14 专题三 课时5 等差数列、等比数列（教师用书Word版）-【高考快车道】2026年高考数学大二轮专题复习与讲义

[典例]　(15分)(2025·全国一卷)已知数列{an}中，a1＝3，＝． (1)证明：数列{nan}是等差数列； (2)给定正整数m，设函数f(x)＝a1x＋a2x2＋…＋amxm，求f′(－2)． 明条件，顺思路 规范答，抢得分(填一填) 点关键，防陷阱 第(1)问 读所求：证明{nan}是等差数列→想方法：①解答题通常用定义式an＋1－an＝d(常数)；②(n＋1)an＋1－nan＝常数；③整体思想：把(n＋1)an＋1看作一个整体(换元令bn＝nan更“直观”)． 读题干：＝→想问题：如何对递推式变形． 第(2)问 想已知：通过(1)的解答，已求出{nan}的首项和公差→想问题：等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d． 读所求：f′(－2)→想方法：求f(x)的导函数f′(x)． 读已知：f(x)＝a1x＋a2x2＋…＋amxm→想方法：①求导法．则[f(x)＋g(x)]′＝f′(x)＋g′(x)；[cf(x)]′＝cf′(x)． ②f′(x)＝a1＋2a2x＋…＋mamxm-1． ③a1，2a2，…，mam是等差数列，{(－2)m}是等比数列，用错位相减法求f′(－2)． [解]　(1)证明：已知＝， 等式两边同乘n(n＋1)，得(n＋1)an＋1＝nan＋1， 即(n＋1)an＋1－nan＝1，……………………(3分) 又因为1×a1＝3， 所以{nan}是首项为3，公差为1的等差数列．……………………(5分) (2)第1步：根据(1)得到数列{nan}的通项 由(1)知，nan＝3＋(n－1)×1＝n＋2， ………………(7分) 第2步：求导 因为f(x)＝a1x＋a2x2＋…＋amxm， 所以f′(x)＝a1＋2a2x＋…＋mamxm-1， 故f′(－2)＝3＋4×(－2)＋…＋(m＋2)×(－2)m-1，……………………(10分) 第3步：利用错位相减法求得f′(－2) 所以－2f′(－2)＝3×(－2)＋4×(－2)2＋…＋(m＋2)·(－2)m．……………………(12分) 两式相减，得 3f′(－2)＝3＋(－2)＋(－2)2＋…＋(－2)m-1－(m＋2)(－2)m＝，…………(14分) 所以f′(－2)＝．…………(15分) 第(1)问的关键在于得到等差数列的定义式． 第(2)问的关键是正确求导． 在写f′(－2)与－2f′(－2)的表达式时，应注意将两式“错项对齐”，以便下一步准确写出f′(－2)－(－2f′(－2))的表达式，防止计算错误． 课时5　等差数列、等比数列 [备考指南]　等差数列、等比数列是高考必考内容，主要以选择题、填空题的形式考查等差、等比数列的基本运算及性质的应用；对等差、等比数列的判定与证明常以解答题的形式考查，难度中等或偏下． 基础考点1　等差(比)数列的基本运算 【母题1】　[苏教版选择性必修第一册P149例2]在等差数列{an}中，已知d＝，an＝，前n项和Sn＝－，则a1＝ ，n＝ ． －3　10　[由题意得 由②，得a1＝－n＋2． 代入①后化简，得n2－7n－30＝0， 解得n＝10或n＝－3(舍)，从而a1＝－3．] 【母题2】　[人教A版选择性必修第二册P36例8]已知等比数列{an}的首项为－1，前n项和为Sn．若＝，则公比q的值为 ． －　[若q＝1，则＝＝2≠，所以q≠1．当q≠1时，由＝，得·＝，整理，得1＋q5＝，即q5＝－，所以q＝－．] 链接核心知识：(1)等差数列的通项公式：an＝a1＋(n－1)d． (2)等比数列的通项公式：an＝a1·qn-1． (3)等差数列的前n项和公式： Sn＝＝na1＋d． (4)等比数列的前n项和公式： Sn＝ 1．[人教A版选择性必修第二册P15T4改编]已知等差数列{an}的前4项为a，3b，2，5b，则a9＝(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 A　[因为等差数列{an}的前4项为a，3b，2，5b， 所以解得 所以等差数列{an}的前4项为1，，2，， 故等差数列{an}的首项为1，公差为． 所以a9＝a1＋8×＝5． 故选A．] 2．(2025·北京卷)已知{an}是公差不为0的等差数列，a1＝－2，若a3，a4，a6成等比数列，则a10＝(　　) A．－20 B．－18 C．16 D．18 C　[{an}是公差不为0的等差数列，a1＝－2，且a3，a4，a6成等比数列，设公差为d(d≠0)，则＝a3a6，即(－2＋3d)2＝(－2＋2d)(－2＋5d)，整理得d2－2d＝0，解得d＝2或d＝0(舍去)，所以a10＝a1＋9d＝－2＋9×2＝16．故选C．] 3．(多选)(2025·全国二卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和，q为{an}的公比，q>0．若S3＝7，a3＝1，则(　　) A．q＝ B．a5＝ C．S5＝8 D．an＋Sn＝8 AD　[根据S3＝a1＋a2＋a3＝＋a3＝＋1＝7，得6q2－q－1＝0，即(2q－1)(3q＋1)＝0，因为q＞0，所以q＝．故A正确； a5＝a3q2＝1×＝．故B错误； 因为a1＝＝4，所以S5＝＝＝．故C错误； an＝a1qn-1＝4×＝＝23-n，Sn＝＝＝8＝8－＝8－23-n，所以an＋Sn＝8．故D正确． 故选AD．] 4．(2024·新高考Ⅱ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a3＋a4＝7，3a2＋a5＝5，则S10＝ ． 95　[因为数列{an}为等差数列，则由题意得 解得 则S10＝10a1＋d＝10×(－4)＋45×3＝95．] 反思领悟：等差(比)数列基本运算的方法 (1)设基本量a1和公差d(公比q)． (2)列、解方程(组)：把条件转化为关于a1和d(q)的方程(组)，然后求解，注意整体计算，以减少运算量． 【教用·备选题】 1．(2023·新高考Ⅱ卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和，若S4＝－5，S6＝21S2，则S8＝(　　) A．120　　　　　　　　 B．85 C．－85 D．－120 C　[法一：设等比数列{an}的公比为q(q≠0)，由题意易知q≠1， 则 化简整理得 所以S8＝＝×(1－44)＝－85． 故选C． 法二：易知S2，S4－S2，S6－S4，S8－S6，…为等比数列，所以(S4－S2)2＝S2·(S6－S4)，解得S2＝－1或S2＝． 当S2＝－1时，由(S6－S4)2＝(S4－S2)·(S8－S6)，解得S8＝－85； 当S2＝时，结合S4＝－5，得 化简可得q2＝－5，不成立，舍去．所以S8＝－85． 故选C．] 2．2025年蛇年春晚的武汉分会场的其中一个地点设在黄鹤楼，楼的外部有五层而实际上内部有九层．为营造春节的喜庆气氛，主办方决定在黄鹤楼的外部用灯笼进行装饰．这五层楼预计共挂186盏灯笼，且相邻两层中的下一层灯笼数是上一层灯笼数的2倍，则最中间一层需要挂灯笼的数量为(　　) A．12盏 B．24盏 C．36盏 D．48盏 B　[由题意知，各层楼的灯笼数从上至下构成公比为2的等比数列，记为数列{an}， 则最上层即为第1层楼所挂灯笼数为a1． 由S5＝＝186，解得a1＝6． 则最中间一层需要挂的灯笼数为a3＝6×22＝24． 故选B．] 3．将数列中的所有项从第2行起按每一行比上一行多两项的规则排成数表，已知表中的第一列a1，a2，a5，…构成一个公差为3的等差数列，从第2行起，每一行都是公比为q的等比数列，若a3＝－8，a84＝80，则q＝(　　) 第1行　a1 第2行　a2　　a3　　a4 第3行　a5　　a6　　a7　　a8　　a9 …… A．2 B． C． D． A　[由题意知a3＝a2q＝－8，所以a2＝－， 第n行的项的个数为2n－1， 所以从第1行到第n行的所有项的个数之和为＝n2， 因为84＝92＋3， 所以a84是第10行第3个数， 所以a84＝a82q2＝·q2＝q2＝－8q＋24q2＝80， 解得q＝2或q＝－(舍去)．故选A．] 基础考点2　等差(比)数列的性质 【母题3】　[人教A版选择性必修第二册P31练习T3]在等比数列{an}中，a1a3＝36，a2＋a4＝60，求a1和公比q． [解]　法一：由得 解得或 法二：因为a1a3＝36，所以＝36，所以a2＝±6． 当a2＝6时，a4＝54，所以q2＝＝9，所以q＝±3． 当a2＝－6时，a4＝66，所以q2＝＝－11<0(舍去)， 所以，当q＝3时，a1＝2， 当q＝－3时，a1＝－2． 【母题4】　[人教A版选择性必修第二册P23练习T5]已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为290，所有偶数项的和为261，求此数列中间一项的值以及项数． [解]　设等差数列的项数为2n－1，设所有的奇数项和为S，则S＝＝nan； 设所有的偶数项和为T，则T＝＝(n－1)an， 则＝＝＝，解得n＝10， 则该数列的项数为2n－1＝19，中间项为a10． 由S＝10a10＝290，得a10＝29， 所以此数列中间一项是29，项数为19． 链接核心知识：(1)通项性质：若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则对于等差数列，有am＋an＝ap＋aq＝2ak；对于等比数列，有aman＝apaq＝． (2)前n项和的性质： ①对于等差数列有Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等差数列；对于等比数列有Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等比数列(q＝－1且m为偶数时除外)． ②对于等差数列有S2n－1＝(2n－1)an． 1．(2024·全国甲卷)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S9＝1，则a3＋a7＝(　　) A．－2　　　B．　　　C．1　　　D． D　[法一(利用等差数列的基本量)： 由S9＝1，根据等差数列的求和公式，S9＝9a1＋d＝1，即9a1＋36d＝1， 又a3＋a7＝a1＋2d＋a1＋6d＝2a1＋8d＝(9a1＋36d)＝． 故选D． 法二(利用等差数列的性质)： 根据等差数列的性质，a1＋a9＝a3＋a7，由S9＝1，根据等差数列的求和公式， S9＝＝＝1，故a3＋a7＝． 故选D． 法三(特殊值法)： 不妨取等差数列的公差d＝0，则S9＝1＝9a1，解得a1＝，则a3＋a7＝2a1＝． 故选D．] 2．记Sn为等比数列{an}的前n项和，若a4＋a5＋a6＝－3，a7＋a8＋a9＝9，则S15＝(　　) A．81 B．71 C．61 D．51 C　[由题可知S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9，S15－S12成等比数列， 所以(S6－S3)2＝S3(S9－S6)，即(－3)2＝S3×9，得S3＝1， 则此等比数列的首项是1，公比是－3，那么S12－S9＝a10＋a11＋a12＝9×(－3)＝－27， S15－S12＝a13＋a14＋a15＝－27×(－3)＝81， 所以S15＝1＋(－3)＋9＋(－27)＋81＝61． 故选C．] 3．(多选)(2025·湖南株洲市石峰区模拟)已知数列{an}是等比数列，前n项积为Tn，则(　　) A．a5a11＝ B．T17＝ C．若a9a10＝a11，则T8＝T7 D．{}是等比数列 ACD　[数列{an}是等比数列，易得a5a11＝，A正确； 由aia18－i＝，得T17＝a1a2…a17＝，B错误； 由a8a11＝a9a10＝a11，得a8＝1，所以T8＝T7，C正确； 因为＝a1a2n，所以＝＝q2， 所以{}是等比数列，D正确．故选ACD．] 反思领悟：等差数列、等比数列的性质问题的求解策略 (1)抓关系，抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系，从这些特点入手，选择恰当的性质进行求解． (2)用性质，数列是一种特殊的函数，具有函数的一些性质，如单调性、周期性等，可利用函数的性质解题． 【教用·备选题】 1．(2025·江西九江二模)等差数列{an}中，已知a2＋a5＋a8＋3a6＝18，则{an}的前10项和等于(　　) A．36　　　B．30　　　C．20　　　D．18 B　[由等差数列{an}得a2＋a5＋a8＝3a5， 则a2＋a5＋a8＋3a6＝3(a5＋a6)＝18， 即a5＋a6＝6， 由等差数列的求和公式可得， S10＝＝5(a5＋a6)＝30． 故选B．] 2．(2025·陕西榆林二模)已知Sn为等差数列{an}的前n项和，且＝，则＝ ． 2　[S9＝＝9a5， S13＝＝13a7， 则＝＝， 所以＝2．] 基础考点3　等差(比)数列的判定与证明 【母题5】　[人教A版选择性必修第二册P41习题4.3T7]已知数列{an}的首项a1＝1，且满足an＋1＋an＝3×2n． (1)求证：{an－2n}是等比数列； (2)求数列{an}的前n项和Sn． [解]　(1)证明：由an＋1＋an＝3×2n，可得an＋1－2n+1＝－(an－2n)．因为a1＝1，所以a1－2＝－1．从而an＋1－2n+1＝－(an－2n)≠0．于是＝－1，所以{an－2n}是首项和公比均为－1的等比数列． (2)设数列{an－2n}的前n项和为Tn，则Tn＝＝．故Sn＝Tn＋(2＋22＋…＋2n)＝＋2n+1－2＝＋2n+1－． 当n为偶数时，Sn＝＋2n+1－＝2n+1－2； 当n为奇数时，Sn＝＋2n+1－＝2n+1－3． 综上所述，Sn＝ 链接核心知识： 等差数列 等比数列 定义法 an＋1－an＝d ＝q(q≠0) 通项法 an＝a1＋(n－1)d an＝a1·qn-1 中项法 2an＝ ＝an－1an＋1(n2，an≠0) 前n项和法 Sn＝an2＋bn(a，b为常数) Sn＝kqn－k(k≠0，q≠0，1) 注：证明数列为等差(比)数列一般使用定义法． (2025·黑龙江哈尔滨模拟)已知在数列{an}中，a1＝1，an＋an＋1＝． (1)令bn＝3n-1an－，证明：数列{bn}是等比数列； (2)设Sn＝a1＋3a2＋32a3＋…＋3n-1an，证明：数列{4Sn－3nan}是等差数列． [证明]　(1)易知＝＝ ＝＝－3， 又b1＝a1－＝≠0， 所以数列{bn}是以为首项，－3为公比的等比数列． (2)法一：由(1)知bn＝3n-1an－＝×(－3)n-1， 所以3n-1an＝×(－3)n-1＋， 所以Sn＝ ＝[1－(－3)n]， 即4Sn＝n＋×(－3)n， 又3nan＝－×(－3)n＋，所以4Sn－3nan＝n， 所以n2时，4Sn－3nan－(4Sn－1－3n-1an－1)＝1， 又4S1－31a1＝1， 所以数列{4Sn－3nan}是首项为1，公差为1的等差数列． 法二：由Sn＝a1＋3a2＋32a3＋…＋3n-1an，得 当n2时，Sn－1＝a1＋3a2＋32a3＋…＋3n-2an－1， 以上两式相减得Sn－Sn－1＝3n-1an， 所以4Sn－3nan－(4Sn－1－3n-1an－1) ＝4(Sn－Sn－1)－3nan＋3n-1an－1＝4·3n-1an－3nan＋3n-1an－1＝3n-1(an＋an－1)＝3n-1·＝1， 又4S1－31a1＝1， 所以数列{4Sn－3nan}是首项为1，公差为1的等差数列． 易错提醒：＝an－1an＋1(n2，n∈N*)是{an}为等比数列的必要不充分条件，判断一个数列是等比数列时，还要注意各项不为0． (2){an}为等差(等比)数列，可推出a1，a2，a3成等差(等比)数列，但a1，a2，a3成等差(等比)数列并不能说明{an}为等差(等比)数列． (3)证明{an}不是等差(等比)数列可用特殊值法． 1．(2024·全国甲卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S5＝S10，a5＝1，则a1＝(　　) A．　　　B．　　　C．－　　　D．－ B　[由S10－S5＝a6＋a7＋a8＋a9＋a10＝5a8＝0，则a8＝0， 则等差数列{an}的公差d＝＝－，故a1＝a5－4d＝1－4×＝．故选B．] 2．(2025·上海春季高考)已知{an}是首项为1，公差为1的等差数列，{bn}是首项为1，公比为q(q＞0)的等比数列．若数列{an·bn}的前三项和为2，则q＝ ． 　[由题意可得，an＝n，bn＝qn-1，q＞0， 若数列{an·bn}的前三项和为2，则1＋2q＋3q2＝2， 解得q＝或q＝－1(舍去)．] 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $