台的交易额为19.2百亿． 基础考点3　独立性检验 【母题5】　[人教A版选择性必修第三册P134T4]从某学校获取了容量为400的有放回简单随机样本，将所得数学和语文期末考试成绩的样本观测数据整理如下： 单位：人 数学成绩 语文成绩 合计 不优秀 优秀 不优秀 212 61 273 优秀 54 73 127 合计 266 134 400 依据α＝0.05的独立性检验，能否认为数学成绩与语文成绩有关联？ [解]　零假设为 H0：数学成绩与语文成绩无关联． 根据列联表中的数据，经计算得到 χ2＝≈48>3.841 ＝x0.05． 根据小概率值α＝0.05的χ2独立性检验，我们推断H0不成立，即认为数学成绩与语文成绩有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05． 链接核心知识：独立性检验的一般步骤 (1)根据样本数据列2×2列联表． (2)根据公式χ2＝，计算χ2的值． (3)查表比较χ2与临界值的大小关系，作统计判断．χ2越大，对应假设事件H0成立(两类变量相互独立)的概率越小，H0不成立的概率越大． (2025·湖南模拟)某市统计了2025年4月的空气质量指数(AQI)，将其分为[0，50]，(50，100]，(100，150]，(150，200]的4组，画出频率分布直方图如图所示．若AQI100，称当天空气质量达标；若AQI＞100，称当天空气质量不达标． (1)求a； (2)从4月的30天中任取2天，求至少有1天空气质量达标的概率； (3)若2025年6月的30天中有8天空气质量达标，请完成下面2×2列联表，根据小概率值α＝0.1的独立性检验，能否认为空气质量是否达标与月份有关联？ 单位：天 月份 空气质量 合计 达标 不达标 4月 6月 合计 附：χ2＝， α 0.1 0.05 0.01 xα 2.706 3.841 6.635 [解]　(1)根据题意可得(a＋0.006＋0.010＋a)×50＝1，解得a＝0.002． (2)由频率分布直方图知， 4月份的空气质量达标的天数为50×(0.002＋0.006)×30＝12， 所以4月份的空气质量不达标的天数为30－12＝18， 所以从4月份的30天中任取2天，至少有1天空气质量达标的概率为＝． (3)列联表如下： 单位：天 月份 空气质量 合计 达标 不达标 4月 12 18 30 6月 8 22 30 合计 20 40 60 零假设为 H0：空气质量是否达标与月份无关联． 根据列联表中的数据，经计算得到 χ2＝＝1.2＜2.706＝x0.1， 根据小概率值α＝0.1的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，因此可以认为 H0成立，即认为空气质量是否达标与月份无关联． 易错提醒：在犯错误的概率不大于0.01的前提下认为两个变量有关，并不是指两个变量无关的可能性为0.01． 【教用·备选题】 1．(2025·江西上饶月考)某校对“学生性别和喜欢某热门软件是否有关”作了一次调查，其中被调查的女生人数是男生人数的，男生喜欢该软件的人数占男生人数的，女生喜欢该软件的人数占女生人数．若依据α＝0.05的独立性检验认为是否喜欢该软件和性别有关联，则男生至少有 人． α 0.050 0.010 xα 3.841 6.635 12　[设男生人数为x，则女生人数为，则列联表如下： 单位：人 性别 是否喜欢该软件 合计 喜欢该软件 不喜欢该软件 男生 x 女生 合计 x 若依据α＝0.05的独立性检验，认为是否喜欢该软件和性别有关联， 则χ2＝＝3.841＝x0.05，解得x10． 又因为为整数， 所以男生至少有12人．] 2．(2023·全国甲卷改编)一项试验旨在研究臭氧效应，试验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其中20只分配到试验组，另外20只分配到对照组，试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量(单位：克)．试验结果如下： 对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为 15.2　18.8　20.2　21.3　22.5　23.2　25.8 26.5　27.5　30.1　32.6　34.3　34.8　35.6 35.6　35.8　36.2　37.3　40.5　43.2 试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为 7.8　 9.2　 11.4　12.4　13.2　15.5　16.5 18.0　18.8　19.2　19.8　20.2　21.6　22.8 23.6　23.9　25.1　28.2　32.3　36.5 (1)计算试验组的样本平均数； (2)①求40只小白鼠体重的增加量的中位数m，再分别统计两样本中小于m与不小于m的数据的个数，完成如下列联表； 单位：克 组别 小白鼠体重的增加量 合计 <m m 对照组 试验组 合计 ②根据①中的列联表，依据小概率值α＝0.05的独立性检验，能否认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异？ 附：χ2＝，n＝a＋b＋c＋d． α 0.100 0.050 0.010 xα 2.706 3.841 6.635 [解]　(1)根据题意，试验组样本平均数为 ＝×(7.8＋9.2＋11.4＋12.4＋13.2＋15.5＋16.5＋18.0＋18.8＋19.2＋19.8＋20.2＋21.6＋22.8＋23.6＋23.9＋25.1＋28.2＋32.3＋36.5)＝19.8． (2)①由题意知，这40只小白鼠体重的增加量的中位数是将两组数据合在一起，从小到大排列后第20位与第21位数据的平均数， 第20位数据为23.2，第21位数据为23.6， 所以这组数据的中位数m＝×(23.2＋23.6)＝23.4． 填写列联表如下： 单位：克 组别 小白鼠体重的增加量 合计 <m m 对照组 6 14 20 试验组 14 6 20 合计 20 20 40 ②零假设为 H0：小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量无差异． 根据列联表中数据，经计算得到 χ2＝＝6.4>3.841 ＝x0.05， 根据小概率值α＝0.05的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异，此推断犯错误的概率不超过0.05． (2024·全国甲卷改编)某工厂进行生产线智能化升级改造．升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下： 优级品 合格品 不合格品 合计 甲车间 26 24 0 50 乙车间 70 28 2 100 合计 96 52 2 150 (1)填写如下列联表： 单位：件 车间 产品等级 合计 优级品 非优级品 甲车间 乙车间 合计 依据α＝0.05的独立性检验，能否认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？依据α＝0.01的独立性检验，能否认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？ (2)已知升级改造前该工厂产品的优级品率p＝0.5．设为升级改造后抽取的n件产品的优级品率．如果>p＋1.65，则认为该工厂产品的优级品率提高了．根据抽取的150件产品的数据，能否认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？(≈12.247) 附：χ2＝，n＝a＋b＋c＋d． α 0.050 0.010 0.001 xα 3.841 6.635 10.828 [解]　(1)填写列联表如下： 单位：件 车间 产品等级 合计 优级品 非优级品 甲车间 26 24 50 乙车间 70 30 100 合计 96 54 150 零假设为 H0：甲、乙两车间产品的优级品率无差异． 根据列联表中的数据，经计算得到 χ2＝＝4.687 5． 因为χ2＝4.687 5>3.841＝x0.05，根据小概率值α＝0.05的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异，此推断犯错误的概率不超过0.05； 因为χ2＝4.687 5<6.635＝x0.01，根据小概率值α＝0.01的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，因此可以认为H0成立，即认为甲、乙两车间产品的优级品率无差异． (2)由题意可知＝＝0.64， 又p＋1.65＝0.5＋1.65×≈0.5＋1.65×≈0.57， 所以>p＋1.65，所以能认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了． 19 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $