第1章 三角形的证明 测试卷-【典创·单元学情诊断卷】2025-2026学年八年级下册数学（北师大版·新教材）

第一章测试卷 题号 二 三 总分 得分 时间：120分钟 满分：120分 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的) 1.在△ABC中，∠A=50°，∠C=70°，则∠B的度数是 ( A.60° B.70° C.50° D.40° 2.在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别是a、b、c,若∠B>∠A>∠C,则a、b、c的大小关系为 () A.a>b>c B.b>c>a C.c>b>a D.b>a>c 3.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB,BC于点D,E,连接AE.若AE=5,EC=3,则BC 的长为 A.7 B.8 C.9 D.10 (第3题图) 4.下列命题中是真命题的是 A.等边三角形一条边上的高线也是该条边上的中线 B.有一个角是60°的三角形是等边三角形 C.等腰三角形一定是锐角三角形 D.有一个角对应相等的两个等腰三角形全等 ·1 5.如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB,BD⊥CD,∠A=∠ABD,若∠BCD=36°，则∠A的度数 为 () A.36° B.44° C.27° D.54° 6.如图，∠AOB=90°，以点0为圆心，适当长为半径画弧交∠AOB两边于点A,B,再以点A为圆心， OA长为半径画弧，交弧AB于点C,作射线OC,则∠BOC的度数为 A.20° B.25° C.30° D.40° D B (第5题图) (第6题图) (第7题图) 7.如图，在△ABC中，∠A=47°，将一块直角三角板放在△ABC上，使三角板的两条直角边分别经 过点B,C,直角顶点D落在△ABC的内部，则∠ABD+∠ACD的度数为 （) A.43° B.47° C.53° D.57 8.如图，在△ABC中，∠B=40°，∠C=50°，观察尺规作图的痕迹，则∠DAE的度数为 A.35° B.30° C.25° D.20° E G E D F (第8题图) (第9题图) 9.如图，在△ABC中，∠ABC=30°，DE、FG分别垂直平分AB、AC,垂足分别为E、G,且BC=20, ∠BAC=2∠C,则下列结论不正确的是 () A.∠C=50° B.∠DAF=20° C.△ABC的周长为40 D.△ADF的周长为20 10.下列说法：①真命题的逆命题一定是真命题；②等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合； ③如果a,b,c是一组勾股数，那么4a,4b,4c也是一组勾股数；④用反证法证明命题“三角形中 必有一个内角小于或等于60°”时，首先要假设“这个三角形中每一个内角都大于60°”.其中正 确的有 () A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 ·2· 第二部分非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11.命题“如果a=0或b=0,那么(a+b)2=a2+b2”的逆命题是 12.如图，一架梯子斜靠在墙上，梯子与墙的夹角∠BAC=30°，梯子的长为6米，则梯子与墙角的距 离BC长为米. 13.如图，Rt△ABC的斜边AC的垂直平分线与AC,AB分别相交于点D,E,∠A=15°，CE=6,则 △AEC的面积为 D A15o B (第12题图) (第13题图) 14.如图，等边三角形ABC的边长为4，面积为16，点P为AD上一动点，E为AB边的中点，则BP+ EP的最小值为 A D E B 图 图2 (第14题图) (第15题图) 15.如图，图1为传统建筑中的一种窗格，图2为其窗框的示意图，多边形ABCDEFGH为正八边形， 连接AC,BD,AC与BD交于点M,则∠AMB= 三、解答题（本题共8小题，共75分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16.（本小题8分) 如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的角平分线.若∠B=50°，∠C=80°，求 ∠EAD的度数. B E D C (第16题图) 3· 17.（本小题8分) 如图，在△ABC中，AB=AC,∠B=30°，点D在BC上，AD⊥AB.试说明BC=3CD. D (第17题图) 密 18.(本小题8分) 下面是多媒体上展示的一道习题，请你将过程补充完整， 如图，∠A=∠B=90°，E是AB上一点，且AE=BC,∠1=∠2. 求证：DE⊥CE. D 证明：.∠1=∠2， ∴.ED= ∠A=∠B=90°， Bh 在Rt△ADE和Rt△BEC中， (第18题图) AE= ED= Rt△ADE≌Rt△BEC(判定依据，用字母表示： ∴.∠AED=∠ ∠B=90°， ∴.∠BCE+∠CEB=90°，（直角三角形的两个锐角 ∴.∠AED+∠CEB= ∴.∠DEC=90°， .∴.DE⊥CE. 4 19.(本小题8分) 如图，已知线段a,h,用直尺和圆规作等腰三角形ABC,使底边BC=a,BC边上的高为h,(不需 写作法，保留作图痕迹) h 0 (第19题图) 密 20.(本小题8分) 如图在△ABD中，AB⊥AD,E为线段BD的中点，CE∥AF,∠B=30°，DC平分∠ADB,AF交DC 于点G,交BD于点F (1)证明：CE⊥BD; (2)判断△ACG的形状，并说明理由 封 G B D E (第20题图) 线 5 21.(本小题10分)》 在海洋上有一近似于四边形的岛屿，其平面如图甲，小明据此构造出该岛的一个数学模型（如 图乙四边形ABCD),AC是四边形岛屿上的一条小溪流，其中∠B=90°，AB=20千米，BC= 15千米，CD=7千米，AD=24千米 (1)求小溪流AC的长； (2)求四边形ABCD的面积. D B 图甲 图乙 (第21题图) .6 22.（本小题12分) 在△ABC中，AB=15,BC=14,AC=13,求三角形ABC的面积，某学习小组经过合作交流，给出 了下列的解题思路： B D (第22题图) 作AD⊥BC于D,设 根据勾股定理，利用 利用勾股定理求出 BD=x,用含x的代数 AD作为“桥梁”，建立 AD的长，再计算三角 式表示CD 方程模型求出x 形面积 (1)计算：按照他们的解题思路计算△ABC的面积； (2)应用：一块三角形种植园三边长分别为5km、7km、8km,现在需要在种植园内修建一个到 三边距离相等的观测站，则观测站到三边的距离为多少千米？ .7· 23.(本小题13分) 如图1，已知△ABC中，∠BAC=90°，AB=16cm,AC=12cm,P,Q分别是△ABC边上的两动点， 点P是由点B开始沿B→A方向以2c/s的速度移动，到达A点后停止；点Q是由A开始沿A →C→B的方向以4cm/s的速度移动，到达B点后停止；它们同时出发，设出发时间为ts. (1)BC=cm;当点Q在边CB上移动时，CQ= cm(用含t的代数式表示)； (2)如图2，当t为何值时，PC恰好平分∠ACB?并求出此时CQ的长度； (3)当点Q在边BC上运动时，直接写出△ABQ为等腰三角形时t的值 C 图1 图2 备用图 (第23题图) ·8·参芳答案 第一章测试卷 一、选择题 1.A2.D3.B4.A5.C6.C7.A8.C9.C 10.B 二、填空题 11.如果(a+b)2=a2+b2,那么a=0或b=0 12.313.914.2515.45 三、解答题 16.解：在Rt△ACD中，∠C=80°，∴.∠DAC=90°-∠C= 90°-80°=10°，在△ABC中，∠B=50°，∠C=80°， .∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-50°-80°=50°， AE是∠BMC的角平分线，∠EAC=7∠BAC=3× 50°=25°，.∠EAD=∠EAC-∠DAC=25°-10°=15° 17.解：.AB=AC,∠B=30°，∴.∠B=∠C=30°， ∴.∠BAC=180°-30°-30°=120°，又AD1AB, ∴.∠BAD=90°，∴.∠DAC=∠BAC-∠BAD=120°-90° =30°，.∠C=∠DAC=30°，∴.AD=DC,在Rt△ABD中， ∠B=30,∠BAD=90°AD=)BD,即BD=2AD, .BD =2DC,..BC =3CD 18.EC BC CE HL BCE互余90 19.解：如图，等腰△ABC即为所作. 20.(1)证明：AB⊥AD,∠B=30°，∴.∠ADB=60°，DC 平分∠ADB∠BDC=LADC=7∠ADB=30°=∠B, .BC=DC,E是BD的中点，∴.CE⊥BD: (2)解：△ACG是等边三角形，理由如下：CE∥AF, CE⊥BD,.AF⊥BD,又∠B=30°，∴.∠BAF=60°， :∠B=∠CDB=30°，∴.∠ACG=60°，∴.∠AGC=60°= ∠ACG=∠BAF,∴.△ACG是等边三角形. 21.解：(1)如图，连接AC,∠B=90°， AB=20千米，BC=15千米，.AC= √AB2+BC=√202+152=25（千米）， 答：小溪流AC长25千米； (2)AC=25千米，CD=7千米，AD=24千米， .AC2=625,CD2=72=49,4D2=242=576, AC2=CD+AD2,∴.△ADC是直角三角形，则∠D=90° 六Sm形m=Sam+Saa=7×20×15+7×24×7= 234(平方千米). 22.解：(1)设BD=x,CD=(14-x),AD是BC边上 .81 的高，∴.△ABD和△ACD都是直角三角形，在Rt△ABD 中，根据勾股定理，AD=AB2-BD2=152-x2,在 Rt△ACD中，根据勾股定理，得AD2=AC2-CD2=132- (14-x)2,.152-x2=132-(14-x)2,解得：x=9,即BD =9,AD2=152-92=14,AD=12,Sax=28C… AD=7×14×12=84 (2)如图，AB=8,BC=7,AC=5,设 BD=8,则CD=(7-z),:AD是BC 边上的高，∴.△ABD和△ACD都是直 角三角形.在Rt△ABD中，根据勾股 定理，AD2=AB2-BD2=82-2, 在Rt△ACD中，根据勾股定理，得AD2=AC2-CD2=52 -(7-)8-=5-(7-),解得-9即D= 特A0=82-(学产2055m=分BC…0= 与×7x29-10反，依题春，设观测站到三边的距离为 ykm8+7+5y=105,解得：y=万，即观测站到 三边的距离为√3千米. 23.解：(1)：∠BAC=90°，AB=16cm,AC=12cm,∴.BC =√AC2+AB2=20cm,当点Q在边CB上移动时，CQ= (4t-12)cm,故答案为：20：4t-12; (2)如图，过点P作PD⊥BC于点D, ,PC平分∠ACB,∠BAC=90°，∴.PA=PD= (16-2t)cm,在Rt△ACP和Rt△DCP中， .CP=CP,PA=PD,.Rt△ACP≌Rt△DCP (HL),∴.AC=CD=12cm,∴.BD=BC-CD= 20-12=8(cm),在Rt△BDP中， BD2+PD=PB2,.82+(16-2t)2=(2t)2,解得：t=5, 根据题意得：点Q运动到点C所用时间为导=3(s,此 时点Q在边CB上运动， ∴.CQ=4×5-12=8(cm); (3)如图1，当AQ=BQ时，AQ=BQ, .∠B=∠BAQ,∠B+∠C=90°， ∠BAQ+∠CAQ=90°，∴.∠C=∠CAQ, .AQ=CQ...CQ= 1BC=10 cm, 此时02-s 如图2，当AB=QB=16cm时，此时CQ=BC -B0=4cm,此时i=4+12=4(s),综上所 4 述，△ABQ为等腰三角形时1的值为4或号 图2 第二章测试卷 22.解：(1)根据题意，直线y=kx+b,经过点C(-1,0), 一、选择题 =- 1.A2.B3.B4.A5.D6.D7.C8.C9.B -k+b=0 2 B(-3,3),根据题意得 10.C -3张+6=3解得： b=- 二、填空题 2 11.>12.x>213.114.m>215.-4≤0<6 三、解答题 六y=c+6的解折式为y=一弓-子根据题意，得 [Y=2x-4 5 16.解：(1)7x-2≥5x+2 x= 7 7x-5x≥2+2 33,解得{ 2x≥4 1y=-2x-2 y=-7 x≥2： (2)x+3.5x-1<1 (2)根据题意，得A(弓，-9)，由2x-4<x+6≤0，得 2 6 3(x+3)-(5x-1)<6 2-4s-2-3 ① 3x+9-5x+1<6 3.3 由图象知①的解集为x<号，解 3x-5x<6-9-1 -2x-2≤0② -2x<-4 不等式2得≥-1，故不等式组的解集为-1≤x<号 x>2. r3x<x+4① 23.解：(1)设A种材质的围棋每套的售价为x元，B种材 17.解：，3≤2-1-1②解不等式①得，x<2,解不 质的围棋每套的售价为y元，根据题意， 2≤3 得3x+5y=1800 等式②得，x≥-1，.不等式组的解集为-1≤x<2,不等 {4+10y=3100解方程组，得=250 Ly=210 式组的解集在数轴上表示如图： 答：A种材质的围棋每套的售价为250元，B种材质的围 棋每套的售价为210元 -6-5-4-3-2-1012345 (2)设A种材质的围棋能采购m套，则B种材质的围棋 18解：3a+2>1x>,关于x的不等式30 能采购(30-m)套，根据题意，得200m+170(30-m)≤ 5400,解得m≤10，所以m的最大值为10. +2x>1至少有三个负整数解，∴.关于x的不等式3a+ 答：A种材质的围棋最多能采购10套 2x>1至少有的三个负整数解是-3，-2，-120 (3)在(2)的条件下，商家销售完这30套围棋能实现利 润为1300元的目标，理由：根据题意，得(250-200)m+ <-3,解得a>子a的取值范围是0>子 (210-170)(30-m)=1300,解得m=10,因为m≤10， 19.解：当y=0时，nx+2n=0,解得x=-2,直线y=nx+ 所以m=10符合题意，所以在(2)的条件下，商家销售完 2n与x轴的交点坐标为(-2,0)，由图象得：当0<nx+ 这30套围棋能实现利润为1300元的目标. 2n时，x<-2,nx+2n<x+b时，x>-5,所以不等式组 第一次月考测试卷 0<nx+2n<x+b的解集为-5<x<-2. 一、选择题 20.解：(1)不等式的基本性质2； 1.B2.C3.C4.D5.A6.B7.A8.C9.B (2)四，不等号的方向没有改变； 10.B (3)去分母，得6-5x-4>3x-6,移项，得-5x-3x>-6 二、填空题 +4-6,合并同类项，得-8x>-8,x系数化成1，得x<1. 11.假12.1813.314.1615.-2 21.(1)证明a<6,4+6<25,.+b<b; 三、解答题 2 (2).a+b+c=0,∴.5a+3b+2c=2(a+b+c)+3a+b 6.解：(6x21)2解不等式①得：*>1，解不 =3a+b,5a+3b+2c≥0，∴.3a+b≥0，.a+b+c=0, 等式②得：x≤2，∴.不等式组的解集为：1<x≤2； ∴.b=-a-c,.3a+b=3a-a-c=2a-c,.2a-c≥0； (2)221_9x+2≤1，去分母，2(2x-1)-(9x+2)≤6， .2a≥c,'c≥-3，∴.2a≥c≥-3，.2a≥-3，.a≥ 3 6 -子a的最小值是-子 去括号，4x-2-9x-2≤6，移项，4x-9x≤6+2+2，合并 同类项，-5x≤10，化系数为1，x≥-2. ·82·