07 专题二 课时1 三角函数的概念、三角恒等变换（教师用书Word版）-【高考快车道】2026年高考数学大二轮专题复习与讲义

[典例]　(14分)(2025·天津卷)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知a sin B＝b cos A，c－2b＝1，a＝． (1)求A的值；(2)求c的值；(3)求sin (A＋2B)的值． 明条件，顺思路 规范答，抢得分(填一填) 点关键，防陷阱 第(1)问 读题干：a sin B＝b cos A→想问题：式中既有边又有sin B和cos A，利用正弦定理化边为角． 读所求：求A→想方法： ①由sin A＝cos A，联想到同角三角函数的基本关系式tan A＝，sin2A＋cos2A＝1．②求三角形内角A，联想到A∈(0，π)． 第(2)问 再读题干：c－2b＝1，a＝，A已求出→想问题：利用余弦定理化角为边． 读所求：求c→想方法：建立关于b，c的方程组，解方程组． 第(3)问 想已知：通过(1)(2)问的解答现已知三边a，b，c和角A→想问题：利用正弦定理求sinB． 读所求：sin (A＋2B)→想方法：①和角公式：sin (A＋2B)＝ sin Acos 2B＋cos A· sin 2B； ②二倍角公式： sin 2B＝2sin B cos B， cos 2B＝1－2sin2B． [解]　(1)第1步：利用正弦定理，化“边”为“角” 因为a sinB＝b cos A， 所以由正弦定理可得sin A sin B＝sin B cos A，(2分) 第2步：求tan A的值 因为B∈(0，π)，所以sin B≠0，(3分) 所以sin A＝cos A，即tan A＝．(4分) 第3步：确定A的值 又因为A∈(0，π)，所以A＝．(5分) (2)第1步：根据余弦定理得出关于b，c的方程 由(1)可知，A＝，又a＝， 由余弦定理得cos A＝＝， 即b2＋c2－7＝bc(ⅰ)．(7分) 第2步：通过方程思想求c 又c－2b＝1(ⅱ)，联立(ⅰ)(ⅱ)可得 所以，c的值为3．(9分) (3)第1步：由正弦定理求sin B 由正弦定理＝，得＝， 所以sin B＝．(10分) 第2步：由a，b，c的大小关系，确定B的范围并求cos B 因为b＝1＜3＝c，所以B为锐角， cos B＝＝．(11分) 第3步：求sin2B和cos 2B sin 2B＝2sin B cos B＝2×＝， cos 2B＝1－2sin2B＝1－2×＝．(12分) 第4步：利用和角公式计算sin(A＋2B) 所以sin (A＋2B)＝sin A cos 2B＋cos A sin 2B ＝＝．(14分) 第(1)问的关键是由正弦定理化边为角． 注意三角形内角的范围． 正弦定理解决的两类基本问题： ①两角及一边 ②两边及一边对角 忽略隐含条件“大边对大角”导致增解． 和差角公式记忆混淆导致求解错误． 课时1　三角函数的概念、三角恒等变换 [备考指南]　1．三角函数的概念、三角恒等变换是高考的两个核心命题点，主要考查三角恒等变换，常与图象的变换、函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性等变换交汇命题．2．以选择题、填空题的形式考查或隐含于解答题中，难度为中等或偏下． 基础考点1　三角函数的概念、诱导公式 【母题1】　[人教A版必修第一册P194习题5.3T4]在单位圆中，已知角α的终边与单位圆的交点为P，则sin (π＋α)＝ ；cos (π＋α)＝ ；sin (－α)＝ ；cos (－α)＝ ；sin ＝ ；cos ＝ ． －　－　－　－　－　[由三角函数的定义可知sin α＝，cos α＝－，故sin (π＋α)＝－sin α＝－，cos (π＋α)＝－cos α＝，sin (－α)＝－sin α＝－，cos (－α)＝cos α＝－，sin ＝cos α＝－，cos ＝－sin α＝－． 答案为－　－　－　－　－．] 链接核心知识：(1)各象限的三角函数值的符号口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦． (2)同角关系：sin2α＋cos2α＝1，tan α． (3)诱导公式：在＋α，k∈Z的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”． 1．(多选)(2025·兰州月考)下列命题中正确的是(　　) A．240°化成弧度是 B．终边在直线y＝x上的角α的取值集合可表示为{α|α＝k·360°＋45°，k∈Z} C．若θ为第二象限角，则为第一象限或第三象限角 D．若一扇形的弧长为2，圆心角为60°，则该扇形的面积为 ACD　[A．240°＝，正确； B．终边在直线y＝x上的角α的取值集合可表示为{α|α＝k·180°＋45°，k∈Z}，错误； C．若θ为第二象限角，则为第一象限或第三象限角，正确； D．若一扇形的弧长为2，圆心角为60°，半径r＝＝， 则该扇形的面积为＝，正确． 故选ACD．] 2．[新定义][人教B版必修第三册P14尝试与发现改编](多选)一般地，任意给定一个角α∈R，它的终边OP与单位圆的交点P的坐标，无论是横坐标x还是纵坐标y，都是唯一确定的，所以点P的横坐标x、纵坐标y都是角α的函数．下面给出这些函数的定义： ①把点P的纵坐标y叫作α的正弦函数，记作sin α，即y＝sin α； ②把点P的横坐标x叫作α的余弦函数，记作cos α，即x＝cos α； ③把点P的纵坐标y的倒数叫作α的余割，记作csc α，即＝csc α； ④把点P的横坐标x的倒数叫作α的正割，记作sec α，即＝sec α． 下列结论正确的有(　　) A．csc ＝－ B．cos α·sec α＝1 C．函数f(x)＝sec x的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z} D．sec2α＋sin2α＋csc2α＋cos2α5 ABD　[csc＝＝－，A正确； cos α·sec α＝cos α·＝1，B正确； 函数f(x)＝sec x的定义域为，C错误； sec2α＋sin2α＋csc2α＋cos2α＝1＋＝1＋＝1＋5， 当sin2α＝±1时，等号成立，D正确． 故选ABD．] 3．[易错题](多选)已知角α的终边经过点P(－4m，3m)(m≠0)，则2sin (π－α) －sin 的值可能为(　　) A．　　B．－　　C．　　D．－ CD　[已知角α的终边经过点P(－4m，3m)(m≠0)， 所以sin α＝＝，cos α＝＝，则当m>0时，sin α＝，cos α＝－，此时2sin (π－α) －sin ＝2sin α＋cos α＝2×＝；当m<0时，sin α＝－，cos α＝，此时2sin (π－α) －sin ＝2sin α＋cos α＝2×＝－，所以2sin α＋cos α的值可能为或－．] 【教用·备选题】 1．[人教A版必修第一册P186习题5.2T16]化简：＝ ．(其中α为第二象限角) －2tan α　[因为α为第二象限角， 所以 ＝－ ＝ ＝－ ＝－2tan α．] 2．[易错题]某校欲建造一个扇环形状(ABDC)的花坛，该扇环是由以点O为圆心的两个同心圆构造出的，小圆半径OA＝5 m，大圆半径OC＝10 m，圆心角θ＝，则该花坛的周长为 m，该花坛的面积为 m2． 5π＋10　　[①的长度为×10＝(m)，的长度为×5＝(m)，AC＝BD＝10－5＝5(m)，故该花坛的周长为＋5＋5＝(5π＋10)(m)；②该花坛的面积S＝×102－×52＝＝(m2)．] 3．求的值(tan α＝－3)． [解]　 ＝＝＝ ＝－． 基础考点2　三角恒等变换 【母题2】　(1)[人教A版必修第一册P254复习参考题5T12(2)改编]求值：tan 20°＋tan 40°＋tan 20°tan 40°＝ ． (2)[人教A版必修第一册P229习题5.5T2改编]已知α，β都是锐角，cos α＝，cos (α＋β)＝－，则cos β＝ ． (1)　(2)　[(1)因为tan 60°＝tan (20°＋40°)＝＝， 所以tan 20°tan 40°＝tan 20°＋tan 40°， 所以tan 20°＋tan 40°＋tan 20°tan 40°＝． 故答案为． (2)由cos α＝，α是锐角，得sin α＝＝＝．因为α，β是锐角，所以α＋β∈(0，π)．又因为cos(α＋β)＝－，所以sin (α＋β)＝＝＝， 所以cosβ＝cos [(α＋β)－α]＝cos (α＋β)cos α＋sin (α＋β)·sin α＝＝．] 链接核心知识： 1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin (α±β)＝sin αcos β±cos αsin β； (2)cos (α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β； (3)tan (α±β)＝． 2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α＝2sin αcos α； (2)cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α； (3)tan2α＝． 3．辅助角公式 a sinx＋b cos x＝sin (x＋φ)，其中tan φ＝(a≠0)． 1．(多选)(2025·九江模拟)下列选项中，与sin 的值相等的是(　　) A．2sin 15°sin 75° B．cos 18°cos 42°－sin 18°sin 42° C． D． ABD　[sin＝sin ＝sin ＝． 对于A，2sin 15°sin 75°＝2sin 15°cos 15°＝sin 30°＝； 对于B，cos 18°cos 42°－sin 18°sin 42°＝cos (18°＋42°)＝cos 60°＝； 对于C，由辅助角公式可得，＝＝＝tan 130°≠； 对于D，因为tan 45°＝＝1，可得． 故选ABD．] 2．[苏教版必修第二册P65练习T1(1)改编]已知(3)，则tan ＝(　　) A．2＋1 B．2－1 C． D．1－ B　[由＝， 得＝，解得tan α＝1－， 故tan ＝＝2－1．故选B．] 3．(2024·新高考Ⅰ卷)已知cos (α＋β)＝m，tan αtan β＝2，则cos (α－β)＝(　　) A．－3m B．－ C． D．3m A　[因为cos (α＋β)＝m， 所以cos αcos β－sin αsin β＝m， 而tan αtan β＝2，所以sin αsin β＝2cos αcos β， 故cos αcos β－2cos αcos β＝m，即cos αcos β＝－m， 从而sin αsin β＝－2m，故cos (α－β)＝－3m． 故选A．] 4．(2025·云南一模)已知cos ＝－，sin ＝，且<α<π，0<β<，则cos ＝ ． 　[∵cos ＝－，sin ＝，且<α<π，0<β<， ∴<α－<π，－<－β<， ∴sin ＝，cos ＝， ∴cos ＝cos ＝cos cos ＋sin sin ＝＝． 故答案为．] 反思领悟：三角恒等变换的目的和策略 (1)目的：统一角、统一函数、统一结构； (2)策略：复角化单角、弦切互化、项的分拆与角的配凑及升降幂公式． 【教用·备选题】 1．(多选)如图，在平面直角坐标系Oxy中，角α，β的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，若点A，B的坐标分别为和，则下列结论正确的是(　　) A．cos α＝　　　　　 B．cos β＝ C．cos (α＋β)＝0 D．cos (α－β)＝0 AD　[由三角函数定义可得cos α＝，sin α＝，cos β＝－，sin β＝，故A正确，B错误；cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝＝－，cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝＝0，故C错误，D正确．] 2．[易错题]已知sin α－cos α＝，则＝(　　) A．－ B．－ C． D． D　[法一：因为sinα－cos α＝， 所以(sin α－cos α)2＝， 所以2sin αcos α＝， 即sin 2α＝， 所以 ＝＝＝＝． 法二：因为sin α－cos α＝sin ＝，所以sin ＝， 所以2sin2＝，cos2－sin2＝1－2sin2＝， 所以＝＝．] 1．(2023·新高考Ⅰ卷)已知sin(α－β)＝，cos αsin β＝，则cos (2α＋2β)＝(　　) A． B． C．－ D．－ B　[依题意，得 所以sin αcos β＝，所以sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝＝，所以cos (2α＋2β)＝1－2sin2(α＋β)＝1－2×＝，故选B．] 2．(2025·上海春季高考)已知tanα＝1，则cos ＝ ． 0　[已知tan α＝1，即sin α＝cos α， 则cos ＝(cos α－sin α)＝0． 故答案为0．] 3．(2024·新高考Ⅱ卷)已知α为第一象限角，β为第三象限角，tan α＋tan β＝4，tan αtan β＝＋1，则sin (α＋β)＝ ． －　[法一：由题意得tan (α＋β)＝＝＝－2， 因为α∈，β∈，k，m∈Z， 则α＋β∈((2m＋2k)π＋π，(2m＋2k)π＋2π)，k，m∈Z， 又因为tan (α＋β)＝－2<0， 则α＋β∈，k，m∈Z，则sin (α＋β)<0， 则＝－2，联立sin2(α＋β)＋cos2(α＋β)＝1， 解得sin(α＋β)＝－． 法二：因为α为第一象限角，β为第三象限角，则cos α>0，cos β<0， cos α＝＝， cosβ＝＝， 则sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝cos αcos β·(tan α＋tan β)＝4cos αcos β＝ ＝ ＝＝－．] 3 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $