02 专题一 研习2 复数、平面向量（教师用书Word版）-【高考快车道】2026年高考数学大二轮专题复习与讲义

研习2　复数、平面向量 基础考点1　复数 【母题1】　[人教A版必修第二册P79例5]计算(1＋2i)÷(3－4i)． [解]　(1＋2i)÷(3－4i)＝ ＝＝ ＝＝－i． 链接核心知识：(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)是纯虚数⇔a＝0且b≠0，复数的实部为a，虚部为b． (2)复数的运算 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则： ①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i． ②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i． ③乘法：z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i． ④除法：＝＝＝i(c＋di≠0)． (3)求复数的模时，直接根据复数的模的公式|a＋bi|＝和性质||＝|z|，|z|2＝，|z1·z2|＝|z1|·|z2|，＝进行计算． 1．[北师大版必修第二册P179例4改编]已知z＝－1－i，则|z|＝(　　) A．0 B．1 C． D．2 C　[z＝－1－i，则|z|＝＝．故选C．] 2．(2025·全国一卷)(1＋5i)i的虚部为(　　) A．－1 B．0 C．1 D．6 C　[(1＋5i)i＝－5＋i，其虚部为1．故选C．] 3．[人教A版必修第二册P79例5改编]设z＝，则＝(　　) A．1－2i B．1＋2i C．2－i D．2＋i B　[∵i2＝－1，i5＝i， ∴z＝＝＝1－2i， ∴＝1＋2i．故选B．] 4．(2025·广东深圳一模)已知z＝(i为虚数单位)，则|z|＝(　　) A．1 B． C．2 D．4 A　[法一：z＝＝＝i， 则|z|＝1．故选A． 法二：z＝，∴|z|＝＝＝＝1．故选A．] 5．(多选)(2025·辽宁抚顺模拟)已知复数z满足＝1－2i，则(　　) A．z为纯虚数　 B．的虚部为－1　 C．z＝2 D．z和是方程x2＋2x＋2＝0的两个根 BC　[由题可得：z＋1＝(1－2i)(z－1)＝z－1－2iz＋2i， 故z＝＝＝＝1＋i， 所以＝1－i，所以A错误，B正确； z＝(1＋i)(1－i)＝1－i2＝2，所以C正确； 因为x2＋2x＋2＝0，(x＋1)2＝－1， 所以x＋1＝±i，x＝－1±i， 所以D错误．故选BC．] 6．[新定义](多选)(2025·青海海南州模拟)定义复数运算：z1⊕z2＝·z2＋(z1＋1)·．若z0⊕z＝－3－i，且z0＝－i(i是虚数单位)，则下列说法正确的是(　　) A．z的虚部为i B．z的模为 C．＝－1－i D．z在复平面内对应的点位于第二象限 BCD　[设z＝a＋bi(a，b∈R)， 由题意知，i(a＋bi)＋(1－i)(a－bi)＝－3－i， 即a－2b－bi＝－3－i，则解得a＝－1，b＝1， ∴z＝－1＋i， 复数z＝－1＋i的虚部为1，故A错误； |z|＝＝，故B正确； ＝－1－i，故C正确； z＝－1＋i在复平面内对应的点的坐标为(－1，1)，位于第二象限，故D正确． 故选BCD．] 7．(多选)(2025·江苏盐城一模)设z1，z2为复数，则下列说法中正确的有(　　) A．|z1|＋|z2|＝|z1＋z2| B．＝ C．若|z1|＝|z2|，则＝ D．若<0，则z1为纯虚数 BD　[对于A：对于z1＝1＋i，z2＝1－i，则|z1|＋|z2|＝2≠|z1＋z2|＝2，故A错误； 对于B，令z1＝a＋bi，z2＝m＋ni，且a，b，m，n∈R，则＝m－ni， 所以，故B正确； 对于C：对于z1＝1，z2＝i，满足|z1|＝|z2|，显然，故C错误； 对于D，令z1＝a＋bi，a，b∈R， ＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi<0，则可得即z1为纯虚数，故D正确．故选BD．] 8．(2025·吉林三模)已知复数z1满足|z1－1|＝|z1－i|，复数z2满足|z2－4|＝，则|z1－z2|的最小值为 ． 　[因为复数z1满足|z1－1|＝|z1－i|， 所以复数z1在复平面内对应的点在以点(1，0)和(0，1)为端点的线段的垂直平分线l上，直线l的方程为y＝x， 因为复数z2满足|z2－4|＝， 所以复数z2在复平面内对应的点在以(4，0)为圆心，半径为的圆上，如图所示： 则圆形(4，0)到直线y＝x的距离d＝＝2， 所以|z1－z2|的最小值为d－r＝2＝．] 【教用·备选题】 1．(2025·江西九江二模)已知复数z满足(2－i)z＝5，则的虚部为(　　) A．1　　　B．2　　　C．－1　　　D．－2 C　[复数z满足(2－i)z＝5， 则z＝＝2＋i， 故的虚部为－1． 故选C．] 2．(2025·上海卷)已知复数z满足z2＝，|z|1，则|z－2－3i|的最小值是 ． 2　[设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，由z2＝，可得(a＋bi)2＝(a－bi)2，即a2－b2＋2abi＝a2－b2－2abi，故ab＝0．由|z|1可得1，即a2＋b21． 法一：当a＝0时，－1b1，|z－2－3i|＝|－2＋(b－3)i|＝，此时|z－2－3i|min＝＝2．当b＝0时，－1a1，|z－2－3i|＝|a－2－3i|＝，此时|z－2－3i|min＝＝．当a＝0，b＝0时，|z－2－3i|＝|－2－3i|＝＝．综上，|z－2－3i|的最小值为2． 法二：设复数z在复平面内对应的点的坐标为(x，y)，其中x＝0(－1y1)或y＝0(－1x1)，表示两条相交线段．|z－2－3i|表示z在复平面内对应的点到点(2，3)的距离，作出图形如图，结合图知，当z在复平面内对应的点为(0，1)时，|z－2－3i|取到最小值，为＝2． ] 基础考点2　平面向量的线性运算 【母题2】　[人教A版必修第二册P14例6]如图，▱ABCD的两条对角线相交于点M，且＝a， ＝b，用a，b表示和． [解]　在▱ABCD中， ＝＝a＋b， ＝＝a－b． 由平行四边形的两条对角线互相平分，得 ＝－＝－(a＋b)＝－a－b， ＝＝(a－b)＝a－b， ＝＝a＋b， ＝－＝－a＋b． 链接核心知识：解决平面向量问题的3种常用方法 (1)直接法：灵活运用三角形法则、平行四边形法则、共线向量定理，紧密结合图形的几何性质进行运算，如P是AB的中点⇔＝；A，P，B三点共线⇔＝(1－t)＋t(O为平面内任意一点，t∈R)． (2)坐标法：若平面图形(如长方形、等腰三角形、菱形、直角梯形等)建系方便，则可借助向量的坐标运算巧解题． (3)基底法：若平面图形建系不方便，则考虑选取合适基底求解． 1．[易错题]已知平面向量a，b，c，下列结论正确的是(　　) A．若a∥b，则a＝b B．若＝，则a＝b C．若a∥b，b∥c，则a∥c D．若＝，则a∥b D　[对于A，若a为非零向量，b为零向量时，有a∥b，但a＝b不成立，故A错误；对于B，|a|＝|b|时，a，b方向不一定相同，故B错误；对于C，若b为零向量时，a∥b，b∥c，不一定有a∥c，故C错误；对于D，＝|a|＋|b|说明a，b同向或至少有一个零向量，所以a∥b，故D正确．故选D．] 2．[湘教版必修第二册P19例4改编]已知平面向量a，b不共线，＝4a＋6b，＝－a＋3b，＝a＋3b，则(　　) A．A，B，D三点共线 B．A，B，C三点共线 C．B，C，D三点共线 D．A，C，D三点共线 D　[对于A项，＝＝－a＋3b＋a＋3b＝6b与不共线，A错误； 对于B项，＝4a＋6b，＝－a＋3b，则与不共线，B错误； 对于C项，＝－a＋3b，＝a＋3b，则与不共线，C错误； 对于D项，＝＝4a＋6b＋＝3a＋9b＝3， 即∥，又线段AC与CD有公共点C，所以A，C，D三点共线，D正确．故选D．] 3．[人教A版必修第二册P23习题6.2T15改编]设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则＝(　　) A． B． C． D． A　[＝＋()＝＝＝＝，故选A． ] 4．(2022·新高考Ⅰ卷)在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA．记＝m，＝n，则＝(　　) A．3m－2n B．－2m＋3n C．3m＋2n D．2m＋3n B　[因为点D在边AB上，BD＝2DA，所以＝2，即＝2()， 所以＝3－2＝3n－2m＝－2m＋3n． 故选B．] 5．(2025·全国一卷)帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小与方向，测出的结果在航海学中称为视风风速．视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和，其中船行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反．如表中给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系．已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图所示(线段长度代表速度大小，单位：m/s)，则该时刻的真风为(　　) 级数 名称 风速大小(单位：m/s) 2 轻风 1.6～3.3 3 微风 3.4～5.4 4 和风 5.5～7.9 5 劲风 8.0～10.7 A．轻风 B．微风 C．和风 D．劲风 A　[真风风速对应的向量＝视风风速对应的向量－船行风风速对应的向量＝视风风速对应的向量＋船速对应的向量＝，如图，||＝2∈(1.6，3.3)，故选A． ] 6．(2025·上海春季高考)已知a＝(2，1)，b＝(1，x)，若a∥b，则x＝ ． 　[a＝(2，1)，b＝(1，x)，a∥b， 则2x＝1，解得x＝． 故答案为．] 7．(2025·长沙望城区一模)如图，在△ABC中，点O是线段BC上靠近点B的三等分点，过点O的直线分别交直线AB，AC于点M，N．设＝m＝n，则2m＋n的值为 ． 3　[连接AO，因为点O是线段BC上靠近点B的三等分点， 所以＝2，所以＝2，所以＝， 又因为＝m＝n， 所以＝mn． 因为M，N，O三点共线，所以m＋n＝1，所以2m＋n＝3．] 基础考点3　平面向量的数量积 【母题3】　[人教A版必修第二册P52习题6.4T2]已知O，N，P在△ABC所在平面内，满足||＝||＝||，＝0，且·＝·＝·，则点O，N，P依次是△ABC的(　　) A．重心，外心，垂心 B．重心，外心，内心 C．外心，重心，垂心 D．外心，重心，内心 C　[由||＝||＝||，知O为△ABC的外心．由＝0，知N为△ABC的重心．因为·＝·，所以()·＝0，即·＝0，故⊥．同理，⊥． 所以P为 △ABC的垂心．故选C．] 链接核心知识：平面向量的数量积的运算转换技巧 (1)抓住数量积的定义、几何意义及其性质，实现向量数量积、夹角、模的转换． ①若a＝(x，y)，则|a|＝＝． ②若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 ||＝． ③设θ为a与b(a≠0，b≠0)的夹角，且a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， 则cos θ＝＝． (2)用坐标法或极化恒等式a·b＝[(a＋b)2－(a－b)2]，解决与数量积有关的最值问题． 1．[北师大版必修第二册P135T2(8)改编]已知向量a，b满足：|a|＝1，|a＋2b|＝2，且(b－2a)⊥b，则|b|＝(　　) A． B． C． D．1 B　[向量a，b满足|a|＝1，|a＋2b|＝2，且(b－2a)⊥b， 可得a2＋4a·b＋4b2＝4，b2－2a·b＝0， 可得6b2＝3，所以|b|＝．故选B．] 2．[人教A版必修第二册P20练习T3改编]已知向量a＝(1，3)，b＝(－2，4)，则b在a上的投影向量的长度为(　　) A． B． C．10 D．20 B　[因为向量a＝(1，3)，b＝(－2，4)， 所以a·b＝－2＋12＝10，|a|＝＝， 则b在a上的投影向量的长度为＝＝．故选B．] 3．[极化恒等式](2023·全国乙卷)已知正方形ABCD的边长是2，E为AB的中点，则·＝(　　) A． B．3 C．2 D．5 B　[法一(极化恒等式)：取CD的中点F，连接EF(图略)，则·＝||2－||2＝22－1＝3(直接利用结论，简化运算)． 法二：以{}为基底向量(题眼)，可知||＝||＝2，·＝0， 则＝＝＝＝(用基底表示所求向量)， 所以·＝·＝＋||2＝－1＋4＝3． 法三：如图，以A为坐标原点建立平面直角坐标系(特殊图形坐标化)， 则E(1，0)，C(2，2)，D(0，2)，可得＝(1，2)，＝(－1，2)， 所以·＝－1＋4＝3． 法四：由题意可得，ED＝EC＝，CD＝2， 在△CDE中，由余弦定理的推论可得 cos ∠DEC＝＝＝， 所以·＝||||cos ∠DEC＝＝3．] 规律方法：极化恒等式的书写形式 在平行四边形PMQN中，O是对角线交点，则： (1)·＝(||2－||2)(平行四边形模式)． (2)·＝||2－||2(三角形模式)． (3)a2＋b2＝[(a＋b)2＋(a－b)2](其他形式)． 4．(2025·吉林三模)如图，在圆C中，已知弦AB的长度为2，则·＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 B　[取AB的中点D，连接CD，由圆的性质可知，CD⊥AB， 所以在上的投影向量为， 所以·＝·＝||2＝×4＝2． 故选B．] 5．(2023·全国甲卷)已知向量a＝(3，1)，b＝(2，2)，则cos 〈a＋b，a－b〉＝(　　) A． B． C． D． B　[由题意知，a＋b＝(5，3)，a－b＝(1，－1)， 所以cos 〈a＋b，a－b〉＝ ＝＝＝，故选B．] 6．[人教A版必修第二册P52习题6.4T1]若非零向量与满足·＝0，且·＝，则△ABC为(　　) A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形 C．底边和腰不相等的等腰三角形 D．等边三角形 D　[已知非零向量与满足·＝0，即角A的平分线垂直于BC，所以AB＝AC． 又cos A＝＝·＝，故A＝． 因此△ABC为等边三角形．] 7．(多选)(2025·福建模拟)已知向量a，b满足|a|＝3，|b|＝2，则下列结论正确的有(　　) A．(2a＋3b)⊥(2a－3b) B．若a·b＝6，则a∥b C．a在b方向上的投影向量为(a·b)b D．若|a＋2b|＝，则a在b的夹角为 ABD　[对于A，因为|a|＝3，|b|＝2，则(2a＋3b)·(2a－3b)＝4a2－9b2＝36－36＝0， 可得(2a＋3b)⊥(2a－3b)，故A正确； 对于B，由a·b＝|a|·|b|cos 〈a，b〉＝3×2×cos 〈a，b〉＝6， 可得cos 〈a，b〉＝1，而0〈a，b〉π，可得〈a，b〉＝0，所以a∥b，则B正确； 对于C，a在b方向上的投影向量为·b＝(a·b)b，则C错误； 对于D，若|a＋2b|＝，两边取平方，a2＋4b2＋4a·b＝9＋4×4＋4|a|·|b|cos 〈a，b〉＝13， 可得cos 〈a，b〉＝－，因为0〈a，b〉π，〈a，b〉＝，故a与b的夹角为，则D正确． 故选ABD．] 8．(2025·全国二卷)已知平面向量a＝(x，1)，b＝(x－1，2x)，若a⊥(a－b)，则|a|＝ ． 　[a－b＝(1，1－2x)，根据a⊥(a－b)，得a·(a－b)＝x＋1－2x＝1－x＝0，所以x＝1，此时a＝(1，1)，所以|a|＝．] 9．[学科间综合](2025·安徽蚌埠模拟)键线式可以简洁直观地描述有机物的结构，在有机化学中极其重要．有机物萘可以用如图所示的键线式表示，其结构简式可以抽象为下图所示的图形．已知六边形ABCHIJ与六边形CDEFGH为全等的正六边形，且AB＝4，点M为正六边形CDEFGH内的一点(包含边界)，则·的取值范围是 ． [16，48]　[已知六边形ABCHIJ与六边形CDEFGH为全等的正六边形，且AB＝4， 点M为正六边形CDEFGH内的一点(包含边界)， 过点M作直线AB的垂线，垂足为M1，则·＝0，＝， 所以·＝·， 当点M与点H重合时， (·)min＝4×4＝16， 当点M与点E重合时，(·)max＝4×12＝48， 所以·的取值范围是[16，48]． 故答案为[16，48]．] 【教用·备选题】 1．(2025·北京卷)已知平面直角坐标系Oxy中，||＝||＝，||＝2，设C(3，4)，则|2|的取值范围是(　　) A．[6，14]　　　　　 B．[6，12] C．[8，14] D．[8，12] D　[由||＝||＝，||＝2，可知⊥，故点A，B在以O为圆心，为半径的圆上，取AB的中点H，可知|OH|＝1，所以点H在以O为圆心，1为半径的圆上，则|2|2＝＋4· ＝4·()＋4 ＝4·＋4 ＝4()()＋4 ＝4(－)＋4 ＝4(－1)＋4 ＝4， 所以|2|＝2||，又|||－1|||||＋1，||＝＝5，则4||6，故82||12，即|2|的取值范围是[8，12]．故选D．] 2．(2025·天津卷)△ABC中，D为AB中点，＝＝a，＝b，则＝ (用a，b表示)；若||＝5，AE⊥CB，则·＝ ． a＋b　－15　[＝＝＝)＝＝a＋b． 法一：∵||＝5，∴25＝，即900＝a2＋16b2＋8a·b　①，易得＝b－a， ∵AE⊥CB，∴·＝0，即·(b－a)＝0，得4b2－a2－3a·b＝0　②， 由①②得2 700＝80b2－5a2，∴16b2－a2＝540，∴·＝·＝(a2－8b2＋2a·b)＝＝(a2－16b2)＝×(－540)＝－15． 法二：如图，延长AE交BC于点O，则AO⊥BC，以OC，OA所在直线分别为x，y轴建立平面直角坐标系，设E(0，h)，B(n，0)，C(m，0)，则A(0，h＋5)，D， ∴＝＝(－m，h)， ∵＝3，∴－m＝－3m，＝3h， 即n＝－4m，h＝1， ∴＝(－3m，3)，又＝(0，1)－(0，6)＝(0，－5)， ∴·＝－15． 法三：＝＝a－b，＝＝＝a－b，从而＝＝a＋b＝(a＋4b)＝[6(a－b)－5(a－2b)]＝，则＝)，故·＝·()＝＝－15．] 1．(2025·全国二卷)已知z＝1＋i，则＝(　　) A．－i B．i C．－1 D．1 A　[＝＝－i，故选A．] 2．(2024·新高考Ⅰ卷)若＝1＋i，则z＝(　　) A．－1－i B．－1＋i C．1－i D．1＋i C　[因为＝＝1＋＝1＋i，所以z＝1＋＝1－i． 故选C．] 3．(2023·新高考Ⅱ卷)在复平面内，(1＋3i)(3－i)对应的点位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 A　[因为(1＋3i)(3－i)＝3－i＋9i－3i2＝6＋8i，所以该复数在复平面内对应的点为(6，8)，位于第一象限，故选A．] 4．(2023·北京卷)在复平面内，复数z对应的点的坐标是(－1，)，则z的共轭复数＝(　　) A．1＋i B．1－i C．－1＋i D．－1－i D　[∵在复平面内，复数z对应的点的坐标是(－1，)， ∴z＝－1＋i，则z的共轭复数＝－1－i， 故选D．] 5．(2024·新高考Ⅰ卷)已知向量a＝(0，1)，b＝(2，x)，若b⊥(b－4a)，则x＝(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 D　[因为b⊥(b－4a)，所以b·(b－4a)＝0， 所以b2－4a·b＝0，即4＋x2－4x＝0，故x＝2． 故选D．] 9 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $