6.3.2 空间线面关系的判定（教学课件）高二数学苏教版选择性必修第二册

6.3.2 空间线面关系的判定 第六章 空间向量及其运算 苏教版普通高中教科书 数学选择性必修第二册 学 习 目 标 1 2 3 掌握利用直线方向向量和平面法向量判定空间线线、线面、面面平行与垂直的方法；能运用向量方法证明空间中的平行、垂直关系，解决简单的线面关系判定问题。 通过类比平面向量判定线线关系，探究空间向量判定线面、面面关系的规律，培养类比推理、转化与化归的数学思想；经历“几何问题→向量问题→代数运算→几何结论”的解题过程，提升数学建模和运算求解能力。 感受空间向量作为工具刻画空间几何位置关系的优越性，体会代数与几何的融合；在探究和解题过程中，培养空间想象能力和逻辑推理能力，增强对空间几何学习的兴趣。 一、复习回顾，激趣导入 问题1： 平面向量中，如何利用向量判定两条直线的平行与垂直？ 平行：方向向量共线；垂直：方向向量数量积为0 问题2： 共面向量定理的内容是什么？ 问题3： 立体几何中，我们曾用几何方法判定线面、面面的平行与垂直，你能说出相关判定定理吗？ 如线面平行判定定理：平面外一条直线与平面内一条直线平行，则线面平行； 线面垂直判定定理：一条直线与平面内两条相交直线垂直，则线面垂直 回顾旧知 一、复习回顾，激趣导入 在“立体几何初步”中，我们研究了空间两条直线(平行、相交和异面)、空间直线和平面(线面平行、线面相交和线在面内)以及空间两个平面(面面平行和面面相交)的位置关系，那么，我们能不能用直线的方向向量和平面的法向量来刻画空间的线面关系呢？ 2.导入新课 二、新知探究，归纳规律 1、空间向量平行的坐标表示 设空间向量 ， ，则 (对应坐标成比例) 复习回顾 2、空间向量垂直的坐标表示 设空间向量 ， ，则 二、新知探究，归纳规律 数学建构 设空间两条直线l1，l2的方向向量分别为 ，两个平 面α1，α2的法向量分别为 ，则有下表： 平行 垂直 l1与l2 l1与α1 α1与α2 ★空间线面关系的判定(空间向量的方法)★ 二、新知探究，归纳规律 直线的方向向量不止一个，它们是共线向量；两条平行直线的方向向量是共线向量.因此研究空间直线与直线、直线与平面的垂直关系，即研究它们在“方向”上的差异程度时，就可以用直线的方向向量来刻画． 平面的法向量不止一个，它们是共线向量，两个平行平面的法向量是共线向量，也就是说两个平行平面的“方向”是相同的．因此，研究空间平面与直线、平面与平面的平行与垂直关系，即研究它们在“方向”上的差异程度时，就可以用平面的法向量来刻画． 三、典例剖析，掌握方法 A B C D O 证明： 三、典例剖析，掌握方法 α l m n g 三、典例剖析，掌握方法 A B C A1 B1 C1 M y z 证明：建立如图所示的空间直角坐标系 三、典例剖析，掌握方法 A B C D E F x y z M N 三、典例剖析，掌握方法 三、典例剖析，掌握方法 三、典例剖析，掌握方法 四、课堂练习，当堂检测 1. 设 a, b 分别是直线 l1, l2 的方向向量, 根据下列条件判断直线 l1, l2 的位置关系: (1) a=(2, -1, -2), b=(6, -3, -6); (2) a=(1, 2, -2), b=(-2, 3, 2); (3) a=(0, 0, 1), b=(0, 0, -3). 解: (1) ∵ 3a=3(2, -1, -2) =(6, -3, -6) =b, ∴ l1//l2. (2) ∵a·b=(1, 2, -2)·(-2, 3, 2) = -2+6-4 =0, ∴ l1⊥l2. (3) ∵ -3a= -3(0, 0, 1) =(0, 0, -3) =b, ∴ l1//l2. 四、课堂练习，当堂检测 2. 设 u, v 分别是平面 a, b 的法向量, 根据下列条件判断平面 a, b 的位置关系: (1) u=(-2, 2, 5), v=(6, -4, 4); (2) u=(1, 2, -2), v=(-2, -4, 4); (3) u=(2, -3, 5), v=(-3, 1, -4). 解: (1) ∵u·v= -12-8+20 =0, ∴a⊥b. (2) ∵-2u= -2(1, 2, -2) =(-2, -4, 4) =v, ∴a //b. (3) ∵不存在实数 k, 使 u=kv; 且 u·v= -29≠0. ∴a 与 b 相交但不垂直. 四、课堂练习，当堂检测 五、小结反思，提炼升华 五、小结反思，提炼升华 1.知识层面： 掌握直线方向向量、平面法向量的定义，熟记线线、线面、面面平行与垂直的向量判定规律； 2.方法层面： 掌握空间向量解决线面关系问题的两种方法——纯向量运算和坐标向量法，核心流程为“几何问题→向量问题→代数运算→几何结论”； 3.思想层面： 体会类比（平面→空间）、转化与化归（几何位置→向量关系）、数形结合的数学思想，感受空间向量的工具性。 六、作业布置，课后提升 基础题： 教材课后练习第1、2、4题，巩固向量判定规律的基本应用； 提升题：教材课后练习第3、6、7题，强化用向量方法证明空间垂直关系，掌握平面法向量的灵活运用； 拓展题：思考“若平面α的法向量为n，直线l的方向向量为e，当e∥n时，直线l与平面α的位置关系是什么？”，培养探究能力。 感谢聆听! 例3．证明：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．（三垂线定理） 已知：如图, 是平面 的斜线， 为斜足， ， 为垂足， 求证： ． 证明：在 内任作一条直线 ，在直线 上分别取向量 EMBED Equation.3 垂直于 内任意一条直线， EMBED Equation.3 ． 例4．证明：如果一条直线和平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面． （直线于平面垂直的判定定理） 已知： ， ,求证： 练习1：在直三棱柱 中， , , ， ， 是 得中点．求证： 证明：建立如图所示空间坐标系，设 长分别为 ． 又平面 的一个法向量 因为 不在平面 内 例5．如图，已知矩形 和矩形 所在平面互相垂直，点 分别在对角线 上，且 ,求证： 平面 所以 平面 ． 证明：设正方体棱长为 ，建立如图所示坐标系． , 因为 所以 [来源:学科网] 所以 平面 ． 例6．正方体 中, 分别是 中点，求证： 平面 ． 假设存在点 , 练习2：如图，在底面是菱形的四棱锥 中, ， 点 在 上,且 ,在棱 上是否存在一点 , 使 平面 ？证明你的结论． 则必存在实数 使得 ，把以上向量得坐标形式代入得[来源:学_科_网] 即有 所以，在棱 存在点 ，即 中点，能够使 平面 ． 练习2：如图，在底面是菱形的四棱锥 中, ， 点 在 上,且 ,在棱 上是否存在一点 , 使 平面 ？证明你的结论． 解：以 为原点建立如图所示的坐标系，设存在点 ， ， ， ， ∵ ⊥面 ，∴ ， ∴ ∴ ，即点 与 重合 ∴点 与 重合时， ⊥面 ． 3．棱长为 的正方体 中，在棱 上是否存在点 使 ⊥面 ？ 设空间两条直线 的方向向量分别为 ，两个平面 的法向量分别为 $