10 专题二 课时3 解三角形（教师用书Word版）-【高考快车道】2026年高考数学大二轮专题复习与讲义

课时3　解三角形 [备考指南]　解三角形一是求边长、角度、面积等，二是利用三角恒等变换，将三角函数与三角形相结合考查求解最值、范围等问题，综合性较强，难度中等． 基础考点1　利用正、余弦定理求边或角 【母题1】　[苏教版必修第二册P93练习T4]在△ABC中，已知 a2＋b2＋ab＝c2，则C＝ ． 　[因为cos C＝＝＝－，又 C∈(0，π)，所以C＝．] 【母题2】　[人教A版必修第二册P48练习T3]在△ABC中，已知cos A＝，B＝，b＝，则a的值为 ；c的值为 ． 　[由cos A＝，可知A为锐角，则sin A＝＝．由正弦定理，得a＝＝．又sin C＝sin [π－(A＋B)]＝sin (A＋B)＝sin A cos B＋cos A sin B＝，所以由正弦定理，得c＝＝．] 链接核心知识：(1)正弦定理：在△ABC中，＝＝＝2R(R为△ABC的外接圆半径)． 变形：a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C，sin A＝，sin B＝，sin C＝，a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C等． (2)余弦定理：在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bc cos A． 变形：b2＋c2－a2＝2bc cos A，cos A＝． 1．(2023·北京卷)在△ABC中，(a＋c)·(sin A－sin C)＝b(sin A－sin B)，则C＝(　　) A． B． C． D． B　[因为(a＋c)(sin A－sin C)＝b(sin A－sin B)， 所以由正弦定理得(a＋c)(a－c)＝b(a－b)， 即a2－c2＝ab－b2， 则a2＋b2－c2＝ab，故cos C＝＝＝， 又0＜C＜π，所以C＝．故选B．] 2．(2025·江西宜春一模)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，cos 2B＋cos 2C＋2sin B sin C＝cos 2A＋1． (1)求A； (2)若b＋c＝5，△ABC的面积为，求a． [解]　(1)因为cos 2B＋cos 2C＋2sin B sin C＝cos 2A＋1， 所以1－2sin2B＋1－2sin2C＋2sinB sin C＝1－2sin2A＋1， 化简得sinB sin C＝sin2B＋sin2C－sin2A， 所以bc＝b2＋c2－a2． 由余弦定理的推论，得cosA＝＝＝， 因为A∈(0，π)，所以A＝． (2)由△ABC的面积为bc sin A＝，解得bc＝6． 由(1)可得b2＋c2－a2＝bc，所以(b＋c)2－2bc－a2＝bc， 即(b＋c)2－a2＝3bc，所以52－a2＝3×6，解得a＝(a＝－舍去)． 反思领悟：应用正弦、余弦定理解题的技巧 (1)涉及边与角的余弦的积时，常用正弦定理将边化为角，涉及边的平方时，一般用余弦定理． (2)涉及边a，b，c的齐次式时，要根据式子的特点进行转化．如出现a2＋b2－c2＝λab形式用余弦定理，等式两边是关于边或角的正弦的齐次式用正弦定理． 基础考点2　与三角形的周长、面积有关的问题 【母题3】　[人教A版必修第二册P54习题6.4T22] 已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且a cos C＋a sin C－b－c＝0． (1)求A； (2)若a＝2，且△ABC的面积为，求b，c． [解]　(1)由a cos C＋a sin C－b－c＝0及正弦定理，得sin A cos C＋sin A sin C－sin B－sin C＝0． 因为sin B＝sin [π－(A＋C)]＝sin (A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C， 所以sin A sin C－cos A sin C－sin C＝sin C·(sin A－cos A－1)＝0． 因为sin C≠0，所以sin A－cos A－1＝0， 所以sin ＝． 又0<A<π，所以A－∈， 所以A－＝，解得A＝． (2)由题意，得△ABC的面积S＝bc sin A＝， 所以bc＝4．① 因为a2＝b2＋c2－2bc cos A，且a＝2， 所以b2＋c2＝8，② 联立①②，得b＝c＝2． 链接核心知识：设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其面积为S，则(1)S＝ah1＝bh2＝ch3(h1，h2，h3分别为BC，AC，AB边上的高)；(2)S＝ab sin C＝ac sin B＝bc sin A． (2022·北京卷)在△ABC中，sin 2C＝sin C． (1)求C； (2)若b＝6，且△ABC的面积为6，求△ABC的周长． [解]　(1)∵sin 2C＝sin C，∴2sin C cos C＝sin C，又C∈(0，π)，∴cos C＝，C＝． (2)∵S△ABC＝6，∴ab sin C＝6，a＝4，由余弦定理c2＝a2＋b2－2ab cos C，解得c＝2， ∴△ABC的周长为6＋6． 反思领悟：与三角形面积有关问题的解题策略 (1)利用正弦、余弦定理解三角形，求出三角形的相关边、角之后，直接求三角形的面积； (2)把面积作为已知条件之一，与正弦、余弦定理结合求出三角形的其他量． 【教用·备选题】 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a cos B－b sin A＝c，c＝2． (1)求A的大小； (2)点D在BC上． ①当AD⊥AB，且AD＝1时，求AC的长； ②当BD＝2DC，且AD＝1时，求△ABC的面积． [解]　(1)因为a cos B－b sin A＝c， 所以由正弦定理可得sin A cos B－sin B sin A＝sin C， 又sin C＝sin (A＋B)＝sin A cos B＋cos A sin B， 所以－sin B sin A＝cos A sin B， 因为B为三角形内角，sin B>0， 所以－sin A＝cos A， 可得tan A＝－， 因为A∈(0，π)， 所以A＝． (2)①因为AB＝2＝2AD，AD⊥AB， 所以DB＝＝， 所以cos ∠ABC＝＝，sin ∠ABC＝＝， sin C＝sin ＝＝－． 在△ABC中，由正弦定理可得＝， 即AC＝＝＝． ②设∠CAD＝α，由S△ABC＝S△BAD＋S△CAD， 可得b＝2sin ＋b sin α， 即b－b sin α＝2sin ①． 因为＝＝， 由于BD＝2DC， 所以＝， 所以b＝②， 由①②解得sin α＝，b＝， 则S△ABC＝bc sin A＝． 能力考点　三角函数在实际建模中的应用 【典例1】　[人教A版必修第二册P51练习T2改编]如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D．现测得∠BCD＝75°，∠BDC＝45°，CD＝30米，在点C测得塔顶A的仰角∠ACB＝60°，则塔高AB约为(单位：米，≈1.414)(　　) A．30.42 B．42.42 C．50.42 D．60.42 B　[由题意，在△BCD中，∠CBD＝180°－75°－45°＝60°， 由正弦定理得＝， 即＝，解得BC＝10， 在Rt△ABC中，∠ACB＝60°， 所以AB＝BC tan 60°＝10＝30≈42.42(米)．故选B．] 【典例2】　(2025·泰安模拟)在同一平面上有相距14千米的A，B两座炮台，A在B的正东方向．某次演习时，A向西偏北θ方向发射炮弹，B则向东偏北θ方向发射炮弹，其中θ为锐角，观测回报两炮弹皆命中18千米外的同一目标，接着A改向向西偏北方向发射炮弹，弹着点为18千米外的点M，则B炮台与弹着点M的距离为(　　) A．7千米 B．8千米 C．9千米 D．10千米 D　[结合题意作出图形，AC＝BC＝18，AB＝14，∠CBA＝∠CAB＝θ，∠MAB＝， 在△ABC中，由余弦定理的推论，得 cos θ＝＝， 因为cos2＝＝， 且cos >0，所以cos ＝， 在△ABM中，由余弦定理的推论，得 cos ＝＝，解得MB＝10． 故选D．] 反思领悟：三角函数在实际建模中的应用的注意点 (1)要注意仰角、俯角、方位角以及方向角等名词，并能准确地找出这些角；(2)要注意将平面几何中的性质、定理与正弦、余弦定理结合起来使用，这样可以优化解题过程；(3)注意题目中的隐含条件以及解的实际意义． 1．某校学生参加课外实践活动“测量一土坡的倾斜程度”．如图，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100米到达B后，又测得C对于山坡的斜度为45°，若CD＝50米，山坡对于地平面的坡角为θ，则cos θ＝(　　) A．2＋1 B．2－1 C．－1 D．＋1 C　[在△ABC中，BC＝ ＝＝50()， 在△BCD中，sin ∠BDC＝ ＝＝－1， 又∵cos θ＝sin ∠BDC，∴cos θ＝－1． 故选C．] 2．据气象部门报道，某台风影响我国东南沿海一带，测定台风中心位于某市南偏东60°，距离该市400 km的位置，台风中心以40 km/h的速度向正北方向移动，距离台风中心350 km的范围都会受到台风影响，则该市从受到台风影响到影响结束，持续的时间为 h． 　[如图，A点为该市的位置，B点是台风中心向正北方向移动前的位置． 设台风移动t h后的位置为C，则BC＝40t． 又∠ABC＝60°，AB＝400， 在△ABC中，由余弦定理，得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC cos 60°＝4002＋－2×400×40t×＝1 600t2－16 000t＋160 000，由AC350可得， 1 600t2－16 000t＋160 0003502，整理可得，16t2－160t＋3750，解得t，又＝， 所以该市从受到台风影响到影响结束，持续的时间为 h．] 【教用·备选题】 (2021·全国甲卷)2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8 848.86(单位：m)，三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影A′，B′，C′满足∠A′C′B′＝45°，∠A′B′C′＝60°．由C点测得B点的仰角为15°，BB′与CC′的差为100；由B点测得A点的仰角为45°，则A，C两点到水平面A′B′C′的高度差AA′－CC′约为(≈1.732)(　　) A．346 B．373 C．446 D．473 B　[如图所示，根据题意过C作CE∥C′B′，交BB′于E，过B作BD∥A′B′，交AA′于D，则BE＝100，C′B′＝CE＝． 在△A′C′B′中，∠C′A′B′＝75°，则BD＝A′B′＝． 又在B点处测得A点的仰角为45°，所以AD＝BD＝，所以高度差AA′－CC′＝AD＋BE＝＋100＝＋100＝＋100＝＋100＝100(＋1)＋100≈373．] (2024·新高考Ⅱ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin A＋cos A＝2． (1)求A； (2)若a＝2，b sin C＝c sin 2B，求△ABC的周长． [解]　(1)由sin A＋cos A＝2，得 sin A＋cos A＝1，即sin ＝1， 由于A∈(0，π)，所以A＋∈， 故A＋＝， 所以A＝． (2)由题设条件和正弦定理得 sin B sin C＝2sin C sin B cos B， 又B，C∈(0，π)，则sin B sin C≠0，所以cos B＝， 所以B＝，所以C＝π－(A＋B)＝． sin C＝sin [π－(A＋B)]＝sin (A＋B)＝sin A cos B＋sin B cos A＝， 由正弦定理＝＝，可得＝＝，解得b＝2，c＝， 故△ABC的周长为2＋＋3． 14 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $