04 专题一 研习3 不等式（教师用书Word版）-【高考快车道】2026年高考数学大二轮专题复习与讲义

研习3　不等式 基础考点1　不等式的性质 【母题1】　[人教A版必修第一册P43习题2.1T7]已知a>b>0，c<d<0，e<0，求证：>． [证明]　法一：＝， 因为c<d<0，所以－c>－d>0， 又因为a>b>0，所以a－c>b－d>0， 所以<0． 又e<0，所以>0， 所以>． 法二：因为c<d<0，所以－c>－d>0． 因为a>b>0， 所以a－c>b－d>0，<． 因为e<0，所以>． 链接核心知识：(1)比较大小常采用作差法、作商法、性质法、函数单调性法等． (2)判断不等式是否成立的两种方法 ①性质法：直接利用不等式的性质逐个验证，利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件． ②特殊值法：适用于排除错误答案，取值应满足题设条件且便于计算． 1．[人教B版必修第一册P81习题2-2BT3改编]若3a5，－2b1，则2a－b的范围是(　　) A．[8，9] B．[4，8] C．[5，8] D．[5，12] D　[由题意可知，62a10，－1－b2， 故由不等式可加性可知，52a－b12． 故选D．] 2．[易错题]设a，b，c为实数，且a>b>0，则下列不等式正确的是(　　) A．ac2>bc2 B．> C．a2>ab>b2 D．> C　[A选项，当c＝0时，ac2＝bc2＝0，故A错误； B选项，＝＝，因为a>b>0，所以b－a<0，则<0，故<，故B错误； C选项，a>b>0两边同乘a得a2>ab，两边同乘b得ab>b2，故a2>ab>b2，故C正确； D选项，因为a>b>0，所以ab>0，a>b>0两边同除以ab得>，故D错误． 故选C．] 易错提醒：不等式两端同时乘或除以一个不为零的数时，易忽略这个数的正负，导致出错． 3．[人教A版必修第一册P42练习T2改编]若a＞b＞c＞d，则下列不等式恒成立的是(　　) A．a＋d＞b＋c B．a＋c＞b＋d C．ac＞bd D．ad＞bc B　[对于A，令a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2，满足a＞b＞c＞d，但a＋d＝b＋c，故A错误， 对于B，∵a＞b＞c＞d，即a＞b，c＞d， ∴由不等式的可加性可得，a＋c＞b＋d，故B正确， 对于C，令a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2，满足a＞b＞c＞d，但ac＝bd，故C错误， 对于D，令a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2，满足a＞b＞c＞d，但ad＜bc，故D错误． 故选B．] 4．若a＝，b＝，c＝，则(　　) A．a>c>b B．a>b>c C．c>b>a D．b>c>a A　[因为a－c＝＝＝>0，所以a>c． c－b＝＝，因为(2)2－(2)2＝4－9＝>0，且2>0，2>0，所以2>2，所以c－b>0，所以c>b．故a>c>b．故选A．] 5．(多选)(2025·上海模拟)设a，b是非零实数，若a＜b，则下列不等式不成立的是(　　) A．a2＜b2 B．ab2＜a2b　 C．< D．< ABD　[若a＝－2，b＝1，满足a＜b，则a2＞b2，故A错误； 若a＝1，b＝2，满足a＜b，则ab2＞a2b，故B错误； 因为a＜b，故b－a＞0，所以＝>0，故>，故C正确； 若a＝1，b＝2，满足a＜b，则>，故D错误． 故选ABD．] 6．(多选)(2025·渝水区模拟)若实数a，b，c满足a＞b＞0＞c，则下列不等式一定成立的是(　　) A．ac＞bc B．ac＜bc C．> D．< BC　[A选项，由于c＜0，a>b>0，故ac＜bc，A错误； B选项，因为c<0，所以f(x)＝xc在(0，＋∞)上单调递减，又a>b>0，所以ac＜bc，B正确； C选项，由于a＞b＞0＞c，故>，C正确； D选项，取b＝1，a＝2，c＝－1可验证D不成立，D错误． 故选BC．] 7．[易错题]已知－2<x－y<0，1<2x＋y<3，则8x＋y的取值范围为 ． (－1，9)　[设8x＋y＝m(x－y)＋n(2x＋y)＝(m＋2n)x＋(－m＋n)y， 则解得 ∴8x＋y＝2(x－y)＋3(2x＋y)． 又－4<2(x－y)<0，3<3(2x＋y)<9， ∴8x＋y的取值范围为(－1，9)．] 基础考点2　基本不等式 【母题2】　[人教A版必修第一册P46练习T2]已知x，y都是正数，且x≠y，求证： (1)>2；(2)<． [证明]　(1)因为x，y都是正数，所以＝1，2，当且仅当＝，即x＝y时，上式等号成立． 因为x≠y，所以>2． (2)因为x，y都是正数，所以． ＝＝， 当且仅当x＝y时，等号成立， 因为x≠y， 所以<． 链接核心知识： 不等式 名称 基本形式 其他变形 字母条件 取“＝” 条件 重要 不等式 a2＋b2 2ab ab， ab a，b∈R 当且仅当 a＝b时 基本 不等式 a＋b 2 a>0， b>0 当且仅当 a＝b时 1．[人教B版必修第一册P812-2CT3改编]若x＞1，则函数y＝2x＋的最小值为(　　) A．8 B．9 C．10 D．11 C　[若x＞1，则函数y＝2(x－1)＋＋22＋2＝10， 当且仅当2(x－1)＝，即x＝3时，等号成立，此时函数y＝2x＋取得最小值10． 故选C．] 2．[信息阅读题]当x>0，y>0时，．这个基本不等式可以推广为当x，y>0时，λx＋μyxλyμ，其中λ＋μ＝1且λ>0，μ>0．考虑取等号的条件，进而可得当x≈y时，λx＋μy≈xλyμ．用这个式子估计可以这样操作：≈×10＋×9＝，则≈≈3.167．用这样的方法，可得的近似值为(　　) A．3.033　　　　　　　 B．3.035 C．3.037 D．3.039 C　[依题意≈×28＋×27＝，则≈≈3.037．故选C．] 3．[北师大版必修第一册P30习题1-3T5改编](多选)已知x，y是正数，且2x＋y＝1，下列叙述正确的是(　　) A．xy最大值为 B．4x2＋y2的最小值为 C．最小值为 D．最小值为9 ABD　[因为x，y是正数，且2x＋y＝1， 所以1＝2x＋y2，当且仅当y＝2x，即y＝，x＝时，等号成立， 所以xy，A正确； 4x2＋y22×＝，当且仅当y＝2x，即y＝，x＝时，等号成立，B正确； 2×＝，当且仅当y＝2x，即y＝，x＝时，等号成立，C错误； ＝(2x＋y)＝5＋5＋2＝9，当且仅当x＝y＝时，等号成立，D正确．故选ABD．] 4．(2025·北京卷)已知a>0，b>0，则(　　) A．a2＋b2>2ab B． C．a＋b> D． C　[因为a>0，b>0，所以a2＋b22ab，当且仅当a＝b时，等号成立，所以A选项错误；取a＝b＝，则＝6，而＝9，所以B选项错误；因为a＋b2>，所以C选项正确；因为2＝，所以D选项错误．故选C．] 5．已知x>0，y>0，且xy＋x－2y＝4，则2x＋y的最小值是 ． 7　[法一：因为xy＋x－2y＝4，故x＝4＋2y，解得x＝＝2＋， 故2x＋y＝4＋＋(y＋1)－1 3＋2＝7， 当且仅当＝y＋1，即y＝1，x＝3时，等号成立，所以2x＋y的最小值是7． 法二：因为xy＋x－2y＝4，则＝2，且y＋1>0，故x－2>0， 故2x＋y＝2(x－2)＋(y＋1)＋32＋3＝7，当且仅当2＝y＋1，即y＝1，x＝3时，等号成立，所以2x＋y的最小值是7．] 【教用·备选题】 现使用一架两臂不等长的天平称中药，操作方法如下：先将100 g的砝码放在天平左盘中，取出一些中药放在天平右盘中，使得天平平衡；再将100 g的砝码放在天平右盘中，再取出一些中药放在天平左盘中，使得天平平衡．则两次实际称得的药品总重量(　　) A．等于200 g　　　　　 B．大于200 g C．小于200 g D．以上都有可能 B　[设天平左臂长为m，右臂长为n，m>0，n＞0且m≠n，左盘放的药品为x1 g，右盘放的药品为x2 g， 则解得x1＝，x2＝， x1＋x2＝2＝200， 当且仅当＝，即m＝n时取等号，而m≠n，故等号无法取得， 所以x1＋x2＞200． 故选B．] 1．(2024·上海春季高考)已知a，b，c∈R，b＞c，则下列不等式一定成立的是(　　) A．a＋b2＞a＋c2 B．a2＋b＞a2＋c C．ab2＞ac2 D．a2b＞a2c B　[对于A，若|b|＜|c|，则b2＜c2，选项不成立，故A错误； 对于B，a2＝a2，b＞c， 由不等式的可加性可知，a2＋b＞a2＋c，故B正确． 对于C、D，若a＝0，则选项不成立，故C、D错误． 故选B．] 2．(多选)(2022·新高考Ⅱ卷)若实数x，y满足x2＋y2－xy＝1，则(　　) A．x＋y1 B．x＋y－2 C．x2＋y22 D．x2＋y21 BC　[由x2＋y2－xy＝1，可得(x＋y)2－3xy＝1，而xy， 即1＝(x＋y)2－3xy(x＋y)2－＝， ∴(x＋y)24，∴－2x＋y2，故A错误，B正确； 由x2＋y2－xy＝1，得x2＋y2－1＝xy， ∴x2＋y22，故C正确，令x＝，y＝－，满足x2＋y2－xy＝1，但x2＋y2＝<1，故D错误，故选BC．] 3．(2021·全国乙卷)下列函数中最小值为4的是(　　) A．y＝x2＋2x＋4 B．y＝|sin x|＋ C．y＝2x＋22-x D．y＝ln x＋ C　[选项A：因为y＝x2＋2x＋4＝(x＋1)2＋3， 所以当x＝－1时，y取得最小值，且ymin＝3，所以选项A不符合题意． 选项B：因为y＝|sin x|＋ 2＝4，当且仅当|sin x|＝，即|sin x|＝2时不等式取等号，但是根据正弦函数的有界性可知|sin x|＝2不可能成立， 所以y＞4，所以选项B不符合题意．(另解：设|sin x|＝t，则t∈(0，1]，根据函数y＝t＋在(0，1]上单调递减可得ymin＝1＋＝5，所以选项B不符合题意．) 选项C：因为y＝2x＋22-x2＝4，当且仅当2x＝22-x，即x＝2－x，即x＝1时，不等式取等号， 所以ymin＝4，所以选项C符合题意． 选项D：当0<x<1时，ln x<0，y＝ln x＋<0，所以选项D不符合题意． 综上，所给函数中最小值为4的是选项C中的函数，故选C．] 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $