03 专题一 重点培优练1 平面向量中的最值与范围（教师用书Word版）-【高考快车道】2026年高考数学大二轮专题复习与讲义

重点培优练1　平面向量中的最值与范围 [总体概览]　平面向量中的最值与范围问题是高考的热点与难点，主要考查向量的模、数量积、夹角及向量的系数等的最值、范围．解决这类问题的常用思路有两种：一是建立求解目标的函数关系，通过函数的值域解决问题；二是借助平面向量“数”与“形”的双重身份，数形结合解决，转化中注意极化恒等式的应用． 1．[易错题](2025·海东市二模)已知向量a＝(2，6)，b＝(x，4)，若a－b与b的夹角为锐角，则x的取值范围为(　　) A．(－2，4) B．(－4，2) C． D． C　[由题可得，a－b＝(2－x，2)，(a－b)·b>0，且a－b与b不共线， 则解得－2＜x＜4且x≠． 故选C．] 2．(2024·湖北黄冈二模)已知e为单位向量，向量a满足a·e＝3，|λe－a|＝1，则|a|的最大值为(　　) A．9 B．3 C． D．10 C　[根据条件得(a－λe)2＝|a|2＋λ2－2λa·e＝＝1， 得到|a|2＝－(λ2－6λ－1)＝－(λ－3)2＋1010， 所以|a|，即|a|的最大值为． 故选C．] 3．[极化恒等式](2025·云南保山模拟)如图，已知正方形ABCD的边长为4，若动点P在以AB为直径的半圆上(正方形ABCD内部，含边界)，则·的取值范围为(　　) A．(0，16] B．[0，16] C．(0，4) D．[0，4] B　[取CD的中点E，连接PE，如图所示， 所以PE的取值范围是，即[2，2]． 又由·＝()·()＝－＝PE2－4， 所以·∈． 故选B．] 4．(2025·北京海淀区模拟)如图所示，弧BD是以O为圆心，OB为半径的圆的一部分，满足OB＝2，∠BOD＝150°，C是OB的中点，A在弧BD上运动，则·的最小值为(　　) A．2 B．－2 C．－ D．－1 C　[根据题意知，||＝1，||＝2， 则·＝||||cos ∠COA＝2cos ∠COA， 因为点A在弧BD上运动，所以∠COA∈， 而余弦函数y＝cos x在[0，π]上单调递减， 所以当∠COA＝150°时，·取得最小值2×cos 150°＝－． 故选C．] 5．在△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°．P为△ABC所在平面内的动点，且PC＝1，则·的取值范围是(　　) A．[－5，3] B．[－3，5] C．[－6，4] D．[－4，6] D　[法一(坐标法)：以C为坐标原点，CA，CB所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系(图略)，则A(3，0)，B(0，4)． 设P(x，y)，则x2＋y2＝1，＝(3－x，－y)，＝(－x，4－y)， 所以·＝x2－3x＋y2－4y ＝＋(y－2)2－． 又＋(y－2)2表示圆x2＋y2＝1上一点到点距离的平方，圆心(0，0)到点的距离为， 所以·∈， 即·的取值范围是[－4，6]． 法二(极化恒等式法)： 设AB的中点为M，与的夹角为θ， 由题意知AB＝5，CM＝． 由极化恒等式得·＝－＝()2－＝＋－2·＝＋1－5cos θ－＝1－5cos θ， 因为cos θ∈[－1，1]， 所以·的取值范围是[－4，6]．] 6．(2025·北京丰台区一模)在平行四边形ABCD中，E为边BC上的动点，O为△ABD外接圆的圆心，2＝，且||＝||＝2，则·的最大值为(　　) A．3 B．4 C．6 D．8 C　[因为2＝，所以O为AB的中点． 又因为O为△ABD外接圆的圆心，所以△ABD为直角三角形，且∠ADB＝90°． 因为||＝||＝2，所以△ADO为等边三角形，DC＝AB＝2AO＝4， 所以∠DAB＝60°，∠ODC＝60°， 因为E为边BC上的动点， ＝λ＝λ(0λ1)， 所以·＝·()＝··＝··(λ)＝2×4×＋λ＝4＋2λ， 当λ＝1时，·取得最大值6． 故选C．] 7．勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．在如图所示的勒洛三角形中，已知AB＝2，P为(含端点)上的一点，则·的范围为 ． [0，2]　[取BC中点为O，连接PO， 则·＝·＝()·()＝()·() ＝－＝－1，其中易得||∈[1，]，故· ∈[0，2]．] 8．(2025·天津模拟)已知点O为△ABC的重心，直线MN过点O，交线段AB于点M，交线段AC于点N，其中＝m＝n，则12m＋3n的最小值为 ． 9　[如图，点O为△ABC的重心， 设点D为线段BC的中点， 由＝m＝n， 可得＝＝， 则＝＝＝＝， 因为M，O，N三点共线，所以＝1， 所以12m＋3n＝(12m＋3n)＝4＋1＋5＋2＝9， 当且仅当n＝1，m＝时等号成立， 故12m＋3n的最小值为9．] 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $