06 专题一 研习5 古典概型（教师用书Word版）-【高考快车道】2026年高考数学大二轮专题复习与讲义

研习5　古典概型 【母题】　[人教A版必修第二册P239例10]从两名男生(记为B1和B2)、两名女生(记为G1和G2)中任意抽取两人， (1)分别写出有放回简单随机抽样、不放回简单随机抽样和按性别等比例分层随机抽样的样本空间； (2)在三种抽样方式下，分别计算抽到的两人都是男生的概率． [解]　设第一次抽取的人记为x1，第二次抽取的人记为x2，则可用数组(x1，x2)表示样本点． (1)根据相应的抽样方法可知： 有放回简单随机抽样的样本空间 Ω1＝{(B1，B1)，(B1，B2)，(B1，G1)，(B1，G2)，(B2，B1)，(B2，B2)，(B2，G1)，(B2，G2)，(G1，B1)，(G1，B2)，(G1，G1)，(G1，G2)，(G2，B1)，(G2，B2)，(G2，G1)，(G2，G2)}． 不放回简单随机抽样的样本空间 Ω2＝{(B1，B2)，(B1，G1)，(B1，G2)，(B2，B1)，(B2，G1)，(B2，G2)，(G1，B1)，(G1，B2)，(G1，G2)，(G2，B1)，(G2，B2)，(G2，G1)}． 按性别等比例分层随机抽样，先从男生中抽一人，再从女生中抽一人，其样本空间 Ω3＝{(B1，G1)，(B1，G2)，(B2，G1)，(B2，G2)}． (2)设事件A＝“抽到两名男生”，则 对于有放回简单随机抽样， A＝{(B1，B1)，(B1，B2)，(B2，B1)，(B2，B2)}． 因为抽中样本空间Ω1中每一个样本点的可能性都相等，所以这是一个古典概型．因此P(A)＝＝． 对于不放回简单随机抽样， A＝{(B1，B2)，(B2，B1)}． 因为抽中样本空间Ω2中每一个样本点的可能性都相等，所以这是一个古典概型． 因此P(A)＝＝． 因为按性别等比例分层随机抽样，不可能抽到两名男生，所以A＝∅，因此P(A)＝0． 链接核心知识：解决古典概型问题应注意的两点 (1)对于古典概型中的抽取问题，要注意是否有顺序性，有无放回． (2)在利用排列、组合与两个基本计数原理求样本空间所含的基本事件数n以及事件A所含的基本事件数m时，要明确事件之间是对立关系还是互斥关系． 1．(2024·全国甲卷)甲、乙、丙、丁四人排成一列，丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是(　　) A． B． C． D． B　[画出树状图： 甲、乙、丙、丁四人排成一列共有24种排法，其中丙不在排头，且甲或乙在排尾的排法共有8种，所以所求概率为＝．故选B．] 2．[苏教版必修第二册P287T7改编]学校放三天假，甲、乙两名同学打算去敬老院做志愿者，甲同学准备在三天中随机选一天，乙同学准备在前两天中随机选一天，则甲、乙选择同一天的概率是(　　) A． B． C． D． C　[因为甲同学准备在三天中随机选一天，乙同学准备在前两天中随机选一天， 所以甲同学有3种选择，乙同学有2种选择， 故共有3×2＝6种选择， 其中甲、乙选择同一天的情况有2种， 故甲、乙选择同一天的概率为＝． 故选C．] 3．(2022·新高考Ⅰ卷)从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为(　　) A． B． C． D． D　[从2至8的7个整数中随机取2 个不同的数，共有＝21种不同的取法， 若两数不互质，不同的取法有：(2，4)，(2，6)，(2，8)，(3，6)，(4，6)，(4，8)，(6，8)，共7种， 故所求概率P＝＝．故选D．] 4．[人教A版必修第二册P230例4改编]已知A，B，C是三种电子信息传递元件，第一次由A元件将信息传出，每次传递时，传递元件都等可能地将信息传递给另外两个元件中的任何一个，则第三次传递后，信息在A元件中的概率是(　　) A． B． C． D． B　[依题意三次传递所有的传递方法有： A→B→A→B；A→B→A→C； A→B→C→A；A→B→C→B； A→C→A→B；A→C→A→C； A→C→B→A；A→C→B→C，则共有8种传递方法． 第三次传递后，信息在A元件中的有两种情况， 所以第三次传递后，信息在A元件中的概率P＝＝．故选B．] 5．从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为 ． 　[根据题意，从正方体的8个顶点中任选4个，有＝70(种)取法， 若这4个点在同一个平面，有底面2个和侧面4个、对角面6个，一共有12种情况， 则这4个点在同一个平面的概率P＝＝．] 6．(2025·河北邯郸模拟)投掷一枚质地均匀的骰子(骰子的表面分别标有1，2，3，4，5，6点数标记)，每投掷一次都记录下骰子的点数，连续投掷两次，记x表示这两次投掷的点数的平均数，则>的概率为 ． 　[若>，则x－>或x－<－，解得x＞4或x＜3， 连续投掷两次，包括36个样本空间，其中x＞4的情形有：(6，6)，(6，5)，(6，4)，(6，3)，(5，6)，(5，5)，(5，4)，(4，6)，(4，5)，(3，6)共10个， x＜3的情形有：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(4，1)共10个，故所求概率为＝．] 1．(2023·全国甲卷)某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为(　　) A． B． C． D． D　[记高一年级2名学生分别为a1，a2，高二年级2名学生分别为b1，b2，则从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演的基本事件有(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(b1，b2)，共6个，其中这2名学生来自不同年级的基本事件有(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，共4个，所以这2名学生来自不同年级的概率P＝＝，故选D．] 2．(2023·全国乙卷)某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题的概率为(　　) A． B． C． D． A　[设6个主题分别为A，B，C，D，E，F，甲、乙两位同学所选主题的所有可能情况如表： 甲 乙 A B C D E F A (A，A) (A，B) (A，C) (A，D) (A，E) (A，F) B (B，A) (B，B) (B，C) (B，D) (B，E) (B，F) C (C，A) (C，B) (C，C) (C，D) (C，E) (C，F) D (D，A) (D，B) (D，C) (D，D) (D，E) (D，F) E (E，A) (E，B) (E，C) (E，D) (E，E) (E，F) F (F，A) (F，B) (F，C) (F，D) (F，E) (F，F) 共36种情况．其中甲、乙两位同学抽到不同主题的情况有30种，故抽到不同主题的概率为＝，故选A．] 3．(2025·上海春季高考)已知四边形ABCD，对于其四边AB，BC，CD，DA，按顺序分别抛掷一枚质地均匀的硬币：若硬币正面朝上，则将其擦去；若硬币反面朝上，则不擦去．最后，以A为起点沿着尚未擦去的边出发，可以到达C点的概率为(　　) A． B． C． D． B　[根据题意，对于其四边AB，BC，CD，DA， 按顺序分别抛掷一枚质地均匀的硬币， 共有2×2×2×2＝16(种)情况， 要从A出发沿着尚未擦去的边能到达点C， 若保留AB，BC两条边，则CD，DA可保留也可擦去， 共有2×2＝4(种)情况； 若保留AD，DC两条边，则AB，BC可保留也可擦去， 共有2×2－1＝3(种)情况(其中有一种情况AD，DC，AB，BC都保留与上面重复)， 则要从A出发沿着尚未擦去的边能到达点C，共有7种情况， 所以可以到达C点的概率为． 故选B．] 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $