01 专题一 研习1 集合、常用逻辑用语（教师用书Word版）-【高考快车道】2026年高考数学大二轮专题复习与讲义

研习1　集合、常用逻辑用语 基础考点1　集合 【母题1】　[人教A版必修第一册P14习题1.3T5]设a∈R，集合A＝{x|(x－3)(x－a)＝0}，B＝{x|(x－4)(x－1)＝0}，求A∪B，A∩B． [解]　因为B＝{x|(x－4)(x－1)＝0}＝{1，4}， 且A＝{x|(x－3)(x－a)＝0，a∈R}＝{3，a}，所以 (1)当a＝3时，A∪B＝{1，3，4}，A∩B＝∅． (2)当a＝1时，A∪B＝{1，3，4}，A∩B＝{1}． (3)当a＝4时，A∪B＝{1，3，4}，A∩B＝{4}． (4)当a≠1，3，4时，A∪B＝{1，3，4，a}，A∩B＝∅． 链接核心知识：(1)若已知的集合是不等式的解集，用数轴求解；若已知的集合是点集，用数形结合法求解；若已知的集合是抽象集合，用Venn图求解． (2)对于含有n个元素的有限集合M，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为2n，2n－1，2n－1，2n－2． (3)A∩B＝A⇔A⊆B⇔A∪B＝B． (4)若已知A∩B＝∅，要注意不要漏掉特殊情况：A＝∅或B＝∅． 1．[人教B版必修第一册P14练习BT4改编]已知集合A＝{x|1＜x＜3}，B＝{x|x＜a}，若A⊆B，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，3) B．(－∞，3] C．(3，＋∞) D．[3，＋∞) D　[集合A＝{x|1＜x＜3}，B＝{x|x＜a}， 若A⊆B，则实数a的取值范围是[3，＋∞)． 故选D．] 2．[人教A版必修第一册P14习题1.3T6改编]设全集U＝M∪N＝{1，2，3，4，5，6}，若M∩(∁UN)＝{1，3，5}，则N＝(　　) A．{1，3，5} B．{2，4，6} C．{2，3，6} D．∅ B　[因为M∩∁UN＝{1，3，5}，全集U＝M∪N＝{1，2，3，4，5，6}， 所以1∉N，3∉N，5∉N， 所以N＝{2，4，6}．故选B．] 3．(2025·全国二卷)已知集合A＝{－4，0，1，2，8}，B＝{x|x3＝x}，则A∩B＝(　　) A．{0，1，2} B．{1，2，8} C．{2，8} D．{0，1} D　[由题可得B＝{－1，0，1}，所以A∩B＝{0，1}，故选D．] 4．(2025·南京鼓楼区模拟)已知全集U＝R，集合A＝{－1，0，1，2，3}，B＝，则图中阴影部分表示的集合为(　　) A．{0} B．{－1，0} C．{1，2，3} D．{－1，0，1，2} A　[由Venn图可知阴影部分对应的集合为A∩(∁UB)， ∵集合A＝{－1，0，1，2，3}，B＝， ∴∁UB＝， 即A∩(∁UB)＝{0}． 故选A．] 5．[新定义]对于数集A，B，定义A＋B＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，A÷B＝，若集合A＝{1，2}，则集合(A＋A)÷A中所有元素之和为(　　) A．5 B． C． D． D　[因为定义A＋B＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，A÷B＝，集合A＝{1，2}，则A＋A＝{2，3，4}，(A＋A)÷A＝，则可知所有元素的和为． 故选D．] 新定义的破解模型： 6．[易错题]设集合A＝{0，－a}，B＝{1，a－2，2a－2}，若A⊆B，则a＝ ． 1　[若a－2＝0，则a＝2，此时A＝{0，－2}，B＝{1，0，2}，不满足题意；若2a－2＝0，则a＝1，此时A＝{0，－1}，B＝{1，－1，0}，满足题意．综上得a＝1．] 【教用·备选题】 1．(2025·北京卷)集合M＝{x|2x－1>5}，N＝{1，2，3}，则M∩N＝(　　) A．{1，2，3}　　　　　 B．{2，3} C．{3} D．∅ D　[由题意可知，集合M＝{x|2x－1>5}＝{x|x>3}，又因为N＝{1，2，3}，所以M∩N＝∅．故选D．] 2．(2024·全国甲卷)已知集合A＝{1，2，3，4，5，9}，B＝{x|∈A}，则∁A(A∩B)＝(　　) A．{1，4，9}　　　　　　 B．{3，4，9} C．{1，2，3} D．{2，3，5} D　[因为A＝{1，2，3，4，5，9}，B＝{x|∈A}，所以B＝{1，4，9，16，25，81}， 则A∩B＝{1，4，9}，∁A(A∩B)＝{2，3，5}． 故选D．] 3．(多选)(2025·河南开封二模)已知集合A＝{x|－3＜2x－1＜3}，∁RB⊆A，则(　　) A．－1∉B B．2∈B C．－1∈A∪B D．2∈A∩B BC　[A＝{x|－3＜2x－1＜3}＝{x|－1＜x＜2}， 对于选项A，若－1∉B，则－1∈∁RB，则根据∁RB⊆A有－1∈A，显然矛盾，故选项A错误； 对于选项B，假设2∉B，则2∈∁RB，根据∁RB⊆A有2∈A，显然矛盾，则2∈B，故选项B正确； 对于选项C，由A知，－1∈B，则－1∈A∪B，故选项C正确； 对于选项D，显然2∉A，必有2∉A∩B，故选项D错误．故选BC．] 基础考点2　常用逻辑用语 【母题2】　[人教A版必修第一册P22习题1.4T2节选]在下列各题中，判断p是q的什么条件(请用“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”回答)： (1)p：a∈P∩Q，q：a∈P；(2)p：a∈P∪Q，q：a∈P；(3)p：x>y，q：x2>y2． [答案]　(1)充分不必要条件　(2)必要不充分条件 (3)既不充分也不必要条件 链接核心知识：(1)含有一个量词命题的否定，其原则为“改量词、否结论”． (2)充分、必要条件的判断可利用定义或借助集合间的关系来判断． (3)“A的充分不必要条件是B”是指B⇒A，且ADB；而“A是B的充分不必要条件”则是指A⇒B，且BDA． 1．[北师大版必修第一册P23T3(4)改编]已知命题p：∃x＞0，x3＞x，则命题p的否定为(　　) A．∃x＞0，x3x B．∃x0，x3＞x C．∀x＞0，x3x D．∀x＞0，x3＞x C　[命题p：∃x＞0，x3＞x， 则命题p的否定为∀x＞0，x3x． 故选C．] 2．(2025·广东模拟)“x＞2”是“x2－2x＞0”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件　 D．既不充分也不必要条件 A　[解不等式x2－2x＞0，可得x＞2或x＜0， 因为{x|x＞2}是{x|x＞2或x＜0}的真子集， 所以“x＞2”是“x2－2x＞0”的充分不必要条件， 故选A．] 3．[易错题](多选)(2025·贵州安顺模拟)已知集合A＝{a，a2}，B＝{x|1x4}，若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则实数a的取值可以是(　　) A．1 B． C．2 D．4 BC　[因为集合A＝{a，a2}，B＝{x|1x4}， 若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则A⊆B， 所以，解得1a2， 当a＝1时，A＝{1，1}，与集合元素的互异性矛盾． 故选BC．] 4．(2024·全国甲卷)设向量a＝(x＋1，x)，b＝(x，2)，则(　　) A．x＝－3是a⊥b的必要条件 B．x＝1＋是a∥b的必要条件 C．x＝0是a⊥b的充分条件 D．x＝－1＋是a∥b的充分条件 C　[对于A，当a⊥b时，则a·b＝0， 所以x·(x＋1)＋2x＝0，解得x＝0或x＝－3，即必要性不成立，故A错误； 对于C，当x＝0时，a＝(1，0)，b＝(0，2)，故a·b＝0，所以a⊥b，即充分性成立，故C正确； 对于B，当a∥b时，则2(x＋1)＝x2，解得x＝1±，即必要性不成立，故B错误； 对于D，当x＝－1＋时，不满足2(x＋1)＝x2，所以a∥b不成立，即充分性不成立，故D错误．故选C．] 5．[人教A版必修第一册P35复习参考题1T7改编]命题“∃x∈R，使mx2－(m＋3)x＋m0”是假命题，则实数m的取值范围为(　　) A．m＜0 B．m＜－1 C．m＞3 D．m3 C　[命题“∃x∈R，使mx2－(m＋3)x＋m0”是假命题， 则命题的否定为∀x∈R，使mx2－(m＋3)x＋m＞0为真命题， 当m＝0时，不满足题意， 当m≠0时，则解得m＞3． 故选C．] 6．[开放题](2025·北京西城区模拟)设f(x)是定义在R上的减函数，能说明“一定存在x0∈R使得f(x0)＜1”为假命题的一个函数是f(x)＝ ． ＋1(答案不唯一)　[根据题意，若“存在x0∈R使得f(x0)＜1”为假命题，其反例可以为一个值域大于等于1的减函数， 分析可得：f(x)＝＋1符合要求． 故答案为＋1(答案不唯一)．] 题后反思：开放题是一类开放性和发散性问题，此类问题条件或结论不完备，没有明确的结论，解题方向不明，自由度大，需要考生自己结合已知条件进行分析、比较、概括和探索． 【教用·备选题】 1．[人教A版必修第一册P34复习参考题1T5改编](2024·天津卷)已知a，b∈R，则“a3＝b3”是“3a＝3b”的(　　) A．充分不必要条件　 B．必要不充分条件　 C．充要条件　 D．既不充分也不必要条件 C　[由函数y＝x3单调递增可知，若a3＝b3，则a＝b；由函数y＝3x单调递增可知，若3a＝3b，则a＝b，所以a，b∈R，则“a3＝b3”是“3a＝3b”的充要条件．故选C．] 2．(2025·北京卷)已知函数f(x)的定义域为D，则“函数f(x)的值域为R”是“对任意M∈R，存在x0∈D，使得|f(x0)|>M”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 A　[因为函数f(x)的定义域为D，若函数f(x)的值域为R，则对任意M∈R，存在x0∈D，使得|f(x0)|>M，充分性成立；若对任意M∈R，存在x0∈D，使得|f(x0)|>M，f(x)的值域不一定是R，必要性不成立．故选A．] 3．[人教A版必修第一册P23习题1.4T6推广探索]设a，b，c分别是△ABC的三条边，且abc，我们知道，如果△ABC为直角三角形，那么a2＋b2＝c2(勾股定理)，反过来，如果a2＋b2＝c2，那么△ABC为直角三角形(勾股定理的逆定理)．由此可知，a2＋b2＝c2是△ABC为直角三角形的充要条件． 请利用边长a，b，c分别给出△ABC为锐角三角形和钝角三角形的一个充要条件，并证明． [证明]　(1)△ABC为锐角三角形的充要条件为a2＋b2>c2． 充分性，若a2＋b2>c2且abc，则△ABC不是直角三角形．如果△ABC为钝角三角形，则∠C>90°．过点B作AC的延长线的垂线，垂足为D(图1)，由勾股定理知， c2＝BD2＋(b＋CD)2＝BD2＋CD2＋b2＋2·CD·b＝a2＋b2＋2·CD·b>a2＋b2， 矛盾，故△ABC为锐角三角形． 必要性，过点A作边BC的垂线，垂足为D(图2)．由勾股定理知， c2＝AD2＋BD2＝AD2＋(a－CD)2＝b2－CD2＋(a－CD)2＝a2＋b2－2·CD·a<a2＋b2． (2)△ABC为钝角三角形的充要条件为a2＋b2<c2，可类似(1)的证法证明． 1．(2025·全国一卷)已知集合U＝{x|x是小于9的正整数}，A＝{1，3，5}，则∁UA中元素的个数为(　　) A．0 B．3 C．5 D．8 C　[由题意，U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，A＝{1，3，5}， 则∁UA＝{2，4，6，7，8}，故∁UA中有5个元素．故选C．] 2．(2023·新高考Ⅰ卷)已知集合M＝{－2，－1，0，1，2}，N＝{x|x2－x－60}，则M∩N＝(　　) A．{－2，－1，0，1} B．{0，1，2} C．{－2} D．{2} C　[因为N＝{x|x2－x－60}＝{x|x3或x－2}，所以M∩N＝{－2}，故选C．] 3．(2024·新高考Ⅱ卷)已知命题p：∀x∈R，|x＋1|>1；命题q：∃x>0，x3＝x．则(　　) A．p和q都是真命题 B．¬p和q都是真命题 C．p和¬q都是真命题 D．¬p和¬q都是真命题 B　[对于命题p而言，取x＝－1，则有|x＋1|＝0<1，故p是假命题，¬p是真命题；对于命题q而言，取x＝1，则有x3＝13＝1＝x，故q是真命题，¬q是假命题．综上，¬p和q都是真命题．故选B．] 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $