09 专题二 重点培优练2 三角函数中ω，φ的范围问题（教师用书Word版）-【高考快车道】2026年高考数学大二轮专题复习与讲义

重点培优练2　三角函数中ω，φ的范围问题 [总体概览]　三角函数中ω，φ的范围求解问题是高考的重点和热点问题之一，主要考查由三角函数的最值(值域)、单调性、零点等求ω，φ的取值范围，解决这类问题的一般思路是利用“团体”思想，数形结合求解． 1．(2025·安庆二模)若将函数f(x)＝sin 2x＋cos 2x的图象向右平移φ个单位长度，所得图象关于原点成中心对称，则φ的最小正值是(　　) A． B． C． D． A　[由题意可得f(x)＝sin 2x＋cos 2x＝sin ， 将函数f(x)的图象向右平移φ个单位长度得f(x)＝sin 的图象， 由该函数为奇函数可知－2φ＝kπ，k∈Z， 即φ＝，k∈Z，所以φ的最小正值为．故选A．] 2．(2025·上海模拟)已知函数y＝sin (ω>0)在区间上单调递增，则ω的取值范围是(　　) A．(0，1] B．(0，1) C． D． A　[函数y＝sin (ω>0)在区间上单调递增， 即x∈，故－ω＋<ωx＋<ω＋， 由于－＋2kπ－ω＋，且ω＋2kπ＋(k∈Z)，即整理得， 解得ω∈(0，1]．故选A．] 题后反思：若三角函数在区间[a，b]上单调递增，则区间[a，b]是该函数单调递增区间的子集，利用集合的包含关系即可求解． 3．(2025·秦皇岛昌黎县模拟)若函数y＝sin 在区间(0，1)上至少有2 024个极值点，则正实数ω的取值范围是(　　) A． B． C． D． C　[由sin ＝±1，得ωx＋＝＋kπ， 即x＝，k∈Z． 所以第2 024个极值点为， 令<1，得ω>， 所以ω的取值范围是． 故选C．] 4．(2025·汕头市潮阳区模拟)已知函数f(x)＝ (ω>0)在区间内有最大值，但无最小值，则ω的取值范围是(　　) A． B． C． D． A　[因为ω＞0，所以当0<x<时，则有<ωx＋<ω＋， 因为f(x)在区间内有最大值，但无最小值， 结合函数图象，得<ω＋，解得<ω，故选A．] 题后反思：求三角函数的最值(值域)问题，主要是整体代换ωx±φ，利用正、余弦函数的图象求解，要注意自变量的范围． 5．(多选)(2025·江西月考)已知函数f(x)＝sin (ωx＋φ)(ω＞0，0＜φ＜π)的图象关于直线x＝－对称，则下列说法正确的是(　　) A．若函数f(x)的最小正周期为2π，则φ＝ B．若ω＝，则函数f(x)的图象关于点对称 C．若f(x1)f(x)f(x2)，且|x2－x1|的最小值为，则φ＝ D．若函数f(x)在区间上单调递增，则ω的取值范围为(0，3) ABD　[由函数f(x)的图象关于直线x＝－对称， 知－ω＋φ＝kπ＋(k∈Z)，解得φ＝kπ＋ω＋(k∈Z)． 对于A，若函数f(x)的最小正周期为2π，则ω＝＝1，φ＝kπ＋(k∈Z)． 又0＜φ＜π，所以φ＝，故A正确； 对于B，当ω＝时，φ＝kπ＋(k∈Z)， 又0＜φ＜π，所以φ＝，所以f(x)＝sin ， 令x＋π＝kπ，解得x＝kπ－(k∈Z)，令k＝1，得x＝， 所以函数f(x)的图象关于点对称，故B正确； 对于C，由三角函数的图象和性质，知|x2－x1|min＝＝，解得ω＝2， 所以φ＝kπ＋(k∈Z)，又0＜φ＜π，所以φ＝，故C错误； 对于D，由函数f(x)在区间上单调递增，得－， 又ω＞0，解得0＜ω3． 又ω＝3时，φ＝kπ＋π(k∈Z)与0＜φ＜π矛盾，所以0＜ω＜3，D正确．故选ABD．] 6．已知函数f(x)＝2sin (ωx＋φ)＋1的图象与直线y＝3相邻两个交点的距离为π，若f(x)>2对任意的x∈恒成立，则φ的取值范围是(　　) A． B． C． D． D　[因为函数f(x)＝2sin (ωx＋φ)＋1的图象与直线y＝3相邻两个交点的距离为π，所以函数周期T＝π，ω＝2，由f(x)>2知sin (2x＋φ)>， 又当x∈时，2x＋φ∈，且|φ|，所以解得φ．故选D．] 7．(2025·长沙模拟)设函数f(x)＝sin (ω>0)． ①给出一个ω的值，使得f(x)的图象向右平移个单位长度后得到的函数g(x)的图象关于原点对称，ω＝ ； ②若f(x)在区间(0，π)上有且仅有两个零点，则ω的取值范围是 ． ①(答案不唯一)　②　[①根据题意可知，g(x)＝sin ＝sin ， 因为g(x)的图象关于原点对称，所以ω＝kπ，k∈Z，即ω＝－6k，k∈Z， 当k＝0时，ω＝． ②若x∈(0，π)，则ωx＋∈，f(x)有且仅有两个零点， 则2π<ωπ＋3π，解得<ω，故ω的取值范围为． 故答案为①(答案不唯一)；②．] 题后反思：已知函数的零点求ω，φ的取值范围问题，一是利用三角函数的图象求解；二是利用解析式直接求函数的零点，进而得所求的取值范围． 8．(2025·湖北武汉模拟)若函数f(x)＝3cos (ωx＋φ)的最小正周期为π，在区间上单调递减，且在区间上存在零点，则φ的取值范围是 ． 　[由函数f(x)的最小正周期为π，得＝π，而ω<0，解得ω＝－2， 则f(x)＝3cos (－2x＋φ)＝3cos (2x－φ)，由2kπ2x－φ2kπ＋π，k∈Z， 得2kπ＋φ2x2kπ＋π＋φ，k∈Z． 又f(x)在上单调递减， 因此2kπ＋φ－，且2kπ＋π＋φ，k∈Z， 解得－－2kπφ－－2kπ，k∈Z ①， 由余弦函数的零点，得2x－φ＝nπ＋，n∈Z， 即2x＝nπ＋＋φ，n∈Z， 而f(x)在上存在零点，则0<nπ＋＋φ<，n∈Z， 于是－nπ－<φ<－nπ－，n∈Z②． 又－<φ<，联立①②解得－<φ－， 所以φ的取值范围是．] 【教用·备选题】 1．(2025·北京卷)设函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω>0)，若f(x＋π)＝f(x)恒成立，且f(x)在上存在零点，则ω的最小值为(　　) A．8　　　B．6　　　C．4　　　D．3 C　[由已知得f(x)＝sin ，又f(x＋π)＝f(x)恒成立，所以T＝π，所以k·＝π，即ω＝2k，k∈N*，当k＝1时，ω＝2，f(x)＝sin ，因为x∈，所以2x＋∈，f(x)>0，故k＝1不符合题意；当k＝2时，ω＝4，f(x)＝sin ，此时f(0)＝sin ＝1>0，f＝sin ＝－1<0，f(0)f<0，即f(x)在上存在零点，故ω＝4即为所求．故选C．] 2．(2025·天津卷)已知f(x)＝sin (ωx＋φ)(ω＞0，－π＜φ＜π)在上单调递增，且x＝为f(x)图象的一条对称轴，是f(x)图象的一个对称中心，当x∈时，f(x)的最小值为(　　) A．－　　　　　 B．－ C．－1 D．0 A　[因为f(x)在上单调递增且x＝为f(x)图象的一条对称轴，所以，f＝sin ＝1，得0＜ω2，且ω＋φ＝＋2k1π(k1∈Z)　①． 因为是f(x)图象的一个对称中心，所以f＝sin ＝0，得ω＋φ＝k2π (k2∈Z)　②，由①②得ω＝－2＋4(k2－2k1)(k1，k2∈Z)，结合0＜ω2，得ω＝2，则φ＝＋2k1π(k1∈Z)，又－π＜φ＜π，所以φ＝，故f(x)＝sin ．当x∈时，2x＋∈，所以f(x)的最小值为f＝sin ＝－．故选A．] 5 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $