11 专题二 课时4 解三角形中的高线、中线、角平分线问题（教师用书Word版）-【高考快车道】2026年高考数学大二轮专题复习与讲义

课时4　解三角形中的高线、中线、角平分线问题 [备考指南]　与三角形的特征线(高线、中线、角平分线)有关的解三角形问题是高考的热点，命题形式灵活新颖，实质为在两个三角形中应用正、余弦定理解三角形，难度中等或偏下． 能力考点1　高线问题 【典例1】　[结构不良题](2025·北京卷)在△ABC中，cos A＝－，a sin C＝4． (1)求c的值； (2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC存在，求BC边上的高． 条件①：a＝6；条件②：a sin B＝；条件③：△ABC的面积为10． [解]　(1)因为cos A＝－，A∈(0，π)， 所以sin A＝＝＝， 由正弦定理＝，得a sin C＝c sin A＝4， 所以c＝＝＝6． (2)若△ABC存在，则设其BC边上的高为AD． 若选①：a＝6，因为c＝6，所以C＝A，因为cos A＝－<0，这表明此时△ABC有两个钝角， 而这是不可能的，所以此时△ABC不存在，故BC边上的高也不存在． 若选②：a sin B＝，由a sin C＝4，得＝＝，由正弦定理得＝，由(1)知c＝6，所以b＝5， 所以由余弦定理得a＝＝＝9， 此时△ABC是存在的，且唯一确定， 所以S△ABC＝bc sin A＝BC·AD， 即×5×6×＝×9AD， 所以BC边上的高AD＝． 若选③：△ABC的面积是10，由(1)知c＝6，sin A＝， 则S△ABC＝bc sin A＝b×6×＝10， 解得b＝5， 由余弦定理可得a＝＝＝9， 此时△ABC是存在的，且唯一确定，则BC边上的高满足：S△ABC＝a·AD＝AD＝10，即AD＝． 反思领悟：(1)设h1，h2，h3分别为△ABC的边a，b，c上的高，则h1∶h2∶h3＝∶∶＝∶∶； (2)求高一般采用等面积法，即求某边上的高，需要求出面积和相应底边的长度． 高线的两个作用：①产生直角三角形；②与三角形的面积相关． (2025·新余一模)在△ABC中，已知角A，B，C的对边分别是a，b，c，且2a cos C＝2b－c． (1)求角A的大小； (2)若b＝4，BC边上的高为，求△ABC的周长． [解]　(1)由2a cos C＝2b－c及余弦定理， 可得2a·＝2b－c． 整理得b2＋c2－a2＝bc， 所以cos A＝＝， 又A∈(0，π)，则A＝． (2)由题意及(1)知，bc sin A＝a·，则c＝3a， 由cos A＝＝， 整理得c2＋9c－36＝0，解得c＝3(负值舍)， 故a＝，又b＝4， 所以△ABC的周长为7＋． 【教用·备选题】 1．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝． (1)求C； (2)若a－b＝2，△ABC的面积为2，求边AB上的高． [解]　(1)由正弦定理及＝，得＝， 即sin C＝1＋cos C， 整理得，2sin ＝1，即sin ＝， 因为C∈(0，π)，所以C－∈， 所以C－＝，即C＝． (2)因为△ABC的面积为2， 所以ab sin C＝ab＝2，即ab＝8， 由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2ab cos C＝a2＋b2－ab＝(a－b)2＋ab＝22＋8＝12， 所以c＝2， 设边AB上的高为h， 由ch＝2，解得h＝＝2． 2．(2025·蚌埠模拟)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2a cos A＋b cos C＝c cos (A＋C)． (1)求角A的大小； (2)若a＝，BC边上的高为，求△ABC的周长． [解]　(1)因为2a cos A＋b cos C＝c cos (A＋C)， 所以2a cos A＋b cos C＝－c cos B， 由正弦定理得2sin A cos A＋sin B cos C＝－sin C cos B， 所以2sin A cos A＝－sin C cos B－sin B cos C＝－sin (B＋C)＝－sin A， 又sin A≠0，所以cos A＝－， 又A∈(0，π)，所以A＝． (2)因为a＝，BC边上的高为h＝， 所以△ABC的面积S＝×a×h＝＝， 又由△ABC的面积S＝bc sin A＝bc×＝， 解得bc＝4， 由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A＝b2＋c2＋bc＝(b＋c)2－bc，而a＝， 所以21＝(b＋c)2－4，解得b＋c＝5， 所以△ABC的周长为a＋b＋c＝5＋． 能力考点2　中线问题 【典例2】　(2025·哈尔滨市香坊区一模)已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a sin B＝b cos ． (1)求角A的大小； (2)若D为BC的中点，AD＝，b＝2，求△ABC的面积． [解]　(1)由a sin B＝b cos ，根据正弦定理得 sin A sin B＝sin B cos ， 因为△ABC中，sin B≠0，所以sin A＝cos ， 即2sin cos ＝cos ， 由是锐角，可知cos ≠0，所以sin ＝， 解得A＝． (2)根据题意，可得·＝bc cos A＝bc． 因为D为BC的中点，所以＝)， 两边平方，可得＝(b2＋c2＋bc)， 因为AD＝，b＝2，所以＝(4＋c2＋2c)， 整理得c2＋2c－3＝0，解得c＝1或c＝－3(舍负)． 所以△ABC的面积S＝bc sin A＝． 反思领悟：解答三角形的中线问题的两种思路 (1)应用中线长定理：在△ABC中，AD是边BC上的中线，两次应用余弦定理，得AB2＋AC2＝2(BD2＋AD2)． (2)借助向量：在△ABC中，AD是边BC上的中线，则＝(b2＋c2＋2bc cos A)． (2025·徐州二模)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a cos A＋a sin A＝b cos B＋b sin B，且a≠b． (1)求C； (2)若D为AB边的中点，且AB＝1，CD＝，求△ABC的面积． [解]　(1)根据a cos A＋a sin A＝b cos B＋b sin B，由正弦定理得sin A cos A＋sin2A＝sinB cos B＋sin2B， 即sin2A＋cos 2A＝sin 2B＋cos 2B， 可得sin 2A－cos 2A＝sin 2B－cos 2B， 即sin ＝sin ． 由a≠b，可知A≠B，所以2A－＋2B－＝π＋2kπ(k∈Z)， 取k＝0，解得A＋B＝，所以C＝π－(A＋B)＝． (2)在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos C， 即1＝b2＋a2－ab，① 根据CD是△ABC的中线，可得2＝， 所以4＝＋＋2·， 整理得5＝b2＋a2＋ab，② 由 ②－①，解得ab＝， 所以△ABC的面积S＝ab sin C＝×sin ＝． 【教用·备选题】 1．(2025·沧州一模)已知△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足a∶b∶c＝∶2∶1． (1)求角A的值； (2)若点D为BC的中点，求AD∶BC的值． [解]　(1)设c＝k(k>0)，则a＝k，b＝2k， 由余弦定理的推论可得cos A＝＝＝－， 又因为A∈(0，π)， 所以A＝． (2)设c＝k(k>0)，则a＝k，b＝2k， 因为点D为BC的中点，所以＝)， 两边平方可得＝)2， 即4||2＝||2＋||2＋2||||·cos A， 所以4＝＋＋2||·||cos A＝k2＋4k2＋2×k×2k×＝3k2， 即AD＝k， 所以AD∶BC＝k∶k＝． 2．(2023·新高考Ⅱ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为，D为BC的中点，且AD＝1． (1)若∠ADC＝，求tan B； (2)若b2＋c2＝8，求b，c． [解]　(1)因为D为BC的中点， 所以S△ABC＝2S△ADC＝2××AD×DC sin ∠ADC＝2××1×DC×＝， 解得DC＝2， 所以BD＝DC＝2，a＝4． 因为∠ADC＝，所以∠ADB＝． 在△ABD中，由余弦定理，得c2＝AD2＋BD2－2AD·BD cos ∠ADB＝1＋4＋2＝7，所以c＝． 在△ADC中，由余弦定理，得b2＝AD2＋DC2－2AD·DC cos ∠ADC＝1＋4－2＝3， 所以b＝． 在△ABC中，由余弦定理的推论，得cos B＝＝＝， 所以sin B＝＝， 所以tanB＝＝． (2)法一：因为D为BC的中点，所以BD＝DC． 因为∠ADB＋∠ADC＝π，所以cos ∠ADB＝－cos ∠ADC， 则在△ABD与△ADC中，由余弦定理的推论，得＝－， 得1＋BD2－c2＝－(1＋BD2－b2)， 所以2BD2＝b2＋c2－2＝6，所以BD＝，所以a＝2． 在△ABC中，由余弦定理的推论， 得cos ∠BAC＝＝＝－， 所以S△ABC＝bc sin ∠BAC ＝bc＝bc ＝＝， 解得bc＝4． 则由解得b＝c＝2． 法二：在△ABC中，因为D为BC的中点， 则＝)， 所以＝(c2＋b2＋2bc cos A)， 又AD＝1，b2＋c2＝8， 则1＝(8＋2bc cos A)， 所以bc cos A＝－2，① S△ABC＝bc sin A＝，即bc sin A＝2，② 由①②解得tan A＝－，所以A＝， 所以bc＝4，又b2＋c2＝8，所以b＝c＝2． 法三：在△ABC中，由中线长公式可得 2(BD2＋AD2)＝AB2＋AC2， 又BD＝BC，AD＝1，b2＋c2＝8， 则(2AD)2＋BC2＝2(AB2＋AC2)， 即22＋a2＝2(b2＋c2)＝16， 所以a2＝12． 又S△ABC＝bc sin A＝， 因而bc sin A＝2， 又由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos A， 得12＝8－2bc cos A，所以bc cos A＝－2， 故tan A＝－⇒cos A＝－，所以bc＝4， 又b2＋c2＋2bc＝8＋8＝16＝(b＋c)2， b2＋c2－2bc＝8－8＝0＝(b－c)2，故b＝c＝2． 能力考点3　角平分线问题 【典例3】　(2025·辽宁二模)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2b－c＝2a cos C． (1)求A的大小； (2)若a＝，∠BAC的平分线AD交BC于点D，且AD＝1，求△ABC的面积． [解]　(1)由2b－c＝2a cos C， 可得2sin B－sin C＝2sin A cos C， 在△ABC中，sin B＝sin (A＋C)＝sin A cos C＋cos A sin C， 所以2(sin A cos C＋cos A sin C)－sin C＝2sin Acos C，整理得sin C(2cos A－1)＝0， 因为C∈(0，π)，sin C≠0，所以cos A＝，结合A∈(0，π)，可得A＝． (2)由AD平分∠BAC，可得∠BAD＝∠CAD＝， 由S△ABD＋S△ACD＝S△ABC，得AB·AD sin ∠BAD＋AC·AD sin ∠CAD＝AB·AC sin ∠BAC， 即c＋b＝bc，整理得b＋c＝bc，① 在△ABC中，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC cos ＝6， 即b2＋c2－bc＝6，即(b＋c)2－3bc＝6，将①代入得－3bc＝6，解得bc＝2(舍负)，所以△ABC的面积S＝bc sin A＝． 反思领悟：解答三角形的角平分线问题一般有两种思路：一是内角平分线定理；二是等面积法． 已知AD是△ABC的角平分线，则(1)＝；(2)S△ABD＋S△ACD＝S△ABC． (2025·新疆模拟)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b cos C＋c cos B＝2a cos A，∠CAB的平分线交BC于点E． (1)求A的大小； (2)若b＝6，S△ABC＝3，求AE的长． [解]　(1)由b cos C＋c cos B＝2a cos A及正弦定理， 可得sin B cos C＋sin C cos B＝2sin A cos A， 即sin (B＋C)＝sin A＝2sin A cos A， 因为A∈(0，π)，所以cos A＝， 即A＝． (2)由S△ABC＝bc sin A＝×6×c＝3， 可得c＝2，由S△ABC＝S△ABE＋S△ACE， 可得AB·AE·sin AC·AE·sin ＝3， 即×AE×(2＋6)＝3，解得AE＝． 【教用·备选题】 (2024·江西上饶模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其外接圆的半径为2，且b cos C＝a＋c sin B． (1)求B； (2)若B的角平分线交AC于点D，BD＝，点E在线段AC上，EC＝2EA，求△BDE的面积． [解]　(1)因为b cos C＝a＋c sin B， 由正弦定理可得sin B cos C＝sin A＋sin C·sin B， 又A＝π－，所以sin B cos C＝sin (B＋C)＋sin C sin B，所以sin B cos C＝sin B cos C＋cos B sin C＋sin C sin B， 即sin C cos B＋sin C sin B＝0， 因为C∈，故sin C≠0， 所以cos B＋sin B＝0， 即tan B＝－， 又B∈，则B＝． (2)由(1)可知，B＝， 又外接圆的半径为2， 由正弦定理可知＝4， 所以b＝4sin ＝6， 因为BD是∠ABC的平分线， 故∠CBD＝∠ABD＝∠ABC＝， 又BD＝，由S△ABC＝S△BCD＋S△ABD， 可得ac sin ＝a·sin c·sin ， 即ac＝．① 由余弦定理可知，b2＝a2＋c2－2ac cos ， 即(a＋c)2－ac＝36．② 由①②可得a＝c＝2． 所以BD⊥AC， 又因为EC＝2AE，则DE＝1， 所以S△BDE＝×1×＝． (2023·新高考Ⅰ卷)已知在△ABC中，A＋B＝3C，2sin (A－C)＝sin B． (1)求sin A； (2)设AB＝5，求AB边上的高． [解]　法一：(1)在△ABC中，A＋B＝π－C， 因为A＋B＝3C，所以3C＝π－C，所以C＝． 因为2sin (A－C)＝sin B， 所以2sin ＝sin ， 展开并整理得(sin A－cos A)＝(cos A＋sin A)， 得sin A＝3cos A， 又sin2A＋cos2A＝1，且sinA＞0， 所以sin A＝． (2)由正弦定理＝， 得BC＝·sin A＝＝3， 由余弦定理AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC cos C， 得52＝AC2＋(3)2－2AC·3cos ， 整理得AC2－3AC＋20＝0， 解得AC＝或AC＝2． 由(1)得，tan A＝3＞，所以＜A＜， 又A＋B＝，所以B＞， 即C＜B，所以AB＜AC，所以AC＝2． 设AB边上的高为h，则AB·h＝AC·BC sin C， 即5h＝2×3， 解得h＝6， 所以AB边上的高为6． 法二：(1)在△ABC中，A＋B＝π－C， 因为A＋B＝3C，所以3C＝π－C，所以C＝． 因为2sin (A－C)＝sin B， 所以2sin (A－C)＝sin [π－(A＋C)]＝sin (A＋C)， 所以2sin A cos C－2cos A sin C＝sin A cos C＋cos A sin C， 所以sin A cos C＝3cos A sin C， 易得cos A cos C≠0， 所以tan A＝3tan C＝3tan ＝3， 又sin A＞0， 所以sin A＝＝． (2)由(1)知sin A＝，tan A＝3＞0，所以A为锐角， 所以cos A＝， 所以sin B＝sin ＝(cos A＋sin A)＝＝， 由正弦定理＝， 得AC＝＝＝2， 故AB边上的高为AC·sin A＝2＝6． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $